2.6.2函数的极值 教学设计

函数的极值
【教学目标】
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.理解函数的极值点和极值，掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
4.熟练掌握求极值的步骤，会求函数的极值.
【教学重点】
函数的极值点与极值的理解，求函数的极值.
【教学难点】
极值点和极值的求解过程
【教学过程】
情境导入
1、视频：庐山风景
2、朗诵：古诗《题西林壁》
题西林壁
苏轼[宋]
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
不识庐山真面目，只缘身在此山中。
问题探究
如图是庐山的部分截面图，你能指出山峰、山谷吗？
思考：
点,左右两侧函数的单调性怎样？
点,附近的导数值的符号怎样？
点,处的导数值为多少？
函数在点,处的函数值与其附近点处的函数值有怎样的大小关系？
三、概念形成
1.函数的极值点和极值
　(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
四、问题探究
观察函数y=f(x)的图像思考下列问题：
讨论：
函数有哪些极值点？有哪些极大值点？哪些极小值点？
极大值点和极小值点的出现有什么规律？极大值是否大于极小值
极值点能否是区间的端点？
导数值为0的点是否为极值点？
五、概念深化
1、.函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质,因此一个函数在其整个定义域上可能有多个极值,也有可能没有极值。
2.对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
3.极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
4.对于可导函数而言，极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点.
六、例题精讲
例题：求函数的极值．
解：∵，令，即，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表所示：
x 3
＋ 0 0 ＋
极大值 极小值
∴由上表可知，函数的极大值为；函数的极小值为．
七、总结步骤
函数极值的求法与步骤
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
八、课堂练习
求下列函数的极值：
1、
2、
课后思考
“不识庐山真面目，只缘身在此山中”讲的是为什么不能辨别庐山的真面目呢？只因为我们身在庐山之中，我们的视野被庐山的峰峦所局限，我们只能看到庐山的一峰一谷，一丘一壑，要想从整体把握庐山，我们必须走出庐山，全面考虑，那么，这其中又蕴含了怎样的数学知识呢？它其实就是我们下节课要讲的《函数的最值》。
【课堂小结】
1.知识总结：
极值的定义；
判定极值的方法；
求极值的步骤.
2.数学核心素养：
数学抽象、数学建模、数学计算.
【课后作业】
必做题
习题4-1 A组第四题
选做题
习题4-1 B组第三题