鲁教版（五四学制）九年级下册5.3垂径定理 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四学制）九年级下册5.3垂径定理 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-18 20:08:25 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
*5. 3 垂径定理
第五章 圆
知识点
感悟新知
1
垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为
感悟新知
如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例 1
B
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
解：连接OD，如图3-3-2.
∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，
∴ CH=DH= .
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( )2=r2，
解得r= .
∴ AB=3.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考· 泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 ，DE=4，则BC 的长是( )
A.1 B.
C.2 D.4
C
感悟新知
如图3-3-3，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直
线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
例2
感悟新知
解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线的性质证明. 作垂直于弦的半径(或直径)或连半径是常用的作辅助线的方法.
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3.
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，
∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角
感悟新知
2-1. 如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D． 若大圆的半径R=10， 小圆的半径r=8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长.
感悟新知
知识点
垂径定理的推论
感悟新知
2
1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
感悟新知
2. 示例 如图3-3-4，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .可用几何语言表述为
︵
︵
︵
︵
感悟新知
拓宽视野
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.
感悟新知
如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为
AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
例 3
解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.
感悟新知
证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL).
∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
感悟新知
3-1. 如图， ⊙ O 的弦AB=12，M 是AB 的中点， 且OM=2 ， 则⊙ O 的半径等于________.
感悟新知
如图3-3-6，要把残破的圆片复制完整. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.
例4
︵
感悟新知
解：如图3-3-6，连接AB，BC，分别作
AB，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交
点即为所求圆的圆心.
感悟新知
4-1. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙ O 上，CD 垂直平分AB 于点D．现测得AB=8 dm，DC=2 dm，则圆形标志牌的半径为_______.
5 dm
感悟新知
如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径.
例 5
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
︵
︵
感悟新知
解：连接OB，如图3-3-7.
∵点C 是AB的中点，
∴ OC ⊥ AB，AD=BD= AB=60 m.
设OB=OC=r m，
在Rt △ OBD 中，OB2=OD2+BD2,
∴ r2=(r－20)2+602，
∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m.
︵
感悟新知
5-1. 半圆形纸片的半径为2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则折痕CD 的长为____cm.
课堂小结
垂径定理
平分弦
改变物体的形状
垂径定理的推论
平分弦所
对的弧
垂直于弦
*5. 3 垂径定理
第五章 圆
知识点
感悟新知
1
垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
特别提醒
1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.
2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为
感悟新知
如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例 1
B
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键.
解：连接OD，如图3-3-2.
∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，
∴ CH=DH= .
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( )2=r2，
解得r= .
∴ AB=3.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考· 泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 ，DE=4，则BC 的长是( )
A.1 B.
C.2 D.4
C
感悟新知
如图3-3-3，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直
线AB 上的两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
例2
感悟新知
解题秘方：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线的性质证明. 作垂直于弦的半径(或直径)或连半径是常用的作辅助线的方法.
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3.
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，
∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角
感悟新知
2-1. 如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D． 若大圆的半径R=10， 小圆的半径r=8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长.
感悟新知
知识点
垂径定理的推论
感悟新知
2
1. 推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
感悟新知
2. 示例 如图3-3-4，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .可用几何语言表述为
︵
︵
︵
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感悟新知
拓宽视野
对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”.
感悟新知
如图3-3-5，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为
AB，CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
例 3
解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.
感悟新知
证明：如图3-3-5，连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM.∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL).
∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
感悟新知
3-1. 如图， ⊙ O 的弦AB=12，M 是AB 的中点， 且OM=2 ， 则⊙ O 的半径等于________.
感悟新知
如图3-3-6，要把残破的圆片复制完整. 已知弧上的三点A，B，C，用尺规作图找出ABC所在圆的圆心(保留作图痕迹).
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用垂直平分弦的直线经过圆心来找圆心.
例4
︵
感悟新知
解：如图3-3-6，连接AB，BC，分别作
AB，BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交
点即为所求圆的圆心.
感悟新知
4-1. 一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙ O 上，CD 垂直平分AB 于点D．现测得AB=8 dm，DC=2 dm，则圆形标志牌的半径为_______.
5 dm
感悟新知
如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求这段弯路所在圆的半径.
例 5
解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.
︵
︵
感悟新知
解：连接OB，如图3-3-7.
∵点C 是AB的中点，
∴ OC ⊥ AB，AD=BD= AB=60 m.
设OB=OC=r m，
在Rt △ OBD 中，OB2=OD2+BD2,
∴ r2=(r－20)2+602，
∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为100 m.
︵
感悟新知
5-1. 半圆形纸片的半径为2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O 重合，则折痕CD 的长为____cm.
课堂小结
垂径定理
平分弦
改变物体的形状
垂径定理的推论
平分弦所
对的弧
垂直于弦