2022- 2023学年度第二学期期中考试
高一数学
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1. i是虚数单位，复数 i 2+ i 的虚部为 ( )
A. 1 B.-1 C. 2 D. 2i
答案：C
解：i 2+ i =-1+ 2i,虚部为 2
2.如图，长方体 ABCD-A′B′C′D′被一个平面截成两个几何体，其中 EH B′C′ FG，这两个几何体
分别是 D H C ( )
A. 三棱柱和四棱柱 A E B G
B.三棱柱和五棱柱 F
C.三棱台和五棱台 D C
D.三棱柱和六棱柱 A B
答案：B
3.在ΔABC中，cosC= 23 ，AC= 4，BC= 3，则 cosB= ( )
A. 1 19 B. 3 C.
1 D. 22 3
答案：A
解：在ΔABC中，cosC= 23 ，AC= 4，BC= 3，
由余弦定理可得 AB2= AC2+BC2-2AC BC cosC= 42+32-2× 4× 3× 23 = 9；故 AB= 3；
2
∴ cosB= AB +BC
2-AC2 32+32-42 1
2AB BC = 2× 3 × 3
= 9 ，
4.已知向量 a，b，且 AB= a+ 2b，BC=-5a+ 6b，CD= 7a- 2b，则一定共线的三点是 ( )
A. A，B，C B. A，B，D C. A，C，D D.B，C，D
答案：B
解：∵ AD= AB+ BC+CD= a+ 2b + -5a+ 6b + 7a- 2b = 3a+ 6b= 3AB
∴ AD与 AB共线
又 AD与 AB有公共点 A,∴ A，B，D三点共线
∵ AC= AB+ BC= a+ 2b + -5a+ 6b =-4a+ 8b与 AB= a+ 2b不共线
∴ A，B，C三点不共线，则 A，C，D及 B，C，D均不共线
5.△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2B= A+C，且 b2= ac，则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
答案：C
解：△ABC中，∵ 2B= A+C且 A+ B+C= π，∴ B= π3 ，
将 b2= ac，B= π 代入余弦定理 b2= a2+c23 -2accosB可得 ac= a
2+c2-2ac× 12 ，
化简可得 a- c 2= 0，即 a= c，
∵ B= π又 3 ，由等边三角形判定定理可知ΔABC为等边三角形．
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6. i是虚数单位，若复数 z满足 z- 3i = 2,则 z 的取值范围是 ( )
A. 1,5 B. 3- 2,3+ 2 C. 0,5 D. 0,3+ 2
答案：A
解：在复平面内，若复数 z满足 z- 3i = 2,
则复数 z对应的点 Z的轨迹是以 0,3 为圆心，半径为 2的圆，
z 几何意义是点 Z到原点的距离
所以 z 的取值范围是 1,5 .
7. 4母线长为 6的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 3 π，则该圆锥的体积为 ( )
A. 32π B. 32 5π3 C. 32 5π D. 96π
答案：B
解：由题意知，侧面展开图的弧长为 6× 43 π= 8π， 4π
设圆锥底面圆的半径为 r，则 8π= 2πr， 3
∴ r= 4，∴圆锥高 h= 62-42= 2 5， h 6
∴ 1 × π× 42× 2 5= 32 5π体积为 3 3 . r
8. 1在△ABC中，AB= 5，AC= 4，cosA= 8 ，O是△ABC的内心，若OP= xOB+ yOC，其中 x，y∈
[0,1]，则动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为 ( )
A. 15 7 B. 5 7 C. 10 78 4 3 D. 3 7
答案：D
解：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及
其内部，其面积为△BOC的面积的 2倍．
在△ABC中，设内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c， A
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA= 16+ 25- 2× 4× 5× 18 = 36，得 a= 6.
设△ABC的内切圆的半径为 r， O
1 bcsinA= 1则 2 2 (a+ b+ c)r，所以 4× 5×
3 7
8 = 15r,解得 r=
7
2 ，
1 1 7 3 7 B C
所以 S△BOC= 2 × a× r= 2 × 6× 2 = 2 .
故动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为 2S△BOC= 3 7.
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
9.下列说法正确的是 ( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C.棱台的侧面是等腰梯形
D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
答案：ABD
解：A正确；棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形
的棱锥一定是四棱锥，B正确；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一
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个球，得到的截面是一个圆面．
10.已知向量 a+ b= (1,1)，a b= ( 3,1)，c= (1,1)，设 a,b的夹角为 θ，则 ( )
A. |a| = |b| B. a⊥ c C. b c D. θ= 135°
答案：BD
a= 1解： 2 a+ b +
1
a b = -1,1 ,b= 2 a+ b - a b = -2,0
∵ |a| = 2,|b| = 2,∴ a| ≠ |b|,A错误；
∵ a c=-1+ 1= 0,∴ a⊥ c,B正确；
∵ 1× 0- 1× -2 ≠ 0,∴ b与 c不平行,C错误；
∵ cosθ = a b = 2 = 22 ,且 0° ≤ θ≤ 180°,∴ θ= 135°,D正确． a b 2 × 2
11.在复数集内，下列命题是真命题的是 ( )
A.若复数 z∈R ，则 z∈R B.若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R
C. 1若复数 z1，z2满足 z1z2∈R，则 z1= z2 D.若复数 z满足 z ∈R，则 z∈R
答案：AD
解：对于 A，若复数 z= a+ bi∈R，则 b= 0 ，z= z∈R，故 A为真命题．
对于 B，若复数 z= i，则 z2=-1∈R，但 z R，故 B为假命题；
对于C，若复数 z1= i，z2= 2i满足 z1z2=-2∈R，但 z1≠ z2，故C为假命题；
对于D，设复数 z= a+ bi(a b∈R) 1 1 a- bi a b， ，则 z = a+ bi = (a+ bi) ( - ) = 2 2 - 2 2 i，a bi a +b a +b
1
若 z ∈R，则 b= 0，所以 z= a∈R，故D为真命题；
12.△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 △ABC的面积，且 a = 2 3，AB AC =
2 3
3 S，下列选项正确的是 ( )
A. A= π6
B.若 b= 4，则△ABC有两解
C.若△ABC为锐角三角形，则 b取值范围是 (2,4)
D.若D为 BC边上的中点，则 AD的最大值为 3
答案：CD
2 3 2 3 1
解：因为 AB AC= 3 S，所以 cbcosA= 3 × 2 bcsinA，∴ tanA= 3，
又 A∈ (0,π) A= π，所以 3 ，A错误；
若 b= 4，则 bsinA= a，三角形只有一解，B错误；
△ABC 0 π π ∵ b asinB = sinA，∴ b=
asinB
sinA = 4sinB∈ (2,4)，C正确；
若D为 BC 1边上的中点，则 AD= 2 (AB+ AC)，
∴ AD2= 14 (AB+ AC)
2= 14 (c
2+2bccosA+ b2) = 14 (b
2+c2+bc)，
又 a2= b2+c2-2bccosA= b2+c2-bc= 12，b2+c2= 12+ bc，
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由基本不等式得 b2+c2= 12+ bc≥ 2bc，当且仅当 b= c= 2 3时等号成立，
所以 bc≤ 12，
2 1 1
所以 AD = 4 (12+ bc) + bc = 3+ 2
bc≤ 3+ 6= 9，
所以 AD ≤ 3，当且仅当 b= c= 2 3时等号成立，D正确．
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. i是虚数单位，若复数 (1+ 2i) (a- i)是纯虚数，则实数 a的值为________．
答案：-2
解：若 (1+ 2i) (a- i) = a+ 2+ (2a- 1)i是纯虚数，
a+ 2= 0,则 1- 2a≠ 0 ∴ a=-2.，
14.在△ABC中，若 ac= 8,a+ c= 7,B= π3 ，则 b= .
答案：5
解：在△ABC中，若 ac= 8，a+ c= 7，B= π3 ，
由余弦定理得 b= a2+c2-2accosB= a+ c 2-3ac= 72-3× 8= 5.
15.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体体积
的比为 .
C
答案：1 ∶ 5
解：设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c， A S
即 SA= a，SB= b，SC= c．
由长方体，得 SA，SB，SC两两垂直，
V 1 1 1 1所以 A-SBC= 3 SA SΔSBC= 3 a× 2 bc= 6 abc，
V =V = 1于是 S-ABC A-SBC 6 abc． B
V= abc- 1 abc= 5故剩下几何体的体积 6 6 abc，
因此，VS-ABC:V= 1:5．
I H
J G F
K
P C E
L D
A B
图 1 图 2
第 15题图 第 16题图
16.图 1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图 2是从置物架图
中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若 AF=λAD+μAH λ，μ∈R ，则 λ+μ的值为 ；
若正六边形的边长均为 2，点 P是折线 ABCDEFGHIJKL上的动点 含端点 ，则 AP AB的取值
范围为 .
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4
答案： 3 -2,12
解：建立如图平面直角坐标系，设正六边形的边长均为 2，
则 A 0,0 ,B 2,0 ,D 5, 3 ,E 6,2 3 ,F 5,3 3 ,H 2,4 3 ,J -1,3 3 ,L -1, 3
若 AF= λAD+ μAH,即 5,3 3 = λ 5, 3 + μ 2,4 3
5= 5λ+ 2μ, 7所以 3 3= 3λ+ 4 3μ,解得 λ= 9 ,μ=
5 y
9 I H
所以 λ+ μ= 43 ,
J G F
设 P x0,y0 ,则 AP AB= x ,y 2,0 = 2x K 0 0 0 E
因为 x0∈ -1,6 ,所以 AP AB
P
的取值范围为 -2,12 C
L D
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．
B x
17. A已知 i是虚数单位，复数 z满足 z 3+ 4i =-5+ 10i．
(1)求复数 z的共轭复数；
3
(2)若 a∈R，且 z- iz+ i +a = 3，求实数 a的值．
解：(1) ∵ z 3+ 4i =-5+ 10i,
-5+ 10i -5+ 10i 3- 4i∴ z= = = 25+ 50i3+ 4i = 1+ 2i, 3+ 4i 3- 4i 25
∴ 复数 z的共轭复数 z= 1- 2i,
( ) ∵ z- i = 1+ i = (1+ i)
2
2 = i ∴ 1+ z
3
3
z+ i 1- i 2 ， = i =-i，1+ z
z- i 3
又 z+ i +a = 3,即 |a- i| = a2+1= 3，
∴ a=±2 2.
18.设向量 a，b满足 a = b = 1，且 5a- 8b = 7．
(1)求 a与 b的夹角；(2)求 3a+ 4b 的大小．
解：(1) ∵ |a| = |b| = 1， 5a- 8b = 7；
∴ 5a- 8b 2= 25a2+64b2-80a b= 25+ 64- 80a b= 49
∴ a b= 1 a b 12 ,则 cos a,b = | || =a b| 2
∵ a,b ∈ 0,π
∴ a π与 b的夹角为 3；
(2) ∵ 3a+ 4b 1 2= 9a2+16b2+24a b= 9+ 16+ 24× 2 = 37
∴ 3a+ 4b = 37
19.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示,已知 A'B'=2,B'C'=3,A'D'=4
且 A'D' B'C'.
(1)求原平面图形 ABCD的面积；
(2)将原平面图形 ABCD绕 AD旋转一周，求所形成的空间几何体的表面积和体积.
解：(1)由已知得原平面图形 ABCD是直角梯形，
且上底 BC= 6,下底是 AD= 8,高 AB= 2
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1
所以原平面图形 ABCD的面积为 2 × 6+ 8 × 2= 14 y'
(2)将原平面图形 ABCD绕 AD旋转一周， D
所得几何体由等底的圆柱和圆锥组成，
其中圆锥的底面半径为 2，高为 2，圆柱的底面半径为 2,高为 6 C
所形成的空间几何体的表面积为
2 x'π× 2 +2π× 2× 6+ π× 2× 2 2= 28+ 4 2 π A B
1 80
体积为 π× 22× 6+ 3 × π× 2
2× 2= 3 π. 第 19题图
20.在ΔABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 (a+ c) (a- c) = b(b+ c)．
(1)求角 A的大小；
(2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若 b= 3，c= 5，点D是 BC边上的一点，且 ．求线段 AD的长．
① AD是ΔABC的中线；② AD是ΔABC的角平分线．
解：(1) ∵ (a+ c) (a- c) = b(b+ c)，
∴ a2-c2= b2+bc，即 b2+c2-a2=-bc
b2+c2-a2 1
由余弦定理可得 cosA= 2bc =- 2．
∵ 0< A< π，∴ A= 2π3 ．
(2)若选① AD是ΔABC的中线，
∵ AD是ΔABC的中线，
∴ AD= 1
2 (AB+ AC)，
∴ |AD|2
= 14 (|AB|
2+|AC|2+2AB AC)，
∵ b= 3 c= 5 A= 2π， ， 3 ，
∴ |AD|2= 14 (b
2+c2+2b c cosA) = 1 1 194
9+ 25+ 2× 3× 5× - 2 = 4 ，
∴ |AD| = 192 ．
若选② AD是ΔABC的角平分线，
∵ b= 3，c= 5，A= 2π3 ，
∴ 1 1 A 12 bc sinA= 2 b AD sin 2 + 2 c AD sin
A
2 ，
∴ 1 × 3× 5× 32 2 =
1
2 × 3× AD×
3 1
2 + 2 × 5× AD×
3
2 ，
∴ AD= 158 ．
21.如图，在四边形 ABCD中，∠B= 60°，AB= 4，BC= 8，且 AD= λBC，AD AB=-4.
(1)求实数 λ的值；
(2)若M，N是线段 BC上的动点，且 |MN| = 2，求DM DN的最小值．
解：(1) ∵ AD= λBC，∴ AD∥ BC，λ> 0
∵∠B= 60°，∴∠DAB= 120°，
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∵ AD AB= AD AB cos∠DAB=-4， A D
又 AB = 4, AD = λ BC = 8λ
∴ 8λ× 4× cos120° =-4，
∴ λ= 14 . B M N C
(2)如图，过点 A作 AO⊥ BC，垂足为O，
第 21题图
1
则OB= 2 AB= 2，OC= 6，AO= 2 3，
方法 1 以O为原点，以 BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，
则D 2，2 3 ，设M (x,0)，N(x+ 2,0)，-2≤ x≤ 4
y
，
A D
∴DM = x- 2，-2 3 ，DN = x，-2 3 ，
∴DM DN = x2-2x+ 12= x- 1 2+11，
∴当 x= 1时，DM ·DN取得最小值 11.
O C x
方法 2 设线段MN的中点为 E,则 EN =-EM B M N
2 2 DM DN = DE+ EM DE+ EN = DE+ EM DE- EM =DE -EM = DE 2-1
当DE⊥ BC于点 E时， DE min= AO = 2 3,
所以DM DN的最小值为 2 3 2-1= 11.
22.阳春三月，草长莺飞，正是春游的好季节,但是随着客流量的猛增，我市景区道路拥堵、停车困难
的问题日益凸显.市交通部门为缓解某热门景区停车难的问题，决定在景区附近开辟一个如图
所示的临时停车场OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏 AB与 BC的总
长度为 120米，且∠BAO=∠BCO．设∠BAO= α 0< α< π2 ．
(1)当 AB= 40 5π米，α= 12 时，求 AC的长；
(2)当 AB= 60米时，求临时停车场OABC面积 S的最大值及此时 α的值．
解：(1)在△ABC中，AB= 40，BC= 80， C
∠ABC= 2π- 5π12 -
5π π 2π α
12 - 2 = 3 ， B
由余弦定理，得 AC2= AB2+BC2-2AB BC cos∠ABC
= 402+802-2× 40× 80× cos 2π3 = 40
2× 7， α
故 AC= 40 7 O A．
因此 AC的长为 40 7米． 第 22题图
(2)连接OB．由题意，AB= BC= 60，
BO AB BC
在△ABO及△CBO中,由正弦定理得 = =
sinα sin∠AOB sin∠COB
所以 sin∠AOB= sin∠COB= cos∠AOB,即 tan∠AOB= 1
因为∠AOB∈ 0, π2 ,所以∠AOB=
π
4 =∠COB C α B
∠ABO=∠CBO= π- π4 - α=
3π
4 - α，
在△ABO OB= ABsinα中， sin∠AOB = 60 2sinα．
S=2× 1 3π 3π
α
于是 2 OB×AB×sin 4 -α =3600 2sinαsin 4 -α O A
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=3600 2sinα 22 cosα+
2
2 sinα =3600 sinαcosα+sin2α
=1800 sin2α+ 1-cos2α =1800 2sin 2α- π4 +1800，0<α<
π
2．
π π 3π π
当 2α- 4 = 2 ，即 α= 8 ∈ 0, 2 时，S取到最大值，最大值为 1800 2+ 1 ．
因此，当 α= 3π8 时，临时停车场OABC的面积最大,为 1800 2+ 1 平方米
高一数学 第 8页(共 8页)2022- 2023学年度第二学期期中考试
高一数学
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1. i是虚数单位，复数 i 2+ i 的虚部为 ( )
A. 1 B.-1 C. 2 D. 2i
2.如图，长方体 ABCD-A′B′C′D′被一个平面截成两个几何体，其中 EH B′C′ FG，这两个几何体
分别是 D H C ( )
A. 三棱柱和四棱柱 A E B G
B.三棱柱和五棱柱 F
C.三棱台和五棱台 D C
D.三棱柱和六棱柱 A B
3.在ΔABC中，cosC= 23 ，AC= 4，BC= 3，则 cosB= ( )
A. 19 B.
1
3 C.
1 D. 2
2 3
4.已知向量 a，b，且 AB= a+ 2b，BC=-5a+ 6b，CD= 7a- 2b，则一定共线的三点是 ( )
A. A，B，C B. A，B，D C. A，C，D D.B，C，D
5.△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2B= A+C，且 b2= ac，则△ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
6. i是虚数单位，若复数 z满足 z- 3i = 2,则 z 的取值范围是 ( )
A. 1,5 B. 3- 2,3+ 2 C. 0,5 D. 0,3+ 2
7. 4母线长为 6的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 3 π，则该圆锥的体积为 ( )
A. 32π B. 32 5π3 C. 32 5π D. 96π
8. △ABC AB= 5 AC= 4 cosA= 1
在 中， ， ， 8 ，O是△ABC的内心，若OP= xOB+ yOC，其中 x，y∈
[0,1]，则动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为 ( )
A. 15 7 B. 5 7 C. 10 78 4 3 D. 3 7
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
9.下列说法正确的是 ( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C.棱台的侧面是等腰梯形
D.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
10.已知向量 a+ b= (1,1)，a b= ( 3,1)，c= (1,1)，设 a,b的夹角为 θ，则 ()
A. |a| = |b| B. a⊥ c C. b c D. θ= 135°
11.下列命题是真命题的是 ( )
A. 若复数 z∈R，则 z∈R B.若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R
C. 若复数 z1，z2满足 z1z2∈R，则 z1= z2 D.
1
若复数 z满足 z ∈R，则 z∈R
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12.△ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，S为 △ABC的面积，且 a = 2 3，AB AC =
2 3
3 S，下列选项正确的是 ( )
A. A= π6
B.若 b= 4，则△ABC有两解
C.若△ABC为锐角三角形，则 b取值范围是 (2,4)
D.若D为 BC边上的中点，则 AD的最大值为 3
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. i是虚数单位，若复数 (1+ 2i) (a- i)是纯虚数，则实数 a的值为 ．
14.在△ABC中，若 ac= 8,a+ c= 7,B= π3 ，则 b= .
15.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体体积
的比为 .
I H
J G F
K
P C E
L D
A B
图 1 图 2
第 15题图 第 16题图
16.图 1是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图 2是从置物架图
中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若 AF=λAD+μAH λ，μ∈R ，则 λ+μ的值为 ；
若正六边形的边长均为 2，点 P是折线 ABCDEFGHIJKL上的动点 含端点 ，则 AP AB的取值
范围为 .
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．
17.已知 i是虚数单位，复数 z满足 z 3+ 4i =-5+ 10i．
(1)求复数 z的共轭复数；
3
(2)若 a∈R z- i，且 z+ i +a = 3，求实数 a的值．
18.设向量 a，b满足 a = b = 1，且 5a- 8b = 7．
(1)求 a与 b的夹角； (2)求 3a+ 4b 的大小．
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19.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示,已知 A'B'=2,B'C'=3,A'D'=4
且 A'D' B'C'.
(1)求原平面图形 ABCD的面积；
(2)将原平面图形 ABCD绕 AD旋转一周，求所形成的空间几何体的表面积和体积.
y'
D
C
A B x'
第 19题图
20.在ΔABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，已知 (a+ c) (a- c) = b(b+ c)．
(1)求角 A的大小；
(2)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
若 b= 3，c= 5，点D是 BC边上的一点，且 ．求线段 AD的长．
① AD是ΔABC的中线；② AD是ΔABC的角平分线．
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21.如图，在四边形 ABCD中，∠B= 60°，AB= 4，BC= 8，且 AD= λBC，AD AB=-4.
(1)求实数 λ的值；
(2)若M，N是线段 BC上的动点，且 |MN| = 2，求DM DN的最小值．
A D
B M N C
第 21题图
22.阳春三月，草长莺飞，正是春游的好季节,但是随着客流量的猛增，我市景区道路拥堵、停车困难
的问题日益凸显.市交通部门为缓解某热门景区停车难的问题，决定在景区附近开辟一个如图
所示的临时停车场OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏 AB与 BC的总
长度为 120米，且∠BAO=∠BCO π．设∠BAO= α 0< α< 2 ．
(1)当 AB= 40米，α= 5π12 时，求 AC的长；
(2)当 AB= 60米时，求临时停车场OABC面积 S的最大值及此时 α的值．
C
α
B
α
O A
第 22题图
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