2023 年春季学期富源学校高一 5 月调研考试答案
数 学 2023.05
一、选择题答案
A D B A B A C B AC BD BCD BCD
三、填空题答案
13. 2
16
14.
3
7
15. /0.875
8
16.8 3
四、解答题
3
17．(1) 1 (2) k
2
r r r
【详解】（1）因 c a b，即 7, 3 1,1 2,3 2 , 3 ，
2 7 3
所以 ，解得 ，故 1；
3 3 2
（2）因 ka b与 c共线， ka b k 1,1 2,3 k 2,k 3 ， c 7, 3 ，
3
所以 k 2 3 k 3 7 ，故 k ．
2
试卷第 1页，共 5页
18 (1) B π
5π
． 或 (2)
6 6 b 7
或b 31
ur r
【详解】（1）因为m (a,2sin A),n (b,1) ，且m//n，
所以 a 2b sin A 0，
由正弦定理知 sin A 2sin B sin A 0，
因为 sin A 0，所以 sin B
1
，
2
π 5π
因为0 B π，所以 B 或 .
6 6
2 π 3（ ）当 B 时，由余弦定理得
6 b
2 a2 c2 2accos B 16 3 8 3 7，
2
则b 7；
5π 2 2 2
当 B 时，由余弦定理得b a c 2accosB 16 3 8 3
3
31，
6 2
则b 31 .
9π
19．(1) (2)0.594
5
【详解】（1）由题可知圆锥的底面周长为 2π 90 180π cm ，
180π 9π
所以展开后所得扇形的圆心角为 rad ；
100 5
1
（2）由题可知圆锥的侧面积 S 2π 90 100 9000π cm2 ，2
所以刷一个这样的油纸伞需要 2 9000π 10 4
π
0.06 π2 0.06 9.9 0.594 kg 桐油.
30
试卷第 2页，共 5页
20．(1) 2证明见解析； (2) 3 .
【详解】（1）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形DCC1D1为矩形，则 F 为D1C的中
点，
又 E为 BC的中点，则有 EF / / BD1，而 EF 平面C1DE， BD1 平面C1DE，
所以 BD1 / /平面C1DE．
1
2 2（ ）在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，BC 2，AA1 1， BDC的面积 S BDC BC 2，2
所以求三棱锥D D1BC
1 1 2
的体积VD D BC VD S DD 2 1 ．1 1 BDC 3 BDC 1 3 3
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1） E,O分别为 PB, AB中点 OE //PA
PA 平面PAC，OE 平面PAC OE//平面PAC
OM //AC， AC 平面 PAC，OM 平面PAC OM //平面 PAC
OE OM O，OE,OM 平面MOE 平面MOE //平面 PAC
（2） AB为 O的直径 ACB 90 ，即 BC AC
PA 平面 ABC， BC 平面 ABC BC PA
AC,PA 平面 PAC， AC PA A BC 平面PAC
BC 平面 PCB 平面 PAC 平面 PCB
【点睛】本题考查立体几何中面面平行、面面垂直关系的证明问题，涉及到线面平行和
面面平行的判定定理、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.
试卷第 3页，共 5页
1
22．(1)证明见解析. (2) .
4
1
【详解】（1）由题意底面 ABCD， AB BC AD 2 , BAD ABC 90 ，
2
则底面 ABCD为直角梯形，
连接OC ，则 AO BC 1, AO∥BC ,故四边形 AOCB为矩形，
则OC∥AB ,OC AB 1 ， 所以四边形 AOCB为正方形，所以 AC OB ，
因为侧面 PAD为等边三角形，O是 AD 的中点，
所以 PO AD ，PO 平面 PAD，
因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
所以 PO 平面 ABCD，因为 AC 平面 ABCD，
所以 PO AC，因为 PO OB O,PO,OB 平面 POB ，
所以 AC 平面 POB，
因为 AC 平面 PAC ，所以平面PAC 平面 POB .
1
（2）因为底面 ABCD中， AB BC AD 2 , BAD ABC 90 ，
2
侧面 PAD 为等边三角形，O是 AD的中点，
所以 AO OD AB BC OC 2 ,PA AD PD 4 , PO 2 3 ,OB AC 2 2 ，
因为 PO 平面 ABCD，OB,OC 平面 ABCD，
所以 PO OB ,PO OC ，
所以 PB2 PO2 OB2 12 8 20 ，
因为 AB2 PA2 4 16 20 ，
π
所以 PB2 AB2 PA2 ,所以 PAB ,2
设点C,M 到平面 PAB的距离分别为 d1,d2，
因为VP ABC V
1 S PO 1C PAB ，所以 3 ABC
S
3 PAB
d1 ,
试卷第 4页，共 5页
1 1
即 2 2 2 3
1 1
2 4d1，故 d1 3，3 2 3 2
3
因为三棱锥 P ABM 的体积为 ，
3
1
所以 S PAB d
3 1 1 3 3
2 所以 2 4d ，解得 d ，3 3 3 2 2 3 2 4
3
所以 PM d2 4 1 ，即 PM
1
PC
PC d1 3 4
4
1
因为 PM PC 0 1 ，所以 .
4
试卷第 5页，共 5页2023 年春季学期富源学校高一 5 月调研考试
数 学 2023.05
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知复数 z满足 1 i z 2 i， i是虚数单位，则 z （ ）
1 3 1 3 1 3 1 3
A． i B． i C． i D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
2．在 ABC中，若点D满足 BD 2DC ，则 AD ( )
1 AC 2
A． AB
5 2
B． AB AC
3 3 3 3
2 1
C． AC AB
2 1
D． AC AB
3 3 3 3
3．设ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为 a, b,c
π
，若 a 3, b 3,A ，则B
3
π 5π π 5π 2π
A． 或 B． C． D．
6 6 6 6 3
4．已知 a 1, 3 ，b 3,1 ，则 a，b的夹角等于（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
5．设 l、m是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 l / / 、m//l，则m / / B．若 l 、 l // ，则
C．若 l / / 、m ，则 l //m D．若 、m / / ，则m
6．如图所示， ABC的直观图是边长为 2的等边 A B C ，则在原图中，BC边上的高为（ ）
A．2 6 B． 6 C． 2 3 D． 3
高二数学 第 1页（共 8页）
7．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、
粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为30cm、20cm，
侧棱长为5 11cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，
则该米斗盛装大米约（ ）
A．6.6千克 B．6.8千克 C．7.6千克 D．7.8千克
8 15．正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点 P在三棱锥C1 - BCD的侧面C1CB表面上运动，且 A1P ，3
则点 P轨迹的长度是（ ）
A 3． π B 6． π C 6． π D 3． π
6 9 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．若复数 z 3 i，则（ ）
A．|z|=2 B．|z|=4
C．z的共轭复数 z = 3 +i D． z2 4 2 3i
10．下列关于平面向量的命题正确的是( )
A．若 a∥b ，b ∥ c，则 a∥ c
B
．两个非零向量 a,b 垂直的充要条件是：a b 0
C．若向量 AB CD，则 A,B,C,D四点必在一条直线上
D ．向量 a a 0 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 b a
高二数学 第 2页（共 8页）
11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中
体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图 1）．图 2是一个圆台的侧面
展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是 1和 3，且 ABC 120 ，则该圆台（ ）
A 2 2
34π
．高为 B．表面积为
3 9
C 52 2．体积为 π D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9 : 24
81
12．石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形 ABCDEF为其中的一个六元环，设 AB 1，
P为正六边形 ABCDEF内一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ）
A 2． AD 4AB 4AF B． AC AD 3AB
1 3C ． AD在 AB上的投影向量为 AB D． AP AB的取值范围为 , 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a、b是单位向量，且 a b，则 a 2b b ________．
14．一个圆锥的顶点及底面圆周上所有点都在一个球面上，圆锥底面圆的半径是 1，母线长是 2，则该球
的表面积是__________.
15．已知在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 sinC sin B 2 sin Asin B 7sin2 B，且
c a，则 cos B _________．
高二数学 第 3页（共 8页）
16．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为16 3cm2的正三角形，若在该酒杯内
放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则圆柱冰块的侧面积的最大值为___________cm2 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．若向量 a 1,1 ，b 2,3 ， c 7, 3 ．
r r r
(1) c a b，求 的值；
(2)若 ka b与 c共线，求 k的值．
ur r
18．设 a，b，c分别为 ABC的三个内角 A，B，C所对的边，向量m (a,2sin A),n (b,1) ，且m//n .
(1)求 B；
(2)若 a 4,c 3，求 b.
高二数学 第 4页（共 8页）
19．油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐
油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为90cm，顶点到下边
沿上任一点的长度为100cm .
(1)若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
π
(2)若伞面的内外表面需要各刷 1次桐油，每平方米需要刷桐油 kg，则刷一个这样的油纸伞需要多少千
30
克桐油？（参考数据： π2 9.9）
20．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD的边长为 2，侧棱 AA1 1，E是棱 BC的中点，F
是DC1与D1C的交点．
(1)求证： BD1 / /平面C1DE；
(2)求三棱锥D D1BC的体积．
高二数学 第 5页（共 8页）
21．如图所示， PA 平面 ABC，点C在以 AB为直径的 O上，点 E为线段 PB的中点，点M 在 AB上，
且OM //AC .
（1）求证：平面MOE //平面 PAC；
（2）求证：平面 PAC 平面 PCB .
高二数学 第 6页（共 8页）
1
22．如图，四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD 2，
2
BAD ABC 90 ，O是 AD的中点.
(1)求证：平面 PAC 平面 POB；
(2)点M 在棱 PC上，满足 PM PC 0 1 3且三棱锥 P ABM 的体积为 ，求 的值.
3
高二数学 第 7页（共 8页）
