2022-2023学年度下学期辽西联合校高三期中考试题
C.8)的图象关于x=受对称
D.g(x)的图象关于-0对称
二、多选题（供4小题，每小题5分，满分20分）
(数学试题)
一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）
9.已知复数2二3士，则下列说法正确的是()】
1.已知集合A-{xx>4},B-{x∈Z3
A.=5
B.z的虚部为-1
A.(4,6)
B.{4,7}
c.{45,6,7D.{5,6
C.z在复平面内对应的点在第一象限D.z的共轭复数为2+1
2.命题“x∈R,x2-3≥0的否定是()
10.在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试为了了解本次考试学生
A.3x定R,x)2-3<0B.x∈Rx2-3<0C.3xn∈R,x2-3<0D.3x0￥R,x2-320
成绩情况，从中抽取了n名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在
区间[50,100]内.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.
3.已知向量a=(1,2),万=(-2，t),若a∥B,则a+2=()
其中，成绩落在区间[90,100]内的人数为40，则下列结论正确的是()
A.5
B.2W5
C.35
D.53
◆频率组距
4.已知直线{(m-1)x+my+3=0与直线12：(m-1)x+2y-1=0平行，则m=2”是“，平行于1“的()
0:040wm…w
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在着陆场预定区域成功着陆，三名航天员安全出舱.神
0.015-…
0.010-T
舟十三号返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m,下底面圆的直径为2.8m,上底
0.005…r
05060708090100战纜分
面圆的直径为1m,则可估算其体积约为()（π≈3.14）
A.n=1000
B.图中x=0.030
C.估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
D.若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号
A.3.6m3B.7.6m3C.22.8m3D.34.4m
1.在二项式、-的展开式中，下列说法正确的是（）
2x
6.已知a=l0g,0.3,b=3.3,c=0.3.3,则()
A.常数项是普
B.各项的系数和是64
A.aB.aC.cD.bC.第4项二项式系数最大
D.奇数项二项式系数和为-32
7。在一段时间内，甲去某地的概率是}，乙去某地的概率是号，假定两人的行动相互之间没有影响，那
12.正方体ABCD-ABCD的棱长为1，P为线段BD上的点，则()
么在这段时间内至少有1人去此地的概率是〔)
A.BP/平面AD,C
B.APfI平面CBD
A.0
B.8
9
C.20
11
D.0
C.三棱锥B-APD的体积为定值
D.BP与AD所成角的最小值为45
8,若函数f()=sinx(sir-3cosx)的图象向左平移元个单位，得到函数g(x)的图象，则下列关于g(x)叙
三、填空题（供4小题，每小题5分，满分20分）
12
13.已知f()是定义在R上的奇函数，当xE[0,+∞)时，f()=x2+2.x,则f(-)=
述正确的是()
14.曲线f(x)-血x在点，f)处的切线方程为
A.g(x)的最小正周期为2π
B。)在[号]内单词递增
15.若直线2x-y+a=0被圆(x-1)2+(y-1)2=1截得的弦长为2，则实数a的值为
试卷第1页，共2页2022-2023 学年度下学期辽西联合校高三期中考试题 13
因为 c a，所以 cos A 1 sin 2 A ，.............................9
（数学答案） 4
1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C sin B sin A C sin AcosC cos AsinC 3 1 13 3 3 39所以 ..............................12
4 2 4 2 8
9．BD 10．BCD 11．AC 12．BC 19．（本小题满分 12分）
13． 3 14． x y 1 0 15． 1 16．6 4 2
【详解】（1）列联表如下：
17．（本小题满分 10分）
感兴趣 不感兴趣 合计
2
【详解】（1）由已知得 a4 2 a2a6，即 a1 3d 2
2 a1 d a1 5d ，.............................2
男生 12 4 16
a d 21 3d 1，
女生 9 5 14
又因为a 1，所以 d 21 3d 1 1，解得d 3或 d 0（舍去），.............................4
合计 21 9 30
所以an 3n 2 . (n N ) ..............................5
..............................2
b 33 n 1 3
2 1 b 33n 3
2
（ ）由（ ）得 n ，因为
n 1 3n 3 27， K 2 30 (12 5 4 9)b 3 0.4082 2.072，.............................2n 16 14 21 9
所以没有 85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；.............................5所以 bn 是以b1 1为首项，以 27为公比的等比数列，.............................8
（2）由题意可知 X的取值可能为 0，1，2，3，
C3 5
S 1 27
n 1 5
所以 n 27n 1 .............................10 则 P(X 0) 3 ，1 27 26 C9 42
C1 2P(X 1) 4C5 10 ，
18 3．（本小题满分 12分） C9 21
【详解】（1）解：因为 cos B a b ， 2 1
c 2c P(X 2) C C 5 4 5
C3
14 ，
即 2ccosB 2a b，由正弦定理可得 2sinC cosB 2sin A sinB，..............................2 9
3
又 sin A sin B C sin B C ，..............................3 P(X 3) C 1 43 C 21，..............................99
即2sinC cosB 2sin B C sin B，
故 X的分布列为
所以2sinC cosB 2sin BcosC 2cosBsinC sin B， X 0 1 2 3
1
即 2sinBcosC sinB，因为 sin B 0，所以 cosC ，..............................5
2
P 5 10 5 1
42 21 14 21又C 0, ，所以C ..............................6
3
..............................10
5 10 5 1 4
1 1 3 3 E(X ) 0 1 2 3 ...............................12
（2）解：因为 c 2a，所以 sin A sinC ，............................8 42 21 14 21 3
2 2 2 4
答案第 1页，共 3页
20 ．（本小题满分 12分） 可取m 1,0, 1 ，
【详解】（1）解：在三棱锥P ABC中，设点A到平面PBC的距离为 h，
m
BD a b c 0
因为在三棱锥P ABC中， PA AB 2， PA 平面 ABC， ABC， PBC的面积分别为 2，2 2． 设平面BDC的一个法向量 n a,b,c
，则 ，
m BC 2a 0
V 1 S h V 1 S 4 PA 2 2 h 4所以， A PBC ，即 ，解得 ，3 △ PBC P ABC 3 △ ABC 3 h 23 3 可取n 0,1, 1 ， ............................10
所以点A到平面PBC的距离为 2．.............................4
2 则 cos m,n
m n 1 1
（ ）解：取 PB的中点 E
，连接 AE，如图， m . n 2 2 2， ............................11
因为 PA AB，所以 AE PB，
1 2 3
又平面PBC 平面 PAB，平面PBC 平面 PAB PB， AE 平面 PAB， 所以二面角 A BD C的正弦值为 1 ．............................12 2 2
所以 AE 平面PBC，............................5 21．（本小题满分 12分）
又因为BC 平面PBC，所以 AE BC c 1
又因为 PA 平面 ABC，且 BC 平面 ABC
， a 2
【详解】（1）由题可得 a2 b2 c2 ，.............................2
所以，PA BC．
1 92 2 1
又 AE，PA 平面 PAB且 AE PA A， a 4b
a 2
所以BC 平面 PAB，.............................6
解得 b 3，.............................3
又 AB 平面 PAB，
c 1
所以BC AB． 2 2
所以椭圆 C x y的方程为 1 ............................4
所以，以 B为原点直线BC，BA为 x，y轴，过 B且平行于 PA做 z轴，建立空间直角坐标系，如图， 4 3
3 3
（2）① A 1, 设过 与抛物线 y mx2相切的直线方程为 y k x 1 （ k 02 2 ），.............................5
y 3 k x 1 y 3 2消去 得：mx2 kx k 0，
y mx
2 2
k 2 4m 3 k 0，即 k 22 4mk 6m 0 .............................6
直线 AP， AQ的斜率分别为 k1， k2，则 k1， k 22是方程 k 4mk 6m 0的两根
由（1）得 AE 2，所以 AP AB 2，PB 2 2，
又 PBC面积为2 2，所以BC 2， k1 k2 4m， k1k2 6m，
1 1 2所以， A 0,2,0 ， P 0,2,2 ，B 0,0,0 ，C 2,0,0 ，所以PC的中点D 1,1,1 ，.............................8 消去 m得： k k 3 .............................81 2
所以BD 1,1,1 ， BA 0,2,0 ， BC 2,0,0 ②设直线 PQ： x ty n，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，
m BD x y z 0 x ty n
设平面 ABD的一个法向量m x, y, z ，则 3t 2 4 y2， 6tny 3n2 12 0
m BA 2y
2
0 3x 4y
2 12 0，消去 x得：
答案第 2页，共 3页
2
所以 y
6tn 3n 12
1 y2 3t2 4，
y1y2 2 ..............................9 令h x x 2ln x，其中 x 0,
2
，则 h x 1 0，
3t 4 x
1 1 2 x1 1 x2 1 2 ty n 1 ty n 1 2
3 3
1 2 所以，函数h x 在 0, h x
因为 k k 3，所以 y y 3，所以 y 3 y 3
上单调递增，作出函数 的图象如下图所示：
1 2 1
3
2 2 2 1 2 2 2
整理得： 2t
2 3 y1y2 n t
y1 y2
1
3 n 0
3 2 2
2t 2 3n
2 12 3 6tn 1 3 3t2
4
n t 2 3 n 0 2 3t 4 2
即4n2
2
24n 9t2 48t 28，所以 4 n 3 3t 8 2．
所以n
3
t 1或 n
3
t 7
2 ，..............................102
3 3 3 3
当n t 1时， x ty t 1
y t 12 2 2 ，PQ
恒过定点 1, 2 与 A重合，舍去
3 3 3
n 3 t 7 x ty t 7 y t 7 ，PQ 7, 当 时，
2 2 2 恒过定点 2
由图可知，函数h x 的值域为R，所以， t x 2ln x R，...........................8
3
综上所述，直线 PQ 恒过定点 7, 2 ..............................12
令 p t t t ，其中 t R ，则 p t
1 t
t ，
22．（本小题满分 12分） e e
p t 0 p t
【详解】（1 1）解：函数 f x axex a 0 当
t 1时， ，此时函数 单调递增，
的定义域为R， f x a x 1 ex .
2
当 t 1时， p t 0 pf x 0 ，此时函数 t 当a 0时，由 x 单调递减，可得 1，由 f (x) > 0可得 x 1，.............................2
t t
f x , 1 且当 t 0 1, 时， p t t 0；当 t 0时， p t t 0，..............................10此时函数 的减区间为 ，增区间为 ； e e
t
0 f x 0 x 1 f x 0 x 1 因为函数
g x 有两个不同的零点，则直线 y 2a与函数 p t 的图象有两个交点，如下图所示：
当 a< 时，由 可得 ，由 ( ) > 可得 ， et
此时，函数 f x 的增区间为 , 1 ，减区间为 1, ..............................2
综上所述，当a 0时，函数 f x 的减区间为 , 1 ，增区间为 1, ；
当 a<0时，函数 f x 的增区间为 , 1 ，减区间为 1, ...............................5
2 g x f x ln x（ ）解：函数 的定义域为 0, x ，
因为函数 g x ln x 1 ln x f x x 在
0, 上有两个零点，即 axex 有两个不同的正实数根，
2 x
即2ax2ex x 2ln x 0有两个不同的正实数解， 1 1 t
由图可知，当0 2a 时，即当0 a 时，直线 y 2a与函数 p t 的图象有两个交
e 2e et
2aex 2ln x即 x 2ln x 0有两个不同的正实数解，..............................6 点，..............................11
t 1
令 t x 2 ln x
，则 2aet t 0，可得 2a et ， 因此，实数
a的取值范围是 0, 2e ...............................12
答案第 3页，共 3页