贵州省黔西南州兴义市顶效开发区顶兴学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

顶兴学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．数列1，，，的一个通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．公共汽车上有9位乘客，沿途6个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种
A． B． C． D．
4．等差数列的前n项和为，，若，，则数列的公差为（ ）
A． B．3 C．2 D．
5．已知函数，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
6．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
7．的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．60 C． D．
8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．如图，北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．的公差为9 C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条
B．过点作圆的切线，切线方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．直线的一个方向向量为
11．已知双曲线：，则下列各选项正确的是（ ）
A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的虚轴长为4
12．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是 B．当时，的图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则________．
14．已知函数的图象在点处的切线方程为，则________．
15．将1，2，3，4，5，6这6个数字自左向右排成一行，要求数字1，6都不能排在两端，则不同的排法共有________种（用数字作答）
16已知数到满足，记，则________；数列的通项公式为________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
3名男生，5名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
（Ⅰ）选其中4人排成一排；
（Ⅱ）全体站成一排，男生不能站在一起．
18．（本小题满分12分）
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．
求：（Ⅰ）展开式中x项的系数；
（Ⅱ）展开式中所有含x的有理项．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的最大值与最小值．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，底面，，M，N分别为AB和PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
设数列是由正数组成的等比数列，其中，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是公差为1的等差数列，其中，求数列的前n项和．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（），，点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，，证明：TM，TN的斜率之积为定值．
顶兴学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C D B D B
【解析】
1．数列1，，，，可以转化为，，，，则其一个通项公式可以为，故选A．
2．因为，所以，又由，故选A．
3．公共汽车上有9位乘客，沿途6个车站，每位乘客下车的方法有6种，乘客下车的可能方式有种，故选D．
4．因为，所以，解得或（舍去），所以等差数列的公差为，故选C．
5．∵，∴，∵，∴，解得，故选D．
6．圆心距为，，，因为，所以两圆位置关系为相交，故选B．
7．的展开式中含的项为，所以的系数为，故选D．
8．小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况，根据题设条件，剩余4人分两组，有两种情况：一组1人，一组3人，有种情况；或每组各2人，有种情况，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，故选B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABD ABD BC ABC
【解析】
9．设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，，∴，，，∴，，综上可得：只有ABD正确，故选ABD．
10．A选项，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，，直线方程为，所以过点，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确；B选项，由于，所以，在圆上，圆心为，，过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，B选项正确；C选项，当时，不存在，所以C选项错误；D选项，直线的斜率为2，一个方向向量为，所以D选项正确，故选ABD．
11．双曲线C：，则，，所以，则焦点坐标为，故A错误；离心率，故C正确；虚轴长为，故D错误；渐近线方程为，即，故B正确，故选BC．
12．函数，则，解得且，则函数的定义域为，故A正确；当时，，故的图象位于x轴下方，故B正确；，令，∴恒成立，∴在上单调递增，∵，，∴存在，使得，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在单调递增，故C正确；当时，函数取得极小值，无极大值，故有一个极值点，故D错误，故选ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 4 3 288 11；
【解析】
13．将椭圆方程化为标准形式为，所以长轴长为2，短轴长为，由题意得，解得．
14．函数的导数为，可得图象在点处的切线斜率为，，所以，可得，，所以．
15．将1，2，3，4，5，6这6个数字自左向右排成一行，若数字1，6都不能排在两端，则不同的排法共有种．
16．因为，所以，，，，，因此；由于，又，即，所以，因此数列是以3为首项，2为公比的等比数列，则，即．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）从8个元素中选出4个全排列，有种排法． （4分）
（Ⅱ）先安排女生共有种排法，男生在5个女生隔成的六个空中安排共有种排法，
故（种）． （10分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）令，则展开式中各项系数之和为， （1分）
各二项式系数和为，则，解得； （3分）
所以． （5分）
令，解得， （6分）
所以展开式中含x的系数为． （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令，且，
解得， （9分）
则展开式中含x的有理项分别为：
，
，
． （12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
令，得，， （1分）
当时，，故在上为增函数；
当时，，故在上为减函数；
当时，故在上为增函数． （4分）
所以单调递增区间是、，单调递减区间是． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在处取得极大值， （7分）
在处取得极小值． （8分）
，． （10分）
时，的最大值与最小值分别为、． （12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点Q，连接AQ，NQ，
∵N，Q分别为PC，PD的中点，
∴，且， （1分）
∵底面是正方形，且M为AB的中点，
∴，
∴，且， （3分）
∴四边形是平行四边形，∴， （4分）
又平面，平面，∴平面． （5分）
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， （6分）
，， （7分）
设平面的一个法向量，
则即令，则，，
平面的一个法向量， （9分）
易证平面，
∴是平面的一个法向量， （10分）
设平面与平面的夹角为，
则． （12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设由正数组成的等比数列的公比为，
∵，，
∴，， （2分）
解得， （4分）
∴． （6分）
（Ⅱ）∵数列是公差为1的等差数列，其中，
∴，
∴， （8分）
∴数列的前项和，
∴， （10分）
∴，
化为：． （12分）
22．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由题意得，故椭圆C为，
又点在C上，所以，得，，
故椭圆C的方程即为． （4分）
（Ⅱ）证明：由已知直线过，设的方程为，
联立两个方程得消去得：，
，得．
设，，则，（*），
因为，故，
将（*）代入上式，可得：，
∴直线TM与TN的斜率之积为定值． （12分）