辽宁省朝阳市凌源市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

凌源市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学考试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在圆上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．如图，某几何体由两个同底的圆台组成，已知，该几何体的体积为，则该几何体的高（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某手链由10颗较小的珠子（每颗珠子相同）和11颗较大的珠子（每颗珠子均不相同）串成，若10颗小珠子必须相邻，大珠子的位置任意，则该手链不同的串法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
8．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则，，．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布
10．已知函数的部分图象如图所示，则的图象可以由函数的图象（ ）
A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到
B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度得到
C．先向右平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到
D．先向右平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到
11．已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的公比为
C． D．
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的最大值为1
C．当时，
D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知单位向量，满足，则_______．
14．双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为_______．
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为的球状物体后，水面高度为，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为，若从时刻开始，该球状物体的半径以的速度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在时刻，水面上升的瞬时速度为__________．
16．已知数列满足，，记，，O为坐标原点，则面积的最大值为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示．
男学生 女学生 合计
关注度极高 45 40 85
关注度一般 5 10 15
合计 50 50 100
（1）若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；
（2）用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望．
18．（12分）已知等差数列满足，．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列的前项和为．证明：．
19．（12分）如图，在正三棱柱中，为的中点，，．
（1）若，证明：平面．
（2）若直线与平面所成角为，求的值．
20．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并给予解答．问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，求周长的取值范围．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程．
（2）不经过点且斜率为的直线与椭圆相交于P，Q两点，若直线与直线的斜率之积为，试问是否为定值 若是，求出该定值；若不是，说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值集合．
高二年级数学考试卷参考答案
1．B ．
2．A ．
3．C 因为，，，所以．
4．B 圆即圆，易得点到轴的距离的最大值为3．
5．C 该几何体的体积，解得．
6．B 令函数，则．
因为，所以是增函数．
因为是奇函数，所以，，
所以的解集为，即的解集为．
7．A 将10颗小珠子看成一个整体，不同的串法有种．
8．D 将四面体补成如图所示的直三棱柱，因为向量与的夹角为，所以，则，外接圆的半径，该四面体外接球的半径，所以该四面体外接球的表面积为．
9．BC 由题意得，该问卷得分数据的期望是80，方差是25，标准差是5，A错．，，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，B正确．，C正确．同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，D错误．
10．AD 由图象可得，的图象经过点和，代人解析式可得结合图象解得又因为，，，所以故．根据三角函数的平移变换规则可得AD正确．
11．ABD 因为，所以，A正确．
因为，所以，解得，B正确．
，C错误．
因为，，
所以成立，D正确．
12．BCD 的定义域为．，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，A错误，B正确．
令，，则．因为，所以，为上的增函数，则，即，C正确．
当或时，没有零点．当时，只有1个零点．当时，令，方程的两个解为，，，，有2个不同的实根，没有实数根，故函数恰有2个零点时，的取值范围为，D正确．
13． 因为，所以．
14． ，．
15．4 杯中水的体积为．设在该过程中水面高度为，则，即．令函数，则，．故在时刻，水面上升的瞬时速度为．
16．4 因为，所以，即．
因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，，所以．
因为，所以．
．
令函数，则．
当时，，所以，且在上单调递减．
，故面积的最大值为4．
17．解：（1）记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”．．
（2）从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为．
由题意得，
则．
18．（1）解：设数列的公差为，
则，
所以．
故．
（2）证明：．
．
因为函数在上单调递增，
所以，，
故．
19．（1）证明：取的中点，连接，，，．
由题意得，
所以，则．
因为，，所以平面，所以．
因为，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，．
设，，，，．
设平面的法向量为，
则
取，则．
设直线与平面所成的角为，
所以，
化简得，解得或．
当时，点与点重合，此时，不符合题意．
所以，即的值为．
20．解：因为，所以，
因为，所以，，
所以，
所以．因为，所以．
若选①，由正弦定理，得，
所以．
因为为锐角三角形，所以所以，
所以，，则周长的取值范围为．
若选（2），由正弦定理，得=
．
因为为锐角三角形，所以所以，则，所以，
所以，则周长的取值范围为．
21．解：（1）由题可知，
解得故椭圆C的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，
，．
，
整理得．
因为不经过点，所以，所以，即，
故为定值，且该定值为．
22．解：（1）当时，，．，．
故的图象在点处的切线方程为，即．
（2）解法一：由题意可得恒成立．
令函数，
则．
①当时，恒成立，此时单调递增，
的值域为，不符合题意．
②当时，则，不符合题意．
③当时，令，可得，即．令函数，则，
所以在上单调递增．
设存在，使得，两边同时取对数可得，
则当时，，当时，，
所以当时，，
故只需即可．
令函数，则，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，即．
故只有唯一解，即．
综上，的取值集合为．
解法二：由题意可得恒成立．
令，即．
令函数．
，要使恒成立，则是的极小值点．
，，解得．
经检验，符合题意．
综上，的取值集合为．