9.3用一元一次不等式（组）解决实际问题（二） 同步培优（含解析）
文档属性
| 名称 | 9.3用一元一次不等式（组）解决实际问题（二） 同步培优（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-18 20:15:19 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
尖子生培优题典
用一元一次不等式（组）解决实际问题（二）
类型三、方案设计问题
某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
针对练习
“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
我市大冬会期间向运动员村运送蔬菜和水果，其中蔬菜和水果共320袋，蔬菜比水果多80袋．
（1）求蔬菜和水果各多少袋？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这蔬菜和水果全部运往运动员村．已知甲种货车最多可装蔬菜40袋和水果10袋，乙种货车最多可装蔬菜和水果各20袋．则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
类型四 确定最值问题
2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
7.为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A，B两种计算器每台需多少元？
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
8.某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）
（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？
（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？
（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
巩固练习
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
尖子生培优题典
用一元一次不等式（组）解决实际问题（二）（解析版）
类型三、方案设计问题
例1某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
思路引领：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，
依题意得：，
解得：a≤18．
又∵a为整数，
∴a可以为14，15，16，17，18，
∴该商店有5种进货方案．
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，则w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600．
若15﹣m＞0，即10＜m＜15时，w随a的增大而增大，
∴当a＝18时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣18＝22；
若15﹣m＝0，即m＝15时，w的值不变；
若15﹣m＜0，即15＜m＜20时，w随a的增大而减小，
∴当a＝14时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣14＝26．
答：当10＜m＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m＝15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜m＜20时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
针对练习
“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
(2)一共有3种方案：①用大货车6辆，用小货车6辆；②用大货车7辆，用小货车5辆；③用大货车8辆，用小货车4辆；当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，根据 题意列得二元一次方程组解答即可；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，则
，解得，
答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，由题意得，
，
解得，
∵a是整数，
∴，
共有3种方案：
①用大货车6辆，用小货车6辆，费用为（元）；
②用大货车7辆，用小货车5辆，费用为（元）；
③用大货车8辆，用小货车4辆，费用为（元）；
∵，
∴当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
(2)有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论
【详解】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键.
我市大冬会期间向运动员村运送蔬菜和水果，其中蔬菜和水果共320袋，蔬菜比水果多80袋．
（1）求蔬菜和水果各多少袋？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这蔬菜和水果全部运往运动员村．已知甲种货车最多可装蔬菜40袋和水果10袋，乙种货车最多可装蔬菜和水果各20袋．则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
思路引领：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，然后列出方程组求解即可；
（2）设安排甲车x辆，表示出安排乙车（8﹣x），然后根据运送蔬菜和水果的袋数列出不等式组求解，再根据x是正整数确定运送方案；
（3）表示出运输费用，然后根据一次函数的增减性确定运输费最少的方案即可．
解：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，
根据题意得，，
解得，
答：蔬菜和水果各是200袋，120袋；
（2）设安排甲车x辆，则安排乙车（8﹣x），
根据题意得，，
由①得，x≥2，
由②得，x≤4，
∴2≤x≤4，
∵车的辆数x是正整数，
∴x＝2、3、4，
∴设计方案有一下三种：
方案一：甲车2辆，乙车6辆，
方案二：甲车3辆，乙车5辆，
方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）运输费用W＝400x+360（8﹣x）＝40x+2880，
∵k＝40＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x＝2时，运输费用最少，最少运输费＝40×2+2880＝2960元．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确确定出等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组是解题的关键，也是本题的难点
类型四 确定最值问题
2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元 (2)最多可以购买66个“冰墩墩”
【详解】(1)解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为x元，y元，
由题意得：，解得，
∴“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元；
(2)解：设购买“冰墩墩”m个，则购买“雪容融”（100-m）个，
由题意得：，
∴，
∵m是整数，
∴m最大为66，
∴最多可以购买66个“冰墩墩”．
针对练习
7.为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A，B两种计算器每台需多少元？
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元
(2)A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个
(3)当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元
【分析】（1）设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．由题意得，，计算求解即可；
（2）设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，由题意得：解得，由，可得，根据y为正整数，且为的整数倍，确定，进而可得进货方案；
（3）分别计算（2）中各方案的总利润，然后比较，进而可得结果．
【详解】（1）解：设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．
由题意得，，
解得：，
∴购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元；
（2）解：设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，
由题意得：解得，
∵，
∴，
∵y为正整数，且为的整数倍，
∴的取值有14，16，18共3种；
∴共有3种进货方案，即：A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个；
（3）解：当A种计算器79个，B种计算器14个时，总利润为（元）；
当A种计算器76个，B种计算器16个时，总利润为（元）；
当A种计算器73个，B种计算器18个时，总利润为（元）；
∵，
∴当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
8.某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）
（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？
（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？
（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？
思路引领：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，根据“两项得分之和为260分，学期评价得分为132分”列方程组求解可得；
（2）由130﹣120×70%＝46，46÷30%≈153.3＞150可作出判断；
（3）假设他的期中测试成绩为满分，即150分，知学期评价得分期中部分为150×30%＝45，设期末测试成绩为m分，根据45+70%m≥130求出m的范围可得答案．
解：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，
由题意，得，
解得，
答：小明同学期中测试成绩为125分，期末测试成绩为135分；
（2）不可能，
由题意可得：130﹣120×70%＝46，
46÷30%≈153.3＞150，故不可能．
（3）设他的期中测试成绩为满分，即150分，
则学期评价得分期中部分为150×30%＝45，
设期末测试成绩为m分，
根据题意，可得45+70%m≥130，
解得m≥121.4，
答：他的期末测试成绩应该至少为122分．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系和不等关系．
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
(2)超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
(3)在的条件下超市不能实现利润元的目标
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
【详解】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【答案】（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820,且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解得： ，
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个；
由题意得：
解得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点睛】主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽永州”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个4型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
(1)求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
(2)若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案
【答案】(1)A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元(2)共有2种购买方案，方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
【详解】(1)解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：型垃圾桶的单价为80元，型垃圾桶的单价为60元．
(2)解：设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取29，30，
该社区共有2种购买方案，
方案1：购进型垃圾桶29个，型垃圾桶21个；
方案2：购进型垃圾桶30个，型垃圾桶20个．
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)①进A种树苗52棵，种树苗48棵；②购进A种树苗53棵，种树苗47棵
【详解】(1)解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，
根据题意，得：，
解得：，
所以购买的方案有：
①进A种树苗52棵，种树苗48棵；
②购进A种树苗53棵，种树苗47棵．
小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
思路引领：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组时，根据x、y、z都是正整数来确定它们的取值．
解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，
根据题意，得，
①﹣②×2，消去z，得7x+3y＝41，
解得，y，
∵y＞0，
∴0，
解得：x，
∴x的取值只能是1，2，3，4，5，
∵y13﹣2x，y是整数，
∴2﹣x必须是3的倍数，
∴x＝2或5，
当x＝2时，y＝9，z＝﹣1，不合题意，舍去；
当x＝5时，y＝2，z＝3．
∴小鸡被套中5次，
故答案为：5．
总结提升：本题考查的是三元一次不定方程的解法，根据题意列出方程，并讨论符合条件（x、y、z都是整数）的未知数的取值是解题的关键．
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尖子生培优题典
用一元一次不等式（组）解决实际问题（二）
类型三、方案设计问题
某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
针对练习
“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
我市大冬会期间向运动员村运送蔬菜和水果，其中蔬菜和水果共320袋，蔬菜比水果多80袋．
（1）求蔬菜和水果各多少袋？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这蔬菜和水果全部运往运动员村．已知甲种货车最多可装蔬菜40袋和水果10袋，乙种货车最多可装蔬菜和水果各20袋．则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
类型四 确定最值问题
2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
7.为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A，B两种计算器每台需多少元？
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
8.某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）
（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？
（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？
（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
巩固练习
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
尖子生培优题典
用一元一次不等式（组）解决实际问题（二）（解析版）
类型三、方案设计问题
例1某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
思路引领：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件，
依题意得：，
解得：a≤18．
又∵a为整数，
∴a可以为14，15，16，17，18，
∴该商店有5种进货方案．
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，则w＝（80﹣m﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600．
若15﹣m＞0，即10＜m＜15时，w随a的增大而增大，
∴当a＝18时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣18＝22；
若15﹣m＝0，即m＝15时，w的值不变；
若15﹣m＜0，即15＜m＜20时，w随a的增大而减小，
∴当a＝14时，w取得最大值，此时40﹣a＝40﹣14＝26．
答：当10＜m＜15时，购进A种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m＝15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜m＜20时，购进A种商品14件，B种商品26件时，销售这40件商品获得总利润最大．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
针对练习
“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
(2)一共有3种方案：①用大货车6辆，用小货车6辆；②用大货车7辆，用小货车5辆；③用大货车8辆，用小货车4辆；当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元
【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，根据 题意列得二元一次方程组解答即可；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，根据运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元列出不等式组解出结果，计算最少费用．
【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输x箱、y箱生产物资，则
，解得，
答：1辆大货车可以运输150箱生产物资，1辆小货车一次可以运输100箱生产物资；
（2）设有a辆大货车，则有辆小货车，由题意得，
，
解得，
∵a是整数，
∴，
共有3种方案：
①用大货车6辆，用小货车6辆，费用为（元）；
②用大货车7辆，用小货车5辆，费用为（元）；
③用大货车8辆，用小货车4辆，费用为（元）；
∵，
∴当用大货车6辆，用小货车6辆时，运输方案所需费用最少，最少费用是48000元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【答案】(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵
【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元．已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元
(1)求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
(2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
(2)有三种方案：方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，根据“总费用=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论
【详解】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）是关键.
我市大冬会期间向运动员村运送蔬菜和水果，其中蔬菜和水果共320袋，蔬菜比水果多80袋．
（1）求蔬菜和水果各多少袋？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这蔬菜和水果全部运往运动员村．已知甲种货车最多可装蔬菜40袋和水果10袋，乙种货车最多可装蔬菜和水果各20袋．则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费400元，乙种货车每辆需付运输费360元．应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
思路引领：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，然后列出方程组求解即可；
（2）设安排甲车x辆，表示出安排乙车（8﹣x），然后根据运送蔬菜和水果的袋数列出不等式组求解，再根据x是正整数确定运送方案；
（3）表示出运输费用，然后根据一次函数的增减性确定运输费最少的方案即可．
解：（1）设蔬菜和水果分别为a袋、b袋，
根据题意得，，
解得，
答：蔬菜和水果各是200袋，120袋；
（2）设安排甲车x辆，则安排乙车（8﹣x），
根据题意得，，
由①得，x≥2，
由②得，x≤4，
∴2≤x≤4，
∵车的辆数x是正整数，
∴x＝2、3、4，
∴设计方案有一下三种：
方案一：甲车2辆，乙车6辆，
方案二：甲车3辆，乙车5辆，
方案三：甲车4辆，乙车4辆；
（3）运输费用W＝400x+360（8﹣x）＝40x+2880，
∵k＝40＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x＝2时，运输费用最少，最少运输费＝40×2+2880＝2960元．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确确定出等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式组是解题的关键，也是本题的难点
类型四 确定最值问题
2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
【答案】(1)“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元 (2)最多可以购买66个“冰墩墩”
【详解】(1)解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为x元，y元，
由题意得：，解得，
∴“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元；
(2)解：设购买“冰墩墩”m个，则购买“雪容融”（100-m）个，
由题意得：，
∴，
∵m是整数，
∴m最大为66，
∴最多可以购买66个“冰墩墩”．
针对练习
7.为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A，B两种计算器每台需多少元？
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，且不超过B种计算器数量的6倍，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种计算器可获利润10元，每件B种计算器可获利润13元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元
(2)A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个
(3)当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元
【分析】（1）设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．由题意得，，计算求解即可；
（2）设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，由题意得：解得，由，可得，根据y为正整数，且为的整数倍，确定，进而可得进货方案；
（3）分别计算（2）中各方案的总利润，然后比较，进而可得结果．
【详解】（1）解：设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．
由题意得，，
解得：，
∴购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元；
（2）解：设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，
由题意得：解得，
∵，
∴，
∵y为正整数，且为的整数倍，
∴的取值有14，16，18共3种；
∴共有3种进货方案，即：A种计算器79个，B种计算器14个；A种计算器76个，B种计算器16个；A种计算器73个，B种计算器18个；
（3）解：当A种计算器79个，B种计算器14个时，总利润为（元）；
当A种计算器76个，B种计算器16个时，总利润为（元）；
当A种计算器73个，B种计算器18个时，总利润为（元）；
∵，
∴当购进A种计算器79台，B种计算器14台时，可获最大利润，最大利润是972元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
8.某中学对七年级学生数学学期成绩的评价规定如下：学期评价得分由期中测试成绩（满分150分）和期末测试成绩（满分150分）两部分组成，其中期中测试成绩占30%，期末测试成绩占70%，当学期评价得分大于或等于130分时，该生数学学期成绩评价为优秀．（注：期中、期末成绩分数取整数）
（1）小明的期中成绩和期末测试成绩两项得分之和为260分，学期评价得分为132分，则小明期中测试成绩和期末测试成绩各得多少分？
（2）某同学期末测试成绩为120分，他的综合评价得分有可能达到优秀吗？为什么？
（3）如果一个同学学期评价得分要达到优秀，他的期末测试成绩至少要多少分（结果保留整数）？
思路引领：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，根据“两项得分之和为260分，学期评价得分为132分”列方程组求解可得；
（2）由130﹣120×70%＝46，46÷30%≈153.3＞150可作出判断；
（3）假设他的期中测试成绩为满分，即150分，知学期评价得分期中部分为150×30%＝45，设期末测试成绩为m分，根据45+70%m≥130求出m的范围可得答案．
解：（1）设小明同学期中测试成绩为x分，期末测试成绩为y分，
由题意，得，
解得，
答：小明同学期中测试成绩为125分，期末测试成绩为135分；
（2）不可能，
由题意可得：130﹣120×70%＝46，
46÷30%≈153.3＞150，故不可能．
（3）设他的期中测试成绩为满分，即150分，
则学期评价得分期中部分为150×30%＝45，
设期末测试成绩为m分，
根据题意，可得45+70%m≥130，
解得m≥121.4，
答：他的期末测试成绩应该至少为122分．
总结提升：本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系和不等关系．
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
(2)超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
(3)在的条件下超市不能实现利润元的目标
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
【详解】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
【答案】（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820,且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解得： ，
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个；
由题意得：
解得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点睛】主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽永州”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个4型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
(1)求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
(2)若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案
【答案】(1)A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元(2)共有2种购买方案，方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
【详解】(1)解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，
依题意得：，解得：．
答：型垃圾桶的单价为80元，型垃圾桶的单价为60元．
(2)解：设购进型垃圾桶个，则购进型垃圾桶个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取29，30，
该社区共有2种购买方案，
方案1：购进型垃圾桶29个，型垃圾桶21个；
方案2：购进型垃圾桶30个，型垃圾桶20个．
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵则有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)①进A种树苗52棵，种树苗48棵；②购进A种树苗53棵，种树苗47棵
【详解】(1)解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；
(2)设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，
根据题意，得：，
解得：，
所以购买的方案有：
①进A种树苗52棵，种树苗48棵；
②购进A种树苗53棵，种树苗47棵．
小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次．小明套10次共得61分，问：小鸡被套中 次．
思路引领：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组时，根据x、y、z都是正整数来确定它们的取值．
解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次，
根据题意，得，
①﹣②×2，消去z，得7x+3y＝41，
解得，y，
∵y＞0，
∴0，
解得：x，
∴x的取值只能是1，2，3，4，5，
∵y13﹣2x，y是整数，
∴2﹣x必须是3的倍数，
∴x＝2或5，
当x＝2时，y＝9，z＝﹣1，不合题意，舍去；
当x＝5时，y＝2，z＝3．
∴小鸡被套中5次，
故答案为：5．
总结提升：本题考查的是三元一次不定方程的解法，根据题意列出方程，并讨论符合条件（x、y、z都是整数）的未知数的取值是解题的关键．
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