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专题24 直线与圆锥曲线的位置关系
一、单选题
1．（2023·北京海淀·统考二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.
【详解】在轴上，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，
将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，
故选：D
2．（2023·四川自贡·统考三模）已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P
【答案】C
【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而可设直线的方程为，设，联立直线与抛物线得交点坐标关系，根据直线斜率的坐标运算化简代入即可得答案.
【详解】抛物线：的焦点坐标为，
所以直线的方程为，设
则，消去得，，所以，
则.
故选：C.
3．（2023·江西宜春·统考一模）已知双曲线的左 右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的切线长相等的性质，结合双曲线定义可求得两内切圆与轴均相切于点，由∽可求得，结合双曲线渐近线斜率可确定直线倾斜角的范围，结合可求得的范围；由对勾函数单调性可确定所求面积之和的取值范围.
【详解】
由双曲线方程得：，，则，
设内切圆与三边相切于点，
，，，
，
又，，，
设，则，解得：，即；
同理可知：内切圆与轴相切于点；
分别为的角平分线，，
又，∽，则，
设内切圆半径分别为，
，，即，
，
双曲线的渐近线斜率，直线的倾斜角，
，则，
，解得：，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，；
，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线中三角形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用相似三角形的知识求得两内切圆半径之间满足的等量关系，从而将所求面积之和转化为关于一个变量的函数的形式，利用函数单调性求得结果.
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与抛物线C切于点P，交x轴于点A．直线n经过点P，与x轴交于点B，与C的另一个交点为Q，若，则下列说法错误的是（ ）
A．PA的中点在y轴上 B．
C．存在点P，使得 D．的最小值为
【答案】C
【分析】直线m斜率存在，令且，利用导数几何意义求切线的方程，即可得直线的方程，进而求坐标，可判断A、B；数形结合易知，在△中应用边角关系判断C；联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式得，应用换元法、导数求最值判断D.
【详解】直线m斜率存在，令且，而，则，故，
所以过的切线为，故，易知：，
所以中点横坐标为0，PA的中点在y轴上，A对；
由上，直线为，故，易知：，
所以中点为，即为的焦点，又，
在中，B对；
由B分析知：，且，则，
在△中，，即，C错；
联立直线与抛物线得：，则，
所以，则，，
，令，则，
若，则，
所以时，递减；时，递增；
故，即，D对.
故选：C
【点睛】关键点点睛：首先应用导数几何意义、直线的垂直关系写出切线、直线方程并求坐标，再利用三角形边角关系比较边的大小，最后应用导数求弦长最值.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.
【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为，
由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；
若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；
故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点；
同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求；
即，
故，
故选：B
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，直线MN的方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理和弦长公式可求，由于线段MN的长等于椭圆短轴长的，列出方程，即可求解，进而根据得到椭圆的离心率.
【详解】解：令，则直线MN的方程为，设，，
联立得，，
则，，
所以，
已知线段MN的长等于椭圆短轴长的，则，
整理得，即，解得（舍）或，
则椭圆的离心率，
故选：A.
7．（2023·江西·校联考二模）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据条件证明四边形为矩形，求点到两条渐近线的距离，由此可得四边形面积.
【详解】双曲线的渐近线为或，
直线与相互垂直，
又，
所以四边形为矩形，
又点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
又点在双曲线上，
所以，
所以四边形的面积为，
故选：B.
8．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出直线方程，通过联立抛物线与直线方程，求出以为直径的圆的圆心和半径，再求出的长度，利用的面积相等表示出的内切圆半径表达式，求表达式最小值即可.
【详解】由题意知，设直线的方程为，.
由得，，故，，.
，
以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到轴的距离为，
故.
设的内切圆半径为，由的面积公式得，，
即，故.
令，则且，
所以，
因为，所以在上单调递增；
当时，.
因此的内切圆直径最小值为.
故选：B
9．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为；
②；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】对①，根据抛物线的对称性可得直线过焦点且与轴垂直，进而求得面积；对②，根据圆C′与x轴的负半轴交于点P判断即可；对③，设，联立直线与抛物线方程，根据判别式判断即可.
【详解】①抛物线C的焦点为，由对称性可知，，
于是直线过焦点且与轴垂直，故，圆的面积为，故①正确；
②因圆C′与x轴的负半轴交于点P，故，故②正确；
③设，由抛物线定义可知，，
所以，直线的方程为，与抛物线联立可得，
又，化简可得，故，
所以直线与抛物线相切，故③正确.
故选：D
10．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线，分别交的两条渐近线于两点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为；
②直线的方程为；
③直线截双曲线所得弦长为3；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由渐近线方程可得的值，从而即得双曲线的离心率判断①；由点在双曲线上和渐近线方程得的值，从而得的值，利用点斜式即可解决②；联立直线与双曲线的方程解出点，然后利用弦长公式即可知③；联立直线与渐近线方程得出的坐标，利用向量坐标公式即可得的值，从而判断④.
【详解】由题意双曲线的渐近线的方程为，
焦点在轴上，所以，
所以双曲线的离心率为：，
故①正确；
因为点在双曲线上，
所以，联立，
解得：，所以，
所以，所以过点作斜率为的直线为：
，
故②不正确；
由上述可知双曲线，联立，
消去整理得：，
解得：，
所以直线截双曲线所得弦长为：，
故③正确；
由双曲线的渐近线方程为：，
由，解得点，
由，解得点，
所以，
故④正确，
故选：C.
11．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件得出，在直角中，利用几何条件得出，再结合条件得出，再联立圆的方程和渐近线方程求出四个交点的坐标，从而求出结果.
【详解】如图，因为以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点，则，
又因为，所以，，又为的中点，所以在直角中，，所以，所以渐近线，即，又，所以，故以为直径的圆的方程为，联立，解得或，即，同理可得，由双曲线的对称性，易知四边形为矩形，所以四边形的面积为.
故选：A.
12．（2023·四川凉山·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上任意一点．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先求出，根据正弦定理可求出外接圆的半径再利用三角形的面积等于三个小三角形的面积之和求得，由斜三角形的面积公式求得，联立两式可求出，代入消去，由基本不等式即可求出的最大值.
【详解】如图，
由得，则，
由正弦定理得，即，所以.
设内切圆的圆心为,连接,则到的距离均为.
所以
，
又因为，
所以，即，
所以
，当且仅当时等号成立.
所以的最大值为.
故选：C
13．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.
【详解】由可得，准线方程为，
直线，
联立，消去并整理得，，
设直线与抛物线的两个交点为，，
则，
所以直线截抛物线所得弦长为.
故选：B
14．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解.
【详解】
依题意，可得，则，
又因为直线l垂直平分线段，所以，
因为直线l与C存在公共点，
所以，即，
则，即，解得，
所以双曲线C的离心率的取值范围是.
故选：B
15．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设，则作差得.因为，所以P是线段AB的中点，所以，则直线l的斜率.
故选：A
16．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左 右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若的最大值是的最小值的倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】先根据已知得的表达式，利用二次函数的知识求出的最大值，再利用椭圆的定义 性质及二次函数的知识求出的最小值，从而可得，即，结合求解即可.
【详解】依题意得，
设，则，
由题意知，故，
又，所以当时，取得最大值.
因为，
所以，
因为，
所以当或时，取得最小值，为，
又的最大值是的最小值的倍，
所以，即，
又，所以，得或.
又不满足，满足，所以，
故选：D.
17．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，动点为抛物线上一点（与轴不垂直），过点作轴于点，作交轴于点，若（），则实数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义数形结合求解.
【详解】在中，，即，
则．
，则，则．
利用勾股定理得到
所以．
过点作抛物线准线：的垂线，垂足为，
由抛物线的定义得，则数形结合可知，
所以，由（）得，
故实数的最大值为9，
故选:C．
18．（2023·湖北十堰·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.
【详解】
由题可知，的面积为，则．
则有,准线方程为，，
Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，
所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．
故选：B
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线上有三点，，，点的纵坐标为2，，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别用表示出和点到直线的距离，然后利用导数求最值，即可得到本题答案.
【详解】由题意得，，则，
由，得，
设直线：，代入抛物线方程得，
可得，得，
，
点到的距离为，
故，
由，，得，即，又，则，
设，则，
易得当且仅当时，取得最大值，为，
故最大值为.
故选：C
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合可确定曲线上的点的位置，结合双曲线和圆的图象可确定曲线的图象，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，
由得：或，
由得：或或或，
由此可得曲线的图象如下图所示，
由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；
实数的取值范围为.
故选：B.
21．（2023·吉林·统考模拟预测）已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.
【详解】设，，，，，
，，，
所以，即，①
设直线:，联立抛物线方程，
得，得，，②，
将②代入①得，
所以，因为直线与垂足，则，
则四边形面积
，当时，等号成立，
所以四边形面积的最小值是8.
故选：B
22．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）如图，已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OA与双曲线C有交点
B．若，则
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
【答案】D
【分析】通过求出直线的方程判断其为双曲线的渐近线，从而判断A，利用双曲线的定义判断B，结合双曲线的定义和余弦定理判断C，由与渐近线的倾斜角关系求得，再变形后求得离心率，判断D．
【详解】设（-c，0），（c，0），由题意可知，所以，从而直线的斜率为，由此，直线OA的斜率为，其方程为，恰好是C的一条渐近线，所以直线OA与双曲线C无交点，A错误；
由双曲线的定义及2a，又，则，B错误；
由，得，再由双曲线的定义，得；在中，由余弦定理，得，化简得，所以C的渐近线方程为，C错误；
由及，得；设直线ON的倾斜角为α，则=，又，又，所以，解得，所以，D正确.
故选：D.
23．（2023·河南安阳·统考三模）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆离心率为可得之间的关系，设，代入椭圆方程可得，由可推出，即可得，即可求得答案.
【详解】由椭圆离心率为，知，
由题意可设，则，
由可得，即，
结合可得，故，则，
所以直线的方程为，
故选：B
24．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】A
【分析】设出直线，的方程，联立抛物线，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，再根据四边形ADBE对角线垂直求出面积，利用均值不等式求最值即可.
【详解】由题意抛物线的焦点为，显然，斜率存在且不为0，
设直线方程为，设，，由，得，
则，即，
设直线的方程为，设，，
则，即，
∴，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A．
25．（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义得点的轨迹方程，然后设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而求出的最小值.
【详解】由题意可知点到直线的距离等于点到点的距离，
所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且焦点到准线的距离，
所以点的轨迹方程为．
设，则点到直线的距离
，所以的最小值为．
故选：A．
26．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】B
【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出点的位置为斜率为的直线和抛物线的切点时面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.
【详解】
不妨设，由题可得无解，
否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，
故，解得.
由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.
令，不妨，则，
又点到直线的距离为，
则，解得（舍去）.
故选：B
27．（2023·河北·统考模拟预测）过椭圆C：上的点，分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C．－9 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆的切点弦方程得直线AB的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理计算即可.
【详解】先证椭圆的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为，
证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得：
，
则，
代入切线方程得，
于是，从而切线方程为，
整理得：
由椭圆方程，知，，所以．
设两切线交点，易得切线PA的方程为，
切线PB的方程为．
由于点P在切线PA、PB上，
则，故直线AB的方程为，
联立方程，消去得，显然，
由韦达定理得．
即的最小值为．
故选：B．
二、多选题
28．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
【答案】AD
【分析】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，可得出椭圆在点处的切线方程，设点，写出直线的方程，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】设点、，先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，
由题意可得，
联立可得，即，
即方程组只有唯一解，
因此，椭圆在其上一点处的切线方程为，
同理可知，椭圆在其上一点处的切线方程为，
因为点为直线上一点，设点，
则有，即，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
对于A选项，当点的坐标为，即，此时直线的方程为，
由可得，即点，此时，A对；
对于B选项，当的坐标为时，即时，此时，直线的斜率为，B错；
对于C选项，联立可得，
，由韦达定理可得，，
，同理，
所以，
，
因此，恒为锐角，C错；
对于D选项，若点为椭圆的上顶点，则轴，此时，
所以，点不是椭圆的上顶点，线段的中点为，
所以，，，
存在点，使得，则，则，
化简可得，因为，，
所以，，即，
因为，解得，
因此，存在点，使得，D对.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的切点弦所在直线的方法如下：
（1）求出两切线与曲线的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程；
（2）写出曲线在切点处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程.
29．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图，已知是抛物线的焦点，过点和点分别作两条斜率互为相反数的直线，交抛物线于四点，且线段相交于点，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】A选项，设出直线，与联立，得到两根之和，两根之积，同理得到，与双曲线方程联立，表达出，相加后得到，A正确；B选项，在A选项的基础上，作出辅助线，找到角度相等，证明相似，得到B正确；C选项，在B的基础上得到所以∽，，C正确；D选项，在BC基础上，得到面积之比，得到D错误.
【详解】A选项，显然两直线的斜率均存在且不为0，
由题意得，设直线，与联立得，
设，则，
设直线，与联立得，
设，则，
则，，
则
，A正确；
B选项，延长交轴于点，延长交轴于点，
因为，所以，
因为直线的斜率互为相反数，所以，
故，即，
又，所以∽，故，
所以，B正确；
C选项，因为，且，所以∽，故，C正确；
D选项，由BC选项可知，由于与不一定相等，故D错误.
故选：ABC
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）抛物线：，是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．为钝角 D．若，直线与的斜率之积为
【答案】ACD
【分析】求得的最小值判断选项A；求得的最小值判断选项B；求得的范围判断选项C；求得直线与的斜率之积判断选项D.
【详解】选项A：设，所以，因为，
所以，A正确；
选项B：设，所以点轨迹为，
设，，，
又因为，
所以，B错误；
选项C：设，
又因为，所以，
，所以，
，又因为
所以为钝角，C正确，
选项D：设，因为，所以，
所以，
所以
所以，
又因为，所以，
即，即，D正确.
故选：ACD
31．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知抛物线C：，点，点，直线过M与抛物线C交于，则（ ）
A． B．直线:
C．若时， D．若时，过两切点分别作切线交于点Q，
【答案】ABC
【分析】设直线方程，联立方程组，利用判别式可得结果判断A，B选项；再计算通经及面积的最小值判断C，D选项.
【详解】由抛物线C：与直线联立方程组化简为：，
则，A正确；
由于，则，
所以，B正确；
若时，则点是焦点，可得，
则，
当时，取到最小值，C正确；
设，直线，
联立，整理得，则．
设过点A的切线方程为，
联立，整理得，
由，可得，
则过点A的切线方程分别为：，可得，
同理可得过点的切线斜率为，过点B的切线方程为：，
联立方程，解得，
即，所以两条切线的交点在准线上，则，
又因为直线的斜率为，（也成立），
如图，设准线与轴的交点为，
的面积，
当轴时，最短（最短为），也最短（最短为），
此时的面积取最小值，D不正确.
综合上述，ABC正确.
故选：ABC.
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由题知，设直线为，，，联立方程，消去得，根据韦达定理可得，，然后根据直线与抛物线的位置关系，焦点弦性质，均值不等式，求导逐个计算即可.
【详解】由抛物线方程可知，
设直线为，，，
联立方程，消去得，
所以，，
由抛物线的定义可知，，
又点是圆的圆心，
所以 ，，
所以，选项A正确；
因为，
由上述可知，，当且仅当时等号成立，
所以，选项B正确；
因为，
由上述可知，所以，
所以，其中，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，选项C错误；
因为，
由上述可知，，当且仅当，即，时等号成立，
所以，选项D错误；
故选：AB
33．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，四边形ABF1F2为矩形
C．若，则
D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义与对称性可判断A；求出，的坐标，即可判断B；设，若，则，又，求得，即可判断C；若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，代入椭圆方程可得，即可判断D.
【详解】
由椭圆与关于轴对称，可得，故A正确；
当时，可得，又，
则，则四边形为矩形，故B正确；
设，则，
若，则，又，
联立消元得，解得，故C错误；
若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，
代入椭圆方程可得，故当时，四边形为平行四边形，故D正确．
故选：ABD．
34．（2023·全国·校联考二模）设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．以为直径的圆与轴相切
D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点
【答案】BCD
【分析】对于A、B、C：根据题意结合抛物线的定义分析运算；对于D：根据圆的性质结合韦达定理分析运算.
【详解】对于A：因为抛物线的准线为，设点到的距离为，
则，解得，
所以抛物线的方程为，故A错误；
可得抛物线的方程为的焦点，准线.
对于B：若，则，解得，即点在抛物线内，
可得，
当且仅当点为过点作的垂线与抛物线的交点时，等号成立，故B正确；
对于C：设的中点为，过作y轴的垂线，垂足为，则，
因为，可得，
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D：设直线，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
，
即的中点，
若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则，
即，整理得，即，
此时，满足题意，
此时直线过焦点，故D正确；
故选：BCD.
35．（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．的面积不小于的面积
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线，得，准线为,设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而得到，.进而结合抛物线定义可求解A；结合中点坐标公式可得，进而得到，进而判断B；结合弦长公式可求解C；结合两点间距离公式可求解D.
【详解】由抛物线，得，准线为.
设直线的方程为，即，设，，
联立，整理得，
则，，
所以，
.
对于A，因为，
所以，即，
联立，解得，
所以直线的方程为，即，
即直线的斜率为，故A正确；
对于B，由，，
所以，则，
代入抛物线，得，即，
则，，
所以，故B错误；
对于C，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
则，
，
因为函数在上单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D，，
即，
即，
即，
而，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线与直线相交于两点问题，常常联立直线与曲线方程，利用设而不求的思想，消元结合韦达定理可得，，进而求解问题即可.
36．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，求出双曲线的渐近线，故A正确；对于B选项， 证明为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，求出，故C错误；对于D选项，利用基本不等式求出四边形面积的最小值为，故D正确.
【详解】对于A选项，由已知可得，，∴C的渐近线方程为，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为，所以，∴为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分，故B正确；
对于C选项，延长，与的延长线交于点，则AH垂直平分，即点为的中点．又是的中点，
∴，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当，即时，等号成立．∴四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD．
37．（2023·湖北·校联考三模）已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（ ）
A．或
B．圆与抛物线的准线相切
C．在抛物线上存在关于直线对称的两点
D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有
【答案】BD
【分析】选项B分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式及其他选择即可解决.
【详解】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为
由于直线过焦点到准线的距离:
，
故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．
由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有，
，故A不正确．
过焦点，，直线的方程是，
假设抛物线上存在两点，关于直线对称，
且设直线的方程是：，
代入中，得，
所以，
，
所以的中点为，又在直线上，
，
因为中，直线不存在．
C不正确．
对于D，直线的方程为：，
代入，得
由韦达定理得，．
，
，
故D正确．
故选：BD.
三、填空题
38．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）抛物线的焦点为F，直线l的方程为：，l交抛物线于M，N两点，且，抛物线在M，N处的切线交于点P，则的面积为________．
【答案】
【分析】根据题意设点，，利用导数的几何意义求出抛物线在M，N处的切线方程，然后联立切线方程求出点的坐标，再利用弦长公式和点到直线的距离公式分别求出和点到直线的距离，进而求出面积即可.
【详解】由题意知，焦点，设点，，不妨设，
将直线的方程代入抛物线方程可得，
则，，
当时，抛物线方程可化为，对求导可得，，
所以直线的方程为①
当时，抛物线方程可化为，对求导可得，，
所以直线的方程为②
联立方程①②，得，
，
则，
所以点，
又因为，，，
则，解得，
则，
点到直线的距离，
所以的面积为，
故答案为：.
39．（2023·山西临汾·统考二模）设抛物线焦点为，从发出的光线经过抛物线上的点反射，为反射光线上一点，则的面积为___________.
【答案】4
【分析】根据题意可得轴，进而得到轴，由在抛物线上，可得，进而求解.
【详解】由题意，轴，
由可得，
因为，所以轴，
所以，即，
即，
所以.
故答案为：4.
40．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】先由函数的定义域化简函数方程，再由函数有两个零点等价于则函数图像与直线有两个交点，画出图像，由图像可知当直线在之间平移时满足题意，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程即可求出实数a的取值范围.
【详解】由得，解得，
所以函数的定义域为，
所以，
所以.
令，
由函数有两个零点得函数的图像与直线有两个交点.
由，得，左顶点为，
则曲线表示焦点在y轴的椭圆的上半部分，如图，
直线的斜率为1，当直线在之间平移时，直线与曲线有两个交点.
当直线为直线时，直线过点,所以，解得；
当直线为直线时，与椭圆相切，设切点为，
则，得切线的斜率为，
解得，代入得，
所以切线的方程为，令，得，
则，解得，
所以实数a的取值范围是，
故答案为：.
41．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是________________．
【答案】
【分析】根据离心率得到椭圆的方程为及直线的斜率，进而利用直线的斜率，写出直线的方程：，与椭圆方程联立，，利用弦长公式，由求得c，再利用基本不等式求解.
【详解】解：∵椭圆的离心率为，
∴，∴，
∴椭圆的方程为，
不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，
∵，
∴，
∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，斜率倒数为，
直线的方程：，
代入椭圆方程，整理得：，
，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，
∴
则，
当且仅当
故答案为：.
42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，直线l是曲线C的切线，，分别为，在切线l上的射影，则面积的最大值为__________．
【答案】/4.5
【分析】取切点为P，利用椭圆的光学性质设，由直角三角形三边关系可得，，根据三角形面积公式及三角函数的性质计算即可.
【详解】详解：如图，延长至，使得，
由题意可知：，故，，三点共线，
因为为斜边上的中线，故．
取切点P，连接，，作．
由椭圆的光学性质可设，
，
同理可得，
由上分析可得，时取得最大值．
故答案为：
43．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）密切圆（Osculating Circle）），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径．抛物线在顶点处的曲率半径为___________．
【答案】
【分析】根据题意，设出抛物线的内切圆方程，联立抛物线与圆的方程，结合曲率圆的定义即可得到结果.
【详解】
如图，做出抛物线的内切圆，设其内切圆的方程为，
联立，化简可得，
由曲率圆的定义可知，其与抛物线只有一个交点，
即原方程有且只有一个解，
则，即曲率半径为，
故答案为:
【点睛】解答本题的关键是数形结合，理解清楚曲率圆的定义，联立方程代入计算，即可得到结果.
四、解答题
44．（2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由双曲线的离心率求出，由双曲线过点，代入双曲线方程，结合，求出，即可得到双曲线的右焦点，即抛物线的焦点，即可求出，代入抛物线的方程即可得到答案.
(2) 设直线l的方程，联立直线l的方程和抛物线方程，消去，由韦达定理得到两根之间的关系，由得到，把转化为 ，把转化为 ，化简相加得到只含的式子，用基本不等式即可求与面积之和的最小值．
【详解】（1）如图，
因为双曲线的离心率为，所以，即，
又因为，所以，即，即，
所以双曲线的方程为.
因为双曲线过点，所以，解得，
所以，所以，
所以双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为,所以，，
所以抛物线C的方程为.
（2）如图，
设直线l的方程为，，，
则由得，
所以，
∵，∴，
又，
，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立.
所以与面积之和的最小值为.
45．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．
【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为
(2)证明见解析，6
【分析】（1）由双曲线过点和离心率求得的值，从而写出双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）由点在和上，得出直线的方程，然后联立直线与渐近线方程得到P，Q两点的坐标，利用坐标表示出，化简即得结果.
【详解】（1）因为双曲线经过点，所以.
又因为，所以，，
所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．
（2）
设点，则，即.
因为为直线和直线的交点，
所以，所以点都在直线上，
所以所在的直线方程为，
将直线与渐近线方程联立得，解得,
即，同理得，
所以，
因为
，
所以，
所以为定值6.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
46．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设的斜率为，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据已知条件，用定义法求椭圆C的标准方程；
（2）设直线，的方程，与椭圆方程联立方程组，求出M，N的坐标，求出弦长，表示出△DMN的面积，通过不等式求k的取值范围.
【详解】（1）如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，，
∴所以M点轨迹是以F，E为焦点，长轴长的椭圆，
因为，，所以，，
则，所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）知，椭圆C的方程为，，
所以直线：，：，如图所示，
设，，
联立，消去y并整理得，
所以，所以，
所以，
联立，消去y并整理得，
所以，所以，
所以，
所以，
由，得，
整理得，得，
又，所以，
所以或．
所以k的取值范围为
【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
47．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，点坐标为，当点坐标为时，点坐标为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【答案】(1)
(2)且，轨迹是去掉顶点的双曲线.
【分析】（1）令，根据题设求得即有，则有，联立双曲线，结合、在双曲线上求参数，即可得标准方程；
（2）联立与双曲线，由得，进而有，即可写出其轨迹方程，并判断轨迹曲线.
【详解】（1）由题设，，令，则，令，则，
所以，，故，
所以，可得，即且过，则，
所以，代入并整理得，
则，即，又，
所以，，故.
（2）
由（1）联立双曲线与直线，则，
所以，则，
整理得，故，，
而，令，则，令，则，
所以，显然，
故点的轨迹方程为，即且（注意：的斜率存在），
所以轨迹是去掉顶点的双曲线.
48．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）通过分析得，将其坐标代入椭圆方程，结合面积和的关系即可求出椭圆方程；
（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为，再将其与椭圆联立得到韦达定理式，通过化简得，最后计算，将上式代入即可证明其为定值.
【详解】（1）不妨设点在轴的上方,由椭圆的性质可知.
是以为直角顶点的等腰直角三角形,
代人,得,整理得.
的面积为.
故椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,
直线的方程为.
不妨设,则.
联立可得,
,则,
，即，
，
故得证.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键第一是要找到正切值与直线斜率的关系，再通过设直线的方程为，将与椭圆联立，利用化积为和的方法得到，最后再计算斜率比值为定值，化积为和是处理非对称韦达形式的常用方法.
49．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆.
(1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切；
(2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）当时，联立直线与椭圆方程，利用判别式计算判断，再验证的情况作答.
（2）设出切点坐标，利用（1）的结论，求出二切线方程，再求出点A，B的横坐标，借助三角形面积公式求出点P的轨迹方程即可作答.
【详解】（1）当时，，直线与椭圆相切，当时，，
由消去y并整理得，
所以，有
所以直线与椭圆相切.
（2）设，则由（1）得：，而二切线过点，则有，
因此是方程的两个解，即直线的方程为：，
设点，由解得，同理：，
，，
又，解得，
，即，整理得，
取点的轨迹方程为，此时点的轨迹是焦点为，实轴长为8的双曲线，
所以在轴上存在点，使得||成立.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
50．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；
（2）根据题意分析可得，分类讨论直线的斜率是否存在，根据点在椭圆上，利用韦达定理可得，结合弦长公式和点到直线的距离运算求解.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，则，解得，
所以椭圆方程为.
（2）因为，则四边形为平行四边形，
所以.
①若直线的斜率不存在，此时点为长轴顶点，不妨取，
设，则，解得，
则；
②若直线斜率存在时，设方程：，
联立方程组得，消去可得：，
由，整理得，
则，
可得，
所以.
因为点在椭圆上，则，
所以，满足，
则，
又因为点到直线的距离，
所以；
综上所述：面积为定值，且定值为.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
51．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.
(1)设直线的斜率为，求的取值范围.
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）设，，，，直线的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出k的范围，设直线的方程为，利用韦达定理求出，即可求解；
（2）直线的方程为，令，解得x为定值，得证，求出定点即可.
【详解】（1）解：设直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：
设，，，.
由可得：或，
直线的方程为：和双曲线方程联立消去可得：
，
所以：，
所以：，
同理：，
所以：
所以：，
由双勾函数的单调性可知，当，即时有最值，而或，
当时，，当时，，
所以.
（2）直线的方程为：，令，
可得：
，
所以直线过定点.
【点睛】求定点定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊位置入手，求出定点定值，再证明这个定点定值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点定值．
52．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P.若椭圆的右顶点为B，且.
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的焦距为2，直线l过点B且不与坐标轴垂直.设l与椭圆C1相交于不同于B的另一点D，l与抛物线C2相交于不同于的两点M、N，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点，由已知可得，抛物线焦点即为点，根据抛物线的定义可推得，进而得出，代入椭圆的方程，整理化简可得，根据的关系即可得出；
（2）由已知得出椭圆以及抛物线的方程，可设直线l的方程为，联立直线与椭圆以及抛物线的方程，根据韦达定理以及弦长公式得出，，代入已知化简可得，变形有，然后结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】（1）设点，
由已知，可得抛物线焦点坐标为，恰好为椭圆的右顶点，
则根据抛物线的定义可知，，所以.
因为点P在第一象限，代入抛物线方程得.
又点P在椭圆上，代入椭圆方程得，化简得.
又，所以，
则椭圆E的离心率.
（2）由已知可得，，所以，，
所以椭圆C1的方程为.
抛物线C2的方程为，且，.
设直线l的方程为，且.
设点，联立l与，得，
所以，所以，
所以.
设点，，
联立l与，得，得.
则，所以，
所以.
因为，所以，
化简得，，所以，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
所以实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：设出直线方程，联立直线与圆锥曲线的方程，根据韦达定理以及弦长公式得出弦长.根据已知，化简整理得出关系式，再求出参数的取值范围.
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专题24 直线与圆锥曲线的位置关系
一、单选题
1．（2023·北京海淀·统考二模）已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川自贡·统考三模）已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2 B．－2P C．－4 D．－4P
3．（2023·江西宜春·统考一模）已知双曲线的左 右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，若的内心分别为，则与面积之和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线m与抛物线C切于点P，交x轴于点A．直线n经过点P，与x轴交于点B，与C的另一个交点为Q，若，则下列说法错误的是（ ）
A．PA的中点在y轴上 B．
C．存在点P，使得 D．的最小值为
5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西·校联考二模）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A． B． C． D．
9．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知抛物线C：，圆C′：，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若△PMN为直角三角形，则圆C′的面积为；
②；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线，分别交的两条渐近线于两点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为；
②直线的方程为；
③直线截双曲线所得弦长为3；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·四川凉山·三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M是椭圆上任意一点．当点M不在x轴上时，设的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
13．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
16．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左 右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若的最大值是的最小值的倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．
17．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，动点为抛物线上一点（与轴不垂直），过点作轴于点，作交轴于点，若（），则实数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
18．（2023·湖北十堰·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线上有三点，，，点的纵坐标为2，，且，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023·吉林·统考模拟预测）已知点是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点和，且，则四边形面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
22．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）如图，已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OA与双曲线C有交点
B．若，则
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
23．（2023·河南安阳·统考三模）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过坐标原点作直线交椭圆于两点，若，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
25．（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
27．（2023·河北·统考模拟预测）过椭圆C：上的点，分别作C的切线，若两切线的交点恰好在直线：上，则的最小值为（ ）
A． B． C．－9 D．
二、多选题
28．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）
A．当点的坐标为时，
B．当点的坐标为时，直线的斜率为
C．存在点，使得为钝角
D．存在点，使得
29．（2023·浙江金华·统考模拟预测）如图，已知是抛物线的焦点，过点和点分别作两条斜率互为相反数的直线，交抛物线于四点，且线段相交于点，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·福建厦门·统考模拟预测）抛物线：，是上的点，直线与交于两点，过的焦点作的垂线，垂足为，则（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为1
C．为钝角 D．若，直线与的斜率之积为
31．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知抛物线C：，点，点，直线过M与抛物线C交于，则（ ）
A． B．直线:
C．若时， D．若时，过两切点分别作切线交于点Q，
32．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ）．
A． B．
C． D．
33．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，四边形ABF1F2为矩形
C．若，则
D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
34．（2023·全国·校联考二模）设抛物线的焦点为为其上一动点.当运动到点时，，直线与抛物线相交于两点，点.下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为6
C．以为直径的圆与轴相切
D．若以为直径的圆与抛物线的准线相切，则直线过焦点
35．（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．的面积不小于的面积
D．
36．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为
37．（2023·湖北·校联考三模）已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（ ）
A．或
B．圆与抛物线的准线相切
C．在抛物线上存在关于直线对称的两点
D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有
三、填空题
38．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）抛物线的焦点为F，直线l的方程为：，l交抛物线于M，N两点，且，抛物线在M，N处的切线交于点P，则的面积为________．
39．（2023·山西临汾·统考二模）设抛物线焦点为，从发出的光线经过抛物线上的点反射，为反射光线上一点，则的面积为___________.
40．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．
41．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是________________．
42．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，直线l是曲线C的切线，，分别为，在切线l上的射影，则面积的最大值为__________．
43．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）密切圆（Osculating Circle）），也称曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P，会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线在点P处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径．抛物线在顶点处的曲率半径为___________．
四、解答题
44．（2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值．
45．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．
46．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．
(1)以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线，，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设的斜率为，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．
47．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，点坐标为，当点坐标为时，点坐标为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
48．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．
49．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆.
(1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切；
(2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
50．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
51．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.
(1)设直线的斜率为，求的取值范围.
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.
52．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P.若椭圆的右顶点为B，且.
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的焦距为2，直线l过点B且不与坐标轴垂直.设l与椭圆C1相交于不同于B的另一点D，l与抛物线C2相交于不同于的两点M、N，且，求实数的取值范围.
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