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专题29 随机变量及其分布
一、单选题
1．（2023·上海浦东新·统考三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川自贡·统考三模）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．（2023·四川凉山·三模）样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）．
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
5．（2023·河北·统考模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（ ）
A．300元 B．元 C．350元 D．元
6．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（ ）
（参考数据：若，则，，．）
A． B． C． D．
7．（2023·河北唐山·统考三模）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津·三模）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲 乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．的数据较更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D．
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·广西·统考模拟预测）在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，则下列结论中不正确的是（ ）
A．这次测试的平均成绩为
B．越小，测试成绩在内的概率越大
C．测试成绩小于分和大于分的概率相等
D．测试成绩大于分的概率大于
11．（2023·浙江宁波·统考二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·上海嘉定·统考二模）有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学期望的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ）
A．存银行 B．房产投资
C．商业投资 D．房产投资和商业投资均可
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3 B．0.46 C．0.54 D．0.7
15．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（ ）．
A． B． C． D．
16．（2023·河北衡水·模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为，第四次投完皮球首次中奖的概率记为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·云南昆明·统考模拟预测）随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（ ）
A．50% B．60% C．70% D．80%
18．（2023·重庆·统考模拟预测）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
20．（2023·吉林·统考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
21．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·江西·校联考二模）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
二、多选题
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设随机变量，随机变量，则（ ）
A． B．，
C． D．
26．（2023·山东聊城·统考二模）某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
27．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
28．（2023·山西晋中·统考三模）下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·湖北·统考二模）已知随机事件的概率分别为，且，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互对立
C． D．
30．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（ ）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5
31．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（ ）
A． B．服从标准正态分布
C． D．
32．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（ ）
A．取出个球，取到红球的概率为
B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为
C．取出个球，第二次取到红球的概率为
D．取出个球，取到红球个数的均值为
33．（2023·湖北·统考二模）以下说法正确的有（ ）
A．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为5.5
B．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点
C．若，，则事件A，B相互独立
D．若随机变量，则取最大值的必要条件是
三、填空题
34．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为_____________．
35．（2023·山东滨州·统考二模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差________．
36．（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．
37．（2023·全国·校联考模拟预测）在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是___________．
38．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为__________.
39．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则________．
四、解答题
40．（2023·浙江温州·统考三模）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
41．（2023·全国·校联考二模）在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：
(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；
(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项 两个选项 二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.
42．（2023·全国·校联考模拟预测）某公司生产A，B两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒有12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．
(1)小明看中了A型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他己经拥有．小明从中随机购买2款，若他购买到1款他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式玩偶，积1分．设X表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X的分布列和数学期望；
(2)五一前，该公司推出C，D两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买C，D两种型号盲盒的概率都是．如果上次购买C型号盲盒，则这次购买C型号盲盒的概率为，购买D型号盲盒的概率为；如果上次购买D型号盲盒，那么这次购买C，D型号盲盒的概率都为．如此重复．设一名爱好者第n次购买C型号盲盒的概率为Pn．
①求Pn；
②如果这名爱好者长期购买C，D型号盲盒，试判断该爱好者购买C型号盲盒的概率能否达到．
43．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
44．（2023·江西九江·统考三模）人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件．
(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望：
(2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案．
45．（2023·山西晋中·统考三模）晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为，求．
46．（2023·浙江·校联考模拟预测）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．
(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．
47．（2023·甘肃·模拟预测）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的5000名旅行者进行满意度调查，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这些旅行者中，满意度得分在60分及以上的有多少人？
(3)若将频率视为概率，从得分在80分及以上的旅行者中随机抽取3人，用表示这3人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
48．（2023·四川南充·统考三模）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．
投资额（百亿元） 2 3 4 5 6 8 9 11
收入附加额（百亿元） 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；
(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：在线性回归方程中，，．
49．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为了迎接国庆，某市购进一批盆栽花卉，在市民广场摆放成花卉图案.该批花卉的品种共有四种（记为），且每种花卉均有100盆.
(1)现由甲 乙两人将这批花卉摆放成花卉图案，两人合作摆放完一种花卉后，再合作摆放下一种花卉.设甲摆放种花卉的盆数为随机变量，乙摆放种花卉的盆数为随机变量.证明：随机变量的方差相同；
(2)在这四个品种的花卉中，每个品种挑出3盆，将挑出的12盆花卉摆放在一起，小王在这12盆花卉中再挑三盆，记这三盆花中花卉的品种数为，求的分布列和数学期望.
50．（2023·吉林·统考模拟预测）随着消费者对环保 低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车 纯电动汽车 燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车.
(1)若从中随机抽检2台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；
(2)若从每日生产的120台型汽车中随机地抽取10台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.
参考数据：（概率值精确到0.00001）
二项分布概率值 超几何分布概率值
0 0.05631 0.04929
1 0.18771 0.18254
2 0.28157 0.29051
3 0.25028 0.26134
4 0.14600 0.14701
5 0.05840 0.05396
6 0.01622 0.01307
7 0.00309 0.00206
8 0.00039 0.00020
9 0.00003 0.00001
10 0.00000 0.00000
总计 1.00000 1.00000
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专题29 随机变量及其分布
一、单选题
1．（2023·上海浦东新·统考三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案.
【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1，
显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0，
B选项满足要求.
故选：B
2．（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.
【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
3．（2023·四川自贡·统考三模）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据新旧方差之间的关系计算即可.
【详解】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差，
则新数据随机变量可表示为，根据方差公式可知.
故选：A.
4．（2023·四川凉山·三模）样本数据的平均数，方差，则样本数据的平均数，方差分别为（ ）．
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
【答案】A
【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差.
【详解】由题设，，
所以，.
故选：A
5．（2023·河北·统考模拟预测）2022年7月24日14时22分，搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭成功发射，令世界瞩目．为弘扬航天精神，M大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加，学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为，；B通过初赛、复赛的概率分别为，，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X元，则X的数学期望为（ ）
A．300元 B．元 C．350元 D．元
【答案】B
【分析】求出X的可能取值及对应的概率，得到数学期望.
【详解】由题知X的所有可能取值为150，250，350，450，
，
，
，
，
所以数学期望（元）．
故选：B．
6．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（ ）
（参考数据：若，则，，．）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知，，利用原则可求得的值.
【详解】由已知可得，，则，，
所以，
.
因此，一般人群中智商优秀所占的比例约为.
故选：A.
7．（2023·河北唐山·统考三模）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.
【详解】设事件表示从第一箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，
则，
故选：D
8．（2023·天津·三模）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲 乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）
A．的数据较更集中
B．
C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D．
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.
【详解】解：由题意得：
即，
化简得：，
又k为整数,可得,所以，
故选：C．
10．（2023·广西·统考模拟预测）在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，则下列结论中不正确的是（ ）
A．这次测试的平均成绩为
B．越小，测试成绩在内的概率越大
C．测试成绩小于分和大于分的概率相等
D．测试成绩大于分的概率大于
【答案】D
【分析】根据正态密度曲线的特点可以判断、、；正态密度曲线的特点结合方差的意义可以判断.
【详解】对于选项：正态分布中，括号里面表示随机变量服从均值为，方差为的正态分布，
因为成绩服从正态分布，所以是正确的.
对于选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，
所以越小，测试成绩在内的概率越大，所以是正确的.
对于选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于分和大于分的概率相等，所以是正确的.
对于选项：测试成绩大于110分的概率等于0.5，所以错误.
故选：D．
11．（2023·浙江宁波·统考二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．
【详解】根据题意，且，则，
由正态曲线得，所以．
故选：C．
12．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求
【详解】由题意，可能取值为2，3
包含事件为取出的两个球为1，2
所以
包含事件为取出的两个球为1，3或2，3
所以
，
.
故选：A.
13．（2023·上海嘉定·统考二模）有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学期望的角度来看，该笔资金如何处理较好（ ）
A．存银行 B．房产投资
C．商业投资 D．房产投资和商业投资均可
【答案】D
【分析】计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可.
【详解】房产投资的收益平均值为：，
商业投资的收益平均值为：，
因为，所以房产投资和商业投资均可.
故选：D
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（ ）
A．0.3 B．0.46 C．0.54 D．0.7
【答案】C
【分析】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，根据A，B不去同一城市上大学的概率为即可求解.
【详解】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，
则,,
则A，B不去同一城市上大学的概率为.
故选:C.
15．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用古典概率求出至少有两个球颜色相同的概率，再求出两球颜色相同、另外两球颜色不同的概率即可求解作答.
【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为，两球颜色不同的事件为，
因此，，
所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为.
故选：C
16．（2023·河北衡水·模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）(4)四个区域，顾客将一皮球投进区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域(4)三次，便视为中奖，投球停止，且投球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为，投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投完皮球首次中奖的概率记为，第四次投完皮球首次中奖的概率记为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据条件，理解和对应的事件，再根据独立事件的概率公式求解概率，根据后，即可求解.
【详解】小王投进区域（3）的概率为，投进区域(4)的概率为，故.
小王第二次投完皮球后，首次中奖包含“第一次区域（1）（2）均末投中，第二次投中区域（1）或（2）”和“第一次与第二次均投中区域（3）"两个事件，
则概率为.
第四次投完皮球后，首次中奖，需前三次投完后有一次投进区域（3），有两次投进区域(4)，
因此，令，
得，解得，又，所以.
故选：C.
17．（2023·云南昆明·统考模拟预测）随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（ ）
A．50% B．60% C．70% D．80%
【答案】C
【分析】计算出回答①对于画√号的贡献率，进而得到回答②对于画√号的贡献率，由贝叶斯概率公式进行求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况，
其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件，则共有2种情况满足要求，
则，，
设回答①且画√号为事件，则，则，
设回答②且画√号为事件，
则，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为.
故选：C
18．（2023·重庆·统考模拟预测）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率加法公式求出同时患感冒和患鼻炎的概率，再由条件概率公式计算即可得解.
【详解】设某人在春季里鼻炎发作为事件A，某人在春季里感冒发作为事件B，
则，
则,
由概率加法公式知，
可得
则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为：.
故选：B
19．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．1070 B．2140 C．4280 D．6795
【答案】A
【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.
【详解】由题设
，
所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.
故选：A
20．（2023·吉林·统考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
【答案】D
【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.
【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；
B选项，若随机变量服从两点分布，且，
即分布列为：
0 1
所以
0 2
故，则，B正确；
C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；
D选项，随机变量，令，
即，解得，
因为，所以或3，
则的分布列中最大的有或，D错误.
故选：D
21．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解.
【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为，
则，
记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为，
而两两互斥，其和为，
所以，
记第二次抽到黄球的事件为B，
则，
故选:D．
22．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2023年1月至4月，曲靖市辖区内长期没有下雨，4月份处于严重干旱状况，广大市民必须加强节约用水意识，家家户户都要节约用水.为了督促市民节约用水，曲靖市水务投资公司对居民生活用水实行阶梯水价制度进行收费，其收费标准如下：一户居民每月用水量不超过15吨时，收费单价为3.5元/吨；超过15吨但不超过20吨时，超出15吨部分的收费单价为4.75元/吨；超过20吨时属于严重超标，超出20吨部分的收费单价为6元/吨.某学生社团对某生活区的住户进行用水量调查，该生活区的某单元内居住着3户人家，每户月用水量严重超标的概率均为且相互独立，该单元有至少两户人家月用水量严重超标的概率为，当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件为：该单元有3户人家月用水量严重超标，求出，可得，将各选项代入验证可得答案；
或者，令，求出方程的根可得答案.
【详解】设事件为：该单元有2户人家月用水量严重超标，事件为：该单元有3户人家月用水量严重超标，则，
即，
将各选项代入验证发现，唯有满足要求，故A正确；
或者，令，整理为：，
所以或，因为，所以.
故选：A.
23．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.
故选：A.
24．（2023·江西·校联考二模）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2
【答案】B
【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据种不同的取法，每种取法里三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生，其中可产生计数为的球的情况有种，再算出其中不同取法里球个数各自的概率，即可计算出期望.
【详解】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，
可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.
取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，
每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，
所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.
①若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
则符合条件的情况数为.
②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后产生计数为的球的情况有：
，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种；
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
则符合条件的情况数为.
③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，
碰撞之后不产生计数为的球的情况有：
每个球之间无效碰撞次，计数结果为，有种；
则碰撞之后产生计数为的球的情况有种，符合条件的情况数为.
④若取出的三个球均为球，有种取法，
碰撞之后不产生计数为的球的情况有：
每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种；
每个球之间无效碰撞次，计数结果为，有种；
则碰撞之后产生计数为的球的情况有种，符合条件的情况数为.
所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，
设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，
则随机变量所有可能取值的集合是，
，
，
，
，
故的分布列如下表：
数学期望，
所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.
故选：.
二、多选题
25．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设随机变量，随机变量，则（ ）
A． B．，
C． D．
【答案】AC
【分析】根据正态分布的性质以及参数函数即可结合选项逐一求解.
【详解】由随机变量，随机变量知， ，故A正确，B错误，
由于随机变量服从正态分布，对称轴为,所以，故C正确，
由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为轴,但是，
在正态密度曲线中，的峰值较高，正态曲线越瘦高，随机变量分布比较集中，
所以，故D错误，
故选：AC
26．（2023·山东聊城·统考二模）某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）
A．该平台女性主播占比的估计值为0.4
B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
【答案】AC
【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.
【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，
青年人人数为，中年人人数为，
由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，
其他人群中，女性人数为，
故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；
B选项，中年人中男性人数为，
故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；
C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，
故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；
D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，
则，，，D错误.
故选：AC
27．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：由上可得，
又因为，故D错误，
故选：BC．
28．（2023·山西晋中·统考三模）下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据条件概率公式及事件相互独立的意义判断选项求解即可.
【详解】，
，不能说明随机事件A与随机事件B相互独立，故A不正确；
，,
，化简得,
即随机事件A与随机事件B相互独立，故B正确；
，，即，随机事件A与随机事件B相互独立，故C正确；
，，由于不一定相等，不能说明A,B事件相互独立，故D不正确.
故选：BC
29．（2023·湖北·统考二模）已知随机事件的概率分别为，且，则（ ）
A．事件与事件相互独立 B．事件与事件相互对立
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意可求得再利用条件概率公式可得，由相互独立事件的定义可知，即事件与事件相互独立；显然，即事件与事件不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.
【详解】对A，根据题意可得
由条件概率公式可得，又
所以，又易知，
所以；
即满足，所以事件与事件相互独立，即A正确；
对B，又，不满足，所以事件与事件不是相互对立事件，即B错误；
对C，易知，即C正确；
对D，由条件概率公式可得，所以D错误.
故选：AC
30．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（ ）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5
【答案】BCD
【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.
【详解】解：因为，所以，所以A错误．
因为，所以，所以B正确．
，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．
因为，所以，又因为，所以，则，
所以，
若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．
故选：BCD
31．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知我市某次考试高三数学成绩，从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于80分的人数为，则（ ）
A． B．服从标准正态分布
C． D．
【答案】AD
【分析】确定，，，根据对称性得到A正确，服从标准正态分布，B错误，，计算得到C错误，D正确，得到答案.
【详解】，故，，，
对选项A：根据正态分布的对称性得到，正确；
对选项B：服从标准正态分布，错误；
对选项C：，则，故，错误；
对选项D：，正确.
故选：AD
32．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）一个不透明的袋子里，装有大小相同的个红球和个蓝球，每次从中不放回地取出一球，则下列说法正确的是（ ）
A．取出个球，取到红球的概率为
B．取出个球，在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为
C．取出个球，第二次取到红球的概率为
D．取出个球，取到红球个数的均值为
【答案】ABD
【分析】根据古典概型概率公式可求得A正确；根据条件概率公式可求得B正确；将第二次取到红球分为两种情况，将概率加和可求得C错误；记取到的红球数为，计算可得每个取值对应的概率，根据均值求法可求得D正确.
【详解】对于A，取出个球，取到红球的概率，A正确；
对于B，记第一次取到蓝球为事件，第二次取到红球为事件，
则，，，B正确；
对于C，若第一次取到红球，第二次也取到红球，则概率为；
若第一次取到蓝球，第二次取到红球，则概率为；
第二次取到红球的概率，C错误；
对于D，记取到的红球数为，则所有可能的取值为，
，，，；
取到红球个数的均值为，D正确.
故选：ABD.
33．（2023·湖北·统考二模）以下说法正确的有（ ）
A．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为5.5
B．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点
C．若，，则事件A，B相互独立
D．若随机变量，则取最大值的必要条件是
【答案】AC
【分析】应用百分位数的估计方法判断A；由回归直线的性质判断B；由条件概率公式，及独立性判定公式判断C；利用二项分布概率公式，结合组合数性质确定参数，由充分必要性定义判断D.
【详解】A：数列从小到大为，则，故第50百分位数为，正确；
B：回归直线不一定过样本点，但必过样本中心，错误；
C：由，则，故，
所以事件A，B相互独立，正确；
D：由，要使取最大值，
只需取最大，显然当或时最大，故是取最大的充分条件，错误.
故选：AC
三、填空题
34．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）某校高三共有1200人参加考试，数学成绩，不低于60分的同学有960人，估计90分以上同学人数为_____________．
【答案】
【分析】根据可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以90分以上同学人数为人.
故答案为：.
35．（2023·山东滨州·统考二模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差________．
【答案】/
【分析】记4次取到白球的个数为，则，可求得，结合方差的性质即可求得答案.
【详解】由题意得从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球的概率为,
记4次取到白球的个数为，则，则,
故,则,
故答案为：
36．（2023·重庆·统考三模）已知随机变量，若，则______．
【答案】/
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
根据正态分布的对称性可得，，
所以，.
故答案为：.
37．（2023·全国·校联考模拟预测）在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是___________．
【答案】
【分析】根据题意可得乙还需要胜四局比赛，分类讨论结合独立事件分析运算.
【详解】由题意可得：乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛．
若再比赛四局乙获胜，则概率为；
若再比赛五局乙获胜，则概率为；
若再比赛六局乙获胜，则概率为；
综上所述：乙在第一局负的情况下获胜的概率是．
故答案为：．
38．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为__________.
【答案】
【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
所以，故，
二项式展开式的通项，
令，可得，
所以展开式中的系数为，
故答案为：.
39．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则________．
【答案】16
【分析】由题分析可得，即得解.
【详解】∵，，
∴，∴.
故答案为：16
四、解答题
40．（2023·浙江温州·统考三模）某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.
(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；
(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)4
【分析】（1）由题意可得可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解；
（2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得，，，由，解出即可求解.
【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.
,
，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）每一轮获得纪念章的概率为，
每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，
设10轮答题获得纪念章的数量为，则，
，.
由，得，
解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.
41．（2023·全国·校联考二模）在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：
(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；
(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项 两个选项 二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，根据独立事件和互斥事件的概率公式，求得，结合条件概率的公式，即可求解.
（2）由题意得到所有可能的取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，
因为，
所以，
甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是.
（2）解：由题意知：所有可能的取值为，
设事件表示甲选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，
所以，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 2 5
所以期望为.
42．（2023·全国·校联考模拟预测）某公司生产A，B两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒有12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式．
(1)小明看中了A型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他己经拥有．小明从中随机购买2款，若他购买到1款他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式玩偶，积1分．设X表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X的分布列和数学期望；
(2)五一前，该公司推出C，D两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买C，D两种型号盲盒的概率都是．如果上次购买C型号盲盒，则这次购买C型号盲盒的概率为，购买D型号盲盒的概率为；如果上次购买D型号盲盒，那么这次购买C，D型号盲盒的概率都为．如此重复．设一名爱好者第n次购买C型号盲盒的概率为Pn．
①求Pn；
②如果这名爱好者长期购买C，D型号盲盒，试判断该爱好者购买C型号盲盒的概率能否达到．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)①；②不能
【分析】(1)由题知，的可能取值为-4，-2，0，2，4，6，分别求出对应的概率，即可得出分布列，求出期望.
(2)分析得，继而判断出是以为首项，为公比的等比数列，然后求出，即可得出结论.
【详解】（1）由题意，知的所有可能取值为-4，-2，0，2，4，6，
，，，，，，
所以X的分布列为
X -4 -2 0 2 4 6
P
所以．
（2）①记一名爱好者第n+1次购买C型号盲盒的概率为，则，
即，所以．
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
②因为，
所以这名爱好者购买C型号盲盒的概率不能达到．
43．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.
【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
44．（2023·江西九江·统考三模）人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标，当时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件．
(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量的分布列和数学期望：
(2)已知P，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)，从工厂盈利的角度应选择方案一
【分析】（1）求出ξ的可能取值及概率，得到分布列，得到期望值；
（2）由正态分布的对称性得到产品的次品率，记Y为这批产品的次品数量，则计算出若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望，和选择方案一，二的数学期望，得到不等式，计算出的取值范围，并用作差法得到，选择方案一.
【详解】（1）由题意可知的可能取值为1,2,3，
∴ξ的分布列如下：
1 2 3
P
．
∴．
（2）∵且，
∴．
∴这批产品的次品率为
设该工厂生产的这批产品有n件，记Y为这批产品的次品数量，则
若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望为．
若选择方案一，
则该工厂的利润的期望为
令，解得．
若选择方案二，
假设抽样检测件，则检测出的次品的期望为0.04m件，不检测的产品有件，则该工厂的利润的期望为
令，解得．
则，
∵，且，
∴．
∴，并从工厂盈利的角度应选择方案一、．
45．（2023·山西晋中·统考三模）晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是，选择自然景观的概率为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由题意可知X服从二项分布，利用，求解即可；
（2）由题意可推出时，方法一：构造出为常数数列，进而构造出是为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可；方法二：是为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出其通项，再根据累加法即可求解.
【详解】（1）由题可知，（或者列出分布列）
于是，．
（2）法一：由题可知，．
时，
也即，
∴为常数数列，且，
∴，∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，∴．
法二：由题可知，．
时，
也即，
∴是以为首项、为公比的等比数列，
∴，
，
……
，
相加得：，
∴,又也满足，
所以.
46．（2023·浙江·校联考模拟预测）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．
(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)甲同学先回答A类问题的期望大，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，求出随机变量X的取值，利用相互对立事件的乘法公式求出随机变量相应取值的概率，进而求出随机变量X的分布列，结合离散型随机变量的均值公式即可求解；
（2）选择①，据已知条件，求出随机变量X的分布列，结合离散型随机变量的均值公式及作差比较法，结合离散型随机变量的均值的意义即可求解；
选择②，据已知条件，求出随机变量X的分布列，结合离散型随机变量的均值公式及作差比较法，结合离散型随机变量的均值的意义即可求解；
【详解】（1）由题意得X的可能取值为0，20，100．
，
，
，
分布列如下表：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
．
（2）如果选择条件①．
若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为
0 m
P
．
若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为
0 n
P
．
所以，
所以甲同学先回答A类问题的期望大．
如果选择条件②．
若甲同学选择先回答A类问题，得到对应的分布列为
0 m
P
.
若甲同学选择先回答B类问题，得到对应的分布列为
0 n
P
.
所以，
所以甲同学先回答A类问题的期望大．
47．（2023·甘肃·模拟预测）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的5000名旅行者进行满意度调查，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这些旅行者中，满意度得分在60分及以上的有多少人？
(3)若将频率视为概率，从得分在80分及以上的旅行者中随机抽取3人，用表示这3人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)4000
(3)分布列见解析，1
【分析】（1）由频率之和为1，得出的值；
（2）计算满意度得分在60分及以上的频率，进而得出满意度得分在60分及以上的人数；
（3）计算得分在的频率，由二项分布得出随机变量的分布列及数学期望.
【详解】（1）由题意，得，解得.
（2）由频率分布直方图，得满意度得分在60分及以上的频率是，
∴满意度得分在60分及以上的人数约为.
（3）∵得分在与的旅行者比例为，
∴从得分在80分及以上的旅行者中抽取1人，此人得分在的概率为，
∵抽取3人，得分在中的人数为，∴，
则，，1，2，3，
∴的分布列为
0 1 2 3
∴.
48．（2023·四川南充·统考三模）近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．
投资额（百亿元） 2 3 4 5 6 8 9 11
收入附加额（百亿元） 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；
(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，，．
附：在线性回归方程中，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据所给数据，利用参考公式计算，即可得出线性回归方程；
（2）根据超几何分布计算对应随机变量的概率，列出分布列、计算期望即可.
【详解】（1）由，，
得：，
由得，
所以年收入的附加额与投资额的线性回归方程为.
（2）8个投资额中，收入附加额大于投资额的企业个数为5，
故的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
则的分布列为：
0 1 2 3
故.
49．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为了迎接国庆，某市购进一批盆栽花卉，在市民广场摆放成花卉图案.该批花卉的品种共有四种（记为），且每种花卉均有100盆.
(1)现由甲 乙两人将这批花卉摆放成花卉图案，两人合作摆放完一种花卉后，再合作摆放下一种花卉.设甲摆放种花卉的盆数为随机变量，乙摆放种花卉的盆数为随机变量.证明：随机变量的方差相同；
(2)在这四个品种的花卉中，每个品种挑出3盆，将挑出的12盆花卉摆放在一起，小王在这12盆花卉中再挑三盆，记这三盆花中花卉的品种数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)证明见解析
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意及方差运算性质即可证明
（2）根据题意分别求出离散型随机变量的分布列再计算数学期望即得.
【详解】（1）由题意可知，，
所以；
所以随机变量的方差相同.
（2）的取值为，
，
，
，
故的分布列为
1 2 3
50．（2023·吉林·统考模拟预测）随着消费者对环保 低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车 纯电动汽车 燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车.
(1)若从中随机抽检2台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；
(2)若从每日生产的120台型汽车中随机地抽取10台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.
参考数据：（概率值精确到0.00001）
二项分布概率值 超几何分布概率值
0 0.05631 0.04929
1 0.18771 0.18254
2 0.28157 0.29051
3 0.25028 0.26134
4 0.14600 0.14701
5 0.05840 0.05396
6 0.01622 0.01307
7 0.00309 0.00206
8 0.00039 0.00020
9 0.00003 0.00001
10 0.00000 0.00000
总计 1.00000 1.00000
【答案】(1)答案见解析
(2)0.86556，0.88140；采用不放回抽取估计的结果更可靠
【分析】（1）若有放回抽样，则随机变量服从二项分布，根据二项分布列和数学期望，若无放回抽样，则随机变量服从超几何分布，根据组合数公式，写出概率，列分布列，再求数学期望；
（2）由条件可知，是一个随机变量，分有放回抽样和无放回抽样两种情况求，再比较大小后，即可判断.
【详解】（1）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为，且各次抽检结果是独立的，
设为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则可取，
的分布列如下：
0 1 2
则.
对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，设为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则服从超几何分布，可取
的分布列如下：
0 1 2
则.
注：也可按照下面步骤作答.
的分布列为.
的分布列为.
（2）样本中混合动力汽车的比例是一个随机变量，根据参考数据，
有放回抽取：
不放回抽取：
因为，
所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠.
（注：（2）问，可以参考人教版选择性必修三第79页例6，分别就放回抽样和不放回抽样，用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例，定量地比较估计效果，用概率的方法解释直观常识.对用同一抽取模型，两个分布的均值相同，从两种分布的概率分布看，或者从方差的大小比较（超几何分布的方差较小），都反应超几何分布更集中于均值附近.）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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