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专题26 概率
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·三模）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南郑州·三模）欧拉长方体，又称整数长方体或欧拉砖，指棱长和面对角线长都是整数的长方体．记E（a，b，c；d，e，f）为欧拉长方体，其中a，b，c为长方体的棱长，d，e，f为面对角线长．最小的欧拉长方体是．从，，，，，中任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
5．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）两名学生均打算只去甲 乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）已知P（B）=0.3，，，则=（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北·校联考三模）李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场，他的进站口被随机安排为6个进站口之一，李明到达他的进站口之后，又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一，则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川成都·三模）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西新余·统考二模）据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工提供充电便利，在停车场开展充电桩安装试点.如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域（停车前所有车位都空置），请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·河南郑州·模拟预测）在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·北京海淀·统考二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河南·模拟预测）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·山西晋中·统考三模）田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）马林 梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·四川凉山·三模）在区间内任取两个实数a，b，则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
20．（2023·广西·统考模拟预测）在如图所示的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”.可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”.设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形中（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·校联考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物 动物等图案一千余种.下列说法正确的是（ ）
A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为
B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为
C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为
D．使用一套七巧板中的块，可拼出不同大小的正方形3种
22．（2023·河南安阳·统考三模）为了应对即将到来的汛期，某地防汛指挥部抽调名专业人员（包括甲、乙两人）平均分成三组，对当地三处重点水利工程进行防汛安全检查，则甲、乙不同组的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·陕西商洛·统考三模）五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周日两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·浙江·校联考模拟预测）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机地取3个不同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为（ ）．
A． B． C． D．
25．（2023·浙江金华·统考模拟预测）某市举行一环保知识竞赛活动.竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题.其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分.已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为.若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回.则他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
26．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（ ）
A．小华能力等级评定为的概率为
B．小华能力等级评定为的概率为
C．小华只做了4道题目的概率为
D．小华做完5道题目的概率为
27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知两个事件，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若为相互独立事件，则
B．若，则
C．
D．
28．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件与事件相互独立
C． D．事件与事件互为对立事件
29．（2023·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ）
A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且
C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件
30．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
C．设服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大
31．（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件， D．若，则
32．（2023·福建厦门·统考模拟预测）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（ ）
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
33．（2023·吉林长春·统考模拟预测）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（ ）．
A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是
B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
三、解答题
34．（2023·甘肃·三模）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的5000名旅行者进行满意度调查，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这些旅行者中，满意度得分在60分及以上的有多少人？
(3)为了打造更加舒适的旅行体验，文旅局决定在这5000名旅行者中用分层抽样的方法从得分在内抽取6名旅行者进一步做调查问卷和奖励.再从这6名旅行者中抽取一等奖两名，求中奖的2人得分都在内的概率.
35．（2023·四川凉山·三模）4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级50名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
读书平均时长（单位：分钟）
人数 5 15 20 5 5
语文成绩优秀 1 8 15 4 4
(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)若从统计表中在的学生中随机选取3名学生的语文成绩进行研究，求这3名学生的语文成绩都优秀的概率．
36．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一 二 三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.
37．（2023·浙江·校联考二模）某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一 二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：
等级 一等 二等 三等
利润（万元/每件） 0.8 0.6 -0.3
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润（万元）的数学期望；
(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（）
38．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）.
(1)若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
(2)求使取得最大值的整数.
39．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲同学前次答题得分之和为分的概率；
(2)在甲同学完成次答题，且第次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于分的概率；
(3)记甲同学第次答题所得分数的数学期望为，求，并写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.
40．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.
(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.
(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
41．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）“告诉老墨，我想吃鱼了”这是今年春节期间大火的电视剧《狂飙》里，主角高启强（强哥）的经典台词，而剧中高启强最喜欢吃的就是猪脚面了，可谓是猪脚面的资深代言人.某商家想在上饶市某学校旁开一家面馆，主打猪脚面.虽然江西人普遍爱吃辣，但能吃辣的程度也不尽相同.该面馆通过美食协会共获得两种不同特色辣的配方（分别称为配方和配方），并按这两种配方制作售卖猪脚面.按照辣程度定义了每碗猪脚面的辣值（辣值越大表明越辣），得到下面第一天的售卖结果：
配方的售卖频数分布表
辣值分组
频数 10 20 42 18 10
配方的售卖频数分布表
辣值分组
频数 18 22 38 12 10
定义本面馆猪脚面的“辣度指数”如下表：
辣值
辣度指数 3 4 5
(1)试分别估计第一天配方，配方售卖的猪脚面的辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方猪脚面的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价配方的“辣度指数”比配方的“辣度指数”高的概率.
42．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”
(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；
(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．
43．（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:
等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.
44．（2023·吉林长春·统考模拟预测）现有两个口袋，A口袋中有m个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，B口袋中有6个球，4个红球，2个白球．若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为．
(1)若甲从B口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；
(2)甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；
(3)从B口袋中一次取3个球，取到一个白球得2分，取到一个红球得1分，求得分的期望．
45．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）某学校开展了一项“摸球过关”的游戏，规则如下：不透明的盒子中有3个黑球，2个白球.这些球除颜色外完全相同，闯关者每一轮从盒子中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回盒子中，当闯关者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，同时游戏结束，否则继续参与游戏：若第3轮后仍未过关，则游戏也结束.每位闯关者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量的分布列及数学期望；
(2)若某同学参加该项游戏，求他能够过关的概率.
46．（2023·辽宁·校联考三模）国家为响应世界卫生组织（WHO）的号召发布了《体育锻炼和久坐行为指南》，重点为了减少久坐时间，加强体育锻炼，改善身体状况.并提出每周至少进行150至300分钟的中等强度有氧运动或75至150分钟的剧烈运动.某学校举行一次跳跃运动比赛，规则如下：假设比赛过程中每位选手需要进行2次三周及三周以上的跳跃动作，其中甲的三周跳跃动作成功率为0.7，成功完成动作后得8分，失败得4分；甲的四周跳跃动作成功率为0.3，成功完成动作后得15分，失败得6分（每次跳跃动作是否成功相互独立）.
(1)若甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作.求甲的得分高于14分的概率；
(2)若甲选择连续进行两次三周跳跃动作，表示甲的最终得分，求随机变量的数学期望.
四、填空题
47．（2023·全国·模拟预测）从4，5，6，7这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，百位上的数字是质数、个位上的数字是合数的概率为______．
48．（2023·辽宁·校联考三模）A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为______.
49．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为______．
50．（2023·河南安阳·统考三模）半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为__________.
51．（2023·浙江·校联考二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则__________.
52．（2023·四川遂宁·统考三模）已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为__________.
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专题26 概率
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）新疆棉花是世界上最优质的棉花之一，普通的优质棉纱纤维长度左右，而新疆超长棉纱纤维长度可以达到以上.用超长棉纱制成的纯毛巾，质地柔软，手感舒适，色彩鲜艳，吸水性极好.某商场中有5款优质毛巾，其中有3款是用新疆超长棉纱制成的，在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用列举法，列出5款毛巾中任选2款的所有情况，再列出只有一款是用新疆超长棉所包含的情况，根据古典概型的概率公式计算.
【详解】记3款是用新疆超长棉纱制成的毛巾分别为，另外2款分别记为，
从这5款毛巾中任选2款，所有的情况分别为，共10种，
其中，“在这5款毛巾中任选2款，只有一款是用新疆超长棉纱制成”所包含的情况有：
，共6种，
故所求概率为.
故选：A.
2．（2023·四川成都·三模）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将特殊元素进行选择，然后再排其它元素得到甲，乙两人被安排在同一个场馆的种数，根据先分组再排列的原则可以计算出每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作的种数，即可求得所要求的概率.
【详解】将6个志愿者分成三组，每组两个人，然后安排到三个地方工作，共有，
甲，乙两人被安排在同一个场馆工作，其它随机安排，共有，
则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为，
故选：C.
3．（2023·河南郑州·三模）欧拉长方体，又称整数长方体或欧拉砖，指棱长和面对角线长都是整数的长方体．记E（a，b，c；d，e，f）为欧拉长方体，其中a，b，c为长方体的棱长，d，e，f为面对角线长．最小的欧拉长方体是．从，，，，，中任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先观察出最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个，利用组合知识得到概率.
【详解】最短棱长小于100的欧拉砖的个数有2个，
故任取两个欧拉砖，则恰有一个最短棱长小于100的欧拉砖的概率为.
故选：D
4．（2023·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
5．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）两名学生均打算只去甲 乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出所有的可能性（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），再找出去不同城市的可能性（甲，乙）（乙，甲），即可求出概率.
【详解】两名学生均打算只去甲 乙两个城市中的一个上大学，
所有的可能性有（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），共4种可能，
其中不去同一城市上大学的情况为（甲，乙）（乙，甲）共2种可能，故概率为.
故选：C.
6．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有共3个，
所以表示的数字大于50的概率为.
故选：B
7．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）已知P（B）=0.3，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解.
【详解】由全概率公式可得：
可得，解得：.
则.
故选：A.
8．（2023·湖北·校联考三模）李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场，他的进站口被随机安排为6个进站口之一，李明到达他的进站口之后，又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一，则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论应用古典概型结合加法原理和乘法原理计算求解即可.
【详解】A，B，C，D，E，F表示六个进站口，李明若先到A进站口，不超过200米的进站口有B和C，此时符合条件的概率为，
同理先到B，C，D，E，F的符合条件的概率分别为，，，，，
故所求概率为.
故选：B．
9．（2023·四川成都·三模）世界大学生运动会（简称大运会）由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届，是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会，第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开．为办好本届大运会，组委会精心招募了一批志愿者，现准备将甲、乙两名志愿者安排进“东安湖体育公园”，“凤凰山体育公园”，“四川省体育馆”工作，每人只能在一个场馆工作．若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲，乙两人被安排在同一个场馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由乘法原理求得安排的方法总数及甲、乙两人被安排在同一个场馆的方法数，再由概率公式计算概率．
【详解】显然甲，乙两人被安排在同一个场馆的方法数为3，
而甲、乙两名志愿者可安排的总方法数为，
所以所求概率为，
故选：C．
10．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】部分均匀分组问题，5个人去4个社区，只能是的形式，据此先算出基本事件总数，再求出甲、乙去相同的社区的事件数，利用古典概型公式和对立事件的定义求解.
【详解】5个人去4个社区，只能是的形式，分组的情况总数为，
再把这些分组分配到四个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；
甲、乙去相同的社区的情况有：种，
由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为：.
故选：C.
11．（2023·江西新余·统考二模）据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工提供充电便利，在停车场开展充电桩安装试点.如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的一辆电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域（停车前所有车位都空置），请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列组合即可求解个数，由古典概型的概率公式即可求解.
【详解】事件A=“2辆电动汽车能同时充上电”，
先从中任选一个车位给第一辆电动车，有种选择，再从非与第一辆电动车并列的剩余四个车位中找一个给第二辆电动车，有种选择，最后从剩余8个车位中随机选取3个安排燃油车即可，所以，
故选：D
12．（2023·河南郑州·模拟预测）在区间上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及几何概型计算即可.
【详解】，解得，
则在区间上，满足条件，
故事件“”发生的概率为.
故选：A
13．（2023·北京海淀·统考二模）芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断.
【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，
故第代芯片的产品良率为.
故选：C
14．（2023·全国·校联考模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用三个事件为互斥事件，再根据互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，且．
因为A，B，C两两互斥，
所以．
故选：C．
15．（2023·河南·模拟预测）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变史，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出基本事件，根据古典概型概率公式求解.
【详解】由题意，基本事件由（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）共15个，
其中任取两个在同一个月的有3个，
所以,
故选：C
16．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在区间内解不等式，然后由区间长度比可得.
【详解】因为，，所以，故所求概率.
故选：B.
17．（2023·山西晋中·统考三模）田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，.
由题意可知，可能的比赛有方案有：
，，，，，，，，，共9种，
其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种，
则田忌的马获胜的概率为.
故选：A.
18．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）马林 梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如（其中p是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过40的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列举法找出所有不超过40的素数和梅森素数，计算随机抽取其中3个素数时，不含梅森素数的概率，用1减去即可求出含有一个梅森素数的概率.
【详解】不超过40的素数，有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37一共有12个.其中梅森素数为：3，7，31，共有3个.不含梅森素数的概率为， 则随机选取3个素数，至少有一个梅森素数的概率为.
故选：C.
19．（2023·四川凉山·三模）在区间内任取两个实数a，b，则的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，作出几何图形，求出点所在区域的面积，再利用几何概型计算作答.
【详解】依题意，点在约束条件表示的平面区域内，
不等式组表示的平面区域是正方形内部，其中，如图，
满足的事件是正方形内，直线右侧的内部的点形成的阴影区域，
由得，即，则的面积，而，
所以的概率.
故选：A
20．（2023·广西·统考模拟预测）在如图所示的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”.可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”.设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形中（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求解，梯形的面积，根据几何概率即可得答案.
【详解】由，，
可知此点取自等腰直角三角形（阴影部分）中的概率是.
故选：B.
21．（2023·全国·校联考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物 动物等图案一千余种.下列说法正确的是（ ）
A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为
B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为
C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为
D．使用一套七巧板中的块，可拼出不同大小的正方形3种
【答案】A
【分析】设小正方形的边长为a，得到等腰直角三角形的直角边边长由小到大为，然后逐项判断.
【详解】如图所示：
设小正方形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边边长由小到大为，所以它们的比为，故A正确；
从这七块板中任取两块板，若能拼成正方形，则选则两个相同的等腰直角三角形，所以拼成正方形的概率为，故B错误；
由题意得，则从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为，故错误；
由C知拼成的正方形的边长分别为，拼成的正方形的面积分别为，所以可拼出不同大小的正方形有4种，故D错误；
故选：A
22．（2023·河南安阳·统考三模）为了应对即将到来的汛期，某地防汛指挥部抽调名专业人员（包括甲、乙两人）平均分成三组，对当地三处重点水利工程进行防汛安全检查，则甲、乙不同组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考虑甲、乙在同一组的分组方法种数，以及将六人平均分为三组的分组方法数，利用古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】考虑甲、乙在同一组，只需将其他四人分为两组即可，分组方法种数为，
将六人平均分为三组，每组两人，则不同的分组方法种数为，
因此，甲、乙不同组的概率为.
故选：D.
23．（2023·陕西商洛·统考三模）五一劳动节前夕，4名同学各自在周六、周日两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有2位同学参加公益活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题计算出4名同学参加公益活动的总情况数，及周六恰有2名同学参与的情况数，即可得答案.
【详解】由题意知，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的总情况数为，4人选择一天的情况数为2，则周六、周日都有同学参加公益活动共有种不同的结果．又周六恰有2位同学参加公益活动共有种不同的结果，故所求的概率为．
故选：A
24．（2023·浙江·校联考模拟预测）从1，2，3，4，5，6这6个数中随机地取3个不同的数，3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据组合数求解总的情况数，再根据古典概型的方法，列举所有可能的情况求解即可.
【详解】从，，，，，中任取三个不同的数，共有不同的取法有种，
其中这3个数最大值与最小值之差不小于4是：共10种，
则3个数中最大值与最小值之差不小于4的概率为.
故选：D.
25．（2023·浙江金华·统考模拟预测）某市举行一环保知识竞赛活动.竞赛共有“生态环境”和“自然环境”两类题，每类各5题.其中每答对1题“生态环境”题得10分，答错得0分；每答对1题“自然环境”题得20分，答错扣5分.已知小明同学“生态环境”题中有3题会作答，而答对各个“自然环境”题的概率均为.若小明同学在“生态环境”题中抽1题，在“自然环境”题中抽3题作答，每个题抽后不放回.则他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把得分在10分以下（含10分）的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合独立重复试验的概率公式求出每个事件的概率作答.
【详解】他在这次竞赛中得分在10分以下（含10分）的事件为，“生态环境”题答对且“自然环境”题全错的事件为，
“生态环境”题答错且“自然环境”题最多答对1题的事件为，显然与互斥，，
，，
所以.
故选：B
二、多选题
26．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）某项科学素养测试规则为：系统随机抽取5道测试题目，规定：要求答题者达到等级评定要求或答完5道题方能结束测试．若答题者连续做对4道，则系统立即结束测试，并评定能力等级为；若连续做错3道题目，则系统自动终止测试，评定能力等级为；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为，且他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（ ）
A．小华能力等级评定为的概率为
B．小华能力等级评定为的概率为
C．小华只做了4道题目的概率为
D．小华做完5道题目的概率为
【答案】ABC
【分析】利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误.
【详解】小华能力等级评定为，则需要连续做对4道题，所以，A正确；
小华能力等级评定为，则他连续做错3道题目，有四种情况，
所以．
由题意小华能力等级评定为的概率为，B正确；
小华只做了4道题目有两种情况，一是4道题全对，二是第1题对了，后续3道题目全错，其概率为，C正确；
小华做完3道题目结束测试的概率为，
小华做完5道题目的概率为，D不正确．
故选：ABC.
27．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知两个事件，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若为相互独立事件，则
B．若，则
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由为相互独立事件，由相互独立事件和条件概率公式可判断A；由条件概率公式和全概率公式可判断B，C，D.
【详解】若为相互独立事件，则，
，故A正确；
若，由A选项可知，，
所以，故B正确；
，，而，
所以，故C正确；
，，
，故D不正确.
故选：ABC.
28．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件与事件相互独立
C． D．事件与事件互为对立事件
【答案】AC
【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；对于选项B，由题得，事件与事件不相互独立，所以该选项错误；对于选项C, ，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.
【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有 ，共5个，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；
对于选项B，由题得,,所以，
事件与事件不相互独立，所以该选项错误；
对于选项C, ，所以该选项正确；
对于选项D, 如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.
故选：AC
29．（2023·浙江·二模）已知为实验的样本空间，随机事件，则（ ）
A．为必然事件，且 B．为不可能事件，且
C．若，则为必然事件 D．若，则不一定为不可能事件
【答案】ABD
【分析】根据必然事件和不可能事件的定义，再结合样本空间为有限和无限的情况，判断选项.
【详解】A.当为必然事件，且，故A正确；
B. 为不可能事件，且，故B正确；
C. 若，则不一定为必然事件，若样本空间是区间，但质点落在区间的概率也是1，此时不是必然事件，故C错误；
D. 若，则不一定为不可能事件，若样本空间是区间，但质点落在处的概率为0，但此时不是不可能事件，故D正确.
故选：ABD
30．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为
C．设服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大
【答案】BCD
【分析】对于A，利用方差的性质即可判断；对于B，利用古典概型的计算公式即可求解；对于C，利用正态分布对称性即可判断；对于D，利用二项分布的概率公式即可判断.
【详解】对于A，由方差的性质知，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的倍，故A错误；
对于B，从四条线段的长度分别是1，3，5，7中任取3条的共有种，只有取线段的长度为能构成三角形，由古典概型的概率公式可知，这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确；
对于C，由可知，且，所以，故C正确；
对于D，，，令，解得，又，故,当时,概率最大，故D正确.
故选：BCD.
31．（2023·湖北·校联考三模）A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件， D．若，则
【答案】ACD
【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求判断C；应用条件概率公式、全概率公式求.
【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．
B：由知：，不正确．
C：由于A，B是相互独立事件，，
，正确．
D：，则，
，正确．
故选：ACD
32．（2023·福建厦门·统考模拟预测）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则（ ）
A．参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B．从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C．依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D．假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】ABD
【分析】由题意计算出男生中经常锻炼的人数以及不经常锻炼的人数，即可判断A；根据古典概型的概率公式可判断B；列出列联表，根据独立性检验的方法可判断C，D.
【详解】对于A，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，
故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；
对于B，经常锻炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，B正确；
对于C，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男 100 60 160
女 100 40 140
合计 200 100 300
则，
故依据的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1，C错误；
对于D，由题意可得：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男 200 120 320
女 200 80 280
合计 400 200 600
则此时，
故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，D正确，
故选：ABD
33．（2023·吉林长春·统考模拟预测）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（ ）．
A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是
B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是
C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是
D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为
【答案】ACD
【分析】由题意可知甲批有粒发芽，乙批有7粒发芽.结合古典概率的概率公式、对立事件的概率公式以及组合数的性质计算，依次判断选项即可.
【详解】甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，
则甲批有粒发芽，乙批有粒发芽.
A：从甲批种子任取2粒，至少1粒能发芽的概率为，故A正确；
B：从乙批种子任取2粒，至多1粒能发芽的概率为，故B错误；
C：从甲、乙批两种种子中各取1粒，至少1粒能发芽的概率为，故C正确；
D：将两批种子混合后，随机抽取1粒能发芽的概率为，故D正确.
故选：ACD.
三、解答题
34．（2023·甘肃·三模）为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的5000名旅行者进行满意度调查，将其分成以下6组：，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这些旅行者中，满意度得分在60分及以上的有多少人？
(3)为了打造更加舒适的旅行体验，文旅局决定在这5000名旅行者中用分层抽样的方法从得分在内抽取6名旅行者进一步做调查问卷和奖励.再从这6名旅行者中抽取一等奖两名，求中奖的2人得分都在内的概率.
【答案】(1)
(2)4000
(3)
【分析】（1）根据频率和为1求解结果；
（2）由频率分布直方图得出满意度得分在60分及以上的频率，再乘以人数5000，得出结果；
（3）用分层抽样的方法抽取的6名旅行者中，得分在内的有4人，得分在内的有2人，利用古典概率的计算公式求得结果.
【详解】（1）由题意，得，解得.
（2）由频率分布直方图，得满意度得分在60分及以上的频率是，
所以满意度得分在60分及以上的人数约为.
（3）用分层抽样的方法抽取的6名旅行者中，得分在内的有4人，设为；得分在内的有2人，设为，.因此从6人中任取2人的试验有，共15个基本事件，
设2人得分都在内为事件，则，共6个基本事件，
所以中奖的2人得分都在内的概率.
35．（2023·四川凉山·三模）4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级50名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
读书平均时长（单位：分钟）
人数 5 15 20 5 5
语文成绩优秀 1 8 15 4 4
(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)若从统计表中在的学生中随机选取3名学生的语文成绩进行研究，求这3名学生的语文成绩都优秀的概率．
【答案】(1)平均数为46；中位数为
(2)
【分析】（1）由平均数和中位数的求法计算即可；
（2）将该区间中五位同学选三位的各种情况罗列，计算概率即可.
【详解】（1）该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数为
由表格可得该中学高三年级学生每天课外阅读时间的中位数位于，设为，则依表计算：
（2）设课外阅读平均时长在的5名学生中优秀的为A，B，C，D，不优秀的为a，则从这5名学生中随机选取3名学生不同的选法有：ABC，ABD，ACD，BCD，ABa，ACa，ADa，BCa，BDa，CDa共10种，其中3名学生的语文成绩都优秀的有4种．
∴随机选取的3名学生的语文成绩都优秀的概率为．
36．（2023·浙江金华·统考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：：1个红球1个白球，：2个红球，：2个白球，：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一 二 三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)顾客分别获一 二 三等奖的概率分别为、、
(3)分布列答案见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得；
（2）根据古典概型的概率公式及组合数公式计算可得；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，则，利用二项分布的概率公式求出分布列与数学期望.
【详解】（1）设顾客第次摸到红球为，
则；
（2）由题意知，，，
，，
因此，顾客分别获一 二 三等奖的概率分别为、、；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为，
则，
所以，，
，，
则分布列为：
1 2 3
数学期望.
37．（2023·浙江·校联考二模）某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一 二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：
等级 一等 二等 三等
利润（万元/每件） 0.8 0.6 -0.3
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润（万元）的数学期望；
(3)若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升（万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（）
【答案】(1)0.75
(2)1.22（万元）
(3)不该增产，理由见解析.
【分析】（1）根据独立事件乘法公式计算；
（2）先分析 的可取值，再按步骤写出分布列，根据数学期望公式求解；
（3）分析当产品的数量增加n件时的净利润，根据净利润决策.
【详解】（1）设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件 ， ，2件产品至少有1件为一等品事件为 ，
其概率 ；
（2）设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，则 ，
则可取的值为 ，
，
, ，
, ,
其分布列为：
-0.6 0.3 0.5 1.2 1.4 1.6
0.01 0.08 0.1 0.16 0.4 0.25
数学期望 （万元）；
（3）由（2）可知，每件产品的平均利润为 （万元），则增加n件产品，利润增加为万元），
成本也相应提高 （万元），所以净利润 ， ，
设 ，则 ，当 时，，是增函数，
当 时，是减函数 ，在取得最大值，又 ，只能取整数， 或时可能为最大值 ，
， ，
即在 取得最大值时也是亏本的，所以不应增加产量；
38．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.为了回馈100名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这100名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为X（不重复计数）.
(1)若甲是这100名顾客中的一人，求甲被抽中的概率；
(2)求使取得最大值的整数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件概率公式直接求解即可；
（2）利用古典概型概率公式求解概率，结合组合数公式利用不等式法求出概率最大时的值即可.
【详解】（1）设事件A：“顾客甲第一次抽中”，事件B：“顾客甲第二次抽中”，
因为A与B是相互独立事件，所以与相互独立，
由于，
故，
所以甲被抽中的概率；
（2）“由系统独立、随机地从这100名顾客中抽取20名顾客，
抽取两次”所包含的基本事件总数为，
当时，两次都中奖的人数为，只在第一次中奖的顾客人数为，
只在第二次中奖的顾客人数也为，
由乘法原理知：事件所包含的基本事件数为，
，，
由可得：，
整理得：，
化简得：，
则有，
整理得，解得，即，
因为为整数，所以，
所以取到最大值时，.
39．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲同学前次答题得分之和为分的概率；
(2)在甲同学完成次答题，且第次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于分的概率；
(3)记甲同学第次答题所得分数的数学期望为，求，并写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）分析可知甲前答题的正误结果分别为：对对错，错对对，再利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；
（2）记事件甲同学完成次答题，第次答题答对，记事件甲同学完成次答题，答题得分之和不大于分，计算出、的值，利用条件概率公式可求得的值；
（3）分析可知的可能取值有、，求出在不同取值下的概率，可求得的值；分析第答对、答错，可得出与的关系式.
【详解】（1）解：若甲同学前次答题得分之和为分，则甲前答题的正误结果分别为：对对错，错对对，
所以所求概率为.
（2）解：记事件甲同学完成次答题，第次答题答对，
记事件甲同学完成次答题，答题得分之和不大于分，
在甲同学完成次答题，且在第次答题答对的条件下，答题得分之和不大于分的情形
有以下种：错对错错错，对对错错错，错对对错错，错对错对错，错对错错对，
所以，，，
由条件概率公式可得.
（3）解：的取值可以是、，且，，
所以.
若第次甲答对，则甲的得分为；若第次甲答错，则甲的得分为分.
所以，.
40．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.
(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.
(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得答案.
（2）确定随机变量X的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.
【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了或或或.
；
；
；
，
所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，
故甲能进入“挑战答题”活动的概率.
（2）随机变量X的所有可能取值为，
；；
；.
所以X的分布列如下表所示：
X 2 3 4 5
P
所以.
41．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）“告诉老墨，我想吃鱼了”这是今年春节期间大火的电视剧《狂飙》里，主角高启强（强哥）的经典台词，而剧中高启强最喜欢吃的就是猪脚面了，可谓是猪脚面的资深代言人.某商家想在上饶市某学校旁开一家面馆，主打猪脚面.虽然江西人普遍爱吃辣，但能吃辣的程度也不尽相同.该面馆通过美食协会共获得两种不同特色辣的配方（分别称为配方和配方），并按这两种配方制作售卖猪脚面.按照辣程度定义了每碗猪脚面的辣值（辣值越大表明越辣），得到下面第一天的售卖结果：
配方的售卖频数分布表
辣值分组
频数 10 20 42 18 10
配方的售卖频数分布表
辣值分组
频数 18 22 38 12 10
定义本面馆猪脚面的“辣度指数”如下表：
辣值
辣度指数 3 4 5
(1)试分别估计第一天配方，配方售卖的猪脚面的辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并比较大小.
(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从当地同时吃过两种配方猪脚面的消费者中随机抽取1人进行调查，试估计其评价配方的“辣度指数”比配方的“辣度指数”高的概率.
【答案】(1)，，配方的猪脚面的辣值的平均数大于配方的猪脚面的辣值的平均数
(2)0.33
【分析】（1）根据频率分布直方表求平均数比较即可;
（2）根据独立事件的概率是概率乘积,再应用古典概型公式计算求解.
【详解】（1）配方售卖的猪脚面的辣值的平均数为
，
配方售卖的猪脚面的辣值的平均数为
，
因为，
所以配方的猪脚面的辣值的平均数大于B配方的猪脚面的辣值的平均数.
（2）设“其评价配方辣度指数比配方辣度指数高”为事件.
记“其评价配方的辣度指数为4”为事件，“其评价配方的辣度指数为5”为事件，
“其评价配方的辣度指数为3”为事件，“其评价配方的辣度指数为4”为事件，
则，，，.
因为事件与相互独立，其中，，
所以
.
所以其评价配方的辣度指数比配方辣度指数高的概率为0.33.
42．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）乒乓球是中国的国球，我国选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军，乒乓球运动也深受人们的喜爱．乒乓球主要有白色和黄色两种，国际乒联将球的级别用星数来表示，星级代表质量指标等级，星级越高质量越好，级别最高为“☆☆☆”，即三星球，国际乒联专业比赛指定用球，二星球适用于国内重大比赛及国家队专业训练，一星球适用于业余比赛或健身训练．一个盒子装有9个乒乓球，其中白球有2个三星“☆☆☆”，4个一星“☆”，黄球有1个三星“☆☆☆”，2个一星“☆”
(1)逐个无放回取两个球，记事件{第一次白球}，事件{第二次三星球}，求，并判断事件A与事件B是否相互独立；
(2)逐个无放回取球，取出白球即停止，取出的三星球数记为随机变量X，求随机变量X的分布列及期望．
【答案】(1)，相互独立
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分别计算，，，根据是否成立判断事件A与事件B是否相互独立；
（2）可能取值为,分别计算 列出分布列并求期望.
【详解】（1）“第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球且第二次三星球”的概率：（或）
“第一次白球”的概率：，
所以.
因为成立,所以事件与事件相互独立.
（2）可能取值为,
,
,
,
(或),
分布列为
0 1 2
所以.
43．（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级的评为优秀，检测到级到6级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表:
等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)从这件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取件产品，设这件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求得样本优良的频率，进而得到这件产品产品评分为优良的概率；
（2）先求得的每个取值对应的概率，进而得到的分布列及期望.
【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件：产品的评分为良好.
根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得， .
因为互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为.
（2）由(1)知，评分为优秀的概率为，由题意得，
则
当时，；
当时，；
当时， ；
当时，；
当时，.
所以的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
44．（2023·吉林长春·统考模拟预测）现有两个口袋，A口袋中有m个球，一部分是红球，另一部分是白球，从中取出一个球恰好是白球的概率为，B口袋中有6个球，4个红球，2个白球．若将两个口袋混合在一起，从中取出一个球，恰好是白球的概率为．
(1)若甲从B口袋中每次有放回地取一个球，直到取到白球停止，则恰好第三次后停止的概率；
(2)甲乙两人进行游戏，由第三人从两个口袋中各取一个球，若同色甲胜，否则乙胜，通过计算说明这个游戏对两人是否公平；
(3)从B口袋中一次取3个球，取到一个白球得2分，取到一个红球得1分，求得分的期望．
【答案】(1)
(2)游戏不公平
(3)
【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式即可求出结果；
（2）求出分别从口袋中各取出一个球是红球的概率和，第三人从两个口袋中各取一球是同色球的事件为
，再利用互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率即可求出结果；
（3）利用条件直接求出的可能取值及相应的概率，再利用均值的定义即可求出结果.
【详解】（1）设A口袋中有n个白球，则由题知，解得，，
设事件表示从口袋中第次取出的是红球，则有，
设事件C表示从B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，
则．
（2）设事件表示从口袋中取出一个球是红球，，
表示从口袋中取出一个球是红球，，
事件E表示第三人从两个口袋中各取一球是同色球，有，
所以游戏不公平．
（3）设表示从B口袋中一次取3个球的得分，则的可取值为3，4，5，
有，，，
从而.
45．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）某学校开展了一项“摸球过关”的游戏，规则如下：不透明的盒子中有3个黑球，2个白球.这些球除颜色外完全相同，闯关者每一轮从盒子中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回盒子中，当闯关者完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，同时游戏结束，否则继续参与游戏：若第3轮后仍未过关，则游戏也结束.每位闯关者只能参加一次游戏.
(1)求随机变量的分布列及数学期望；
(2)若某同学参加该项游戏，求他能够过关的概率.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)该同学能够过关的概率为.
【分析】（1）确定随机变量的可能取值和取每个值所对应的概率，即可得到分布列，结合期望公式即可得解；
（2）分别求出该同学取球1次后，取球2次后，取球3次后过关的概率，求和即可得到答案.
【详解】（1）由题意得，随机变量可取的值为0，1，2，
易知
，
，
则随机变量的分布列如下：
0 1 2
所以；
（2）由（1）可知，该同学每轮得分，分，分的概率依次为，，，
记该同学第轮的得分为，则其前轮的累计得分为，
若第一轮取球后过关，即该同学得分，则；
若第二轮取球后过关，即该同学获得的分数之和为分，
有“” “”的情形，则；
若第三轮取球后过关，即该同学获得的分数之和为分，
有“”， “”的情形，
则；
记“该同学能过关”为事件，则
.
46．（2023·辽宁·校联考三模）国家为响应世界卫生组织（WHO）的号召发布了《体育锻炼和久坐行为指南》，重点为了减少久坐时间，加强体育锻炼，改善身体状况.并提出每周至少进行150至300分钟的中等强度有氧运动或75至150分钟的剧烈运动.某学校举行一次跳跃运动比赛，规则如下：假设比赛过程中每位选手需要进行2次三周及三周以上的跳跃动作，其中甲的三周跳跃动作成功率为0.7，成功完成动作后得8分，失败得4分；甲的四周跳跃动作成功率为0.3，成功完成动作后得15分，失败得6分（每次跳跃动作是否成功相互独立）.
(1)若甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作.求甲的得分高于14分的概率；
(2)若甲选择连续进行两次三周跳跃动作，表示甲的最终得分，求随机变量的数学期望.
【答案】(1)0.3
(2)13.6
【分析】（1）先分析出甲的得分高于14分的两种情况，再由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式可得所求；
（2）由甲成功完成动作的次数服从二项分布，得的概率分布列，进而得的数学期望.
【详解】（1）设甲第次动作成功完成为事件（），
甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作，得分高于14分的情况有：
三周跳跃动作与四周跳跃动作都成功和三周跳跃动作失败与四周跳跃动作成功.
所以甲的得分高于14分的概率.
（2）甲两次动作成功情况相互独立，且成功率皆为0.7，
设为成功完成动作的次数，故，
甲选择连续进行两次三周跳跃动作都失败得8分；
甲选择连续进行两次三周跳跃动作成功一次得12分；
甲选择连续进行两次三周跳跃动作都成功得16分.
，
，
，
8 12 16
故.
四、填空题
47．（2023·全国·模拟预测）从4，5，6，7这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，百位上的数字是质数、个位上的数字是合数的概率为______．
【答案】
【分析】列出所有的基本事件，找出所求事件的基本事件个数，利用古典概型概率公式求解即可.
【详解】从4，5，6，7这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，
有：456，465，457，475，467，476，546，564，547，574，567，576，645，654，647，674，657，675，745，754，764，746，756,765，
故共有24个不同的三位数.
这些三位数中，百位上的数字是质数、个位上的数字是合数的有564，574，546，576，754，764，746，756，共8个，故所求的概率为.
故答案为：
48．（2023·辽宁·校联考三模）A，，，，共5名同学站成一排，则A，必须相邻，，不能相邻的概率为______.
【答案】/.
【分析】由题可得总情况数，后将A，看成整体，按A，所处位置分情况可得满足题意的排列数，即可得答案.
【详解】所有可能性为，将A，看成整体，若A，在队首，则，只能排第2和第4，情况数为；
若A，在队尾，则，只能排第1和第3，情况数为；
若A，在第2，则，只能排第1和第4，或第1和第3，情况数为；
若A，在第3，则，只能排第1和第4，或第2和第4，情况数为.
综上，满足题意的排法情况数为：.则相应概率为：.
故答案为：
49．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6次传递后，花又在甲手中的概率为______．
【答案】
【分析】设第n次传球后球在甲手中的概率为，根据题意找出的递推关系，写出的通项公式，然后求即可.
【详解】设第n次传球后球在甲手中的概率为，.则，得，.
一次传球后，花不在甲手上，故，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以.
即，所以．
故答案为：
50．（2023·河南安阳·统考三模）半圆弧上有包括直径端点在内的5个点，从中随机选取3个点，则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为__________.
【答案】/
【分析】利用古典概型，找到满足题意的情况和总事件数即可得到答案.
【详解】若3个点中包含直径的两个端点，根据直径所对圆周角为直角，则此时为直角三角形，不合题意，
若3个点中，只有1个为直径的端点，此时有种情况，
若3点没有点为直径的端点，则此时只有1种情况，
综上共有7种情况满足题意，
而总数共有种，
则以这3个点为顶点的三角形是钝角三角形的概率为.
故答案为：.
51．（2023·浙江·校联考二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则__________.
【答案】
【分析】由题意得出随机变量的分布列，计算其期望即可.
【详解】由题意可得
若两次摸到两种颜色的球，则；
若三次摸到两种颜色的球，则；
若四次摸到两种颜色的球，则；
故.
故答案为：
52．（2023·四川遂宁·统考三模）已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为__________.
【答案】/
【分析】由对数函数，指数函数，三角函数的单调性结合概率公式求解即可.
【详解】函数有两不相等的实数根，则，解得或.
，，.
因为，所以.
即从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为.
故答案为：
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