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专题32 不等式选讲
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求解集合A，再根据交集的定义求解结果.
【详解】因为集合，
所以，.
故选：A.
2．（2023·浙江杭州·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得，，
所以．
故选：C．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据绝对值不等式的解法求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】或，，
则，
所以.
故选：D.
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，，
因此，.
故选：A.
5．（2023·四川遂宁·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解出集合或，再根据补集和交集的含义即可得到答案.
【详解】，解得或，
则或，则，
故，
故选：A.
6．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别化简集合，由集合的交集运算即可得出结论.
【详解】由题意可得，，则．
故选：C.
7．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合，则下列命题错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合，由集合间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：D.
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】由可得，解得，所以，
由，可得，所以，即，
所以.
故选：B
9．（2023·山东滨州·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用绝对值不等式的解法及子集的定义，结合交集和并集的定义即可求解.
【详解】由，得，
所以，
由,得集合不是集合的子集，故A错误；
由,得集合不是集合的子集，故B错误；
,故C正确；
，故D错误.
故选：C.
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简集合，根据交集的运算法则求解即可.
【详解】由，可得，所以，
所以，
又，
所以.
故选：D.
11．（2023·全国·模拟预测）已知集合， ，则的非空真子集的个数为（ ）
A．14 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】由绝对值不等式化简集合,进而由集合的交补运算即可化简即可求解.
【详解】由可得或，故集合或，
所以，
所以，所以的非空真子集的个数为.
故选：B.
12．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合，进而求.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
13．（2023·山西临汾·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数定义域及其单调性可得，由绝对值不等式解法可得，再利用并集运算即可得出结果。
【详解】易知不等式的解集为，即可得；
由可得，即，所以；
所以.
故选：B
14．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
15．（2023·福建莆田·统考模拟预测）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
故选：B.
16．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合、 、，再求交集可得答案.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以.
故选：D.
17．（2023·山东菏泽·统考二模）已知定义在R上的函数的导函数为，满足，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，由时，可得在上单调递增，由，可得.A选项，比较与大小即可判断选项正误；B选项，比较与大小即可判断选项正误；C选项，比较1与大小即可判断选项正误；D选项，比较与大小即可判断选项正误；
【详解】因，则，
则函数在上单调递增；
因，
则.
A选项，，故A错误；
B选项，注意到，则
，故B错误；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D正确.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题关键为通过题目条件构造出函数，并得到其单调性与对称性，若难以想到，可以通过选项形式得到提示.
18．（2023·四川达州·统考二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用条件，用表示出两点坐标，从而求出直线的方程，进而求出定定点，再根据条件得到，再利用柯西不等式即可求出结果.
【详解】如图，由题易知直线斜率均存在，
设直线方程为，，
由，消得，即，
由韦达定理得，所以，代入，得到，所以，
设直线方程为，，
由，消得，
即，由韦达定理得，
所以，又因为，所以，
代入，得到，所以，
所以直线的斜率为，
所以的方程为，
即
所以，即，
故直线过定点，令，得到，所以，
所以，，又因为，所以，
所以，，又，所以，
又由柯西不等式知，
当且仅当，即时，取等号，
所以，即，
故选：D.
【点睛】解决本题的关键在于，利用条件求出，两点，再利用点斜式表示出直线，进而求出定点.
19．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】方法1，构造函数，利用其单调性可得，.后利用函数单调性可得；方法2，注意到，利用单调性可得；，则，利用单调性可得.
【详解】方法1:设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增.
注意到；
.
设，则.
令，，
当时，，在单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以，即.
故选：A．
方法：，，.
①，令，
则，故在上单调递减，
可得，即，所以；
②，令，
则.
令，.所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得.
即，所以．故．
故选：A
【点睛】关键点睛：比较大小问题常利用作差法和构造函数法，关键为找到代数式间的联系，在本题中多次出现，故将其变为，即可得到解析中所涉及函数.
二、多选题
20．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若、、是三角形的三个顶点，则有
C．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
D．若为坐标原点，点满足，则所形成图形的面积为
【答案】AD
【分析】根据定义结合绝对值三角不等式分别判断各选项.
【详解】A选项：若点在线段上，设点，，则在，之间，在，之间，则，故A正确；
B选项：在中， ，故B错误；
C选项：设，则，即的最小值为，C选项错误；
D选项：由，则点的轨迹如图所示，面积为，D选项正确.
故选：AD.
21．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．，，，使得
【答案】ABCD
【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.
【详解】设中所对的边分别为，由，，得，，，
进而得，，，
,
,
，
故A正确，
由A知，，，
所以，当且仅当取等号，因此，故B正确，
,
同理
，
，当且仅当时取等号,
因此存在使得，故D正确
，所以，故C正确,
故选：ABCD
22．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】AD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一判断ABD，根据向量数量积的性质与柯西不等式，即可判断C.
【详解】由可得，当且仅当，即时取等号，
对于A,，当且仅当，时取等号，故A正确，
对于B,，当且仅当时取等号，故B错误，
对于C，设由于，
所以，即，
当且仅当，即时，等号成立，故C错误，
对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确，
故选:AD
23．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
构造
，
所以，
当，即时，
分析即可，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
构造，，
则，
所以在上单调递增，
所以由得，
所以，
故此时， D选项错误；
当时，，此时，
所以可能成立，故C选项可能正确，
由，即，
构造，
所以，设，
当时，，所以在单调递减，在上单调递增，
且，所以当时，
即，
所以，
构造，
则，所以在上单调递增，
所以，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.
24．（2023·山东济南·一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若数列满足，则
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和柯西不等式推导出，从而得到A正确，B错误；构造函数得到在上恒成立，结合等比数列求和公式证明出C正确；D选项，化简得到，再用裂项相消法求和，证明出结论.
【详解】A选项，，故，
由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立，
故，A正确；
B选项，由柯西不等式得
，
当且仅当时，等号成立，
故，
，故，当且仅当时，等号成立，
故，
依次类推，可得，当且仅当等号成立，
故
，B错误；
C选项，设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，故在上恒成立，
，C正确；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：ACD
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
三、解答题
25．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，结合基本不等式求得的最大值，再由绝对值的三角不等式求得，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：当时，不等式，即为不等式为，
当时，可得，解得，所以；
当时，可得成立，所以；
当时，可得的，解得，所以．
综上得不等式的解集为．
（2）解：因为为正实数，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值，
又因为，当时取到等号，
要使恒成立，只需，解得或，
即实数的取值范围为
26．（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）已知，函数．
(1)若，，求不等式的解集﹔
(2)设函数，求的最小值，并求出取得最值时的值．
【答案】(1)或
(2)当，时，函数取得最小值4
【分析】（1）根据题意，将的值代入即可得到解析式，然后求解不等式即可；
（2）根据题意，由绝对值不等式化简，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由可得，则即，
所以或，
解得或，故不等式的解集为或．
（2）因为，
因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，函数取得最小值4．
27．（2023·河南·模拟预测）已知函数的最小值为m，的最小值为n．实数a，b，c满足，，，．
(1)求m和n；
(2)证明：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据绝对值大于等于0得到，对分段讨论即可求出；
（2）根据（1）知，，再利用基本不等式得，结合即可得到，从而得到答案.
【详解】（1）函数的最小值为，此时，
当时，，
当时，，
当时，，
函数，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以函数的最小值为，
故.
（2）由（1）知，，
因为，，
所以，，，，，
又因为，
所以，又，
所以，所以．所以．
28．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数f(x)的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）先对函数去绝对值，然后分段进行解不等式即可求解；
（2）结合（1）的结论得到，然后利用均值不等式即可求解.
【详解】（1）函数，
当时，化为，解得；
当时，化为，解得
当时，化为，无解；
综上所述，的解集为..
（2）由（1）知，，
因为（当且仅当时，等号成立），
2，（当且仅当，即，c=2时，等号成立），
所以的最小值为12.
29．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知实数，都为正数，且函数.
(1)若，解不等式.
(2)若，且函数的最小值为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）双绝对值不等式问题可分类去绝对值处理.
（2）由题意可知，结合，，为正数，运用柯西不等式即证.
【详解】（1）若，则，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
综上可知不等式的解集为
（2）对于任意实数，都有，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
依题知，即，
故，，，
由柯西不等式得： ，
当且仅当即时，上式取等号，
所以，即证
30．（2023·江西九江·统考三模）设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件，
（2）利用基本不等式证明不等式即可.
【详解】（1），
，则，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
，即，仅当时取等号，
故的最小值为.
（2），仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，仅当时等号成立，
，
又，仅当时等号成立，
同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
即.
31．（2023·甘肃·模拟预测）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值解不等式即可；
（2）根据绝对值的三角不等式求出，再由“1”的技巧及均值不等式证明.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，则有，解得；
当时，，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）证明：由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故，
所以，
又因为，，均为正数，
所以，
当且仅当时，等号成立，故.
32．（2023·四川凉山·三模）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）去绝对值后，利用指数函数的单调性解不等式可得答案；
（2）利用绝对值三角不等式求出，再根据基本不等式可证不等式成立.
【详解】（1）由题意得：，∴，即，∴，
∴不等式的解集为．
（2）∵，当且仅当，即时，等号成立，
∴函数的最小值为1，即．
∴，
因为，
所以
（当且仅当时，等号成立）.
∴不等式得证．
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专题32 不等式选讲
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江杭州·统考一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川遂宁·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合，则下列命题错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东滨州·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知集合， ，则的非空真子集的个数为（ ）
A．14 B．6 C．7 D．8
12．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·山西临汾·统考二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·福建莆田·统考模拟预测）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·山东菏泽·统考二模）已知定义在R上的函数的导函数为，满足，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·四川达州·统考二模）点均在抛物线上，若直线分别经过两定点，则经过定点，直线分别交轴于，为原点，记，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
20．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在线段上，则有
B．若、、是三角形的三个顶点，则有
C．若为坐标原点，点在直线上，则的最小值为
D．若为坐标原点，点满足，则所形成图形的面积为
21．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．，，，使得
22．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
23．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·山东济南·一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若数列满足，则
三、解答题
25．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围.
26．（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）已知，函数．
(1)若，，求不等式的解集﹔
(2)设函数，求的最小值，并求出取得最值时的值．
27．（2023·河南·模拟预测）已知函数的最小值为m，的最小值为n．实数a，b，c满足，，，．
(1)求m和n；
(2)证明：．
28．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数f(x)的最大值为M，若a，b，c均为正数，且，求的最小值.
29．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知实数，都为正数，且函数.
(1)若，解不等式.
(2)若，且函数的最小值为，证明：.
30．（2023·江西九江·统考三模）设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.
(1)求的最小值；
(2)证明：.
31．（2023·甘肃·模拟预测）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：.
32．（2023·四川凉山·三模）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求证：．
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