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专题25 统计
一、单选题
1．（2023·河北唐山·统考二模）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（ ）
A．220 B．240 C．250 D．300
【答案】B
【分析】因为第80百分位数是103分，所以小于103分的学生占总数最多为，即成绩不小于103分的人数至少为总数的.
【详解】由人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有人.
故选：B
2．（2023·江西上饶·统考二模）为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）
A．180 B．90 C．18 D．9
【答案】C
【分析】根据分层抽样的定义即可得解.
【详解】该市中型企业和大型企业的家数比为，
由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是.
故选：C.
3．（2023·重庆·统考三模）从小到大排列的数据的第三四分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.
【详解】，该组数据的第三四分位数为.
故选：D.
4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（ ）．
A．3.54小时 B．3.64小时 C．3.67小时 D．3.72小时
【答案】B
【分析】根据平均数定义求解.
【详解】三个年级抽样人数的总时长，
三个年级抽样人数的平均时长，
根据样本估计总体，总体的平均时长约为3.64（小时）；
故选：B.
5．（2023·江西九江·统考三模）为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（ ）
A．174，175 B．175，175 C．175，174 D．174，174
【答案】A
【分析】根据中位数和平均数的定义进行计算即可.
【详解】从小到大排列，第10个和第11个数的平均数为中位数，即，故中位数为174，
先把每个数据减去174，
得到20个数据为，
此时，
从而求出平均数为.
故选：A.
6．（2023·湖南邵阳·统考三模）为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、众数、极差的定义和方差的意义依次判断选项即可.
【详解】由图可知，讲座前10位居民问卷答题的正确率分别为
，
讲座后10位居民问卷答题的正确率分别为
.
A：讲座前10位居民问卷答题的正确率按小到大排列为
其中位数为，故A错误；
B：讲座后10位居民问卷答题的正确率的众数为，故B正确；
C：由图可知，10位讲座前的居民问卷答题的正确率波动比讲座后的大，
所以10位讲座前的居民问卷答题的正确率的方差大于讲座后的方差，故C错误；
D：讲座前10位居民问卷答题的正确率的极差为，
讲座后10位居民问卷答题的正确率的极差为，
，故D错误.
故选：B.
7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过观察散点图并结合选项函数的类型得出结果.
【详解】观察散点图，可知是一个单调递减的曲线图，结合选项函数的类型可得回归方程类型是反比例类型，故C正确.
故选：C.
8．（2023·云南昆明·统考模拟预测）仓廪实，天下安．粮食安全是国家安全的重要基础．某实验农场为研究甲、乙两品种土豆苗的生长状态，从种植的甲、乙两品种土豆苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高（单位：cm）数据如下表所示，则下列结论中表述不正确的是（ ）
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲品种 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙品种 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A．甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差
B．甲品种土豆苗样本株高的方差大于乙品种土豆苗样本株高的方差
C．甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数
D．甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值
【答案】B
【分析】将甲乙两组样本数据从小到大排序，分别计算极差、中位数、平均数、方差，比较结果即可得答案.
【详解】甲品种土豆样本从小到大排序为76，81，82，82，83，83，88，89，91，93，
所以极差为，中位数为，平均值为，
方差为乙品种土豆样本从小到大排序为68，71，72，74，80，88，88，89，90，95，
所以极差为，中位数为，平均值为，
方差为，
甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差，故A正确；
甲品种土豆苗样本株高的方差小于乙品种土豆苗样本株高的方差，故B不正确；
甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数，故C正确；
甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值，故D正确.
故选：B
9．（2023·天津河北·统考二模）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，以及极值、频数以及平均数的计算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于A，由，可解得，故选项A正确；
对于B，得分在80分及以上的人数的频率为，
故人数为，故选项B正确；
对于C，频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值，故选项C不正确；
对于D，这组数据的平均数的估计值为：，故选项D正确.
故选：C.
10．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）
A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；
B．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；
C．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；
D．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.
【答案】C
【分析】设该直播间第一季度总收入为单位1，结合图中数据对四个选项一一进行判断.
【详解】A选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则设该直播间第二季度总收入为单位2，该直播间第三季度总收入为单位4，所以第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，故A错误；
B选项，因为第三季度总收入是第一季度总收入的4倍，设该直播间第一季度总收入为单位1，故该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍，B错误；
C选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，故直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍，C正确；
D选项，设该直播间第一季度总收入为单位1，则该直播间第三季度食品收入为，前两个季度的食品收入之和为，
因为，故该直播间第三季度食品收入高于前两个季度的食品收入之和，D错误.
故选：C
11．（2023·山西阳泉·统考二模）2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（ ）
A．选考科目甲应选物理、化学、历史
B．选考科目甲应选化学、历史、地理
C．选考科目乙应选物理、政治、历史
D．选考科目乙应选政治、历史、地理
【答案】D
【分析】根据雷达图得到两位同学综合指标值顺序，然后根据选科要求从高到低选择即可.
【详解】根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史（化学）、地理、生物、政治，
乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理（政治）、地理、生物、化学，
根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理.
故选：D
12．（2023·全国·模拟预测）我国是人口大国，21世纪以来的22年中（2001-2022年），人口出生数量（万）的变化趋势如下图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．22年中，人口出生数量的极差大于900万
B．22年中，人口出生数量的中位数是1606万
C．22年中，按平均数来考查，人口出生数量最近4年的平均数与最初4年的平均数之差的绝对值大于500万
D．近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势
【答案】C
【分析】根据折线统计图的数据一一分析即可.
【详解】这22年中，人口出生数量的极差为，故A正确；
将这年人口出生数量从小到大排列为：956，1062，1202，1465，1523，1584，1593，1594，1596，1599，1604，1608，
1615，1617，1635，1640，1647，1655，1687，1702，1765，1883，
所以人口出生数量的中位数为，故B正确；
最近4年人口出生数量的平均数为，
最初4年人口出生数量的平均数为，
由于，故C错误；
由题图可知，近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势，故D正确．
故选：C．
13．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断.
【详解】由频率分布直方图可知众数为，即，
平均数，
显然第一四分位数位于之间，则，解得，
所以.
故选：A
14．（2023·湖北·统考模拟预测）云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量 价格走势 市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播+电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网+旅游”聚焦特色农产品 绿色食品 生态景区资源.下面是2022年7月到12月份该镇甲 乙两村销售收入统计数据（单位：百万）：
甲：5，6，6，7，8，16；
乙：4，6，8，9，10，17.
根据上述数据，则（ ）
A．甲村销售收入的第50百分位数为7百万
B．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数
C．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数
D．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差
【答案】B
【分析】对于A，求出这组数据的第50百分位数即可判断；对于B，分别求出，即可判断；对于C，分别求出甲村销售收入的中位数和乙村销售收入的中位数即可判断；对于D，分别求出甲村销售收入的方差和乙村销售收入的方差即可判断.
【详解】对于A，因为，所以这组数据的第50百分位数为，故A错误；
对于B，，
故甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数，故B正确；
对于C，甲村销售收入的中位数为，乙村销售收入的中位数为，
则甲村销售收入的中位数小于乙村销售收入的中位数，故C错误；
对于D，甲村销售收入的方差
，
乙村销售收入的方差
，
所以甲村销售收入的方差小于乙村销售收入的方差，故D错误.
故选：B
15．（2023·江西新余·统考二模）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
【答案】C
【分析】根据每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，即可判断选项A；根据近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，即可判断选项B；由中位数的计算方法，可得近十年农村居民国内游客人数的中位数，即可判断选项C；根据2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断选项D.
【详解】由图可知，每一年城镇居民国内游客人数都多于农村居民国内游客人数，
所以近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故选项A正确；
由图可知，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数波动大，
所以由方差的意义可知，近十年城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故选项B正确；
将近十年农村居民国内游客人数从小到大进行排列，
可得近十年农村居民国内游客人数的中位数为，故选项C错误；
由图可知，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，
所以2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故选项D正确.
故选：C.
16．（2023·河南安阳·统考三模）小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元元人民币），则平均数和方差分别为（ ）
A．20，50 B．140，350 C．140，700 D．140，2450
【答案】D
【分析】根据一组数据同乘以一个数后的平均数以及方差的性质计算，即可得答案.
【详解】由题意知这些商品的价格如果按人民币计算，价格是按美元计算的价格的7倍，
故按人民币计，则平均数和方差分别为，
故选：D
17．（2023·全国·校联考模拟预测）《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件．实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望．为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10位居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：
答题居民序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 72 83 65 76 88 90 65 90 95 76
测下列说法错误的是（ ）
A．该10位居民的问卷得分的极差为30
B．该10位居民的问卷得分的中位数为94
C．该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数
D．该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.2
【答案】B
【分析】由极差、中位数和平均数的定义可判断A，B，C；求出该社区居民问卷得分不低于90分的概率可判断D.
【详解】将这10位居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65，65，72，76，76，83，88，90，90，95，
所以极差为95-65=30，故A正确；
中位数为，故B错误；
平均数为，故C正确；
由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为，故D正确．
故选：B．
18．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下
甲 7 8 9 5 4 9
乙 7 8 a 8 7 7
则下列说法正确的是（ ）
A．若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
B．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差
C．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定
D．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定
【答案】C
【分析】分别计算甲乙的中位数、极差、平均数、方差即可判断各选项.
【详解】甲射击成绩的中位数为，极差为，平均成绩为，方差为；
对于A，当时，乙射击成绩的中位数为，A错误；
对于B，当时，乙射击成绩的极差为，B错误；
对于C、D，当时，乙平均成绩为，方差为，
故，由此可知乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定，C正确，D错误.
故选：C.
19．（2023·宁夏银川·校联考二模）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程．则当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为（ ）
x（次数/分钟） 20 30 40 50 60
y（℃） 25 27.5 29 32.5 36
A．38℃ B．39℃ C．40℃ D．41℃
【答案】C
【分析】根据题意，先求得样本中心点的坐标从而得到，然后将代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，则样本中心点为，
代入，可得，即，
所以，
当时，.
所以当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为40℃.
故选:C
20．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩（满分100分）分成共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.分析样本数据后，发现学生的竞赛分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，频率近似为样本方差.若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优胜奖杯的人数为（ ）（结果四舍五人保留到整数位）参考数据：若，则.
A．15 B．16 C．34 D．35
【答案】B
【分析】首先根据频率直方图得到，，再根据正态分布求解即可.
【详解】由题意得各组的频率依次为，
则，，
所以.
因为，
所以此次竞赛获得优胜奖杯的人数约为.
故选：B
21．（2023·广西·统考模拟预测）某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】C
【分析】由频率分布直方图求出样本中优秀的学生频率，即可得出答案.
【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为，
则这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生大约有（人）.
故选：C.
22．（2023·江西九江·统考三模）为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲、乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲、乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是（ ）
A．甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数
B．甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
C．甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
D．甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数
【答案】C
【分析】分别对茎叶图和频率分布直方图的中位数与平均数进行计算即可.
【详解】由茎叶图可知，甲组个数据从小到大排列依次为：，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，.
其中位数为中间两个数（第个与第个）的平均数，即，
平均数为
.
由频率分布直方图，中位数定义及直方图中数据关于中间组对称：乙组数据的中位数的估计值为最高矩形的中点，即，
平均数的估计值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，
即平均数为.
∴甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数.
故选：C.
23．（2023·天津河西·统考一模）某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中的值为0.020；
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；
C．估计样本数据的75%分位数为88；
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．
【答案】B
【分析】A.根据频率和为1，计算的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计算体测成绩在内的频率，再结合总人数，即可判断D.
【详解】A.由频率分布直方图可知，，
得：，故A错误；
B.，故B正确；
C.设百分位数，易得，
则，
解得：，故C错误；
D.则体测成绩在的频率为，
估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为人，故D错误.
故选：B.
24．（2023·甘肃·模拟预测）如图，一组数据，，，…，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据平均数的定义可得，根据，，结合平均数定义求，再结合方差的意义判断的大小关系，由此判断正确选项.
【详解】由题意，得，则，
又，，
故，
∵，是波动幅度最大的两个点的值，
则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
故.
故选：D.
二、多选题
25．（2023·河南·模拟预测）2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是（ ）
A．2022年比2021年平均每月举报信息数量多 B．举报信息数量按月份比较，8月平均最多
C．两年从2月到4月举报信息数量都依次增多 D．2022年比2021年举报信息数据的标准差大
【答案】BD
【分析】根据表中的数据逐项计算得出结论.
【详解】对于A，由图表可以看出2022年的数据基本在2021年之上，但7月份，8月份和11月份2021年的数据较2022年大，
其差距与1月份，2月份和12月份基本相等，所以2022年的月平均数要大一些，正确；
对于B，从2年的角度看，8月份平均最多，正确；
对于C，从图表可以看出，从2月份到4月份，两条曲线都是递增的，正确；
对于D，从图表可以看出2022年的数据更加集中，即标准差更小，错误；
故选：BD.
26．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为5
B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性
C．决定系数越小，模型的拟合效果越差
D．若，则
【答案】CD
【分析】求出60%分位数判断A；利用相关系数的意义判断B；利用决定系数的意义判断C；利用二项分布的方差公式计算判断D作答.
【详解】对于A，由，得数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为6，A错误；
对于B，相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量的相关性很弱，B错误；
对于C，决定系数越小，表示残差平方和越大，则模型的拟合效果越差，C正确；
对于D，由，得，所以，D正确.
故选：CD
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（ ）．
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是4，中位数是5
C．极差是4，平均数是2 D．平均数是4，众数是5
【答案】BCD
【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】对于A，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A不正确，
对于B，有可能出现点数1，例如；
对于C，有可能出现点数1，例如；
对于D，有可能出现点数1，例如；
故选：BCD.
28．（2023·山西晋中·统考三模）ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（ ）
A．76% B．77.5% C．80% D．81.5%
【答案】ABC
【分析】分别求出另外两所学校都小于或等于71%时和另外两所学校都大于或等于85%时的中位数，即可得解.
【详解】当另外两所学校都小于或等于71%时，中位数为，此时中位数最小，
当另外两所学校都大于或等于85%时，中位数为，此时中位数最大，
故中位数的取值区间.
故选：ABC.
29．（2023·吉林·统考模拟预测）人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长们直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我囯居民人均消费支出分别为6393元和6738元，图1 图2分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则（ ）
A．2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B．2023年一季度居民食品烟酒 衣着 居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低
C．2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D．2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
【答案】AD
【分析】由居民人均消费支出构成分布图得出相关数据，求解计算，即可得出答案.
【详解】对于A项，由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，故A项正确；
对于B项，由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，故B项错误；
对于C项，由居民人均消费支出构成分布图可知，2022年一季度居民人均交通通信支出消费支出为，2023年一季度居民人均交通通信支出消费支出为，故C项错误；
对于D项，因为，故D项正确.
故选：AD.
30．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．第40百分位数
【答案】AD
【分析】根据中位数，平均数，方差及百分位数的定义，举例说明即可.
【详解】设这个数分别为，
且，
则中位数为，
去掉最大和最小的数据，得，中位数为，
故中位数一定不变；
由，得的第40百分位数为，
由，得的第40百分位数为，
故第40百分位数不变，
设这个数分别，
则平均数为，
去掉最大和最小的数据为，
此时平均数为，所以此时平均数改变了；
设这个数分别，
则平均数为，
方差为
，
去掉最大和最小的数据为，
则平均数为，
方差为，
所以此时方差都改变了.
故选：AD.
31．（2023·吉林长春·统考模拟预测）下列命题中正确的是（ ）．
A．已知随机变量，且满足，则
B．已知一组数据：7，8，4，7，2，4，5，8，6，4，则这组数据的第60百分位数是6
C．已知随机变量，则
D．某学校有A，B两家餐厅，某同学第1天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，如果第一天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去B餐厅的概率为0.3
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的原则，即可求解判断A；根据百分位数的定义计算即可判断B；根据二项分布方差的性质计算即可判断C；根据条件概率和全概率公式计算即可判断D.
【详解】A：或或，解得或或，所以，故A正确；
B：这组数据为，，所以这组数据的第60百分位数为，故B错误；
C：由题意得，所以，故C正确；
D：设表示“第1天去A餐厅用餐”，设表示“第2天去A餐厅用餐”，
设表示“第1天去B餐厅用餐”，设表示“第2天去B餐厅用餐”，
则，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
32．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．
【答案】6
【分析】首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】依题意这个数据从小到大排列为、、、、、、、、、，
又，所以这组数据的分位数是第个数.
故答案为：
33．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的分位数为___________万.
名称 青岛 济南 泰安 烟台 临沂 日照 聊城 威海 济宁 德州 淄博 滨州 东营 潍坊 枣庄 菏泽
人口数/万 1007 920 547 710 1102 297 595 291 836 561 470 393 219 939 386 880
【答案】880
【分析】将16个城市的人口数从小到大排序，根据百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，将16个城市的人口数从小到大排序：219，291，297，386，393，470，547，561，595，710，836，880，920，939，1007，1102，
因为，所以该组数据的分位数是第12个数，即为880，
所以该组数据的分位数为.
故答案为：.
34．（2023·四川南充·统考三模）一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递___________万件.
【答案】1400
【分析】由两个条形图计算三年收发快递的总数，再计算平均数.
【详解】由图可知，三年共收发快递万件，
所以这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递万件.
故答案为：1400.
35．（2023·安徽淮南·统考二模）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________.
【答案】23.7
【分析】把15个数据由小到大排列，求出第70百分位数作答.
【详解】15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，
22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，
由，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7.
故答案为：23.7
36．（2023·宁夏银川·校联考二模）有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．
附
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指．
以上命题错误的序号是__________．
【答案】②
【分析】求出两组数据的中位数判断①；利用相关系数的意义判断②；利用的观测值与要求的临界值对判断③；利用残差的意义判断④.
【详解】对于①，甲组数据的中位数为，乙组数据的中位数为，故①正确；
对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，故②错误；
对于③，的观测值约为，认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过，故③正确；
对于④，残差分析中，相应数据的残差，故④正确，
所以命题错误的序号是②.
故答案为：②
37．（2023·甘肃武威·统考三模）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．
【答案】
【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.
【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人，可得高三年级共有90人，
又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为，
设该校共有名学生，可得，解得（人），
即该校共有名学生.
故答案为：.
四、解答题
38．（2023·河南郑州·模拟预测）2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在，的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．
【答案】(1)平均数73，中位数
(2)
【分析】（1）由频率分布直方图的平均数及中位数计算公式计算即可；
（2）先确定在的学生中应分别抽取的人数，列举各种可能计算概率即可.
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩
.
设中位数为，则，
解得.
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人，
记抽取成绩在的4人为：，抽取成绩在的2人为：，
从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，，共15种，
抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是，，只有9种，
故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在的概率
39．（2023·河南安阳·统考三模）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；
(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）
【答案】(1)
(2)
(3)（元）
【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，即可求得答案;
（2）确定m的范围，结合频率分布直方图列式计算，可得答案；
（3）计算出区间内的居民年用水量分别超出的吨数，结合频率分布直方图列式计算，即得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图得，
解得.
（2）在200户居民年用水量频率分布直方图中，
前5组频率之和为，
前4组频率之和为，
所以，
由，解得.
（3）由题可知区间内的居民年用水量分别取为代表，则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，
则元，
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为元.
40．（2023·全国·校联考模拟预测）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：
(1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200，300]内应抽取的中小微企业数为m．
①求m的值；
②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的概率．
【答案】(1)a=0.004，中位数为158万元
(2)①m=5；②．
【分析】（1）由频率分布直方图中概率之和为1求出a的值，再由频率分布直方图中位数的计算方式求解即可；
（2）①先确定抽取比例，再由分层抽样的定义求解即可；②先求出从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况，再求出这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的情况，由古典概型的公式代入求接即可得出答案.
【详解】（1）由频率分布直方图，得（0.002+0.003+2a+0.006+0.001）×50=1，解得a=0.004．
设中位数为t，专项贷款金额在[0，150）内的频率为0.45，在[150，200）内的频率为0.3，
所以中位数t在[150，200）内，所以（t-150）×0.006=0.05，解得t≈158，
所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元．
（2）①由题意，得抽取比例为，
专项贷款金额在[200，300]内的中小微企业有120×50×（0.004+0.001）=30家，
所以应抽取家，所以m=5．
②在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[200，250）内的有家，
记为A，B，C，D，专项贷款金额在[250，300]内的有家，记为E．
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的情况为ABC，ABD，ACD，BCD，共4种，
所以所求概率．
41．（2023·四川凉山·三模）4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级100名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
读书平均时长（单位：分钟）
人数 10 30 40 10 10
语文成绩优秀 2 20 30 8 8
(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)以样本频率估计概率，现从该学校课外阅读平均时长在，，的学生中各随机选取一名学生成绩进行研究，记所选出的3名学生中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)平均数为46，中位数为
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由频数分布表中，平均数和中位数的定义求即即可；
（2）先求出从课外阅读平均时长在，，的学生中各随机选取一名学生的语文成绩为优秀的概率，求出X的可能取值和每个X对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望的公式求出.
【详解】（1）该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数为
，
设中学高三年级学生每天课外阅读时间的中位数为，
所以，解得：，
该中学高三年级学生每天课外阅读时间的中位数为.
（2）从课外阅读平均时长在，，的学生中各随机选取一名学生的语文成绩为优秀的概率分别为，，，
∴X的可能取值为0，1，2，3
∴
所以，X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴.
42．（2023·河南·校联考模拟预测）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
(1)估计两组测试的平均成绩，
(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
【答案】(1)“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71
(2)
【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案.
（2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【详解】（1）由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得．
其中“田径队”的平均成绩为：
，
“足球队”的平均成绩为：
.
（2）“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人）．
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C．
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为．
43．（2023·辽宁·校联考二模）根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：
(1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
【答案】(1)0.71
(2)①；②．
【分析】（1）运用频率分布直方图求得其平均数及即可.
（2）运用对立事件的概率公式、古典概型概率及运用导数研究函数的单调性，进而求得最值即可.
【详解】（1）由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，
所以，，
则，，，
则一等品内径在内，即，
二等品内径在内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率为：
．
（2）①从件正品中任选2个，有种选法，其中等级相同的有种选法，
所以某箱产品抽检被记录为B的概率为：．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，
则5箱产品恰有3箱被记录为B的概率为：
，
，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，
此时，，解得或（舍去）．
所以当时，取得最大值.
44．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）碳中和是指国家 企业 产品 活动或个人在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林 节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对"零排放."2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出："中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.某工厂响应国家号召，随着对工业废气进行处理新技术不断升级，最近半年二氧化碳排放量逐月递减，具体数据如下表：
月份序号 1 2 3 4 5 6
碳排放量（吨） 100 70 50 35 25 20
并计算得.
(1)这6个月中，任取2个月，求已知其中1个月的碳排放量低于6个月碳排放量的平均值的条件下，另1个月碳排放量高于6个月碳排放量的平均值的概率；
(2)若用函数模型对两个变量月份与排放量进行拟合，根据表中数据，求出关于的回归方程.
附：对于同一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出6个月碳排放量的平均值，确定碳排放量低于平均值月数，再利用条件概率求解作答.
（2）对两边取对数得，利用给定数据结合最小二乘法公式求出回归方程作答.
【详解】（1）6个月碳排放量的平均值为，因此碳排放量低于50的有3个月，
“从6个月中，任取2个月，其中一个月碳排放量低于50”为事件，“1个月碳排放量高于50”为事件，
，，
由条件概率公式可得
所以所求概率为.
（2）由，两边取对数得，而，，
因此，
，
所以回归方程为：，即，亦即，
所以关于的回归方程是.
45．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
【答案】(1)76
(2)
【分析】（1）利用频率分布直方图，根据平均数的计算方法即可求得答案;
（2）确定成绩不足70分的两组学生的比例，即可确定抽查的6人中各组抽的人数，列举出6人中任意选取2人的所有可能情况，再列出选取的2人中恰有1人成绩在内的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】（1）；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在和内的人数比例为，
所以抽取的6人中，成绩在内的有人，记为，；
成绩在内的有人，记为，，，，
从6人中任意选取2人，有，，，，，，，，，，，，共15种可能；
其中选取的2人中恰有1人成绩在区间内的有，，，，，，共8种可能，
所以所求概率.
46．（2023·河南·模拟预测）4月15日是全民国家安全教育日．以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间．同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数n（同一组数据用该组中点值代替）.
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
高敏感 低敏感 总计
男生 80
女生 80
总计 560
附：独立性检验临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
公式：，其中．
【答案】(1)，中位数62，平均数60.2
(2)列联表见解析，有
【分析】（1）根据频率分布直方图中个矩形面积之和可求得m的值；根据中位数以及平均数的计算方法可求得中位数和平均数；
（2）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较即可得结论.
【详解】（1）因为，
所以．
又，
故设中位数为x，则，所以．
平均数.
（2）由题意可得列联表如下：
高敏感 低敏感 总计
男生 80 160 240
女生 80 240 320
总计 160 400 560
,
故有的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
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专题25 统计
一、单选题
1．（2023·河北唐山·统考二模）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（ ）
A．220 B．240 C．250 D．300
2．（2023·江西上饶·统考二模）为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）
A．180 B．90 C．18 D．9
3．（2023·重庆·统考三模）从小到大排列的数据的第三四分位数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林长春·统考模拟预测）某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研，利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访，按年级人数比例进行抽样，各年级分别有效采访56人、62人、52人，经计算各年级周末作业完成时间分别为（平均）3小时、3.5小时、4.5小时，则估计总体平均数是（ ）．
A．3.54小时 B．3.64小时 C．3.67小时 D．3.72小时
5．（2023·江西九江·统考三模）为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（ ）
A．174，175 B．175，175 C．175，174 D．174，174
6．（2023·湖南邵阳·统考三模）为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）为研究每平方米平均建筑费用与楼层数的关系，某开发商收集了一栋住宅楼在建筑过程中，建筑费用的相关信息，将总楼层数与每平米平均建筑成本（单位：万元）的数据整理成如图所示的散点图：
则下面四个回归方程类型中最适宜作为每平米平均建筑费用和楼层数的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·云南昆明·统考模拟预测）仓廪实，天下安．粮食安全是国家安全的重要基础．某实验农场为研究甲、乙两品种土豆苗的生长状态，从种植的甲、乙两品种土豆苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高（单位：cm）数据如下表所示，则下列结论中表述不正确的是（ ）
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲品种 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙品种 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A．甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差
B．甲品种土豆苗样本株高的方差大于乙品种土豆苗样本株高的方差
C．甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数
D．甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值
9．（2023·天津河北·统考二模）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
10．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）
A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；
B．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；
C．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；
D．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.
11．（2023·山西阳泉·统考二模）2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（ ）
A．选考科目甲应选物理、化学、历史
B．选考科目甲应选化学、历史、地理
C．选考科目乙应选物理、政治、历史
D．选考科目乙应选政治、历史、地理
12．（2023·全国·模拟预测）我国是人口大国，21世纪以来的22年中（2001-2022年），人口出生数量（万）的变化趋势如下图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．22年中，人口出生数量的极差大于900万
B．22年中，人口出生数量的中位数是1606万
C．22年中，按平均数来考查，人口出生数量最近4年的平均数与最初4年的平均数之差的绝对值大于500万
D．近6年，人口出生数量呈现逐年下降的趋势
13．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·湖北·统考模拟预测）云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量 价格走势 市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播+电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网+旅游”聚焦特色农产品 绿色食品 生态景区资源.下面是2022年7月到12月份该镇甲 乙两村销售收入统计数据（单位：百万）：
甲：5，6，6，7，8，16；
乙：4，6，8，9，10，17.
根据上述数据，则（ ）
A．甲村销售收入的第50百分位数为7百万
B．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数
C．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数
D．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差
15．（2023·江西新余·统考二模）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
16．（2023·河南安阳·统考三模）小明在跨境电商平台上从国外购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为20，方差为50，如果按人民币计（汇率按1美元元人民币），则平均数和方差分别为（ ）
A．20，50 B．140，350 C．140，700 D．140，2450
17．（2023·全国·校联考模拟预测）《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件．实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望．为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10位居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：
答题居民序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 72 83 65 76 88 90 65 90 95 76
测下列说法错误的是（ ）
A．该10位居民的问卷得分的极差为30
B．该10位居民的问卷得分的中位数为94
C．该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数
D．该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.2
18．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下
甲 7 8 9 5 4 9
乙 7 8 a 8 7 7
则下列说法正确的是（ ）
A．若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
B．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差
C．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定
D．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定
19．（2023·宁夏银川·校联考二模）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程．则当蟋蟀每分钟鸣叫80次时，该地当时的气温预报值为（ ）
x（次数/分钟） 20 30 40 50 60
y（℃） 25 27.5 29 32.5 36
A．38℃ B．39℃ C．40℃ D．41℃
20．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩（满分100分）分成共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.分析样本数据后，发现学生的竞赛分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，频率近似为样本方差.若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优胜奖杯的人数为（ ）（结果四舍五人保留到整数位）参考数据：若，则.
A．15 B．16 C．34 D．35
21．（2023·广西·统考模拟预测）某中学调查该校学生对新冠肺炎防控的了解情况，组织一次新冠肺炎防控知识竞赛，从该学校1000名参赛学生中随机抽取100名学生，并统计这100名学生成绩的情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图估计，这1000名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
22．（2023·江西九江·统考三模）为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织甲、乙两个社会实践小组分别对某块稻田的稻穗进行调研，甲、乙两个小组各自随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下统计表（频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则下列结论正确的是（ ）
A．甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数大于乙组平均数
B．甲组中位数大于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
C．甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数等于乙组平均数
D．甲组中位数小于乙组中位数，甲组平均数小于乙组平均数
23．（2023·天津河西·统考一模）某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中的值为0.020；
B．同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；
C．估计样本数据的75%分位数为88；
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5000人．
24．（2023·甘肃·模拟预测）如图，一组数据，，，…，，的平均数为，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
25．（2023·河南·模拟预测）2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是（ ）
A．2022年比2021年平均每月举报信息数量多 B．举报信息数量按月份比较，8月平均最多
C．两年从2月到4月举报信息数量都依次增多 D．2022年比2021年举报信息数据的标准差大
26．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为5
B．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性
C．决定系数越小，模型的拟合效果越差
D．若，则
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（ ）．
A．中位数是3，众数是2 B．平均数是4，中位数是5
C．极差是4，平均数是2 D．平均数是4，众数是5
28．（2023·山西晋中·统考三模）ChatGPT是OpenAI公司推出的一种人工智能聊天机器人，不仅能流畅对话，还能写诗、撰文、编码等．一经推出，便受到广泛关注，并产生了丰富的社会应用．某调查机构为了解美国大学生用ChatGPT代写作业的学生比例，对8所高校进行了调查，其中6所学校给出了代写作业的学生占比，将数据从小到大依次排列为：71%、75%、77%、80%、82%、85%，另外两所学校以侵犯隐私为由拒绝给出调查数据，那么这8所学校使用ChatGPT代写作业的学生比例的中位数可能是（ ）
A．76% B．77.5% C．80% D．81.5%
29．（2023·吉林·统考模拟预测）人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长们直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我囯居民人均消费支出分别为6393元和6738元，图1 图2分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则（ ）
A．2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B．2023年一季度居民食品烟酒 衣着 居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低
C．2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D．2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
30．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．第40百分位数
31．（2023·吉林长春·统考模拟预测）下列命题中正确的是（ ）．
A．已知随机变量，且满足，则
B．已知一组数据：7，8，4，7，2，4，5，8，6，4，则这组数据的第60百分位数是6
C．已知随机变量，则
D．某学校有A，B两家餐厅，某同学第1天午餐时间随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，如果第一天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去B餐厅的概率为0.3
三、填空题
32．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值．直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数．例如：中位数就是一个50%分位数.2023年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高．他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是________．
33．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）在全国第七次人口普查中，山东省16个城市的人口数（单位：万）如下表所示，则该组数据中的分位数为___________万.
名称 青岛 济南 泰安 烟台 临沂 日照 聊城 威海 济宁 德州 淄博 滨州 东营 潍坊 枣庄 菏泽
人口数/万 1007 920 547 710 1102 297 595 291 836 561 470 393 219 939 386 880
34．（2023·四川南充·统考三模）一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递___________万件.
35．（2023·安徽淮南·统考二模）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.我国成人的BMI数值标准为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1.则该组数据的第70百分位数为______________.
36．（2023·宁夏银川·校联考二模）有如下四个命题：
①甲乙两组数据分别甲：1，2，3，4，5，6，7，8，9；乙：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．则甲乙的中位数分别为5和5.5．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值约为4.567，则认为两个变量有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．
附
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应数据的残差是指．
以上命题错误的序号是__________．
37．（2023·甘肃武威·统考三模）为庆祝中国共产党第二十次代表大会胜利闭幕，某高中学校在学生中开展了“学精神，悟思想，谈收获”的二十大精神宣讲主题活动．为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况，校团委利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了85人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人．
四、解答题
38．（2023·河南郑州·模拟预测）2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在，的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．
39．（2023·河南安阳·统考三模）某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量（单位：吨）数据，按分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求直方图中的值；
(2)根据频率分布直方图估计该市的居民年用水量不超过吨，求的值；
(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.（每组数据以所在区间的中点值为代表）
40．（2023·全国·校联考模拟预测）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：
(1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家，记专项贷款金额在[200，300]内应抽取的中小微企业数为m．
①求m的值；
②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200，250）内的概率．
41．（2023·四川凉山·三模）4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级100名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
读书平均时长（单位：分钟）
人数 10 30 40 10 10
语文成绩优秀 2 20 30 8 8
(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)以样本频率估计概率，现从该学校课外阅读平均时长在，，的学生中各随机选取一名学生成绩进行研究，记所选出的3名学生中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．
42．（2023·河南·校联考模拟预测）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：
(1)估计两组测试的平均成绩，
(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．
43．（2023·辽宁·校联考二模）根据以往大量的测量知某加工厂生产的钢管内径尺寸X服从正态分布，并把钢管内径在内的产品称为一等品，钢管内径在内的产品称为二等品，一等品与二等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品回收．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得钢管内径的样本数据的频率分布直方图如图：
(1)通过检测得样本数据的标准差，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，根据所给数据求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)假如企业包装时要求把2个一等品和个二等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值，并求出最大值．
参考数据：
44．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）碳中和是指国家 企业 产品 活动或个人在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室气体排放总量，通过植树造林 节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排放量，实现正负抵消，达到相对"零排放."2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出："中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.某工厂响应国家号召，随着对工业废气进行处理新技术不断升级，最近半年二氧化碳排放量逐月递减，具体数据如下表：
月份序号 1 2 3 4 5 6
碳排放量（吨） 100 70 50 35 25 20
并计算得.
(1)这6个月中，任取2个月，求已知其中1个月的碳排放量低于6个月碳排放量的平均值的条件下，另1个月碳排放量高于6个月碳排放量的平均值的概率；
(2)若用函数模型对两个变量月份与排放量进行拟合，根据表中数据，求出关于的回归方程.
附：对于同一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
45．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）；
(2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率.
46．（2023·河南·模拟预测）4月15日是全民国家安全教育日．以人民安全为宗旨也是“总体国家安全观”的核心价值.只有人人参与，人人负责，国家安全才能真正获得巨大的人民性基础，作为知识群体的青年学生，是强国富民的中坚力量，他们的国家安全意识取向对国家安全尤为重要.某校社团随机抽取了600名学生，发放调查问卷600份（答卷卷面满分100分）．回收有效答卷560份，其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之间．同时根据560份有效答卷的分数，绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并求出这560份有效答卷得分的中位数和平均数n（同一组数据用该组中点值代替）.
(2)如果把75分及以上称为对国家安全知识高敏感人群，74分及以下称为低敏感人群，请根据上述数据，完成下面2×2列联表，并判断能否有的把握认为学生性别与国家安全知识敏感度有关．
高敏感 低敏感 总计
男生 80
女生 80
总计 560
附：独立性检验临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
公式：，其中．
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