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专题31 坐标系与参数方程
一、单选题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换后为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
3．（2023·全国·模拟预测）赵州桥是世界上现存年代最久远，跨度最大，保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥．赵州桥的设计应用到平摆线：当一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的定点的轨迹为平摆线．赵州桥的拱可以近似看作平摆线，设拱与水面交于，两点（在的左侧），，若拱左半部分的一点到水面的距离为，则线段长度的近似值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2023·江西上饶·统考二模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．P点横坐标的取值范围是 D．面积的最大值为
6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l与椭圆相切于点P，与圆交于A，B两点，圆在点A，B处的切线交于点Q，O为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知曲线，则（ ）
A．曲线关于直线轴对称
B．曲线与直线有唯一公共点
C．曲线与直线没有公共点
D．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为
10．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
11．（2023·安徽淮南·统考二模）当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线.如图，圆心为，半径为1的圆B，圆上定点M初始位置在原点，当圆B沿着x轴正向滚动，且半径BM旋转角度为φ，则以下结论正确的为（ ）
A．若，则点M的坐标为
B．圆B滚动一周，得到的摆线长等于圆周长
C．若圆B滚动角度时，点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为
D．若定点M总在直线的下方，则a的取值范围为
三、填空题
12．（2023·陕西榆林·统考一模）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
13．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是______.
14．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若复数，且，则__________.
四、解答题
15．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.
(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；
(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.
16．（2023·河南·模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，曲线的极坐标方程为，曲线，的交点为，．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)圆经过，，M三点，过原点的两条直线，分别交圆于A，B和C，D四点，求证：．
17．（2023·四川凉山·三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于点A，B，且，求的值．
18．（2023·广西桂林·校考模拟预测）曲线的参数方程为：，为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程.
(2)若直线与曲线相交于点A，点B在圆：上，求的最小值及此时的值.
19．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程；
(2)若曲线和曲线与直线分别交于非坐标原点的，两点，求的值.
20．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，得到曲线的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线经过伸缩变换得到曲线，直线l与交于A，B两点，求的面积．
21．（2023·陕西·统考一模）在平面直角坐标系中，直线过定点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，设，若，求直线的方程.
22．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），分别与x轴、y轴交于A、B两点．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)与坐标轴交于A，B两点，求；
(2)求上的点到直线AB距离的最小值．
23．（2023·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的直角坐标为，若直线l与曲线C交于M，N两点，求的最大值．
24．（2023·河南安阳·统考三模）在直角坐标系中，直线（为参数，）经过点，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
25．（2023·河南郑州·三模）在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若曲线：分别交曲线，（不包括极点）于A、B两点，求的最大值．
26．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. 以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.
(1)求圆及直线的直角坐标方程；
(2)若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最小值.
27．（2023·四川南充·统考三模）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线的普通方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；
(2)设点，且曲线与曲线交于点两点，求的值.
28．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是.
(1)求曲线的直角坐标方程与参数方程;
(2)设点为直线上个不同的动点，且，点为曲线上的任意一点，求面积的取值范围.
29．（2023·甘肃·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，（为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的参数方程；
(2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值.
30．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若与C交于M，N两点，点，求的值.
31．（2023·江西九江·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.
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专题31 坐标系与参数方程
一、单选题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由伸缩变换得,，代入原式得出选项.
【详解】因为，得,，代入，可得，化简可得.
故选：A.
2．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且，若AD与BE交于M，若，则正三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，利用向量共线和向量的数量积的坐标表示进行计算求解.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设正三角形ABC的边长为，则，
因为，所以，，，设，
所以，，因为点三点共线，所以，
解得，所以，所以，，
由有：，解得，所以的边长为，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）赵州桥是世界上现存年代最久远，跨度最大，保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥．赵州桥的设计应用到平摆线：当一个圆沿着一条直线作无滑动的滚动时，圆周上的定点的轨迹为平摆线．赵州桥的拱可以近似看作平摆线，设拱与水面交于，两点（在的左侧），，若拱左半部分的一点到水面的距离为，则线段长度的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题中的图形特征和数据特征，计算长度的近似值.
【详解】设圆的半径为，由题意可知，与圆的周长相等，则有，，
到水面的距离为，可看作圆近似滚动个圆周，如图所示，
，，为垂足，则，，，
故选：B
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；
法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.
【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，
得，显然，设，则，
所以，
又，
所以，
所以.
法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，
故直线的参数方程为（为参数），代入，
整理得，，显然，
设该方程的两根为，则，
，所以.
故选：.
5．（2023·江西上饶·统考二模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．P点横坐标的取值范围是 D．面积的最大值为
【答案】B
【分析】结合题意，可得到点P极坐标方程为，直角坐标系方程为..A选项，注意到当时，，即可判断选项正误；B选项，由极坐标方程可得范围；C选项，由可得，可得P点横坐标的范围；D选项，注意到，即可判断选项正误.
【详解】由题可得，
化简得：，∴点轨迹的直角坐标方程为：，
代入，得极坐标方程为：.
A选项：当时，，此时，即点P坐标可以为，
此时，故A错误；
B选项，注意到，故B正确；
C选项，
，故C错误；
D选项，：，
又注意到与有交点，即存在点P使，则面积的最大值为，故D错误．
故选：B．
6．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l与椭圆相切于点P，与圆交于A，B两点，圆在点A，B处的切线交于点Q，O为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由，，，四点共圆，结合圆与圆的位置关系得出相交弦方程，再由与椭圆相切，可得过的切线方程，从而得出，，再由椭圆的参数方程和向量的运算，结合正弦函数的性质求出最大值．
【详解】设，，由，，可得四点，，，共圆，
可得以为直径的圆，方程为，
联立圆，相减可得的方程为，
又与椭圆相切，若不与轴垂直时，
当时，可化为，
设，在的切线方程为，
即，同理可得时，在的切线方程为，
若轴时，在点处的切线方程为，满足
故过的切线方程为，即为，
由两直线重合的条件可得，，
由于在椭圆上，可设，，，
即有，，
可得，
且，，
即有
，
当即或或或时，的面积取得最大值．
故选：．
【点睛】关键点睛：在求面积的最大值时，关键在于利用椭圆的参数方程设出点的坐标，进而结合三角恒等变换以及正弦函数的性质得出面积的最大值.
7．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线与椭圆的两个交点且，其中与关于x轴对称，设直线为代入椭圆，应用韦达定理结合求参数a，即可求离心率.
【详解】由题设，椭圆右焦点，且曲线恒过，不妨令，
对于直线与椭圆的两个交点，其中与关于x轴对称，
所以，即，故，
令直线为代入椭圆方程整理得：，
则，，而，
，则，可得（负值舍），
所以.
故选：A
8．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】D
【分析】先求出的轨迹，其轨迹方程为，取，结合特殊情形可得“当取定值， 是定值”是错误的；再由 是定值可得，从而可判断当取定值， 是定值”是错误的，从而可得正确的选项.
【详解】设为椭圆上的动点，为椭圆的半焦距，
故，故
，
设直线，则到该直线的距离为，故，
如图，设直线的倾斜角为，过作的垂线，垂足为，
则，故，设，
故，同理.
设的倾斜角为，则，，
因为，故，
所以，
所以，同理，
故，
故的轨迹为以为焦点的椭圆，其长半轴长为，
短半轴长为，
故的轨迹方程为：，其中.
取，,
而，故不是定值即不是定值.
故“当取定值， 是定值”是错误的.
又直线的参数方程为：，
设，
由整理得到：
，
故，
而，故，
所以，
若为定值，则为定值，
而，
故当变化时，始终为定值，
又
故且，
但，故，
所以
，
但此时随的变化而变化，不是定值，
故“当取定值，是定值”是错误的.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知曲线，则（ ）
A．曲线关于直线轴对称
B．曲线与直线有唯一公共点
C．曲线与直线没有公共点
D．曲线上任意一点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】A只需判断对于任意、是否都有成立即可；B联立直线与曲线求交点即可判断；C联立直线与曲线得，构造，利用导数研究其在上零点个数即可；D令曲线上任意一点且，且到原点距离为，代入曲线方程得，应用换元法、三角恒等变换求最大值.
【详解】对A，将、代入有都成立，即曲线关于直线轴对称，A对；
对B，将代入曲线，整理得，
所以，即曲线与直线有唯一公共点，B对；
对C，将代入曲线，整理得，
令，则，且，
所以在上，递增，上，递减，
又，，而，
所以在上有两个零点，C错；
对D，令曲线上任意一点且，且到原点距离为，
所以，则，
若，则，
所以，
令且，则，即上单调递减，
所以在上单调递增，故，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：C转化为研究函数在上的零点个数问题；D设任意点的极坐标，应用换元法、三角恒等变换、导数研究的最值.
10．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A为坐标原点，，点列P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列 B．为公比为2的等比数列
C． D．前n项和
【答案】CD
【分析】由圆的方程写出P的参数坐标，由两点距离公式判断，由等比中项性质判断为等比数列，即可依次求得的通项公式，即可逐个判断，其中由错位相减法求和.
【详解】对AB，由点列P在圆上，则由参数方程得，则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
①②两式相除得，
令，则，则为以首项，公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
11．（2023·安徽淮南·统考二模）当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹称为摆线.如图，圆心为，半径为1的圆B，圆上定点M初始位置在原点，当圆B沿着x轴正向滚动，且半径BM旋转角度为φ，则以下结论正确的为（ ）
A．若，则点M的坐标为
B．圆B滚动一周，得到的摆线长等于圆周长
C．若圆B滚动角度时，点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为
D．若定点M总在直线的下方，则a的取值范围为
【答案】ACD
【分析】由题意，再由利用坐标化简，即可得轨迹，先判断A,C选项；再根据摆线长判断B选项，根据构造函数求最值判断D选项.
【详解】由摆线定义知是参数，
因为，所以，
故是参数，
若，则点M的坐标为,A选项正确;
圆B滚动一周，由题意知，与圆的周长相等，则得到的摆线长不等于圆周长，B选项错误;
,
,
点M从一个位置P到达位置Q，则PQ长度的最大值为，C选项正确;
因为且，
的轨迹方程为,，
,,
因为恒成立，
，故
,
单调递增,单调递减，
当时，取最大值，
，D选项正确.
故选:ACD.
三、填空题
12．（2023·陕西榆林·统考一模）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________.
【答案】2
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定交点坐标关系，利用直线和圆的几何性质，即可求得的长.
【详解】解：如图，由题可知，的坐标为，设，
联立方程组，可得，
则，.
因为为线段的中点，所以的坐标为.
又以为直径的圆与相交于两点，所以，所以，
解得，又，所以，
所以，故.
故答案为：2.
13．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆离心率为，为椭圆的右焦点，，是椭圆上的两点，且.若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设，，可表示出，，再由可得，此时表示与两点的连线的斜率，由几何意义求解即可得出实数的取值范围.
【详解】以椭圆的右焦点为极点，建立极坐标系，设，
过点作交于点，为椭圆的右准线，
过点A作极轴交极轴于点，
由椭圆的第二定义知：，则，所以，
则，代入化简可得：，
同理可得：，
由可得，
，表示与两点的连线的斜率，
而可看作圆上任意一点，
所以的几何意义为圆上一点与两点的连线的斜率，
过点作圆的切线可求出的最大值和最小值，
由分析知，过点直线的斜率一定存在，设为，
，故圆心到直线的距离为：
，化简可得：，解得：或，
所以，故.
故答案为：.
14．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若复数，且，则__________.
【答案】/
【分析】设，利用复数相等的性质得到点轨迹是以为焦点，长轴为的椭圆，从而利用图像平移变换的知识求得点的坐标表示，进而利用三角换元法与辅助角公式即可得解.
【详解】依题意，设，
则，
因为，所以，则，
因为，即，
所以，即，
令，，，则，
所以点轨迹是以为焦点，长轴为的椭圆，
因为的中点为，记，则，，
所以椭圆的图像是由以为焦点，长轴为的椭圆的图像先逆时针旋转角度，再向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到的图像，椭圆为实线部分，椭圆为虚线部分，如图，
.
因为在椭圆中，，则，，
所以椭圆的方程为，
不妨设为椭圆上的点，则可设，，
下面求逆时针旋转角度得到的点，
以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，则，其中，为与极轴所成角度，
所以，
，
接着求向右平移4个单位，向下平移3个单位得到的点，
易得，，
又因为，，
所以，，
所以，其中，
因为，的最小正周期为，
所以，则，
所以，即.
故答案为：.
【点睛】关皱点睛：本题的关键有两点：
（1）利用椭圆的定义得到的轨迹；
（2）利用点的旋转平移得到关于的关系式.
四、解答题
15．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，其中.
(1)求的普通方程与直线的直角坐标方程；
(2)直线与曲线交于A，两点，且A，两点对应的极角分别为，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程、普通方程的转化即可得出结果；
（2）先将的极坐标方程写出，再与联立解方程，由图象分析即可得出结果.
【详解】（1）由得，
消去得为的普通方程；
由，得，
令，，得为直线的直角坐标方程.
（2）在中，令，，
所以，即为的极坐标方程，
联立得，
所以，所以，又，所以，
所以或或或，解得或或或，
由图可知，两交点位于第一、四象限，所以或，
所以.
16．（2023·河南·模拟预测）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为，曲线的极坐标方程为，曲线，的交点为，．
(1)求和的直角坐标方程；
(2)圆经过，，M三点，过原点的两条直线，分别交圆于A，B和C，D四点，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用与得到曲线的极坐标方程，消去参数得到的直角坐标方程；
（2）先求出圆的方程为：，化为极坐标方程，设直线，的极坐标方程分别为，，代入圆的极坐标方程，利用根与系数关系得证.
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，
根据公式，可得：，
所以曲线直角坐标方程为：．
曲线的参数方程为（为参数），即:．
又，所以曲线的普通方程为．
（2）与联立，解得，
故曲线，的交点为，，
因为，所以点的坐标为．
因为，关于轴对称，故圆的方程的圆心在轴上，
设其方程为，将代入可得，
解得，故圆的方程为：．
将，代入可得，极坐标方程为．
设直线，的极坐标方程分别为，，
分别代入圆的极坐标方程得，
，
，
所以有．
17．（2023·四川凉山·三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于点A，B，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化，结合余弦二倍角公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程，由直线参数方程的几何意义即可求解.
【详解】（1）由得，将 代入可得，即
（2）将曲线的参数方程带入曲线得：，即
设A，B两点对应的参数分别为，，则，
所以异号，
∴
18．（2023·广西桂林·校考模拟预测）曲线的参数方程为：，为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程.
(2)若直线与曲线相交于点A，点B在圆：上，求的最小值及此时的值.
【答案】(1)（或），
(2)；
【分析】(1)通过化简即可得出普通方程，再由即可得出极坐标方程；
(2)根据题意分析，的最小值为，所以最小时，的最小，求解即可.
【详解】（1）
所以曲线的普通方程为：（或）
曲线极坐标方程为：.
（2）圆的直角坐标方程为：，
所以圆心E的直角坐标为，半径，
因为点A在曲线（或）上，如图所示，
所以点A在圆的外面，
由几何意义可知，的最小值为，
所以由图可得，当为点时，最小，最小值为，
所以的最小值为，此时.
19．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程；
(2)若曲线和曲线与直线分别交于非坐标原点的，两点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由曲线的参数方程消参得普通方程；
（2）把直线的极坐标方程代入曲线和曲线的极坐标方程，由，计算即可.
【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），则有，，
由，得，∴曲线的普通方程为；
（2）由（1）的曲线的一般方程为，化为极坐标方程：，
将代入的极坐标方程得，
将代入的极坐标方程得，
则.
20．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，得到曲线的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线经过伸缩变换得到曲线，直线l与交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)（除去点；
(2)
【分析】（1）消去参数即可得直线的方程， 可整理为，从而得到曲线的直角坐标方程；
（2）由已知可推得，代入可得，曲线的方程是，该方程表示的轨迹为圆，根据点到直线的距离公式和垂径定理即可求解.
【详解】（1）由，消去t，得，即（除去点）．
因为，，
所以直线l的极坐标方程为（除去点．
由，可得，即，
所以，所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将，，代入，得，
所以曲线的方程为．
所以曲线是圆心为，半径的圆．
所以圆心到直线l的距离．
所以．
所以的面积．
21．（2023·陕西·统考一模）在平面直角坐标系中，直线过定点，倾斜角为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，设，若，求直线的方程.
【答案】(1)曲线，直线（为参数）
(2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接得到曲线的直角坐标方程；根据直线所过定点和倾斜角，可直接得到直线的参数方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理可构造方程求得，由此可得直线方程.
【详解】（1）过定点，倾斜角为，的参数方程为：（为参数）；
由得：，
，即曲线的直角坐标方程为.
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，
即，
设对应的参数分别为，则，，
，
，又，，
，解得：，满足，
直线的斜率，
直线的方程为，即.
22．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数且），分别与x轴、y轴交于A、B两点．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)与坐标轴交于A，B两点，求；
(2)求上的点到直线AB距离的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，求出，即可求得点的坐标，令，求出，即可求得点的坐标，即可得出；
（2）根据，求得的普通方程为，设上点的坐标为，根据点到直线的距离公式结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）令，则，解得，或（舍），
则，即，
令，则，解得，或（舍），
则，即，
∴；
（2）曲线的极坐标方程为，即，
由，得的普通方程为，
设上点的坐标为，由（1）知直线AB的方程为，
则上的点到直线AB的距离，
当时，d取最小值.
23．（2023·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的直角坐标为，若直线l与曲线C交于M，N两点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据，，转化即可得解；
（2）根据直线的参数方程代入圆的方程，利用参数的几何意义及三角函数的恒等变换求最值.
【详解】（1）因为，所以，
即．
又，，，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）依题意，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得．
设点M，N所对应的参数分别为，，则，．
因为点P的坐标为，所以，．
因为，
所以，
其中，．
由，得，
所以当时，最大，且最大值为．
24．（2023·河南安阳·统考三模）在直角坐标系中，直线（为参数，）经过点，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；
(2)设直线与曲线交于两点，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直线的参数方程与普通方程的相互转化，椭圆的的参数方程与普通方程及极坐标方程的相互转化
（2）先写出直线的参数方程，再联立方程应用韦达定理求两根积即可.
【详解】（1）由题可知直线经过点，
又因为经过点，
故，
整理得的普通方程为.
曲线的普通方程为，
化为极坐标方程为.
（2）因为，所以，
则的参数方程可写为（为参数），
代入中，整理得，
设点对应的参数为，点对应的参数为，则，
由参数的几何意义，得.
25．（2023·河南郑州·三模）在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线，的极坐标方程；
(2)若曲线：分别交曲线，（不包括极点）于A、B两点，求的最大值．
【答案】(1)：，：；
(2).
【分析】（1）变形曲线的方程，曲线的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化成极坐标方程作答.
（2）把分别代入曲线，的极坐标方程，求出点的极坐标，再利用正弦函数性质求出最大值作答.
【详解】（1）因为，
则曲线的方程可化为，又，
所以的极坐标方程为；
曲线中，，即，
所以的极坐标方程为.
（2）依题意，，把代入得点的极径，
点的极径为，把代入，得，
因此，
而，即，当，即时，，
所以当时，的最大值为.
26．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为. 以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.
(1)求圆及直线的直角坐标方程；
(2)若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最小值.
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，准确运算，即可求解；
（2）将代入圆和直线的方程，求得，，化简得到，根据，求得的最大值为，进而求得有最小值.
【详解】（1）解：因为，，
由，可得，
所以圆的直角坐标方程为，即.
又由由，可得，
根据，，可得直线的直角坐标方程为.
（2）解：将代入圆和直线的极坐标方程，
可得，，所以，
则，，
所以，
因为，所以，
当，即时，有最大值为，
此时有最小值.
27．（2023·四川南充·统考三模）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线的普通方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；
(2)设点，且曲线与曲线交于点两点，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化即可求解；
（2）设出曲线的参数方程，与曲线的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解.
【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为可化为，
即，将代入可得，
的直角坐标方程为.
又因为曲线的普通方程为可化为，
将代入可得，的极坐标方程，
所以曲线的直角坐标方程为，
曲线的极坐标方程.
（2）直线的参数方程为（为参数），
将（为参数）代入得：.
显然，设点在直线上对应的参数分别为，
则，
与的夹角为，
.
28．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程是.
(1)求曲线的直角坐标方程与参数方程;
(2)设点为直线上个不同的动点，且，点为曲线上的任意一点，求面积的取值范围.
【答案】(1)，为参数
(2)
【分析】（1）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出其参数方程；
（2）将直线的参数方程化为普通方程，再的坐标为，求出到直线的距离的取值范围，即可得解.
【详解】（1）曲线的极坐标方程是，整理得，
由，可得曲线的直角坐标方程为，
化参数方程为为参数.
（2）将直线的参数方程(为参数化为普通方程为，
设的坐标为，所以到直线的距离为
.
因为，
所以，
所以面积为.
29．（2023·甘肃·模拟预测）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为，（为参数），曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的参数方程；
(2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程；
（2）曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径，由题意可得设，易知的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次函数性质即可求得最大值.
【详解】（1）由曲线的极坐标方程为，
得，即，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
由圆锥曲线参数方程定义，得曲线的参数方程为，（为参数）.
（2）由曲线的参数方程为，（为参数），
得曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径.
由题意可得设，
易知的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，
而，
又，由二次函数性质可知，当时，，
所以的最大值为.
30．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若与C交于M，N两点，点，求的值.
【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为，直线l的普通方程为
(2)
【分析】（1）由直线的参数方程消去参数，得到直线的普通方程，将代入曲线的极坐标方程，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得，设点对应的参数分别为，，求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由直线的参数方程（为参数），即（为参数），
消去参数，可得直线的普通方程为，
将代入曲线的极坐标方程，
可得，即；
所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.
（2）解：因为点在直线上，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
可得，则，
设点对应的参数分别为，，可得，显然均为正数，
所以.
31．（2023·江西九江·统考三模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）参数方程和普通方程的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化；
（2）直线的参数方程应用，根与系数关系求得斜率和范围.
【详解】（1）曲线C的普通方程为，
由，
得，
即，，
所以，又，故，即，
,所以.
（2）设，，
将代入直线l方程中，得，
则，，
，
，，
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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