2024 届高二（下）学期期中联考
数学答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B B A D C BC AB ABD ACD
1 1 2
3
321.【答案】B【详解】因为 X B 1 4, ，所以 P(X 1) C ．故选：B
3 4 3 3 81
11
2. A a a a 【答案】 【详解】因为数列 n 为等差数列，所以 S 1 1111 11a6 44，2
所以 a6 4，所以a4 a6 a8 3a6 12 .故选：A.
1 1
3.【答案】B【详解】连接OM ，由 AM AB，CN CO，
3 3
2 2 1
所以 NM NO OM OC OA AM OC OA AB
3 3 3
2 1 2 2 1 2 1 2 OC OA OB OA OC OA OB a b c．3 3 3 3 3 3 3 3
故选：D．
4.【答案】B【详解】由题设 2，而 P(0 X 4) P(0 X 2) P(2 X 4)，
又 P(0 X 2) P(2 X 4) P(X 4) P(X 2) 0.34，
所以 P(0 X 4) 0.68 .故选：B
5.【答案】B【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买
到的灯泡是乙厂产品为事件 B，
则 P A 0.6， P B 0.4，
记事件C :从该地市场上买到一个合格灯泡，则 P C A 0.95， P C B 0.9，
所以， P C P AC P BC P A P C A P B P C B 0.6 0.95 0.4 0.9
0.93 .故选：B.
6. 2【答案】A【详解】C2 : y 4cx的准线方程为 x c，经过点 F1 c,0 ，
C : x
2 y2 2 2 2
1 2 2 1(a 0,b 0) 中，令 x c
c y b
得
a b a2 b2
1，解得 y ，
a
2b2
故 MN ，
a
【高二数学答案第 1页，共 12页】
3
因为 MNF2为正三角形，所以 F1F2 MN ，2
2c 3 2b
2
即 ，联立b2 c2 a2，解得 3c2 2ac 3a2 0 ，
2 a
方程两边同时除以 a 2得 3e2 2e 3 3 0，解得 e 3或 （舍去），
3
故双曲线C1的离心率为 3 .故选：A
7.【答案】A【详解】方法 1： x2 6 x y 2可以看作 6 个 x x y 相乘，从中选 2 个 y，有
C2 3 16 种选法；再从剩余的 4 个括号中选出 3 个 x，最后一个括号选出 x2，有C4C1种选法；所
以 x5y2的系数为C2 3 16C4C1 60．
6 6
2 r 2 6 r r方法 ：因为 x2 x y x2 x y ，所以其展开式的通项公式为Tr 1 C6 (x x) y ，
r 2 (x2 x)4 Ck (x2 )4 k xk Ck x8 k令 ，得 展开式的通项公式为 4 4 ，再令8 k 5，得 k 3，
所以 x5y2 2 3的系数为C6C4 60．故选：D.
8.【答案】C【详解】如图，设 5 个区域分别是 A，B，C，D，E.
第一步，选择 1 种花卉种植在 A区域，有 6 种方法可以选择；
第二步：从剩下的 5 种不同的花卉中选择 1 种种植在 B区域，有 5
种方法可以选择；
第三步：从剩下的 4 种花卉中选择 1 种种植在 C区域，有 4 种方法可以选择；
第四步；若区域 D与区域 A种植同 1 种花卉，则区域 E可选择的花卉有 4 种；
若区域 D与区域 A种植不同种花卉，则有 3 种方法可以选择；
则区域 E可选择的花卉有4种，
故不同的种植方法种数是6 5 4 (1 4 3 4) 1920 .故选：C
9.【答案】BC 4【详解】对于 A，女生甲在排头的排法有A4种，所以女生甲不在排头的排法
5 4
总数为A5 A4 96种，故错误；
B 2 2 3对于 ， 名男同学全排列有A2 种，产生3个空，再将3名女同学排上有A3种，所以男女生
2 3
相间的排法总数为A2A3 12种，故正确；
对于 C，女生甲、乙相邻看作一个元素，再与其他 4人全排列，则女生甲、乙相邻的排法总
4 2
数A4A2 = 48种，故正确；
【高二数学答案第 2页，共 12页】
对于 D，先将除女生甲、乙以外3人全排列，排好后产生 4个空，再将女生甲、乙安排在空
3 2
位中，所以女生甲、乙不相邻的排法总数A3A4 72种，故错误．故选：BC．
7
10.【答案】AB 1 【详解】在 7 2 x x
的展开式中，二项式系数的和为 2 128，所以 A 正
7
确；令 x 1，可得展开式的各项系数的和为 2 1 1，所以 B 正确；
2 x 1
7
7 3r
又由二项式 展开式的通项为Tr 1 C
r 7 r 1 r r 7 r r 2
x 7
(2 x) ( ) ( 1) 2 C x ，
x 7
7 3r
因为 r N，所以 0，所以展开式没有常数项，所以 C 错误；
2
7 3r
令 4，可得 r = 5，所以站开始的 x 4 的系数为 ( 1)5 22C57 84，所以 D 错误.2
故选：AB.
11.【答案】ABD【详解】如图1所示，
依题意，C1D1 / /CD，C1D1 平面CHD，CD 平面CHD，则D1C1 / /平面CHD，A 正确；
建立如图 2所示的空间直角坐标系，由 AB 1，得
A(1,0,0),B(1,1,0), A1(1,0,1),C1(0,1,1)，则 AC1 1,1,1 ，DB 1,1,0 ，DA1 1,0,1 ，
因此 AC1 DB 1 1 0 0， AC1 DA1 1 0 1 0，则 AC1 BD， AC1 DA1 ，
uuur
即 AC 是平面 BDA1 1的一个法向量，所以 AC1 平面 BDA1，B 正确；
三棱锥D BAC
1 1 1
1 1的体积为VD BA V 4V1C1 ABCD A1B1C1D1 A1 ABD 1 4 1 1 1 ，C 错误；3 2 3
1
由 B 选项知， E(1, ,0)， F (
1 ,0,1) 1 1，即 EF ( , ,1)， BC 1,0,1 ，
2 2 2 2 1
【高二数学答案第 3页，共 12页】
1
EF BC 1
于是 cos EF,BC1
1 2 3 ， EF ,BC 30 ，
| EF || BC | 1 1 2 11 1 1 1
4 4
所以直线 EF 与 BC1所成的角为30 ，D 正确．
故选：ABD
3
12.【答案】ACD【详解】对于 A ， f x x 1 ax b 1，当 a 3时，
f x x 1 3 3x b 1 f x 3 x 1 2 ， 3，
令 f x 0，解得 x 0或 x 2，
f x 在 ，0 上单调递增，在 0,2 上单调递减，在 2, 上单调递增；
当 x 0时 f x 取得极大值 f 0 b，当 x 2时 f x 取得极小值 f 2 4 b ，
f 0 b 0
f x 有三个零点，
f
，解得 4 b 0，故选项 A2 正确； 4 b 0
对于 B ， f x 3 满足 f 2 x 3 f x ，根据函数的对称可知 f x 的对称点为 1, ，将
2
其代入 f x x 1 3 ax b 1，得 f 1 3 1 1 3 a 1 b 1 ，2
1
解得 a b ，故选项 B 错误；
2
对于 C ， g x f x 3x ax b， f x x 3 1 ax b 1
g x x 1 3 ax b 1 3x ax b x 1 3 3x 1 g x 2 3 x 1 3
设切点为 x 0 , x 30 1 3x 0 1 ，则切线的斜率
2
3
x 1 3x 1 m
k 3 x0 1 3 0 0x0 2
2 x
3
1 3x 1 m
化简3 x0 1 3 0 0 ，x0 2
得2x 30 9x
2
0 12x0 m 0
由条件可知该方程有三个实根， 2x3 9x2 12x m 0有三个实根，
记h x 2x3 9x2 12x m， h x 6x 2 18x 12
【高二数学答案第 4页，共 12页】
令 h x 0，解得 x 1或 x 2，
当 x 1时h x 取得极大值 h 1 5 m，当 x 2时， h x 取得极小值h 2 4 m，
因为过点 2,m 可作出曲线 g x f x 3x ax b的三条切线，
h 1 5 m 0
所以 h 5 m 4 C 2 4 m 0
，解得 ，故选项 正确；
对于 D f x x 1 3 ax b 1 f x 3 x 1 2， ， a ，
当 a 0， f x 在 x R 上单调递增；
a a a a
当 a 0， f x 在 ，1 上单调递增，在 1 ,1 上单调递减，在 1 , 3 3 3 3
上单调递增；
f x a存在极值点 x0， a
3
由 f x 0 0，得3 x0 1
2 a
令 x 1 2x 0 t ， x 1 t 2x 0
f x 0 f x 1 ，于是 f x 0 f t 2x 0 ，
x 1 3 2 2所以 0 3 x 0 1 x 0 b x 0 1 2x 0 1 b
t 2x 1 3 0 3 x 1
2
0 t 2x 0 b ，
2
化简得： t 3 3x 0 t 0，
x 0 x 1， 3x 0 t 0，于是 t 3，
x 1 2x 0 3 .故选项 D 正确；
故选：ACD.
二、填空题：
13.【答案】 ﹣1，0 【详解】抛物线 y2 4x=0的标准方程为： y2= 4x，
所以抛物线 y2 4x=0的焦点坐标为 ﹣1，0 ．故答案为： ﹣1，0 ．
14【. 答案】12【详解】从 2 位医生中选 1 人，从 4 位护士中选 2 1 2人，分到第一所学校，有C2C4
＝12 种方法，剩下的 1 位医生和剩下的 2 位护士只能分到第二所学校，只有 1 种方法，
【高二数学答案第 5页，共 12页】
1 2
根据分步计数原理得不同的分配方法共有C2C4 ×1＝12 种.故答案为：12.
15. 【答案】 2 3【详解】解：因为直线 l :kx y k 0 k R 方程变形为
l : y k x 1 k R ，
所以直线 l :kx y k 0 k R 过定点D 1,0 ，
由题知圆C : x2 y2 4x 2y 3 0的圆心为C 2,1 ，半径为 r 2 2，
因为 DC 2 r
所以，定点D 1,0 在圆C : x2 y2 4x 2y 3 0内部，
所以，当DC AB时，弦 AB取得最小值，此时 ACB也最
小，
2 2π
所以，当DC AB时，弦 AB的最小值为 2 r 2 CD 2 6 ， ACB的最小值为 ，3
2π
所以， ACB
, π3
1 2π
所以， ABC面积 S△ABC r r sin ACB 4sin ACB 4 sin 2 32 3
故答案为： 2 3
21 1
16.【答案】 【详解】设 P A a ，P B b ， P C c ，则b c ，
64 n n n n n n 1 1 2
由于棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动；
若掷出骰子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动，即顺时针与逆时针移动是等可能的，
所以bn cn ，
掷骰子 n次时，棋子共有移动到 A,B,C三种情况，故 an bn cn 1；
∵bn cn ，即bn 1 cn 1 , (n 2)，
1
又由题意可知 bn (a2 n 1
cn 1)，
1
∴ n 2时 ,bn (an 1 cn 1 )
1
(a
2 2 n 1
bn 1 )，
又∵ an 1 bn 1 cn 1 1，即 an 1 1 2bn 1，可得 2bn bn 1 1，
b 1 1 b 1 1 1 1 1 1即 n 2 n 1
，故 bn bn 1 (bn 1 )，2 3 2 2 3 2 3
【高二数学答案第 6页，共 12页】
可得数列{b
1
n }
1 1 1
是首项为b1 ，公比为 的等比数列，3 3 6 2
b 1 1 1 ( )n 1 1 1 1所以 n ，即 bn ( )
n 1，
3 6 2 3 6 2
所以 an 1 2bn 1 2[
1 1.( 1 ) n 1] 1 [1 ( 1 ) n 1] ，
3 6 2 3 2
a 1 1 6 21故 7 3
1 ( ) ，
2 64
即 P7 (A)
21
，
64
21
故答案为：
64
三、解答题：
17.【详解】 1 由题意，无重复的三位数共有 A1 29A9 9 72 648个；
2 无重复的四位偶数，所以个位必须为 0，2，4，6，8，千位上不能为 0，
3
当个位上为 0 时，共有 A9 504个数；
1 2 1
当个位上是 2，4，6，8 中的一个时，共有 A8A8 A4 1792个数，
所以无重复的四位偶数共有504 1792 2296个数；
18.【详解】（1）解：设等差数列 an 的公差为 d d 0 ，
a2 a a 12 a 3d 2 a a 6d 12
依题意可得 4 1 7 ，则 1 1 1
a1 a2 a3 15 a1 d 5
解得 a1 3， d 2，
所以，数列 an 的通项公式为 an 3 2 n 1 2n 1 .
n aS 1 an n(3 2n 1) 2n n 2n2 2
综上： a 2n 1， S n2n n 2n；
S
（2 a）解：选①b nn 2 nn
由（1）可知： an 2n 1 S 2n n 2n
S 2b n 2a n 2n∴ n 22n 1 n 2 22n 1n n n
∵Tn b1 b2 b3 bn 1 bn
【高二数学答案第 7页，共 12页】
n 3 n 2 23 1 4n n n 5 8 4n 1
∴Tn 2 1 4 2 3
b 1选② n Sn
由（1）可知： S n2n 2n
b 1 1 1 1 1∴ n
Sn n n 2 2 n n 2
∵Tn b1 b2 b3 bn 1 bn
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n 1 n 1 2 n n 2
1 1 1 1 1 3 1 1 1
2 1 2 n 1 n 2 4 2 n 1 n 2
选③b n 1n an 1 2
由（1）可知： a 2n 1 b a 1 2n 1 nn ，∴ n n n 2
∵Tn b1 b2 b3 bn 1 bn
则Tn 1 2
1 2 22 3 23 n 1 2n 1 n 2n
2T 1 22 2 23 n 1 2n于是得 n n 2n 1
2 1 2n
两式相减得 T 2 22 23 2n n 2n 1 n 2n 1n 1 n 2n 1 2，1 2
所以Tn n 1 2n 1 2 .
19.【详解】（1）记事件A为“甲班每轮比赛得 1分”，事件 B为“甲班每轮比赛得 0 分”，事件
C为“甲班每轮比赛得 1 分”，
则 P(A)
1
1 2 1
，
2 3 3
P(B) 1 2 1 1 2 1
1 ，
2 3 2 3 2
P(C) 1 2 1 1 .2 3 6
（2）由题意可得， X 的所有取值可能为 2, 1,0,1, 2，
则由 (1)
1 1 1
可得， P(X 2) P(AA) ，
3 3 9
【高二数学答案第 8页，共 12页】
P(X 1) P(AB) P(BA) 1 1 1 1 1 ，
3 2 2 3 3
P(X 0) P(AC) P(CA) P(BB) 1 1 1 1 1 1 13 ，
3 6 6 3 2 2 36
P X 1 P(BC ) P(CB) 1 1 1 1 1 ，
2 6 6 2 6
P(X 2) P(CC) 1 1 1 ，
6 6 36
所以 X 的分布列为:
X 2 1 0 1 2
1 1 13 1 1
P
9 3 36 6 36
所以 E(X ) ( 2)
1 ( 1) 1 0 13 1 1 1 1 2 .
9 3 36 6 36 3
20.【详解】（1）证明：： PA PD，O是 AD的中点， PO AD .
平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
PO 平面 ABCD .
Q BD 平面 ABCD， PO BD，
设 AB = a，则 AD 2a， BAD 60 ，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD a2 4a2 2a 2a 1 3a2 ，
2
AB2 BD2 AD2 .， AB BD，
E是 BC中点，四边形 ABCD是平行四边形，则 BE //OA，且BE OA，
所以，四边形 ABEO为平行四边形， OE//AB，则 BD OE，
PO OE O，PO、OE 平面 POE， BD 平面 POE .
Q BD 平面 PBD， 平面 PBD 平面 POE .
（2）解：由（1）知 PO OE，且PO 平面 ABCD，OE BD，
以过点O平行于 BD的直线为 x轴，分别以直线OE、OP为 y轴、 z轴
建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .
AB 2， PA 2 5，则 BD 2 3， AD 2，OP PA2 OA2 20 22 4，
则 A 3, 1,0 、D 3,1,0 、C 3,3,0 、 P 0,0,4 ，
【高二数学答案第 9页，共 12页】
3 1 3 3 3
F是 PA中点， F , , 2 ，则DF , , 2 ，DC 0,2,0 ，
2 2
2 2
设平面CDF的一个法向量为m x, y, z ，
m
DF 3 3 3 x y 2z 0
则 2 2 ，取 x 4，可得m 4,0, 3 3 ，
m
DC 2y 0
r
易知平面 POE一个法向量为 n 1,0,0 ，
cos m, n m n 4 4 43
m n 1 43 43 ，
POE FCD 4 43所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
43
21.【详解】（1）因为直线 y x 2 与圆O： x2 y 2 b2 相切，
2
所以 b b 1 S
1
2a 2b 4 a 2
12
，即 ，又
2 A1B2A2B
，所以 ，
1 1 2
x2
所以椭圆方程为 y2 1 c 3，则 c a2 b2 3，所以椭圆的离心率 e .4 a 2
（2）由（1）可知 A1 2,0 ，B1 0, 1 ， B2 0,1 ，B2P的斜率为 k，所以直线 B2P的方程为
y kx 1，
y kx 1
2 2 8k
由 x2 ，消去 y得 1 4k x 8kx 0，其中 xB 0，所以 x ，
y
2 1 2 P 1 4k 2
4
1 4k 2
P 8k ,1 4k
2 2 2k 1
所以 2 2 ，则直线 A
1 4k
1 4k 1 4k 1
P的斜率 kA ，
1
P 8k
2 2 2k 1
1 4k 2
y 2k 1所以直线 AP的方程为 x 2 2k 1 2k 1 1 2 2k 1 ，令 x 0，则 y ，即 F 0, ，2k 1 2k 1
因为直线 A1B1的方程为 x 2y 2 0，
4
x 2 y 2 0 x 2k 1 E 4 , 2k 1 由 ，解得 ，所以 ，
y kx 1
y 2k 1
2k 1 2k 1
2k 1
【高二数学答案第 10页，共 12页】
2k 1 2k 1
2k
所以 EF 的斜率 k 2k 1 2k 10 4 ，2k 1
2k 1
2k 2k 1
所以直线 EF 的方程为 y x ，
2k 1 2k 1
x y 1 0 x 2即 2k x y 1 y 1 0 ，令
y 1 0
，解得 ，
y 1
所以直线 EF 过定点 2,1 .
22.【详解】（1）函数 f (x)的定义域为 (0, )，
2
f ax (a 2)x 2 (ax 2)(x 1)(x) a a 2 2 2 2 x x x x2
①当a 0时，令 f (x) 0得 x 1；令 f (x) 0得 0 x 1 .
②当0 a 2时，令 f (x) 0得1 x
2
；令 f (x) 0得0 x 1或x
2
.
a a
③当a 2时， f (x) 0在 x R 恒成立.
④当 a 2时，令 f (x) 0
2
得 x 1；令 f (x) 0得0
2
x 或x 1 .
a a
综上所述，当 a 0时， f (x)在(0,1)上单调递增，在 (1, )上单调递减；
0
2 2
当 a 2时， f (x)在 0,1 和 ， 上单调递增，在 (1, )上单调递减；
a a
当 a 2时， f (x)在 (0, )上单调递增；
当 a 2时， f (x)
在 0,
2
和 1, 2上单调递增，在 ( ,1)上单调递减.
a a
（2）①当a 2时， f (x)在 (1,e)上单调递增， f x f 1 a 2，故 f (x)在 (1,e)上没有零
点；
2 2
②当0 a ，即 ≥ e时， f (x)在 (1,e)上单调递减，要使 f (x)在 (1,e)上有零点，则
e a
f 1 a 0
，解得 0 a
2
；
f e ae a
2
0 e(e 1)
e
2 2
③当 a 2，即1 e 时， f (x)在 (1,
2) 2上单调递减，在 ( ,e) 上单调递增，
e a a a
由于 f (1) a 0 f e 2 2 2 4， a e 1 e 1 2 0 .
e e e e
2 2
令 g a f 2 a 2 ln a 2 a 2 lna 1 ln2 a 4 2ln2 ，
a a
【高二数学答案第 11页，共 12页】
令 h(a) g (a) ln a
2
ln 2
a ，
则 h a a 2 0 ，所以 h(a)2 在 (
2 ,2)上单调递减
a e
故 h a h 2 1，即 g (a) 0，
所以 g(a)
2 2 4
在 ( ,2) 上单调递增， g a g 2 0，e e e
所以 f (x)在 (1,e)上没有零点.
2
综上所述，当 0 a 时， f (x)在 (1,e)e(e 1) 上有唯一零点；
a 2当 f (x) (1,e)e(e 1)时， 在 上没有零点.
【高二数学答案第 12页，共 12页】2024 届高二（下）学期期中联考试题
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1
1．已知 X B 4, ，则P(X 1) （ ）
3
8 32 4 8
A． B． C． D．
81 81 27 27
2．记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S11 44，则 a4 a6 a8 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
1 1
3．已知三棱锥O ABC中， AM AB，CN CO，且
3 3 OA a
，OB b，OC c，
则 NM （ ）
2 a 2
b 1
2 2 1
A． c B． a b c
3 3 3 3 3 3
1 2 a b 2
c 2
1 2
C． D． a b c
3 3 3 3 3 3
4 2．已知随机变量 X N 2, ，且 P X 4 0.84，则 P 0 X ≤ 4 （ ）
A．0.84 B．0.68 C．0.34 D．0.16
5．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占 40%，甲厂
产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的
概率是（ ）
A．0.92 B．0.93 C． 0.94 D．0.95
x26 y
2
．已知双曲线C1 : 1(a 0,b 0) 的焦点为 F1 c,0 ，F2 (c,0)，抛物线C2 : y
2 4cx
a2 b2
的准线与C1交于 M，N两点，且 MNF2为正三角形，则双曲线C1的离心率为（ ）
A B 6． 3 ． C 10 15． D．
2 2 3
6
7．在 x2 x y 的展开式中， x5y2的系数为（ ）
A．30 B．15 C．120 D．60
8．在如图所示的 5个区域内种植花卉，每个区域种植 1种花卉，且
相邻区域种植的花卉不同，若有 6种不同的花卉可供选择，则不同的
种植方法种数是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错
的得 0分．
9．现有 2名男同学与3名女同学排成一排，则（ ）
A．女生甲不在排头的排法总数为 24 B．男女生相间的排法总数为12
C．女生甲、乙相邻的排法总数为 48 D．女生甲、乙不相邻的排法总数为36
10 1
7
．在 2 x 的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
x
A．二项式系数之和为 128 B．各项系数之和为 1
C．常数项为 15 D． x 4 的系数为-48
11．已知在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F ，H分别是 AB，A1D1，BC1
的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．D1C1 / /平面CHD B． AC1 平面 BDA1
5
C．三棱锥D BA1C1的体积为 D．直线 EF 与 BC1所成的角为30 6
12．已知函数 f x x 1 3 ax b 1，则下列结论正确的是（ ）
A．当 a 3时，若 f x 有三个零点，则 b的取值范围为 4,0
B．若 f x 满足 f 2 x 3 f x ，则 a b 1
C．若过点 2,m 可作出曲线 g x f x 3x ax b的三条切线，则 5 m 4
D．若 f x 存在极值点 x0，且 f x0 f x1 ，其中 x0 x1，则 x1 2x0 3
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．抛物线 y2 4x=0的焦点坐标为_________．
14．今年春季流感爆发期间，某医院准备将 2名医生和 4名护士分配到两所学校，给学
校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配 1名医生和 2名护士，则不同的分配方法
数为_________．
15．若直线 l :kx y k 0 k R 与圆C : x2 y2 4x 2y 3 0交于 A，B两点，则
ABC面积的最大值为_________．
16．已知正三角形 ABC，某同学从 A点开始，用掷骰子的方法移动棋子.规定：①每掷
一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点.②棋子移动的方向由掷
骰子（点数为1 6）决定，若掷出骰子的点数大于 3，则按逆时针方向移动；若掷出骰
子的点数不大于 3，则按顺时针方向移动.设掷骰子 n次时，棋子移动到 A,B,C处的概率
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分别为 Pn A ，Pn B ，Pn C .例如：掷骰子一次时，棋子移动到 A,B,C处的概率分别
1
为 P1(A) 0， P1(B) P1(C ) .当掷骰子 7次时，棋子移动到 A处的概率 P2 7
(A)值为
_________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17．现有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
18．已知公差为正数的等差数列 an 中，a1，a4，a7 12构成等比数列，Sn是其前 n项
和，满足 S3 15 .
(1)求数列 an 的通项公式及前 n项和 Sn；(2)若_________，求数列 bn 的前 n项和Tn .
b S在① n an b
1
n 1
n 2 ，② n ，③bn S an 1 2 这三个条件中任选一个补充在第（2）n n
问中，并求解.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
19．2022年 10月 12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用
2米长的吸管成功喝到了芒果汁.这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过
网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为领悟航
天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：
每组两个班级，每个班级各派出 3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出 1名同
学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记 0分；一班
级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记 1分，没有全部答对的班级
记 1分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，
1 2
每轮比赛中甲班全部答对的概率为 2 ，乙班全部答对的概率为 3 ，甲、乙两班答题相互
独立，且每轮比赛互不影响.
(1)求甲班每轮比赛得 1分、0分、1分的概率；
(2)两轮比赛后甲班得分为 X ，求 X 的分布列和数学期望；
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20．如图，四棱锥P ABCD的底面 ABCD是平行四边形，平面 PAD 平面
ABCD , BAD 60 , AD 2AB， PA PD，O、 E、 F 分别是 AD、BC、 PA的中点.
(1)证明：平面PBD 平面 POE；
(2)若 AB 2， PA 2 5，求平面 POE与平面FCD所成锐二面角的余弦值.
2 2
21 x y．如图，椭圆C： 2 Aa b2
1 a b 0 的顶点 1， A2， B1， B2，四边形 A1B2A2B1面
积为 4，直线 y x 2 与圆O： x2 y 2 b2 相切.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若 P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线 AP交 y1 轴于点 F ，直线 A1B1交 B2P于点 E .
设 B2P的斜率为 k，探究 EF 是否过定点.若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，
请说明理由.
2
22．已知函数 f (x) ax (a 2) ln x 2,其中 a R， f (x)为 f (x)的导函数.
x
(1)讨论函数 f (x)的单调性；
(2)若a 0，试讨论函数 f (x)在 1,e 上的零点个数．
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