第四章 数列 专题：数列求和 章末教学设计

第四章数列
《数列求和》教学设计
1.理解一些常见数列的求和方法．
2.会求一些常见数列的前n项和．
教学重点：常见数列的求和方法.
教学难点：错位相减法求一类数列的和.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：等差数列的前n项和公式是什么？
师生活动：学生回顾公式并回答．
预设的答案：若知首项、末项与项数，可用公式；若知首项、公差与项数，可用公式．
设计意图：通过回顾等差数列的前n项和公式，温故知新.
问题2：等比数列的前n项和公式是什么？
师生活动：学生回顾公式并回答．
预设的答案：
已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1
求和公式
设计意图：通过回顾公式，引入新课．
问题3：如果一个数列既不是等差数列也不是等比数列，如何求它的前n项和呢？常见数列的求和方法有哪些？
设计意图：通过该问题，引起学生思考既不是等差数列也不是等比数列的特殊数列求和．
【探究新知】
知识点一 错位相减法
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.
知识点二 裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
知识点三 分组求和法
对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和.
知识点四 倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
知识点五 并项求和法
奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论.
并项求和一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．
【巩固练习】
例1　已知数列{an}的通项公式为an＝(3n＋2)·2n，求该数列前n项和Sn.
师生活动：学生分组讨论，教师讲解．
预设的答案：
Sn＝5×2＋8×22＋11×23＋14×24＋…＋(3n－1)·2n－1＋(3n＋2)·2n……①
2Sn＝5×22＋8×23＋11×24＋14×25＋…＋(3n－1)·2n＋(3n＋2)·2n＋1……②
①－②得：－Sn＝5×2＋3×22＋3×23＋3×24＋…＋3·2n－1＋3·2n－(3n＋2)·2n＋1
＝10＋3(22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n)－(3n＋2)·2n＋1
＝10＋3(2n＋1－4)－(3n＋2)·2n＋1
＝3·2n＋1－(3n＋2)·2n＋1－2
＝(1－3n)·2n＋1－2
故Sn＝(3n－1)·2n＋1＋2.
设计意图：通过该题让学生理解乘公比错位相减法的应用及步骤.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
易错点剖析：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)两式相减时最后一项因为没有对应项不要忘记变号；(4)对相减后的和式的结构要认识清楚，中间是n－1项的和；(5)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
例2 已知等差数列为递增数列，且满足,．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，为数列的前n项和，求．
师生活动：学生分析题意，完成（1）；师生一起完成（2）．
预设的答案：（1）由题意知
，或
为递增数列，，故数列的通项公式为
（2）
.
设计意图：通过该题让学生理解裂项相消法的应用及相消规则.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：等差数列中相邻两项积的倒数构成的数列求和用裂项相消法；常见的通项分解（裂项）有：
（1） [一般]
（2）
（3）
（4）
（5）.
例3 求和：.
师生活动：学生分组讨论，派代表发言；教师完善．
预设的答案：原式
.
设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.
例4求和
师生活动：学生独立完成，教师完善．
预设的答案：设 ①
②
①+②得，所以.
设计意图：通过该题让学生理解倒序相加法.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：如果一个数列距离首末两项的和相等，就可以采用倒序相加法.
例5求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善．
预设的答案：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝－5 050.
设计意图：通过该题让学生理解并项求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：通常数列中的项是正负交替或奇偶项各有规律的，往往采用并项求和法.
【课堂总结】
1．板书设计：
数列的求和
探索新知 初步应用
知识点一 例1
知识点二 例2
知识点三 例3
知识点四 例4
知识点五 例5
2．总结概括：
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：目标检测题
【目标检测设计】
1.已知若等比数列满足则（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
设计意图：进一步巩固错位相减法.本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案.
2.求数列的前n项和.
设计意图：进一步巩固错位相减法.该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和.
3.求数列前n项的和.
设计意图：让学生进一步巩固裂项相消法.
参考答案：
1.D
等比数列满足
即2020
故选D.
2.①， ②，
①-②得，
.
3.∵，
.