4.4 数学归纳法 第1课时 教学设计

第四章 数列
《4.4数学归纳法》教学设计
第1课时
1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题.
2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤.
3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养.
教学重点：用数学归纳法证明数学命题
教学难点：数学归纳法的原理.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第44~47页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法．数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现．并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2： 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1) d等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数n有关的问题，我们怎样证明它对每一个正整数n都成立呢？
师生活动：教师呈现问题情境，引发学生思考.
问题3：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
师生活动：学生思考发现：已知反映相邻两项关系的递推公式，又已知首项，那么就可以求出该数列的每一项.教师完善．
预设的答案：令n=1，就有，把代入，可得.同理，令n=2，就有，把代入，可得.把代入，可得也等于1.看上去这个数列的每一项都是1，由此猜想，该数列的通项公式就是.
问题4：该如何证明这个猜想呢？
师生活动：有学生认为：从n=5开始一个个往下验证呗！教师完善．
预设的答案：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦.尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.
问题5：能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
师生活动：先让学生看一个小游戏：多米诺骨牌．2011年12月31日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面．
预设的答案：通过对视频的观察，归纳使所有骨牌都能倒下的条件有两个：（1）第一块骨牌倒下，（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下.
设计意图：利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣．同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱国情怀．反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方法的理解．
追问1：条件（1）的作用是什么？
师生活动：教师与学生一起探讨．
预设的答案：如果第一块骨牌不倒，那么后面的骨牌自然也不会倒.所以第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础，这个条件必不可少.
追问2：条件（2）的作用是什么？
师生活动：教师与学生一起探讨．
预设的答案：若骨牌间距过大，导致前一块骨牌无法推倒后一块骨牌，那就不能使所有骨牌都倒下.可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第k块骨牌倒下，能推出第k+1块骨牌倒下.假设有无限多块骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去.也就是说，无论有多少块骨牌，只要保证这两个条件都成立，那么所有骨牌一定可以全部倒下.这就是骨牌原理.
追问3：证明猜想“数列的通项公式是”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
师生活动：教师引导学生回顾猜想该数列通项公式是的过程：
学生发现这个过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以成立为条件，推出也成立.它相当于命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.学生在教师引导下发现只要能证明这个命题，就可以在的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n，成立.教师引导学生证明该命题：如果n=k时猜想成立，即，那么，把代入，.也就是说，当n=k+1时，猜想也成立.这样我们就证明了这个命题.我们猜想的通项公式也就得到了验证.教师引导学生把这个猜想的证明过程与骨牌原理进行类比.
教师总结：通过以上类比、迁移的过程，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法.这个方法，就叫做数学归纳法.
设计意图：通过分析、探讨，自然引入新课：什么是数学归纳法.
【探究新知】
知识点1数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当（）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k（，k≥）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.
设计意图：类比多米诺骨牌，经历观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理．发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养．
追问1：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
师生活动：学生在教师的引导下理解两个步骤的必要性．
预设的答案：第一步是命题递推的基础，确定了时命题成立，成为后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.就好比多米诺骨牌，只有推倒其中一块骨牌，后面的骨牌才有可能倒.我们把第一步称为是归纳奠基.而第二步是命题递推的依据，即确认一种递推关系，好比是多米诺骨牌游戏中，如果第k块骨牌倒下，那么要保证第k+1块骨牌也能倒下，再加之k的任意性，即保证了骨牌倒下去的传递性.类似地，借助第二步，命题成立的范围就能从正整数开始，向后一个数接一个数地无限传递到以后的每一个正整数，从而完成证明.所以，我们把第二步称为是归纳递推.“归纳奠基”和“归纳递推”这两个步骤缺一不可.只有把两步的结论结合起来，才能断定命题对从开始的所有正整数n都成立.
追问2：数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？
师生活动：教师向学生解释这两个步骤之间既相互依存，又彼此联系，是一个有机的整体.
预设的答案：如果我们记P（n）是一个关于正整数n的命题.第一步验证了当时结论成立，即为真.第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真.完成这两步，就有真，真……真，真…….结论就是为真，从而完成证明.需要注意的是，第二步实际上就是从推出：.
追问3：如何理解的意义？
师生活动：教师引导学生注意．
预设的答案：这个关系所关注的不是和是否分别成立，而是命题“若为真，则也为真”是否成立，它强调的是这二者之间是否有递推关系.
【巩固练习】
例1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何多成立.
师生活动：引导学生用数学归纳法证明，教师给出规范证明过程．.
预设的答案：（1）当n=1时，左边，右边=，所以①式成立.（2）假设当n=k（）时①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是，就是，所以，
即，所以n=k+1时①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
注意点：用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
练习：教科书P47 练习1 、2
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
4. 4数学归纳法（1）
一、探索新知 二、初步应用
1．数学归纳法的定义及步骤 例1
知识讲解1：
2．总结概括：
通过本节课的学习：
问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？
问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？
问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P51 习题4.4 1 、2
【目标检测设计】
1.某个命题与正整数n有关，如果当n=k (k∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时该命题成立 B．当n=6时该命题不成立
C．当n=4该命题成立 D．当n=4时该命题不成立
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的定义．
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1 (a≠1,n∈N*),在验证n=1成立时,左边计算所得的项是(　　)
A.1 B.1+a C.1+a+ a2 D.1+a+a2+a3
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的归纳奠基．
3.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)
A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)
C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数学归纳法的第（2）步．
4.用数学归纳法证明：．
设计意图：通过该题，让学生进一步巩固数学归纳法的规范化解题．
参考答案：
1. D 由题意知：n=4时成立，可推出n=5时该命题成立，因为原命题与逆否命题等价，可考虑逆否命题，即：当n=5时不成立，则n=4时也不成立．
2. C 当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.
3. C 当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),
所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.
4.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即．
则当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．