4.4 数学归纳法 第2课时 教学设计

第四章 数列
《4.4数学归纳法》教学设计
第2课时
1．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
2．通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法．
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第47~50页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习数学归纳法．（2）前面学生已经学了数学归纳法．本节课在上节课的基础上继续学习数学归纳法，学习利用数学归纳法证明与正整数有关的命题．培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养．
问题2：什么叫数学归纳法？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当（）时命题成立；（2）（归纳递推）以“当n=k（，k≥）时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.特别地，当时，命题就对从1开始的正整数成立，也就是对所有正整数都成立.
设计意图：通过复习数学归纳法的定义，温故知新，引入新课．
【探究新知】
知识点1利用数学归纳法证明与正整数有关的命题
首先，数学归纳法用来证明一个与正整数n有关的命题，证明的时候需要两个步骤：一是证明当时命题成立，它为后续的证明奠定了基础，故称之为归纳奠基；二是假设n=k时命题成立，证明n=k+1时也成立，也就是要证明一个递推关系，故称这一步为归纳递推.这两个步骤缺一不可，最终证明对所有正整数n，命题都成立.
设计意图：进一步理解数学归纳法的证题步骤．进一步说明可用数学归纳法证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
思考：用数学归纳法证明命题：．
下面的证明过程是否正确，若不正确，请说明理由并给出正确解法．
证明：（i）当时，左边，右边，命题成立．
（ii）假设当时命题成立，即，
则当时，
，命题也成立．
根据（i）（ii）可以断定，对任何都成立．
师生活动：让学生根据数学归纳法的证题步骤来回答本题．
预设的答案：不正确．没有用上“归纳假设”，此法不是数学归纳法．
需要将“则当时，”后面改为如下过程：
，等式也成立．
说明：缺了第（ii）步，就没有了归纳递推的过程；在证明时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法了．强调：第（i）步成立是推理的基础，第（ii）步是推理的依据，结论使整个数学归纳法的过程顺利完成，所以“两个步骤和一个结论”缺一不可．
教师总结：用数学归纳法证明命题时，“两个步骤和一个结论”缺一不可.即递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
设计意图：通过该题，让学生进一步体会数学归纳法的证题步骤．
【巩固练习】
例1. 利用数学归纳法证明
对任意正整数n成立．
师生活动：让学生板演，让学生修改，教师点评完善．
预设的答案：证明：（1）当时，左边=右边，命题成立．
（2）假设当时，命题成立，即．
当时，左边
右边
因此，若时命题成立，可推出时命题成立．
综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．
设计意图：学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力．
例2 已知数列｛an}满足a1=0, 2an+1-anan+1=1(nN*),试猜想数列｛an}的通
项公式，并用数学归纳法加以证明．
师生活动：先将数列｛an}的递推关系2an+1-anan+1=1化为（nN*).让学生通过计算a2,a3,a4,a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想．
预设的答案：由2an+1-anan+1=1,可得(nN*).
由a1=0,可得,
同理可得
, ,
归纳上述结果，猜想(nN*).①
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1)当n=1时，①式左边＝a1=0,右边＝,猜想成立．
（2)假设当n=k(k N*)时，①式成立，即,
那么,
即当n=k+1时，猜想也成立．
由（1)(2)可知，猜想对任何nN*都成立．
设计意图：通过该典型例题，让学生明白可以利用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1, 1+x, (1+x)2,···,(1+x) n-1,...
的前n项和为Sn,试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善．
预设的答案：解法1:由已知可得
Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2 +···+ (1+x) n-1.
当n=2时，S2=1+(1+x)=2+x,由x>0,可得
S2> 2;
当n=3时，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2,由x>0,可得
S3> 3.
由此，我们猜想，当x R*, nN*且n>1时，Sn>n.
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立．
（2)假设当n=k(kN*，且k≥2)时，不等式成立，即
Sk> k,
由x>0,可得1+x>1,所以
（1+x) k > 1.
于是
Sk+1= Sk + (1+x) k ＞k+ (1+x) k > k+1,
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
由（1)(2)可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立．
解法2:显然，所给数列是等比数列，公比为1+x,于是
Sn=1+ (1+x) + (1+x) 2+··+ (1+x) n-1
．
当n=2时，S2= =x+2,由x>0,可得
S2> 2;
当n=3时，S3==x2+3x+3,由x>0,可得
S3> 3.
由此，我们猜想，当x>0, nN*,且n>1时，都有Sn>n.
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1)当n=2时，由上述过程知，不等式成立．
（2)假设当n=k(kN*,且k≥2)时，不等式Sk>k成立，即
由x>0,知
.
所以
Sk+1=1+ (1+x) + (1+x) 2+·+ (1+x) k
1
＝xk+k+1.
又x>0,所以
Sk+1> k+1.
所以，当n=k+1时，不等式也成立．
由（1)(2)可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立．
设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明与正整数有关的不等式命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：该问题中涉及两个字母x和n,x是正实数，n是大于1的正整数．一种思路
是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是
先由等比数列的求和公式求出Sn,再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜
想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
例4 是否存在常数使得等式
对于一切正整数n都成立，并证明你的结论．
师生活动：教师先分析，然后学生分组讨论，派代表发言，教师进一步完善．
预设的答案：假设存在符合条件的常数，则将代入得
，于是对于，有
下证上述等式对于一切正整数n都成立：
当n=1时，由上述知等式成立；
假设当n=k时，，则当n=k+1时，
左边
即当n=k+1时等式成立；
由①②得，等式对于一切正整数n都成立，即存在常数使得等式成立.
设计意图：通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
方法总结：对于探索性命题，一般是先假设存在，按条件求解，求得出来就存在，求不出来就不存在．
练习：教科书P51 练习1 、2、3、4
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
4. 4数学归纳法（2）
一、探索新知 二、初步应用
1．数学归纳法的应用 例1
知识讲解1： 例2
例3
例4
2．总结概括：
通过本节课的学习：
问题1. 你能说出数学归纳法的步骤有哪些？
问题2. 如何用数学归纳法探求数列的通项公式？
问题3. 如何用数学归纳法处理与正整数有关的不等式的证明问题？
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点．通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P51 习题4.4 3 、4、5
【目标检测设计】
1．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（ ）
A． B． C． D．
设计意图：进一步熟悉用数学归纳法证明不等式的步骤；同时，在证明过程中，培养学生逻辑推理能力．
2．证明：“对任意的正整数n成立”
设计意图：进一步巩固用数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤；在证明过程中，培养学生逻辑推理能力．
3．已知数列中，
（1）求，，的值；
（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.
设计意图：进一步巩固用归纳、猜想、数学归纳法证明来探求一类数列的通项公式的方法和步骤；进一步培养学生数学运算、数学抽象和逻辑推理能力．
参考答案：
1．B 用数学归纳法证明，时，第一步应验证
时是否成立，即不等式为：；故选．
2．证明：（1）当时，左边右边，结论成立；
（2）假设当时，命题成立，即
当时，左边
右边
因此，若时命题成立，可推出时命题成立．
由（1）、（2）可得，对任意正整数n成立．
3．解：（1）因为，，
所以，同理，，
即，，；
（2）猜想，
证明如下：
①当时，，显然满足题意，
②设且)时，，
则，
即当时，等式也成立，
综上可得.