4.3.1等比数列的概念 第1课时 教学设计

第四章数列
《4.3.1等比数列的概念》教学设计
第1课时
1.理解等比数列及等比中项的概念．
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．
教学重点：等比数列及等比中项的概念.
教学难点：等比数列的函数特征及综合运用.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第27~31页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的概念及等比数列的通项公式．（2）
在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力．发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” ．类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
师生活动：学生思考后回答，教师完善．并请学生观察下列数列：
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9，92，93，…，910 ①
100，1002，1003，…，10010 ②
5，52，53，…，510 ③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
…④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,… ⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r)，a(1+r)2，a(1+r)3，a(1+r)4，a(1+r)5 ⑥
问题3：如果用 {an} 表示数列①，那么有．
其余几个数列也有这样的取值规律吗？你能说出这些数列的一般规律吗？
师生活动：请学生试着写一写．教师与学生一起找规律．
设计意图：通过问题情境以及类比等差数列，引入等比数列的概念．
【探究新知】
知识点1等比数列的概念
1.等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*),或an－an-1＝d(d为常数，n∈N*且n2)
类比等差数列的研究，我们可以通过运算发现以上数列的取值规律，进而得出等比数列的定义．
2.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q0)．符号语言：．
3．类比等差数列中等差中项的概念，我们可以得到等比数列中相应的等比中项．
由三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2=ab．
设计意图：通过类比的方法，学习等比数列的定义和等比中项．发展学生数学抽象和数学建模的核心素养．
【练一练】下列数列为等比数列的是(　　)
A．m，m2，m3，m4，…
B．22,42,62,82，…
C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…
D．
师生活动：学生根据等比数列的定义作出判断．
预设的答案：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；，
所以B不是等比数列．故选D．
问题4：你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？回忆等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？
师生活动：学生分组讨论，派代表说说小组的想法．教师总结．
知识点2等比数列的通项公式
设一个等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的定义，可得,
所以
……
归纳可得
又，这就是说，当n=1时，上式也成立．
因此，首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为．
设计意图：通过与等差数列中求通项方法相类比，同样用不完全归纳法获得等比数列的通项公式．提升学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养．
追问：上述推导等比数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
师生活动：学生分组讨论，派代表回答，教师总结．
教师总结：还可以用迭乘法求通项，过程如下：
设一个等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的定义，可得
,
…
将上述(n－1)个式子相乘得
(n≥2)，
∴(n≥2)，
又，这就是说，当n=1时，上式也成立．
因此，首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为．
设计意图：让学生理解不完全归纳法猜想等比数列的通项公式，而要求解或证明等比数列的通项公式需要迭乘法．通过等比数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养．
问题5：在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
师生活动：学生分组讨论，派代表说说小组的想法．教师总结．
知识点3 等比数列的通项公式与函数关系
当q>0 且q1时，
当x=n时，，即指数型函数（k,a为常数，且k0,a>0且a1）构成一个等比数列{kan}，
其首项为ka，公比为a．
问题6：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？
师生活动：学生分组讨论，派代表说说本小组的想法．教师完善．
预设的答案：由可知单调性如下表：
设计意图：通过将等比数列通项与指数函数相比较可知等比数列的通项公式的函数特征．进一步提升学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养．
【巩固练习】
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
师生活动：学生分析可知：等比数列{an}由a1、q唯一确定，可利用条件列出关于a1、q的方程（组），进行求解．教师完善．
预设的答案：法1：由a4=48，a6=12，得
(2)的两边分别除以(1)的两边，得,解得或．
把代入(1)，得a1=384，
此时,
把代入(1)，得a1=-384，
此时,
因此{an}的第5项是24或-24.
解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以a52=a4a6=4812=576，所以．
因此，{an}的第5项是24或-24.
设计意图：通过该典型例题，加深学生对等比数列及其函数特征的理解．发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
方法总结：(1)已知等比数列中的两项，通过解方程组求得a1，q的值，再利用写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)抓住等比数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的指数型函数，列出方程组求解．
例2已知等比数列{an}的公比为q,试用{an}的第m项am表示an.
师生活动：学生思考后回答，教师完善．
预设的答案：由题意，得，①
②的两边分别除以①的两边，得
所以.
设计意图：通过该题，进一步加深学生对等比数列通项公式的理解．
总结：（1）在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
（2）等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
例3 数列{an }共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.
师生活动：学生分组讨论，派代表板演．教师完善规范解题过程．
预设的答案：设前三项的公比为q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为,80,80+d, 80+2d,于是得，
解方程组，得或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
设计意图：通过该题，让学生学会根据等差、等比数列的定义设未知量，学会利用方程思想解决这类问题. 发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
方法总结：三个数成等差数列，常将三数设为a-d，a，a+d；三个数成等比数列，常将三数设为，a，aq；
练习：教科书P31练习1、4、5
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
4.3.1等比数列的概念（1）
一、探索新知 二、初步应用
1．等比数列的概念 例1
知识讲解1： 例2
2．等比数列的通项公式 例3
知识讲解2：
3．等比数列的通项公式与函数关系
知识讲解3：
2．总结概括：
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P31练习2、3 教科书P40习题4. 31 (2) 、2
【目标检测设计】
1．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是(　　)
A．等比数列 B．等差数列
C．递增数列 D．递减数列
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的定义.
2．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的通项公式.
3.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．不能确定
设计意图：让学生进一步巩固等比中项的概念.
4.在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
设计意图：让学生进一步巩固基本量法求解等比数列中的问题.
参考答案：1．A　 2．C 3.A　
4.解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)由题意可知
∴，a1＝－8，
∴.
(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，
∴.
由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，
由an＝a1qn-1＝1知n＝6.