砚山县第三高级中学2022-2023学年
高一下学期期中考试
数学试卷
（试卷满分：150分 测试时间：120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数Z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，则“”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数f（x）=log2x--1的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数为
C．复数的模为 D．复数在复平面内对应的点在第二象限
10．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称
D．函数为偶函数
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．函数的定义域是__________.
14．已知函数，那么________．
15．如图，在中，为的中点，，若，则______.
16．已知，则___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．求解下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
18．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．
(1)求证：平面PAC；
(2)求证：.
19．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)求证：在区间上单调递减.
20．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC的面积．
21．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
22．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求三棱锥的体积．砚山县第三高级中学2022-2023学年
高一下学期期中考试
数学参考答案
1．A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
2．D
【分析】由题意可知，利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式.
【详解】 =，
所以复数Z在复平面内对应的点的坐标为()，位于第四象限.
故选：A.
3．A
【分析】通过充分必要条件的定义判定即可.
【详解】若，显然；若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.
4．C
【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：C
5．B
【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.
【详解】由，分子分母同时除以，可得：
.
故选：B.
6．C
【分析】连续函数f（x）=log2x--1在（0，+∞）上单调递增且f（3）f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．
【详解】∵函数f（x）=log2x--1在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴f（3）=log23-1-1＜0，f（4）=2--1＞0，
∴根据根的存在性定理得f（x）=log2x--1的零点所在的一个区间是（3，4），
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．
7．B
【分析】根据函数奇偶性可排除A，再根据区间内函数值的正负可排除C，利用函数单调性可排除D，即可得出结果.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
所以，即为奇函数，所以A错误；
当时，，所以C错误；
当时，;
当时，，且，随着的增大，的值也随之增大，即D错误；
故选：B
8．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小.
【详解】因为在R上单调递减，故，即，
因为在上单调递增，故，
因为在上单调递减，故，
故.
故选：D．
9．CD
【分析】根据复数的运算得，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以复数的虚部为,复数的共轭复数为,故A，B选项错误；
复数模为,复数在复平面内对应的点在第二象限，故CD选项正确.
故选：CD
10．ABD
【分析】根据向量的坐标运算，与共线向量的坐标关系，即可判断是否为共线向量，即可判断A，B；利用坐标运算求解向量的模长，即可判断C，D.
【详解】已知向量，，
则，所以，故，故A正确；
则，故，故B正确；
又，故C不正确，D正确.
故选：ABD.
11．BD
【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.
【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误；
对于B，由，得或，不论是还是，都可结合，得到，故B正确；
对于C，若，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若则，又，所以，故D正确；
故选：BD.
12．ABC
【分析】首先根据得到，根据得到，根据得到，从而得到，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，，，所以.
因为，所以，，.
又因为，所以，，.
因为，所以，即，故A正确.
对选项B，令，解得，，
所以的图像关于点对称，故B正确.
对选项C，令，解得，，
所以的图像关于直线对称，故C正确.
对选项D，，
因为，定义域为，，
所以为奇函数，故D错误.
故选：ABC
13．
【分析】根据题意列出不等式解出即可.
【详解】要使函数有意义则：
，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
14．
【分析】由分段函数解析式代入求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
15．
【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.
16．
【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.
【详解】由得，即，两边同时平方得，
即，解得.
故答案为：.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；
【详解】（1）解：由可得，………1分
解得， ………………………………………4分
故原不等式的解集为或. ………………5分
解：由可得， ………7分
解得， ………………………………………9分
故原不等式的解集为. ………………………10分
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证；
（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证.
【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，
∴， ………………………………………………2分
又∵平面，平面；………………………4分
∴平面． ………………………………………5分
（2）∵底面，底面，
∴， ………………………………………………7分
∵，，平面，………………10分
∴平面，
又∵平面，
∴． ………………………………………………12分
19．(1)
(2)函数是奇函数
(3)证明过程见解析
【分析】（1）代入法，将代入表达式即可求解的值；
（2）根据函数奇偶性的定义，将代入的表达式，根据与的关系即可得出的奇偶性；
（3）利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与0对比，进而得到单调性．
【详解】（1）由已知有，解得，
的值为1．………………………………………………1分
（2）函数的定义域为， ………………2分
又，………………………………4分
函数是奇函数. ……………………………………5分
（3）任取，设，
则，
,
,
,
, …………………………………………8分
，且，
，，即， ………………………10分
，即，
在区间上单调递减． ………………………12分
20．(1)
(2)
【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；
（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）由整理得，………1分
， ………………………………4分
由，
； ………………………………………………6分
（2），
由正弦定理得，①， ………………………………7分
又，②，
由①②得， ………………………………12分
21．(1)最小正周期为，递增区间为，；
(2)
【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；
（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.
【详解】
（1），……2分
∴函数的最小正周期为. ……………………3分
令，，
则，， …………………………………5分
所以单调递增区间为，. ………………6分
∵，则， ……………………8分
∴，………………………………………10分
∴，
故函数在区间的值域为.………………12分
22．(1)；
(2).
【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答.
（2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答.
【详解】（1）在正方体中，连接，如图，
因为，分别为棱和的中点，则，因此四边形是平行四边形，
则，即是异面直线与所成的角或其补角，
………………………………………………2分
在中，，而正方体的体对角线，
由余弦定理得：，
………………………………………………………5分
所以异面直线与所成的余弦值为. ………………6分
（2）在正方体中，平面，而的面积， ………………………………………9分
所以三棱锥的体积. ……12分
答案第1页，共2页
