4.3.2等比数列的前n项和 第1课时 教学设计
文档属性
| 名称 | 4.3.2等比数列的前n项和 第1课时 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 339.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-19 04:44:11 | ||
图片预览
文档简介
第四章 数列
《4.3.2等比数列的前n项和》教学设计
第1课时
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．
2．会用错位相减法求数列的和．
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
教学重点：等比数列的前n项公式的运用
教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第34~37页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式．（2）学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养.
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
设计意图：以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.
问题3：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列 并写出这个数列的通项公式.
师生活动：学生回答，教师完善．
预设的答案：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1.
问题4：请将发明者的要求表述成数学问题.
师生活动：学生回答，教师完善．
预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+ +263=？
问题5：如何求解该问题.
师生活动：让学生回顾等差数列的前 n 项和公式的推导过程.教师完善．
预设的答案：等差数列 a1,a2, a3, …,an的前 n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an
根据等差数列的定义an+1 -an= d
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an ①
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 +a2 +a1 ②
+ ②得，2Sn=n(a1+an).
所以
问题6：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？
师生活动：让学生回顾等比数列的性质后回答.教师完善．
预设的答案：在等比数列中a1 +an≠a2 +an-1≠a3 +an-2，
所以2Sn≠n(a1+an).
对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.
问题7：求和的根本目的是什么？
思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.
①
问题8：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案：an=an-1 q(n≥2,q≠0)
问题9：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案： ①
②
设等比数列 {an } 的首项为a1，公比为q，则{an } 的前n项和是Sn
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an，
根据等比数列的通项公式，
Sn=a1+a1 q+ a1 q2+…+ a1 qn-3 + a1 qn-2+ a1 qn-1 ①
qSn= a1 q+ a1 q2+ a1 q3+…+ a1 qn-2+ a1 qn-1+ a1 qn ②
①- ②得, Sn -qSn= a1 - a1qn
即Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn).
问题10：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案：Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn)
当1 -q=0时，即 q=1 时，
当1 -q≠0时，即 q≠1 时，.
设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.
【探究新知】
知识点1 等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1
求和公式
问题5的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
1+2+22+23++263
a1=1,q=2，n=64
，
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
设计意图：利用错位相减法求得了等比数列前n项和公式,并利用公式解决了象棋大师的问题.进一步培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.
【巩固练习】
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.
预设的答案：（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，
即.
又由，得 .
所以 .
（3）把，，，代入，得
，
整理，得 ，解得n=5.
设计意图：通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
方法总结：等比数列的通项公式和前n项和公式一共涉及五个量，知三求二.通常会用到列方程或方程组求解.
例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q.
师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.
预设的答案：若q=1，则，
所以q1.
当q1时,由得，
.
整理，得 ，
即 .所以 .
设计意图：通过该例题，让学生知道使用等比数列求和公式的条件，有时需要分类讨论；加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
方法总结：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
例3已知等比数列的公比q-1，前n项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.
师生活动：学生分组讨论，派代表板演.教师完善规范解题过程.
预设的答案：(方法一)
当q=1时，，
，
，
所以成等比数列，公比为1.
当q1时，，
，
，
所以 .
因为为常数,所以成等比数列，公比为.
方法二) ，
所以
因为为常数，所以成等比数列，公比为.
结论：等比数列的公比q-1，前n项和为，则成等比数列，公比为.
注：当q=-1时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.
设计意图：通过该例题，推导出等比数列均匀分段和性质.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
结论：（1）等比数列的前n项和为，则，…（）成等比数列；（2）.
练习：教科书P37 练习1 、2
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
4. 3.2等比数列的前n项和（1）
一、探索新知 二、初步应用
1．等比数列的前n项和公式推导 例1
知识讲解1： 例2
2．等比数列的前n项和公式应用 例3
知识讲解2：
2．总结概括：
（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；
（2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
（3）数学思想方法的应用:
①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；
②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P37 练习3 、4 、5
【目标检测设计】
1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的通项公式和前n项和公式.
3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则 ( )
A．－5 B．－3
C．5 D．3
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的性质.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝( )
A．12 B．－15
C．12或－15 D．12或15
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式及分类讨论思想.
5．已知等比数列{an}满足a3＝12，，记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn＝93，求n.
设计意图：通过本题，加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
参考答案：1．B 由Sn＝，a1＝1，q＝2.
当Sn＝127时，则，解得n＝7.故选B.
2．A ∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，
∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.
又a1≠0，∴q＝－1.故选A．
3．C 由题意可得：，故选C．
4．C 因为a1＝3，S3＝9，当q＝1时，满足题意；故可得S4＝4a1＝12；
当q≠1时，S3＝，解得q＝－2，
故S4＝.
综上所述S4＝12或－15.故选C．
5．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
则解得
所以.
(2) .
由Sn＝93，得，解得n＝5.
《4.3.2等比数列的前n项和》教学设计
第1课时
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．
2．会用错位相减法求数列的和．
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
教学重点：等比数列的前n项公式的运用
教学难点：等比数列的前n项和公式的推导.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第34~37页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式．（2）学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养.
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
设计意图：以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.
问题3：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列 并写出这个数列的通项公式.
师生活动：学生回答，教师完善．
预设的答案：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1.
问题4：请将发明者的要求表述成数学问题.
师生活动：学生回答，教师完善．
预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+23+ +263=？
问题5：如何求解该问题.
师生活动：让学生回顾等差数列的前 n 项和公式的推导过程.教师完善．
预设的答案：等差数列 a1,a2, a3, …,an的前 n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an
根据等差数列的定义an+1 -an= d
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an ①
Sn=an+an-1+an-2+…+a3 +a2 +a1 ②
+ ②得，2Sn=n(a1+an).
所以
问题6：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？
师生活动：让学生回顾等比数列的性质后回答.教师完善．
预设的答案：在等比数列中a1 +an≠a2 +an-1≠a3 +an-2，
所以2Sn≠n(a1+an).
对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.
问题7：求和的根本目的是什么？
思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.
①
问题8：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案：an=an-1 q(n≥2,q≠0)
问题9：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案： ①
②
设等比数列 {an } 的首项为a1，公比为q，则{an } 的前n项和是Sn
Sn=a1+a2+a3+…+an-2 +an-1 +an，
根据等比数列的通项公式，
Sn=a1+a1 q+ a1 q2+…+ a1 qn-3 + a1 qn-2+ a1 qn-1 ①
qSn= a1 q+ a1 q2+ a1 q3+…+ a1 qn-2+ a1 qn-1+ a1 qn ②
①- ②得, Sn -qSn= a1 - a1qn
即Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn).
问题10：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案：Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn)
当1 -q=0时，即 q=1 时，
当1 -q≠0时，即 q≠1 时，.
设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.
【探究新知】
知识点1 等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q＝1
求和公式
问题5的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”
1+2+22+23++263
a1=1,q=2，n=64
，
一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.
不能实现！
设计意图：利用错位相减法求得了等比数列前n项和公式,并利用公式解决了象棋大师的问题.进一步培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.
【巩固练习】
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.
预设的答案：（1）因为，，所以.
（2）由，，可得，
即.
又由，得 .
所以 .
（3）把，，，代入，得
，
整理，得 ，解得n=5.
设计意图：通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
方法总结：等比数列的通项公式和前n项和公式一共涉及五个量，知三求二.通常会用到列方程或方程组求解.
例2 已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q.
师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.
预设的答案：若q=1，则，
所以q1.
当q1时,由得，
.
整理，得 ，
即 .所以 .
设计意图：通过该例题，让学生知道使用等比数列求和公式的条件，有时需要分类讨论；加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
方法总结：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
例3已知等比数列的公比q-1，前n项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.
师生活动：学生分组讨论，派代表板演.教师完善规范解题过程.
预设的答案：(方法一)
当q=1时，，
，
，
所以成等比数列，公比为1.
当q1时，，
，
，
所以 .
因为为常数,所以成等比数列，公比为.
方法二) ，
所以
因为为常数，所以成等比数列，公比为.
结论：等比数列的公比q-1，前n项和为，则成等比数列，公比为.
注：当q=-1时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.
设计意图：通过该例题，推导出等比数列均匀分段和性质.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
结论：（1）等比数列的前n项和为，则，…（）成等比数列；（2）.
练习：教科书P37 练习1 、2
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．
【课堂总结】
1．板书设计：
4. 3.2等比数列的前n项和（1）
一、探索新知 二、初步应用
1．等比数列的前n项和公式推导 例1
知识讲解1： 例2
2．等比数列的前n项和公式应用 例3
知识讲解2：
2．总结概括：
（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；
（2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
（3）数学思想方法的应用:
①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；
②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P37 练习3 、4 、5
【目标检测设计】
1．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的通项公式和前n项和公式.
3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则 ( )
A．－5 B．－3
C．5 D．3
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的性质.
4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝( )
A．12 B．－15
C．12或－15 D．12或15
设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式及分类讨论思想.
5．已知等比数列{an}满足a3＝12，，记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Sn＝93，求n.
设计意图：通过本题，加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
参考答案：1．B 由Sn＝，a1＝1，q＝2.
当Sn＝127时，则，解得n＝7.故选B.
2．A ∵a2＋S3＝a2＋(a1＋a2＋a3)＝0，
∴a1＋2a2＋a3＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0.
又a1≠0，∴q＝－1.故选A．
3．C 由题意可得：，故选C．
4．C 因为a1＝3，S3＝9，当q＝1时，满足题意；故可得S4＝4a1＝12；
当q≠1时，S3＝，解得q＝－2，
故S4＝.
综上所述S4＝12或－15.故选C．
5．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
则解得
所以.
(2) .
由Sn＝93，得，解得n＝5.