人教版八年级下数学疑难点专题专练——16.3二次根式的加减
一、单选题
1．（2022八下·临西期末）若＋2 ＋＝10，则x的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】＋2 ＋＝10，
，
5，
，
∴x=2，
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的加法运算求解即可。
2．（2022八下·长安期末）我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
【答案】B
【知识点】无理数的估值；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1<<2，
∴4<<5，
∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分，
∴a=4，b=2-，
∴ab2 a2b=ab(b-a)
=4(2-)( 2--4)
=-4(2-)( 2+)
=-4(4-2)
=-8．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到1<<2，再根据不等式的性质确定出的取值范围，由此可得到a的值，再将代数式分解为ab(b-a)，然后代入求值即可.
二、填空题
3．（2022八下·虎林期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： 而与最简二次根式是同类二次根式，
故答案为：
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的定义得出，求出即可。
4．（2022八下·威县期末）已知，则 ， ．
【答案】5；4
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵
，
∴a=5，b=4．
故答案为：5，4．
【分析】利用二次根式的加减法则计算求解即可。
5．（2022八下·宾阳期中）计算： .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
= .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的乘除法法则可得原式=4-+，然后根据二次根式的加法法则进行计算.
三、计算题
6．（2022八下·潜山期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式，
∵，
∴原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可。
7．（2022八下·康巴什期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
8．（2022八下·双台子期末）已知a＝，求代数式的值．
【答案】解：原式＝
＝
＝16－12－2
＝2．
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将a＝代入，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
9．（2022八下·梧州期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将各个二次根式分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的减法即可；
（2）根据二次根式的除法，乘法及平方差公式先进行计算，再计算加减即可.
10．（2022八下·蚌埠期末）
（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】（1）解：原式＝3﹣+3﹣1
＝5﹣；
（2）解：，
∴x﹣1＝﹣或x﹣1＝，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可。
11．（2022八下·海州期末）计算与化简：
（1）化简
（2）化简
（3）计算
（4）计算
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式.
.
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意将2-x变形得2-x=-（x-2），然后根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加”并约分可求解；
（2）由题意将3-a变形得2-x=-（a-3），然后根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加”并约分先算括号内的部分，再将每一个分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，并约分，即可将分式化简；
（3）根据二次根式的性质“、”先将各个二次根式分别化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）先将第二个括号内的第一个二次根式化简，再从第二个括号内提出公因式，然后利用平方差公式及二次根式的性质去括号，最后计算有理数的混合运算即可得出答案.
12．（2022八下·福州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则可得原式=+，然后根据二次根式的加法法则进行计算；
（2）根据平方差公式可得原式=5-3+-，然后根据有理数的减法法则以及二次根式的减法法则进行计算.
13．（2022八下·河东期中）计算：
（1）．
（2）a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【答案】（1）解：原式=
（2）解：∵
∴
∵a，b分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算化简求解即可；
（2）先求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
14．（2022八下·香河月考）
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
15．（2022八下·潮南期中）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先进行二次根式的乘除，再合并同类二次根式即可.
四、解答题
16．（2022八下·禹州期末）若，求的值.
【答案】解：∵＋2，
∴＝＝6＋＋4＝10＋，
∴原式＝
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式求出x2的值，然后将x和x2的值代入原式，再利用平方差公式将括号展开，再进行有理数的加减混合运算，即可求出结果.
17．（2022八下·大连月考）已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
【答案】解：∵x＝-1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（-1）2+（+1）（-1）+
＝（3+2）（3-2）+2-1+
＝9-8+1+
＝2+；
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】将x的值代入（3+2）x2+（+1）x+，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
五、综合题
18．（2022八下·大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是 ，分母有理化得 ．
（2）计算：
①．
②已知：，，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：①原式；
，，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1），
的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理数的计算方法求解即可；
（2）①先利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可；
②先将x、y化简，再将其代入计算即可。
19．（2022八下·微山月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：====
（4）解：===3
（5）解：原式===，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（3）利用实数的运算的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（5）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
20．（2022八下·十堰月考）
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式，
又，
，
原式；
（2）解：由，
则，
可得.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）对待求式变形可得，根据二次根式的加法法则可得m+n，根据平方差公式可得mn，然后代入计算即可；
（2）对已知条件两边平方可得x2+-2=4，则x2+=6，两边平方可得x4+=34，然后代入计算即可.
1 / 1人教版八年级下数学疑难点专题专练——16.3二次根式的加减
一、单选题
1．（2022八下·临西期末）若＋2 ＋＝10，则x的值为（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
2．（2022八下·长安期末）我们知道的小数部分b为，如果用a代表它的整数部分，那么的值是（ ）
A．8 B．－8 C．4 D．－4
二、填空题
3．（2022八下·虎林期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
4．（2022八下·威县期末）已知，则 ， ．
5．（2022八下·宾阳期中）计算： .
三、计算题
6．（2022八下·潜山期末）先化简，再求值：，其中，．
7．（2022八下·康巴什期末）计算：
（1）
（2）
8．（2022八下·双台子期末）已知a＝，求代数式的值．
9．（2022八下·梧州期末）计算：
（1） ；
（2） ．
10．（2022八下·蚌埠期末）
（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
11．（2022八下·海州期末）计算与化简：
（1）化简
（2）化简
（3）计算
（4）计算
12．（2022八下·福州期中）计算：
（1）
（2）
13．（2022八下·河东期中）计算：
（1）．
（2）a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．
14．（2022八下·香河月考）
（1）
（2）
15．（2022八下·潮南期中）计算：
四、解答题
16．（2022八下·禹州期末）若，求的值.
17．（2022八下·大连月考）已知x＝-1，求代数式（3+2）x2+（+1）x+的值．
五、综合题
18．（2022八下·大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）的有理化因式可以是 ，分母有理化得 ．
（2）计算：
①．
②已知：，，求的值．
19．（2022八下·微山月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
20．（2022八下·十堰月考）
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】＋2 ＋＝10，
，
5，
，
∴x=2，
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的性质和二次根式的加法运算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵1<<2，
∴4<<5，
∵a为6-的整数部分，b为6-的小数部分，
∴a=4，b=2-，
∴ab2 a2b=ab(b-a)
=4(2-)( 2--4)
=-4(2-)( 2+)
=-4(4-2)
=-8．
故答案为：B．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到1<<2，再根据不等式的性质确定出的取值范围，由此可得到a的值，再将代数式分解为ab(b-a)，然后代入求值即可.
3．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解： 而与最简二次根式是同类二次根式，
故答案为：
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的定义得出，求出即可。
4．【答案】5；4
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵
，
∴a=5，b=4．
故答案为：5，4．
【分析】利用二次根式的加减法则计算求解即可。
5．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
= .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的乘除法法则可得原式=4-+，然后根据二次根式的加法法则进行计算.
6．【答案】解：原式，
∵，
∴原式．
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的混合运算化简，再将x、y的值代入计算即可。
7．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
8．【答案】解：原式＝
＝
＝16－12－2
＝2．
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将a＝代入，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
9．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将各个二次根式分别化简，再合并同类二次根式及进行有理数的减法即可；
（2）根据二次根式的除法，乘法及平方差公式先进行计算，再计算加减即可.
10．【答案】（1）解：原式＝3﹣+3﹣1
＝5﹣；
（2）解：，
∴x﹣1＝﹣或x﹣1＝，
∴．
【知识点】二次根式的混合运算；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可。
11．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式.
.
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由题意将2-x变形得2-x=-（x-2），然后根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加”并约分可求解；
（2）由题意将3-a变形得2-x=-（a-3），然后根据同分母的分式加减法法则“同分母的分式相加减，分母不变，分子相加”并约分先算括号内的部分，再将每一个分式的分子和分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，并约分，即可将分式化简；
（3）根据二次根式的性质“、”先将各个二次根式分别化简，再合并同类二次根式即可求解；
（4）先将第二个括号内的第一个二次根式化简，再从第二个括号内提出公因式，然后利用平方差公式及二次根式的性质去括号，最后计算有理数的混合运算即可得出答案.
12．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则可得原式=+，然后根据二次根式的加法法则进行计算；
（2）根据平方差公式可得原式=5-3+-，然后根据有理数的减法法则以及二次根式的减法法则进行计算.
13．【答案】（1）解：原式=
（2）解：∵
∴
∵a，b分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴
【知识点】无理数的估值；代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算化简求解即可；
（2）先求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
14．【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
15．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先进行二次根式的乘除，再合并同类二次根式即可.
16．【答案】解：∵＋2，
∴＝＝6＋＋4＝10＋，
∴原式＝
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式求出x2的值，然后将x和x2的值代入原式，再利用平方差公式将括号展开，再进行有理数的加减混合运算，即可求出结果.
17．【答案】解：∵x＝-1，
∴（3+2）x2+（+1）x+
＝（3+2）（-1）2+（+1）（-1）+
＝（3+2）（3-2）+2-1+
＝9-8+1+
＝2+；
【知识点】代数式求值；二次根式的混合运算
【解析】【分析】将x的值代入（3+2）x2+（+1）x+，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
18．【答案】（1）；
（2）解：①原式；
，，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1），
的有理化因式可以是；
；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理数的计算方法求解即可；
（2）①先利用分母有理化的计算方法化简，再计算即可；
②先将x、y化简，再将其代入计算即可。
19．【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：====
（4）解：===3
（5）解：原式===，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（3）利用实数的运算的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（5）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
20．【答案】（1）解：原式，
又，
，
原式；
（2）解：由，
则，
可得.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）对待求式变形可得，根据二次根式的加法法则可得m+n，根据平方差公式可得mn，然后代入计算即可；
（2）对已知条件两边平方可得x2+-2=4，则x2+=6，两边平方可得x4+=34，然后代入计算即可.
1 / 1
