《4.1数列的概念》第1课时-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列
《4．1数列的概念》教学设计
第1课时
1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象、通项公式）．
2．了解数列是一种特殊函数．
教学重点：数列的概念和表示方法．
教学难点：数列的函数特征．
PPT课件．
【导入新课】
问题1：阅读课本第1页，回答下列问题：
（1）本章将要探究哪类问题？
（2）本章要探究的对象在高中的地位是怎样的？
（3）贯穿本章的一条主线是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．
预设的答案：（1）本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列－等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些问题．（2）数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要．我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列．我们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法．（3）贯穿本章的一条主线是数列的函数特性以及函数与方程思想．在本章的学习中，我们可以体验通过数学抽象获得一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和方法；通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实际问题的能力．通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升．
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．
【思考】从章头图中你能看出什么？寓意是什么？
师生活动：学生思考后回答．教师完善．
预设的答案：本章章头图的背景是辽阔而波涛汹涌的大海以及远处的灯塔，象征数学是指引人类文明进步的“灯塔”，沙滩上画出的是毕达哥拉斯学派研究三角形数、正方形数和五边形数时的图形，仿佛古希腊的数学家们正凝视着这些数列，试图发现其中蕴含的规律．
【新知探究】
1．问题情景
（1）王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168 ①
问题2：这列数中第1，4个数的实际意义是什么？
师生活动：学生回答，教师归纳．
预设的答案：第1个数表示王芳在1岁生日那天的身高是75cm，第4个数表示王芳在4岁生日那天的身高是103cm．这些数是具有确定的顺序的，每个位置上的数都有其特定的意义．
追问：能否引入一个符号，表示上面这列数中的每个数？
师生活动：学生思考后作答，教师归纳．
教师归纳：既然这列数中的每一个数的值与排列顺序中的序号有关，我们可以引入一个与序号相关的符号来表示这列数中的数．记王芳第i岁的身高为，那么我们发现中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，…，是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数．
设计意图：通过用数字符号表示实例中的数，使学生认识到实例中的数是具有确定顺序的一列数．
（2）在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240． ②
问题3：这列数中第5，9个数的实际意义是什么？
师生活动：学生回答，教师归纳．
预设的答案：第5个数表示第5天月亮可见部分的数为80，第9个数表示第9天月亮可见部分的数为144．这些数是具有确定的顺序的，每个位置上的数都有其特定的意义．
追问：能否引入一个符号，表示上面这列数中的每个数？
师生活动：学生思考后作答，教师归纳．
教师归纳：既然这列数中的每一个数的值与排列顺序中的序号有关，我们可以引入一个与序号相关的符号来表示这列数中的数．记第i天月亮可见部分的数为，那么．这里，中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，…，是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也是具有确定顺序的一列数．
设计意图：通过用数字符号表示实例中的数，使学生认识到实例中的数是具有确定顺序的一列数．
（3）的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
，，，，…③
问题4：你能仿照前面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
师生活动：学生回答，教师总结，强调每个数与位置的关系．
设计意图：前两例是带有实际意义的问题，第③列数撇开实际背景，让学生认识数学中的数列，学生通过仿照前面用数学符号表示数列并进行分析的过程，进一步认识数列是具有确定顺序的一列数．
问题5：上面三个例子的共同特征是什么？
师生活动：学生讨论交流，教师总结讲解．
知识点1：数列
(1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
（3）数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
设计意图：让学生在具体的实例基础上进行抽象概括，体会数列的概念及一般形式的合理性．
问题6：数列1，2，3与数列3，2，1是不是相同的数列？
师生活动：学生回答．
预设的答案：数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本属性．数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列．
设计意图：让学生进一步体会数列是与顺序有关的．
问题7：符号{an}和an是否相同？
师生活动：学生回答．
预设的答案：符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项．
设计意图：让学生注意区分符号{an}和an是不同的．
问题8：（1）从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗？
（2）数列能否看作是一个函数？如果能，数列的定义域又有怎样的特点？
师生活动：在学生回答的基础上，教师引导学生对照教科书中的表述，理解数列是特殊的函数．
设计意图：通过这个问题，引导学生思考数列与函数之间的关系．
知识点2：数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…，构成了一个数列{f(n)}．
与其它函数一样，数列也可以用表格和图象来表示：如数列①可用表格和图象分别表示如下：
设计意图：通过数列概念的解读，并与函数概念的比较，深化对数列概念的理解．发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养．
问题9：数列是一种特殊的函数，那么数列也有单调性的概念吗？
师生活动：学生可以通过实例回答，教师总结．
知识点3：数列的分类
类别 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
设计意图：让学生清楚数列可以从项数以及项与项之间的大小关系进行分类，同时理解数列也有单调性．
【练一练】下列叙述正确的是（ ）
A．数列，，，与，，，是相同的数列
B．数列，，，，…，可以表示为
C．数列，，，，…，是常数列
D．数列是递增数列
师生活动：学生思考后回答．
预设的答案：对于A，数列，，，与，，，不是相同的数列，故A错误；
对于B，数列，，，，…可以表示为，故B错误；
对于C，数列，，，，…是摆动数列，故C错误；
对于D，数列是递增数列，故D正确．
故选D．
知识点4：数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．如数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．
教师归纳：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集){1，2，…，n}为定义域的函数表达式．
(2)并不是所有的数列都有通项公式．
(3)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列-1，1，-1，1，-1，1，…，的通项公式可以写成an=(-1)n，an=(-1)n+2，an=cosnπ等．
设计意图：让学生进一步理解数列与函数一样可以有三种表示方法，加深学生对数列概念的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
【练一练】若数列{an}的通项公式是an=n2-1，则该数列的第10项a10=_______，224是该数列的第_______项．
师生活动：学生思考后回答．
预设的答案：a10=102-1=99．令an=n2-1=224，解得n=15，即224是该数列的第15项．
【巩固练习】
例1根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图像．
（1），（2）．
师生活动：学生计算、画图，并判断数列的单调性，教师给出规范解答．
预设的答案：（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为1，3，6，10，15；如图所示(1)．
（2）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{an}的前5项依次为1，0，-1，0，1；如图所示(2)．
设计意图：通过对通项公式的直接运用，并要求学生描点作图，使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列．
例2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式：
（1）；
（2）；
（3）1，-3，5，-7，9，…；
（4）；
（5）9，99，999，9 999，…；
（6）．
师生活动：学生分组讨论，派代表回答．教师给出规范解答．
预设的答案：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为；
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为；
（3）数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n-1；考虑(-1)n+1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为；
（4）数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再观察所以它的一个通项公式为；
（5）各项加1后，分别变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为；
（6）数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n+1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为．
设计意图：让学生体会从数列的具体项归纳通项公式的基本方法，认识到得到的通项公式不是唯一的．如（2）的通项公式也可以写成．通过典型例题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
方法总结：
1．根据数列的前几项写通项公式的具体思路为：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系．
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号．或常常用来表示正负相间的变化规律．
(4)对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答．
2．常见数列的通项公式
(1)数列-1，1，-1，1，…，的一个通项公式是，数列1，-1，1，-1，…，的一个通项公式是或．
(2)数列1，2，3，4，…的一个通项公式是an =n．
(3)数列1，3，5，7，…的一个通项公式是an=2n-1．
(4)数列2，4，6，8，…的一个通项公式是an=2n．
(5)数列1，2，4，8，…的一个通项公式是an=2n-1．
(6)数列1，4，9，16，…的一个通项公式是an=n2．
(7)数列1，3，6，10，…的一个通项公式是．
(8)数列，…，的一个通项公式是．
练习：教科书P5页练习1、2、3、4、5．
【课堂总结】
1．板书设计：
4.1数列的概念
二、新知探究 三、巩固练习
1．数列的概念 例1
知识点1： 例2
2．数列与函数
知识讲解2：
3．数列的分类
知识点3：
4．数列的通项公式
知识点4：
2．总结概括：
数列的概念与表示
师生活动：学生总结，老师适当补充．
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P8-9习题4.1第1~3题．
【目标检测设计】
1.下列数列既是递增数列,又是无穷数列的是(　　)
A.1,2,3,…,20
B.-1,-2,-3,…,-n,…
C.1,2,3,2,5,6,…
D.-1,0,1,2,…,100,…
设计意图：让学生进一步了解递增数列和无穷数列的定义.
2. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图中有_______小圆圈.
设计意图：让学生学会仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系,从而归纳出第n个图形中小圆圈的个数.
3.已知数列{an}的通项公式为an=log3(2n+1),则a3=_______.
设计意图：让学生学会根据通项公式求具体项.
4.已知数列,…,则5是该数列的第_______项.
设计意图：让学生学会根据前几项归纳猜想数列的通项公式.
参考答案：1.D 2. n2-n+1 3. 2 4. 19