《4.1数列的概念》第2课时-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列
《4.1数列的概念》教学设计
第2课时
1.理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.
2.了解数列的前n项和公式的定义，以及数列的通项公式与前n项和公式的关系.
教学重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系.
教学难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.
PPT课件．
【新课导入】
问题1：阅读课本第5~7页，回答下列问题：
（1）本节将要探究哪类问题？
（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要探究数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系．（2）起点是数列的概念与简单表示法，目标是理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题,会利用数列的通项公式与前n项和公式的关系求数列通项. 进一步深化学生对数列概念的理解和运用.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
问题2：数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
师生活动：学生思考后回答，教师完善.
预设的答案：令 n2+2n=120，解这个关于n的方程，得
n=-12（舍去），或n=10
所以，120是数列{an}的项，是第10项.
设计意图：本例是要利用数列的通项公式判断某个数是不是这个数列的项，引导学生对这个问题进行转化——“判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120”.这实质上转化成了一个求方程的整数解的问题.同时，通过本题让学生灵活运用数列的通项公式解决问题.
问题3：图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的通项公式.
师生活动：学生分组探究，派代表回答.教师完善.
预设的答案：在图中（1）（2）（3）（4）中，着色三角形个数依次为 1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，
因此这个数列的通项公式是an=3n-1.
教师总结：观察图中的4个图形，可以发现，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，该问题中的数列的前4项满足，
由此猜测，这个数列满足公式
设计意图：该问题是以一个典型的分形现象——谢尔宾斯基三角形为素材，让学生用数列刻画这个三角形序列中着色三角形的个数，并写出这个数列的一个通项公式，这个情境反映了数列在刻画事物变化规律方面的应用.同时，借助该问题引出递推数列的定义.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.
方法总结：在解决这个问题时，只要数出三角形序列中每个图形中着色三角形的个数并按顺序排成一列，即得到一个数列，然后通过观察各项的取值规律就得到了这个数列的通项公式.
问题4：数列满足公式这个式子叫什么？
师生活动：学生猜想，教师总结.
设计意图：通过这个问题，让学生思考并引入新课.
【探究新知】
知识点1 数列的递推公式
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了.
方法总结：由递推公式写出数列的项的方法：（1）根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
（2）当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.这时发现的往往是相邻两项或多项之间的关系，这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.
（3）递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
(4)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.
注意点：与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
【练一练】在数列{}中，若，，则=______.
师生活动: 学生独立完成.
预设的答案:因为，，所以，所以.
设计意图：尽管递推公式不是本章的重点内容，却是数列的重要表示方式.在数值计算中，迭代法使用的一些关系式就是递推公式.当不能用通项公式整体刻画一个数列时，如果能写出递推公式表示数列的相邻两项或多项之间的关系，就可以利用计算工具，方便地利用首项和递推公式求出数列的每一项．在本次教科书的修订中，适当加强了数列问题中对运算、代数变换的运用.
总结：通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
知识点2 数列的通项与前n项和
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
2．数列{an}的通项与前n项和Sn的关系为：
方法总结：已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),
但必须注意它成立的条件是n≥2且n∈N*.
注意点：由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,
则数列的通项公式应采用分段表示,即
设计意图：通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解数列求和概念.发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养.
【巩固练习】
例1．（1）已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 ,写出这个数列的前5项.
（2）已知数列{an},a1=1,且满足,写出数列{an}的前5项.
师生活动: 学生独立完成：由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 教师完善.
预设的答案: （1）由题意可知, a1=1, ,，，.
（2）由题意可知, a1=1, ,
，，.
设计意图：通过典型例题，让学生熟悉递推公式的表示方式，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
例2.（1）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+ n,求数列{an}的通项公式.
（2）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
师生活动: 学生自主完成.教师完善规范解题.
预设的答案:（1）因为a1= S1=2，an=Sn-Sn-1= n2+ n-(n-1)2- (n-1)=2n (n≥2).
并且当n=1时, a1= 21=2仍然成立.
所以数列{an}的通项公式是an=2n.
（2）a1=S1=1+2=3,①
而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②
在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.
∴数列{an}的通项公式为
设计意图：通过典型例题，帮助学生灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
方法总结：已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式分段表示
练习：教科书P8 练习1 、2、3、4
【课堂总结】
1．板书设计：
4.1数列的概念（2）
一、探索新知 二、初步应用
1．递推数列的概念 例1
知识讲解1： 例2
2．数列的通项与前n项和的关系
知识讲解2：
2．总结概括：
师生活动：学生总结，老师适当补充.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．
3．课堂作业：教科书P9习题4.1 4、5、6
【目标检测设计】
1.已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是(　　)
A.15 B.255 C.16 D.63
设计意图：通过该题，让学生进一步巩固已知数列的递推关系求某一项.
2.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是第_____项.
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数列是特殊的函数.
3.已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前5项，并猜想通项公式．
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数列的递推公式，以及根据数列的部分项利用不完全归纳法猜想数列的通项．
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，求数列{an}的通项公式.
设计意图：通过该题，让学生进一步理解数列的通项与前n项和之间的关系以及利用这个关系解题．
参考答案：1.B 2.6
3. a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，
猜想an＝2n(n∈N*)．
4.an＝