8.6.1直线与直线垂直+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册(共21张PPT)

(共21张PPT)
8.6.1直线与直线垂直
课程目标 学科素养
A.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线． B.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角． C.会证线线垂直. 1.数学抽象：异面直线所成的角的定义；
2.逻辑推理：作异面直线所成的角；证线线垂直；
3.数学运算：求异面直线所成的角；
1.异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
2.异面直线的画法
温故知新：
3.异面直线的判定方法：
(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(借助反证法)
(2)判定定理：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线
已知：
求证：
直线AB和a是异面直线
a
A
B
·
不相同
平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）．
角θ即为直线a与直线b的夹角
教材P146观察：如图，在正方体A1B1C1D1-ABCD 中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
探索新知
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找 出这个夹角？
如图所示，a，b是两条异面直线，
在空间中任选一点O，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′,
a
b
P
a′
b′
O
则这两条线所成
的锐角θ（或直角），
θ
称为异面直线a，b所成的角.
？
任选
O
a′
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.
异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
平移
探究一.两条异面直线所成的角
异面直线
思考：这个O点取得位置会影响直线a与b所成的角吗？
不会，等角定理
O2
O1
b’
a’
b’
a’
O3
a’
为简便，O点常取在
两异面直线中的一条上
当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为0°．
空间中两条直线所成角θ的取值范围是： ．
0°≤ θ ≤90°
两直线垂直：
异面垂直、相交垂直
思考：空间两条异面直线a，b的夹角α的取值范围为？
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
O

α
b
a
a′
思考：空间两条直线垂直，它们一定相交吗？
不一定相交，可以是异面垂直
探究二.两条异面直线所成的角的范围
探究三.两条异面直线垂直
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
(4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
(2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′,
∴∠A′BB′为直线BA′与CC′所成的角. 而∠A′BB′=45°.
∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.
探究四：求异面直线所成的角
1.构造
2.证明
3.计算
4.结论
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
连接A′C′,
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，
∴AA′ CC′,
∴四边形AA1C1C是平行四边形.
∴AC∥A′C′,
∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°.
∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角.
连接BC′,
易知△A1BC1是等边三角形，
∴∠BA1C1=60°，
解：
（作）
（证）
（求）
1.构造（找或作）
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(4)若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值.
解：取AB中点E，连接EM，MN，
∵M，N是A′C′，B′C′中点，
∴四边形MNAE是平行四边形.
M
A′
B′
C′
D′
D
C
B
A
N
E
2.证明
∴MN∥A′B′，MN= A′B′,
∵E为AB中点，
∴AE∥A′B′, AE= A′B′,
∴AE∥MN, AE=MN,
∴AM∥EN,
∴∠ENC为直线AM，CN所成角.
解三角形
3.计算
4.结论
连接EC，设正方体棱长为2，易得
在△CEN中，NE= ，NC= ，EC= ，
∴异面直线AM，CN所成角的余弦值为 .
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
一作（找）：作（或找）出异面直线所成的角(或其补角)
二证：证明所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角
三解：转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角
四结论：（得钝求补：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面； 直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．
一作二证三解四结论
技巧总结：
例2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值.
法一（平移法）：
∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 .
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
M
1
2
2
如图①，连接AC，BD，相交于点O，
取DD1的中点M，连接OM，AM，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴AA1 BB1 CC1.
∴四边形AA1C1C是平行四边形.
∴A1C1∥AC
∴O是AC的中点.
∴∠AOM(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，
∴OM∥BD1，OM= BD1
在△AOM中，易求AO= cm，OM= cm， AM= cm，
解法二（补形法）：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
E1
F1
如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体BEFC-B1E1F1C1，连接C1E，A1E，
∴C1E∥BD1.
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴C1D1 A1B1 BE.
∴四边形BEC1D1是平行四边形.
∴∠A1C1E(或其补角)是异面直线A1C1与BD1所成角
在△A1C1E中，易求A1C1= cm，C1E= 3cm，A1E= cm，
由余弦定理得
∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 .
例2. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值.
异面直线所成角的方法：
平移法的常用技巧：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
思考：你能证明AD和BC垂直吗？
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
注2:异面直线所成角的取值范围：
注3:求异面直线所所成角的步骤：
一作、二证、三求解、四结论
课堂小结
你会了吗？
勤 于 总 结 敢 于 创 新
注4.平移技巧：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
注5：证明两条直线垂直的策略：(1)平行转化法；
(2)转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．