四川省成都市树德名校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（PDF版含答案）

树德中学高 2022级高一下期 5月阶段性测试数学试题 10.如图，正方形 ABCD中，E为 AB 中点，M 为线段 AD上的动点，若BM BE BD，则 的
命题人：胡蓉 审题人：高一数学组、杨世卿、叶强 值可以是（ ）
第 I卷（选择题） 3 1A． B．
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 2 2
题目要求的. C．1 D． 2
31. 已知第二象限角 的终边与单位圆交于 P m, ，则 （ ）
5
sin 2
11.函数 f x Asin x A 0, 0, π 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
12 24 12 24 1
A． B． C． D． A． f x 2sin x
π

25 25 25 25 3 6
i B．若把 f x 2图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
2.已知复数 z (i是虚数单位)的共轭复数是 z ，则 z z的虚部是（ ） 3
3 i 得到的函数在 π, π 上是增函数
3 i 3 2 2A． B． C． D． π
5 5 5 5 C．若把函数 f x 的图象向右平移 个单位，则所得函数是奇函数2
a

3.已知向量 ,b 满足 a 2, b 3,a b 1 ，则b在 a上的投影向量为（ ） x π π 3π , D．
3 3
，若 f 3x a f 恒成立，则 a的最小值为2 3 2
1
A． a 1 1 1 B． a C． a D． a 12.已知 ABC三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若
4 9 4 9
4.上图是利用斜二测画法画出的 ABO的直观图，已知 A B ∥ y 轴，O B 4 3c 2asin B sinC 3 bsin B asin A，且 ，则下列选项正确的是（ ）
ABO的面积为 16，过 A 作 A C O B ，垂足为点C ，则 A C 的长为（ ） 1 3
A． 2 2 B． 2 C．16 2 D 1 A．． cos AcosC的取值范围是 ( , )2 4
5. i 瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式： e cos isin R ，其中 i为虚数单位， e是自然对数的底 3 3
数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被誉为“数学中的天桥”．下列说法正确的 B．若 D是 AC边上的一点，且CD 2DA,BD 2，则 ABC的面积的最大值为 2
是（ ）
3 c 1
ix 1 3 e
i 1 ix ix C．若三角形是锐角三角形，则 的取值范围是 ( ,2)
A． e e e 1 0 B． i 1 C． 的模长为 D． sin x a 2
2 2 3 i 2 2 D．若三角形是锐角三角形，BD平分 ABC交 AC于点 D，且 BD 1，则 4a c的最小值为3 3
6. 如图所示，边长为 2的正 ABC，以 BC的中点 O 为 圆心，BC为直径在点 A
的另一侧作半圆弧 B C，点 P在圆弧上运动，则 AB AP的取值范围为（ ） 第 II卷（非选择题）
A． 2, 2 3 B． 2,5 C． 2,4 D． 4,3 3 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
2 2 2
7.在 ABC 2
B
中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 3sinB 2cos 3， 13.已知向量 a (3, 2),b ( ,1)，若 a b a b ，则 __________.
2
cosB cosC sinAsinB 14.已知3i 2(i是虚数单位)是关于 x的方程 2x2 px q 0（ p、q R）的一个根，则 ，则 ABC的外接圆的面积为（ ）
b c 6sinC p q _________．
A．12π B．16π C． 24π D． 64π
15. 2
C
在 ABC中，已知角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 A ,b 2a 4asin ，则
8.已知函数 y 2sin( x
π
)( 0)图象与函数 y 2sin( x
π
)( 0)图象相邻的三个交点依次为 A，B， 3 2
3 6 ________．
C，且 ABC是钝角三角形，则
tanC
的取值范围是（ ） 16.直线 l过 ABC的重心G（三条中线的交点），与边 AB 、 AC交于点 P、Q，且
π π
A ( 2π． , ) B． ( , ) C． (0, ) D 2π． (0, )
4 4 4 4 AP AB，AQ AC，直线 l将 ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形 PQCB，其对应的面
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， S2
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 积依次记为 S1和 S2，则 S 的最大值为_________．
9.以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周形成的面围成的几何体可以是（ ） 1
A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台
C．一个圆锥 D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
2023-5 高一数月 5 第 1页共 2 页
四、解答题：本题共 6小题，第 17小题 10分，其余小题每题 12分，共 70分.解答题应写出文字说明、 20.目前，中国已经建成全球最大的 5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到 5G基站
证明过程或演算步骤. 的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座 5G基站 AB，已知基站高 AB=50m，该
同学眼高 1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置 C处（眼睛所在位置）测得基站底部 B的仰
17.在①3sin 2 4 2 cos ；②3sin 3 .两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线处，2 为 37°，测得基站顶端 A的仰角为 45°.
并解答问题．
已知α，β均为锐角， tan( ) 2，且满足______.
（1）求 tan 的值；
（2）求 sin( )的值.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
图 1 图 2
（1）求出山高 BE（结果保留整数）；
（2）如图 2，当该同学面向基站 AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置 C处（眼睛
所在位置）到基站 AB所在直线的距离 CD=x m，且记在 C处观测基站底部 B的仰角为 ，观测基站
顶端 A的仰角为β.试问当 x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？
参考数据: 2 1.4, sin8 0.14,sin 37 0.6,sin 45 0.7,sin127 0.8 .
18.已知平面向量 a， b ， c满足， a 1， b 2， c ta b（ t R ）.

1

（ ）若 a， b 不共线，且 a 2b与c 共线，求 t的值；
（2）若 c

的最小值为 3，求向量 a，b 的夹角大小.
21.已知函数 f (x) 3sin( x ) 2sin2 ( x ) 1 π的相邻两对称轴间的距离为 ，ω>0.
3 2 6 2
（1）求 f x 的解析式和单调递增区间；
π
（2 1）将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的 2 （纵坐标不变），6
得到函数 y g x 的图象，若方程 g 4 π 4πx 在 x , 上的根从小到大依次为 x3 6 3 1, x2 , , xn，若
m x1 2x2 2x3 2xn 1 xn ，试求 n与 m的值.

19.在 ABC中，角A， B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 2a sin AcosB b sin 2A 2 3a cosC . 22.如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心）， AOB （0 ），点 C为单位圆上的2
（1）求角C的大小； 动点，线段 AC交线段OB于点 M（点 M异于点O、B），记 AOB的面积为S．
（2）若 c 2 3， ABC与 BAC的平分线交于点 I ，求△ABI周长的最大值.
（1）记 f ( ) 2S OA AB，求 f 的取值范围；
（2）若 60 ,
①求CA CB的取值范围；

AM
②设OM tOB 0 t 1 ，记 g(t)，求 g t 的最小值．
AC
2023-5 高一数月 5 第 2页共 2 页
树德中学高 2022级高一下期 5月阶段性测试数学试题答案 因为 sin A 0，所以 2sin AcosB 2sin B cos A 2 3 cosC，即
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 sinC 3 cosC
答案 B B C A C B B D AD ACD AD BC C (0, ) C 所以 tanC 3， 故 .………………5分
2 5 3
13. 14. 34 15. 3 3 16.
3 4 C π（2）由（1）知， ，有 ABC BAC 2π ，
17.(1) 3 3若选①：因为3sin 2 4 2 cos ，所以 6sin cos 4 2 cos ，
π 2π
而 BAC与 ABC的平分线交于点 I ，即有 ABI BAI ，于是 AIB ，
因为 0,
π sin
，所以 cos 0 sin
2 2 1
，所以 , cos 1 sin 2 ，则 tan 2 2， 3 3
2 3 3 cos π π
设 ABI ，则 BAI ，且0 ，
tan tan[( ) ] tan( ) tan 2 2 2 3 3所以 2 .
1 tan( ) tan 1 ( 2) 2 2 BI AI AB 2 3
△ABI π 4 3 1 在 中，由正弦定理得， 2π ，
若选②：因为3sin 3，所以 sin ， cos 1 2sin 2 sin( ) sin sin AIB sin
2 2 3 2 3 3 3
π
因为

0,

，所以 sin 1 cos2
2 2
.则 tan
sin
2 2， 所以 BI 4sin( )， AI 4 sin ，………………9分
2 3 cos 3
π 3 1
所以 tan tan[( ) ]
tan( ) tan 2 2 2
2 .………………5 所以△ABI的周长为 2 3 4sin( ) 4sin 分 2 3 4( cos sin ) 4sin
1 tan( ) tan 31 ( 2) 2 2 2 2
2 1 2 3 2 3 cos 2sin 4sin(
π π π π 2π
) 2 3，由0 ，得 ，
(2)因为 cos 1 2sin ， sin 1 cos2 2 2 ，且 ，β为锐角 3 3 3 3 32 3 tan 23
6 3 则当
π π π
，即 时，△ABI的周长取得最大值 4 2 3，
故 sin ,cos ， 3 2 6
3 3 所以△ABI周长的最大值为 4 2 3 .………………12分
sin( 2 2 3 1 6 6所以 ) sin cos cos sin .………………10 20.（1）由题意可知， BCD 37 , ACD 45 , ACB 8 , A 45 ，分
3 3 3 3 9
ABC AB BC 50
2

18.(1)因为 a， b 不共线，且 a 2b与c共线， 在 中， ，所以sin ACB sin A BC 2 250，
0.14
所以存在实数 ，使得 c (a 2b) (a ，即 c ta b 2b)， 在Rt BCD中， BD BC sin BCD 250 0.6 150，
t 1 所以出山高 BE 150 1.5 151.5m 152m.………………5分
因此 ，解得 t .………………6分
1 2 2 π
（2）由题意知 ACD , BCD ，且 0 ，
（2）设 a 2， b 夹角为 ，由 c ta b得
2 2 π2
c (ta b)2 t2a 2ta b b t2 4cos t 0 4 (t 2cos )2 4 4cos2 则 ，， 2
2 BD 150
故当 t 2cos 时， c 有最小值 4 4cos2 ， 在Rt BCD中， tan ，CD x
2 1 tan AD 200由题意 4 4cos 3，解得 cos ， 在Rt△ACD中， ，2 CD x
0,π π 2π又 ，所以 或 .………………12分
3 3
19.（1）由正弦定理得： 2sin Asin AcosB 2sin B sin Acos A 2 3 sin AcosC
2023-5 高一数月 5 第 3页共 2 页
200 150 其中 1 2 3π, 2 3 5π, 3 4 7π, 4 5 9π，
tan ACB tan tan

则 tan x x
1 tan tan 200 150 5 1 即4x1 4x2 3 ，解得 x1 x2 ；4x2 4x3 5
4
，解得 x2 x3
x x 6 6 6 6 6 3
50x 50 50 3
即4x3 4x4 7 x
11
，解得 3 x4 ； 4x

4 4x5 9 ，解得 x
7
4 x5
x2 30000 x 30000 2 x 30000
12， 6 6 6 6 6 3
x x m x1 2x2 2x3 2x4 x5 x1 x2 x2 x3 x x x x 19 所以 3 4 4 530000 = .
当且仅当 x ，即
x x 100 3
时，取等号， 3
n m 19
所以 tan ACB取得最大值时， x 100 3， 所以 为 5， 为 .………………12分3
π
又因为0 ACB ，所以此时 ACB最大， 22.建立如图所示直角坐标系，则 A(1,0),B (cos , sin )
2
1 y
所以当 x 100 3m时， ACB最大.………………12分 （1） f ( ) 2S OA AB 2 sin (1,0) (cos 1,sin )
2
f (x) x 21.（1）函数 3sin( x ) 2sin2 ( ) 1
3 2 6 sin cos 1 2 sin(

) 1，0
4 2
3 sin( x ) cos( x
x
) 2sin( x )
3 3 6 3 2因为 ( , ),sin( ) ( ,1]，
π 4 4 4 4 2
因为函数 f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，所以T π，可得ω 2，
2 所以 f ( ) (0, 2 1]…………4分
所以 f (x) 2sin(2x )，其单调递增区间为[k ,k ],k Z………………5分
6 3 6 （2）①设 AOC ， (
, )，C(cos ,sin )
3
y 2sin(2x 2 f (x) ) （ ）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，
6 6 则CA CB= (1 cos , sin ) (
1 3 3
cos , sin ) 3sin( )
2 2 2 3
1
再把横坐标缩小为原来的 2 ，得到函数 g(x) 2sin(4x )的图象，

6 因为 (
2 , 4 )，所以 sin( ) ( 3 3 , )，故CA CB (0,3).………………7分
3 3 3 3 2 2
4 4 2
由方程 g(x) ，即 g(x) 2sin(4x ) ，即 sin(4x ) ，
3 6 3 6 3 ②设 AM AC(0 1)，则
4 31
因为 x [ , ]，可得4x [ , ]， OM OA AM OA AC OA (OC OA) (1 )OA OC
6 3 6 2 6
t 1
4x 31 [ , ] sin 2 故 t OB (1 )OA OC，OC OB OA设 ，其中 ，即 ，
6 2 6 3
t 2 2 2
y sin 2 31
(1 ) 2t(1 ) 1 t t 1
因为 OA OB OC 1，故结合正弦函数 的图象，可得方程 sin 在区间 [ , ]有 5个解，即 n 5， 1 2
2 ，解得
3 2 6
2 2 2 t
2
g(t) t t 1 3故 2 t 3 2 3 3，
2 t 2 t
3
当且仅当 2 t ,即t 2 3时， g(t)min 2 3 3.………………12分2 t
2023-5 高一数月 5 第 4页共 2 页