课件25张PPT。 第1章 解三角形
1．1 正弦定理 栏目链接1.通过探索任意三角形的边角关系，掌握正弦定理.
2.会利用正弦定理解三角形.
栏目链接 栏目链接abc90°11ccc直径元素 栏目链接7．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________．
8．三角形中，大角所对的边________．
9．△ABC中，公式＝＝称为________，其比值又等于△ABC的外接圆半径的________倍．
10．已知三角形的任意两个角与________边，或已知三角形中的任意________边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以求出这个三角形的其余的边和角．
11．△ABC中，若∠A<90°，且b
(1)若所得值不在(0,1]内，则此三角形不存在．
(2)若所得值在(0,1]内，①若是特殊角的三角函数值，求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用单位圆中的三角函数线判断解的个数. 栏目链接 栏目链接题型1 利用正弦定理解三角形
例1在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B，C及c.
分析：这是已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的问题，可运用正弦定理求解，首先求得这两边中另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角，求角时需对解的情况加以讨论． 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移1．在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解三角形．
栏目链接例2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2bsin A，求角B.题型2 利用正弦定理进行边角转换 栏目链接名师点评：在三角形中恒等变形时，常有如下的边角转换：
①a＝b?sin A＝sin B?A＝B；
②a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
③2b＝a＋c?2sin B＝sin A＋sin C；
④sin 2B＝sin Asin C?b2＝ac等．
栏目链接变式
迁移 栏目链接 栏目链接例3在△ABC中，若tan A∶tan B＝a2∶b2，试判断△ABC的形状．
分析：判断三角形形状的问题是一类典型问题．其基本思路是以变形为基本方法，将它化为边的等式，或者化为角的等式，不论化为哪一种形式，都应该用方程的思想看待得到的等式．题型3 三角形形状的判断
栏目链接 栏目链接名师点评：(1)欲判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：两边是否相等？三边是否相等？还要研究角与角的大小关系：两角是否相等？三个角是否相等？有无直角？有无钝角？
(2)解题的思想方法是，从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)，进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系、角与角的关系、或求出角的大小，从而作出正确判断． 栏目链接变式
迁移3．在△ABC中，已知acos B＝bcos A，试判断△ABC的形状解析：由正弦定理可知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin Acos B－sin Bcos A＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形． 栏目链接课件32张PPT。 第1章 解三角形
1.2 余弦定理 栏目链接1.掌握余弦定理，了解余弦定理的证明方法.
2.能利用余弦定理解三角形及测量等有关几何问题. 栏目链接 栏目链接△ABC中，已知边a，b及∠C.
1．若∠C＝90°，则c2＝________.
2．若∠C是锐角，如左下图，作AD⊥BC于D，于是AD＝________·sin C，CD＝b·________，BD＝a－________.a2＋b2bcos Cbcos C 栏目链接3．若∠C为钝角，如右上图作AD⊥BC，与BC的延长线相交于D，此时AD＝________·sin(π－C)＝b·________，CD＝b·cos________＝－bcos C.
4．在△ABC中，已知边a、b及∠C，由c2＝a2＋b2－2abcos C可得cos C＝________.
5．结论“三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，称为________．b sin C(π－C)余弦定理钝角> 栏目链接 栏目链接材料中利用几何法通过构造直角三角形，利用勾股定理证明了余弦定理．对定理的证明还可通过向量法、解析法等．知识点1 余弦定理证明 栏目链接 栏目链接BC2＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2，
a2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证：b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 栏目链接证法三(用正弦定理证明)：
因为b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
所以b2＋c2－2bccos A
＝4R2(sin2B＋sin2C－2sin Bsin Ccos A)
＝4R2[sin2B＋sin2C＋2sin Bsin Ccos(B＋C)]
＝4R2[sin2B＋sin2C－2sin2Bsin2C＋2sin Bsin C·cos Bcos C]
栏目链接＝4R2[sin2B(1－sin2C)＋sin2C(1－sin2B)＋2sin Bsin C·cos Bcos C]
＝4R2(sin2 Bcos2C＋2sin Bsin Ccos Bcos C＋sin2C·cos2B)
＝4R2sin2 (B＋C)＝4R2sin2A＝a2.
同理可证b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 栏目链接知识点2 余弦定理及其应用 栏目链接知识点3 在解三角形问题时，需掌握的三角关系式
栏目链接 栏目链接题型1 已知边角解三角形例1 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求最大角．
栏目链接例2已知三角形ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝________. 栏目链接 栏目链接变式
迁移 栏目链接 栏目链接例3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状．
分析：可从问题已知条件出发，寻找三角形的边与边或角与角之间的关系，然后判断之．题型2 利用正弦定理进行边角转换 栏目链接 栏目链接名师点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两种思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
栏目链接变式
迁移3．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：由bcos C＋ccos B＝asin A及正弦定理可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，而sin(B＋C)＝sin A≠0，
∴sin A＝1，即A＝90°.
答案：B 栏目链接例4如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高．题型3 方程思想的应用 栏目链接 栏目链接变式
迁移 栏目链接 栏目链接课件34张PPT。 第1章 解三角形
1．3 正弦定理、余弦定理的应用
栏目链接1.正确掌握利用正、余弦定理解斜三角形的基本方法，并能判断解的情况.
2.合理建立数学模型，体会数形结合的思想方法. 栏目链接 栏目链接1．(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图1.
(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．
(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图2所示．
栏目链接(4)李强出校门向东，前进200米，再向北走200米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？答案： 栏目链接2．地面上三个点A、B、C，若B在A正北方向上，C在A北偏东20°方向上，C在B东偏北25°方向上，则C在A东偏北________方向上，C在B北偏东______方向上，A在C西偏南______方向上，B在C西偏南______方向上，B在C南偏西______方向上．
3．(1)山下B点望山上A点仰角为30°，则山上A点望山下B点俯角为______．
(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．若水平面上点A处测得点B的方位角是120°，则点B在点A东偏南______方向上．
70°65°70°25°65°30°30° 栏目链接4．(1)A点望B、C的视角是指______的大小．
(2)在△ABC中，A＝105°，B＝30°，则C点望A、B的视角为______．
5．(1)坡度是指斜坡所在平面与________的夹角．
(2)沿坡度为30°的斜坡直线向上行走100米，实际升高了______米．
6．东北方向是指东偏北______的方向．
7．(1)三角形面积：△ABC 中用a和BC边上的高h表示，三角形面积的公式为______________．
(2)△ABC 中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为________．∠BAC45°水平面5045° 栏目链接 栏目链接 栏目链接sin A－cos Apr 栏目链接 (1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等．
(2)根据题意画出图形，并将有关数据标注在图形上．
(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练、计算准确，最后作答知识点1 解斜三角形应用题的步骤
栏目链接知识点2 在实际应用中的有关名称、术语
要正确理解实际应用问题中有关的名称、术语：
(1)仰角和俯角．与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．
(2)方向角．从指定方向线到目标方向线的水平角．
(3)方位角．从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
(4)坡度．坡面与水平面所成的二面角的度数． 栏目链接知识点3 三角形中有关公式
栏目链接知识点4 需注意的问题
(1)会在各种应用题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，灵活选用正、余弦定理解之．
(2)搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和相等关系．
(3)理解各种应用问题中的有关名词、术语，如坡角、俯角、仰角、方向角、方位角等．
(4)会利用经纬仪器及皮尺等测量工具进行实地测量，会按照要求写实习报告，会用计算器计算测量结果，提高动手操作能力及数学语言表达能力． 栏目链接 栏目链接题型1 求不可到达两点间距离
例1隔河有两目标A与B但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)．求两目标A，B之间的距离．
栏目链接 分析：由题意作出平面示意图(如下图所示)，在四边形ABCD中，需由已知条件求出AB的长．由图可知，在△ACD与△BCD中，利用正弦定理可求得AC与BC，然后在△ABC中，由余弦定理可求出AB. 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移1.地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高h. 栏目链接 栏目链接例3题型2 正、余弦定理在追击问题中的应用
栏目链接分析：在解题前必须画出示意图，但应该明确以下几个问题：其一是方位角；其二是沿什么方向追，即按什么方位角航行；其三是最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等．在此基础上，通过解三角形，即可求出CD的方位角及由C到D所需的航行时间． 栏目链接 栏目链接名师点评：解题时应明确，方位角是相对每一点而言的，因此，从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把方位角灵活看待，否则在理解题意上将可能产生失误．
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迁移2．在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O东偏南α角(cos α＝)方向300 km的P处，并以20 km/h的速度向西北方向移动，台风侵袭的半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 栏目链接 栏目链接例3如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ.(提示：cos 42.94°＝－1)题型3 正、余弦定理的综合运用
栏目链接 栏目链接名师点评：解应用题，很关键的一点就是要增强应用数学的意识．解应用题可分两步：第一步，先分析问题，抓住实际问题中的数量关系，将其转化成一般数学问题；第二步，利用所学知识和方法解决这个数学问题，其中的关键在于如何将实际问题数学化，也就是说如何将实际问题等价转化成一个数学问题． 栏目链接变式
迁移3.如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得CD所对的角∠CAD＝45°，求此电视塔的高度． 栏目链接 栏目链接