课件30张PPT。 第2章 数列
2．1 数列的通项公式及性质 栏目链接1.了解数列的概念、数列的分类、数列的表示方法.
2.了解数列是一种特殊的函数，理解通项公式的概念，并能通过观察寻找规律，写出一些简单数列的通项公式. 栏目链接 栏目链接映射直线点一y＝x 栏目链接函数数列数列4项{an}首n通有限无限单调递增数列 栏目链接常通项以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数，
当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值通项公式法列表法图象法序号n相应的项an孤立的点第一象限或第四象限或x轴的正半轴an＋1＞anan＋1＜an 栏目链接 栏目链接知识点1 数列的定义、表示及有关问题(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….
(2)数列的表示：数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号．如第5项可记为a5，a10就表示数列的第10项．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项，我们常把一般形式的数列简记作{an}，如数列1,3,5,7，…，可以简记为{2n－1}． 栏目链接(3)注意的问题：①{an}与an的关系．{an}与an是两个不同的概念，{an}是数列，而an是{an}中的第n项．②数列的项与项数．数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.③数列与集合的区别．集合中的元素具有确定性、无序性和互异性．与集合中的元素相比较，数列中的项也有三个性质：(a)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的．(b)有序性：一个数列不仅由“数”构成，而且与这些数的排列次序有关．次序对于数列来讲是十分重要的，几个相同数列，如果它们的排列次序不同，构成的数列就不是相同的数列．如数列1,2,3,4与数列3,4,2,1是不同的数列，而集合{1,2,3,4}＝{3,4,2,1}．(c)可重复性：数列中的数可以重复．如1，－1,1，－1,1，…；2,2,2,2，…. 栏目链接知识点2 数列的通项公式
栏目链接正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式，如：素数2,3,5,7,11,13，…，从小到大排列而成的数列就没有通项公式，有的数列，虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的．仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一．如某数前四项为1,2,3,4，其通项公式可以归纳为an＝n，也可写成an＝(n－1)(n－2)(n－3)·(n－4)＋n.再如某数列前3项为2,4,8，其通项公式可写成an＝2n，也可写成an＝n2－n＋2.由于表示数列的公式不同，由公式写出的后续项也就不一样了．因此通项公式的归纳不仅要看数列的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式没有通用的方法可循． 栏目链接警示 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项． 栏目链接知识点3 数列的函数性质
数列作为一种特殊的函数，也具备一些函数所具有的性质，如图象、单调性、有界性、最值等．
(1)由于an＝f(n)中，n∈N*，故函数的图象是一群孤立的点．
(2)递增数列、递减数列：按照数列的项与项之间的关系an＋1＞an或an＋1＜an来分，数列可分为递增数列或递减数列，递增数列和递减数列统称为单调数列．
(3)有界性：按照数列的任何一项的绝对值是否都小于某一正常数来分，数列可分为有界数列、无界数列．
(4)最值：由数列的通项公式可以确定数列中的最大(小)项. 栏目链接 栏目链接题型1 数列定义及其通项公式
例1以下通项公式中，不是数列3,5,9的通项公式的是( )
A．an＝2n＋1(n∈N*，n≤3)
B．an＝n2－n＋3(n∈N*，n≤3)
C．an＝－n3＋5n2－n＋7(n∈N*，n≤3)
D．an＝2n＋1(n∈N*，n≤3) 栏目链接解析：可以用验证法，分别令n＝1,2,3逐一代入验证，便可知an＝2n＋1不是所给数列的通项公式．
答案：D
名师点评：本题主要是巩固数列通项公式的概念，由本题也可看出，给出的前n项数列的通项公式可能不唯一． 栏目链接变式
迁移1．写出下列数列的一个通项公式．
(1)1,3,7,15，…；
(2)1,3,1,3,1,3，…；
(3)0,3,8,15，….答案：(1)an＝2n－1 (2)an＝2＋(－1)n (3)an＝(n－1)(n＋1) 栏目链接例2分析：此题应先写出数列的通项公式，然后假设0.98，0.96,0.94是数列的第n项，根据通项公式列出关于n的方程．解之，求得的n若是自然数，相应的数值就是此数列中的项，若不是则相反． 栏目链接 栏目链接变式
迁移 栏目链接 栏目链接例3题型2 判断一个数列增减性
分析：用观察法得到数列的通项公式，判断前一项an与an＋1之间的关系，用作差法． 栏目链接 栏目链接变式
迁移3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)n(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列{an}的最大项．
栏目链接例4题型3 数列的图象及最值
栏目链接 栏目链接变式
迁移4．数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n(n∈N*)，请画出它在x轴上方的图象，根据图象求出an的最大值；在同一坐标系中画出函数f(x)＝－2x2＋13x的图象，根据图象求出f(x)的最大值，并与an的最大值进行比较．若用函数来求an＝－2n2＋13n的最大值，应如何处理？ 栏目链接 栏目链接课件25张PPT。 第2章 数列
2.2 等比数列
2．2.1 等差数列的概念及通项公式 栏目链接1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题.
2.掌握等差数列的常用性质，并能灵活地运用这些性质，使解题过程简捷准确.
栏目链接 栏目链接同一个公差dd2dan＝a1＋(n－1)d(n－2)(n－3)(n－m)斜率 栏目链接等差中项a－d mdλdak＋al 栏目链接 栏目链接知识点1 等差数列如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．例如，数列1,4,5,6,7,8,9,10就不是等差数列，而去掉第1项后，剩下的数组成的数列就是等差数列． 栏目链接 (2)如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，那么这个数列不一定是等差数列，因为这个常数可能不唯一．
(3)一个等差数列的公差d是这个数列的后一项与前一项的差．因为等差数列具有d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1的特点，所以求公差可以用an＋1－an，也可以用an－an－1，还可以用a2－a1等．公差d可以是任何实数，当d＝0时，数列是常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(4)等差数列的定义还可表述为：在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则{an}是等差数列，常数d为公差． 栏目链接知识点2 等差数列的判定方法
(1)an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是等差数列． 栏目链接知识点3 等差数列的常用性质 栏目链接知识点4 解答等差数列有关问题时应注意的问题(1)首项与公差，是解决等差数列问题的关键．
(2)等差数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，d，知道任意三个就可以列方程求另外一个．
(3)熟练掌握并灵活运用定义、通项公式是解决等差数列问题的基础．
(4)寻求条件与结论的共用式以便进行整体代换，使运算更为迅速和准确．
(5)学会运用函数的思想和方法解题. 栏目链接 栏目链接题型1 等差数列定义及其应用
例1在等差数列中，am＝n，an＝m(m≠n)，则am＋n为( )
A．m－n B．0 C．m2 D．n2分析：a1，d是等差数列的基本元素，可先求出基本元素，再用它们去构成其他元素进行解答，或利用数列是特殊的函数这一点进行求解，或利用选择题的特点进行求解． 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移1．(2013·辽宁卷)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中真命题为( )
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解析：[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝4d＞0.
答案：D 栏目链接例2等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，
求a5＋a8.题型2 利用“对称值”解题
栏目链接名师点评：解法一设出了a1，d但并没有求出a1，d，事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中常用，它体现了整体的思想；解法二实际上运用了等差数列的性质：若p＋q＝m＋n，p，q，m，n∈N*，则ap＋aq＝am＋an.
栏目链接变式
迁移解析：∵4＋8＝2＋10，根据等差数列性质则a2＋a10＝a4＋a8＝16.
答案：B 栏目链接例3已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？题型3 如何判断数列为等差数列
分析：在a＋c＝2b条件下，是否有以下结果：
a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(a＋c)? 栏目链接解析：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b－2b2c－2b2a
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 栏目链接名师点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．变式
迁移3．若(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝0，求证：x，y，z成等差数列．
解析：∵(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝(x＋z)2－2·2y(x＋z)＋4y2＝(x＋z－2y)2＝0，∴2y＝x＋z，∴x，y，z成等差数列． 栏目链接课件30张PPT。 第2章 数列
2.2 等比数列
2．2.2 等差数列的前n项和 栏目链接 1.掌握等差数列的前n项和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题.
2.掌握与前n项和有关的等差数列的主要性质，并能熟练运用其性质解决一些实际问题.
栏目链接 栏目链接1．(1)对于任意数列{an}，Sn＝__________________，叫做数列{an}的前n项的和．
(2)Sn－Sn－1＝____________.
2．(1)等差数列{an}的前n项和公式为
______________．
(2)等差数列：2,4,6，…，2n，…的前n项和Sn__________.a1＋a2＋a3＋…＋anan(n≥2)，a1＝S1(n＝1)(n＋1)n 栏目链接(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前六项和为______．
3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．
(2)已知等差数列{an}，an＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：________.它们成______数列．－12k2d6,15,24等差a1Sn－Sn－1 2n－1，n∈N*Sn＝n2＋n－164等差数列n 等差数列 栏目链接最大值最小值n(7－n) 12n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)nd－150(2n－1)an(an为中间项)ana101＝301 栏目链接 栏目链接知识点1 等差数列的前n项和的公式
栏目链接知识点2 等差数列前n项和公式的性质
栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接(3)要灵活地处理求和问题．
对于有的问题，如果利用等差数列前n项和公式，问题完全可以得解，但是如果根据等差数列有关性质，灵活地加以处理，不使用前n项和求和公式，反而使问题解答得更加简单、快捷，对于这类问题也要引起注意，以便提高我们解题质量和效果．如已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.因为S5＝5a3＝40.则a3＝8.a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.∴a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.此解法比常规解法优越得多． 栏目链接 栏目链接题型1 等差数列前n项和与函数
例1设函数f(n)的定义域为正整数N*，且满足f(m＋n)＝f(m)＋f(n)＋mn，且f(1)＝1，求f(n)． 栏目链接 栏目链接变式
迁移1．(2013·全国大纲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，已知S3＝a且S＝S1S4，求{an}的通项公式． 栏目链接例2等差数列{an}中，a1＜0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？题型2 Sn中的最值问题
分析：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件． 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移 栏目链接 栏目链接例3(2013·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且4(a2＋1)2＝5a3a1.
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.题型3 求数列{|an|}的前n项和 栏目链接 栏目链接 栏目链接变式
迁移3．已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列bn的前n项之和Tn的表达式． 栏目链接课件25张PPT。 第2章 数列
2．3 等比数列
2．3.1 等比数列的概念及通项公式 栏目链接1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并能运用通项公式解决简单问题.
2.类比等差数列，探究等比数列的性质，并能运用这些性质熟练解决相关问题. 栏目链接 栏目链接1．从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的________．
2．等比数列{an}的通项公式an＝________.
3．如果a、G、b三个数满足G2＝ab.则G称为a与b的________．
4．等比数列的性质．
(1)若{an}为等比数列，则an________amqn－m.
(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q，则________．
(3)若{an}为等比数列，则a2，a5，a8也成________．
(4)若{an}为等比数列，且公比为q，则a1a2，a2a3，a3a4也成公比等于________的等比数列．公比a1·qn－1(q≠0)等比中项＝am·an＝ap·aq等比数列q2 栏目链接 栏目链接知识点1 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若＝q(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．关于定义理解应注意：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0.(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(3)均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． 栏目链接(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n＞3，n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第n－1项起是一个等比数列．(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它就是等比数列． 栏目链接知识点2 等比数列的判定方法
栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接题型1 等比数列的判断
例1已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}( )
A．是等比数列
B．当p≠0时是等比数列
C．当p≠0，p≠1时是等比数列
D．不是等比数列 栏目链接 栏目链接变式
迁移1．(2013·全国卷)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，求证{an}是等比数列，并求出通项公式．
栏目链接例2已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.题型2 由a1，q确定an
栏目链接 栏目链接变式
迁移 栏目链接例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．题型3 等差数列与等比数列的综合应用
分析：因为所求三数成等差数列，且其和已知，故可设这三数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a，d的两个方程，通过解方程组即可获解． 栏目链接 栏目链接变式
迁移3．(2013·山东省实验中学诊断题)已知{an}是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数f(x)＝x＋－10的两个零点．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)若数列{bn}满足bn＝log3an＋n＋2，且b1＋b2＋…＋bn≥80，求n的最小值．
栏目链接例4从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%?知识点4 等比数列的应用题
栏目链接 栏目链接变式
迁移4．某工厂2012年生产某种机器零件100万件，计划到2014年把产量提高到121万件，如果每一年比上年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2013年生产这种零件多少万件？解析：设增长的百分率为x，则工厂的产量依次排列组成以100为首项，公比为(1＋x)的等比数列，由题意100(1＋x)2＝121?x＝0.1，
2013年的产量为100(1＋0.1)＝110(万件)．
答：年增长率为10%,2013年产量为110万件． 栏目链接课件35张PPT。 第2章 数列
2．3 等比数列
2．3.2 等比数列的前n项和 栏目链接1.掌握等比数列的前n项和公式及推导过程，掌握错位相减求和法.
2.能利用前n项和公式解决简单问题，同时了解某些特殊数列的求和方法.
栏目链接 栏目链接Sn＝na118918等比数列等比中项4·32n4·32n 栏目链接3．(1)若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k 成__________(Sk≠0)．
(2)已知数列{an}是等比数列，其通项公式为：an＝2n－1(n∈N*)，则S2＝______，S4－S2＝______，S6－S4＝____，故S2，S4－S2，S6－S4成______数列．
4．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝p(1－qn)，且p≠0，q≠0，q≠1，则数列{an}是 __________.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝2(1－3n)，则数列{an}的通项公式是______________________，故数列{an}是______．等比数列31248 等比等比数列an＝－4·3n－1(n∈N*)等比数列 栏目链接 栏目链接知识点1 前n项和公式的导出
栏目链接 栏目链接知识点2 注意问题
栏目链接知识点3 前n项和重点性质的证明 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接题型1 Sn的简单应用
例1 栏目链接 栏目链接 栏目链接例2在等比数列{an}中，Sm＝20，S2m＝60，求S3m.题型2 等比数列的性质应用
分析：运用等比数列前n项和的有关性质进行求解．
解析：∵{an}为等比数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，即20,60－20，S3m－60成等比数列，∴S3m－60＝80，
∴S3m＝140.
名师点评：等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…为等比数列，对此性质要熟悉，要注意灵活运用．此题如不用此性质来解，而用求和公式来解过程十分烦琐． 栏目链接变式
迁移1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝( )
A．16 B．26 C．30 D．80解析：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n也成等比数列，∴(S2n－2)2＝2(14－S2n)?S2n＝6，∴2,4,8，S4n－14成等比数列，∴S4n－14＝16，∴S4n＝30.
答案：C 栏目链接例3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项的和．题型3 求等比数列前n项和
分析：采用错位相减法进行求和． 栏目链接 栏目链接名师点评：(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．
(2)要善于识别题目类型，特别是等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意．
(3)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
栏目链接知识点4 等比数列的综合应用分析：(1)利用Sn＋1＝4an＋2及等比数列定义证明；(2)利用等比数列的定义证明；(3)借助(2)的结果及Sn＋1＝4an＋2求解． 栏目链接 栏目链接 栏目链接名师点评：本题第(3)问中求数列{an}的前n项和Sn时，应避免利用通项公式an＝(3n－1)2n－2逐项相加求和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(3×1－1)×21－2＋(3×2－1)×22－2＋(3×3－1)×23－2＋…＋(3n－1)×2n－2，因为如若这样，将使计算过程陷入烦琐，同时，根据已知等式Sn＋1＝4an＋2，既然已知an＝(3n－1)×2n－2，也完全没有必要逐项相加求和． 栏目链接变式
迁移2．已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn是{an}的前n项和．
(1)求an及Sn.
(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.
栏目链接 栏目链接知识点5 等比数列的实际应用例5某地现有居民住房的总面积a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)
(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)
分析：根据题意，建立数列模型，然后进行求解．
栏目链接 栏目链接名师点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率． 栏目链接变式
迁移3．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第十名恰好奖金分完，求此科研单位共拿出多少资金奖励科研人员． 栏目链接 栏目链接
