课件43张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的概念及代数表示 －1 实数 复数 实部 虚部 复数的分类与复数相等 实数 虚数 a＝0且b≠0 a＝c且b＝d a＝b＝0 复数的概念与性质 复数的分类 复数相等的充要条件 课时作业（七）课件40张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的加减法 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 复数的乘法与共轭复数 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 a－bi a＝c且b＝－d 复数的加减法运算 复数的乘法运算 共轭复数的概念 课时作业（八）课件42张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 zmn 1 i -1 -i 复数的除法 i的运算特征 复数的除法 复数四则运算的综合应用 课时作业（九）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束复数的几何意义 复平面 实轴 虚轴 复数的模及意义 复数加减法的几何意义 z1＋z2 z1－ z2 复数的几何意义 复数的模及其几何意义 复数加减法的几何意义 课时作业（十）第3章 数系的扩充与复数的引入
3．1数系的扩充
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类；理解并掌握复数相等的定义．
2．过程与方法
体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
3．情感、态度与价值观
体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．
●重点、难点
重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．
难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数概念的教学
关于复数概念的教学，建议教师很好的利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好的理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．
2．关于复数分类的教学
关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．
3．关于复数相等的充要条件的教学
关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想．
●教学流程
创设问题情景，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．?通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用．?通过例2及其互动探究，使学生理解复数的分类，求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．?通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法．
课标解读
1.理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点)
2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)
3．实部、虚部的概念．(易混点)
复数的概念及代数表示
【问题导思】
若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
【提示】 有解，x＝±i.
1．虚数单位
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1；
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数、复数集
(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
复数的分类与复数相等
1.复数分类
z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，特别地，若a＋bi＝0?a＝b＝0.
复数的概念与性质
判断下列命题是否正确？为什么？
(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
(2)当z∈C时，z2≥0；
(3)若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应；
(4)若a＞b，则ai＞bi.
【思路探究】 (1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．
【自主解答】 (1)错误，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立．
(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.
(3)错误，当a＝0时，ai＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．
(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．
综上可知(1)、(2)、(3)、(4)四个命题均不正确．
1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．
2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．
下列给出的四个命题：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④复数z＝－1＋i的虚部是i.
其中，正确的命题个数是________．
【解析】 由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．
两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．
当a＝－1时，(a＋1)i＝0不是纯虚数，③错．
复数z＝－1＋i的虚部是1不是i，④错．
∴正确的命题个数是0个．
【答案】 0
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【思路探究】 复数的分类标准→列出方程(不等式)(组)
→解出m→结论
【自主解答】 (1)当即m＝2.
∴当m＝2时，复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数；
(3)由得m＝－3.
∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．
1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增根，应引起注意．
2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，考虑问题要全面．
若例题中的复数“z＝＋(m2－2m)i”改为复数“z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)”试求当a为何值时，z是实数？z是纯虚数？
【解】 (1)当z为实数时，
则
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为纯虚数时，
则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
复数相等的充要条件
已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
【思路探究】 根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解．
【自主解答】 ∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，
由复数相等的定义，知
∴
因此实数x＝3，y＝－2.
1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x、y的值．
【解】 由两复数相等的充要条件知：
解得
∴实数x＝－1，y＝2.
对纯虚数的概念把握不准致错
实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数？
【错解】 由题意得＝0，
解之得m＝－2或m＝1.
∴当m＝－2或m＝1时，复数z是纯虚数．
【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．
【防范措施】 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可．
2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义．
【正解】 要使复数z是纯虚数，则有
解得
∴m＝1.
故当m＝1时，复数z是纯虚数．
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．
3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．(如a＋bi>0(a，b∈R)?a＞0且b＝0
1．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
【解析】 2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2.
∴所求的复数z＝2－2i.
【答案】 2－2i
2．(2013·无锡高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
【解析】 由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i.
根据两个复数相等的充要条件得
故x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
3．若a－b－2i＝1＋bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝________.
【解析】 ∴
∴a2＋b2＝5.
【答案】 5
4．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数？
【解】 若z为纯虚数，则
解得m＝3.故m＝3时，z为纯虚数．
一、填空题
1．(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．
【解析】 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.
【解析】 ∴a＝－4.
【答案】 －4
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－1.
【答案】 －1
4．若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________.
【解析】 由z1＝z2，得a＝0，b＝2，
∴a－b＝－2.
【答案】 －2
5．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则有下列结论：
①A∪B＝C；②?S A＝B；③A∩?S B＝?；④B∪?S B＝C.
其中正确的是________．
【解析】 ①显然错误；?SA＝{虚数}，故②错误；A∩?SB＝A，故③错误；④正确．
【答案】 ④
6．(2013·连云港高二检测)设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的范围是________．
【解析】 a＋2i2＝a－2为正实数，
∴a－2＞0，则a＞2.
【答案】 (2，＋∞)
7．下列说法正确的个数是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，其中C为复数集，则必有
②2＋i＞1＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在．
【解析】 ①中，由y∈?CR，C为复数集知，y是虚数，则不成立，故①错误；
②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；
③中，对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数，若a＝－1，则(a＋1)i是0，不是纯虚数，故③错误；
④中，实数的虚部为0，故④错误．
【答案】 0
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
【解】 由纯虚数的定义知
log2(m2－3m－3)＝0且log2(m－2)≠0，
∴解得m＝4.
故实数m＝4.
10．(2013·徐州高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i.
【解】 (1)由可得m＝1；
(2)由可得m＝0；
(3)由可得m＝2；
综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z是2＋5i.
11．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求复数z＝y－xi.
【解】 由题意＝(3x＋2y)＋yi，
∴(3x＋2y)＋yi＝(x＋y)＋(x＋3)i，(x，y∈R)．
由复数相等定义，得
解之得
∴复数z＝2＋i.
(教师用书独具)
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．
【思路探究】 设出方程的实数根，代入方程，利用两个复数相等的充要条件建立方程组求解．
【规范解答】 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由两个复数相等的充要条件，得
解得或
∴实数k的值为±2.
(2013·常州高二检测)求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x、y值．其中x∈R，y是纯虚数．
【解】 设y＝bi(b∈R且b≠0)代入等式得
(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得因此x＝－，y＝4i.3.2复数的四则运算
第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
理解复数代数形式的加法、减法与乘法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法、乘法运算．
2．过程与方法
渗透转化思想，经历探究过程，提高数学运算能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．
●重点、难点
重点：复数代数形式的加(减)法、乘法运算．
难点：复数的减法、乘法运算与算理的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数加法、减法法则的教学
(1)类比多项式的合并同类项；(2)应用复数的加法、减法法则的关键是确定复数的实部和虚部．
2．关于复数乘法运算的教学
在教学过程中要类比多项式的乘法法则，明确实数系的乘法公式在复数系中仍然成立，不仅可以简化运算，而且为引出共轭复数提供实例支持，为进一步学习复数的除法做出准备．
●教学流程
创设问题情景，结合知识点1,2中的问题给出复数加(减)、乘法法则和共轭复数的定义，明确运算律．?通过例1及其变式训练，让学生掌握复数的加减运算．?通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的乘法．?通过例3及其互动探究，理解共轭复数并掌握有关运算．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．
课标解读
1.复数代数形式的加减运算．(重点)
2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算．(重点、难点)
3．共轭复数的概念及应用．(易错点)
复数的加减法
【问题导思】
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
【提示】 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
2．复数的加法满足交换律和结合律吗？
【提示】 满足．
1．复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
减法法则：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
复数的乘法与共轭复数
【问题导思】
1．如何规定两个复数相乘？
【提示】 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实数与虚部分别合并．
2．复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．
【提示】 两复数实部相等，虚部互为相反数；z1·z2＝a2＋b2，积为实数．
1．复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
2．共轭复数
(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数是＝a－bi.
(2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数?a＝c且b＝－d.
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.
复数的加减法运算
已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．
设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.
【思路探究】 利用复数的加减运算法则及复数相等的充要条件求解．
【自主解答】 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
1．复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．
2．把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．
(1)计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【解】 (1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
(2)由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.
复数的乘法运算
(1)若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________.
(2)(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
【思路探究】 利用复数乘法及复数相等的充要条件．
【自主解答】 (1)∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i，
又∵(m2＋i)(1＋mi)是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1
(2)∵a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3.∴a＋b＝4.
【答案】 (1)－1 (2)4
1．复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a，b.
2．三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(1)(2013·大纲全国卷改编)(1＋i)3＝________.
(2)(2013·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
【解析】 (1)原式＝(1＋i)(1＋i)2＝(1＋i)(－2＋2i)＝－2＋6i2＝－8.
(2)(3＋i)(1－2i)＝3－5i－2i2＝5－5i.
【答案】 (1)－8 (2)5－5i
共轭复数的概念
复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．
【思路探究】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，要求，关键在于求x、y，根据共轭复数的性质，复数相等的充要条件，把复数的代数运算转化为实数运算．
【自主解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，
∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
得∴或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
因此z的共轭复数＝1－3i或＝1＋i.
1．紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．
2．有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：(1)设z＝a＋bi，则·z＝a2＋b2，(2)z∈R?z＝.
若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(－2)i＝2－(1＋z)i”，试求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∵3z＋(－2)i＝2－(1＋z)i，
∴3(a＋bi)＋(a－2－bi)i＝2(a－bi)－(1＋a＋bi)i，
∴3a＋b＋(3b＋a－2)i＝2a＋b－(2b＋a＋1)i，
∴
解之得a＝0且b＝，故所求的复数z＝.
转化思想在复数求解中的应用
求解复数问题，一般设出复数的代数形式，利用有关概念和性质，将复数问题转化为实数问题，复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法．
(14分)已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【思路点拨】 根据共轭复数的概念，设出z和的代数形式，然后代入所给等式，利用两个复数相等的充要条件求解．
【规范解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R).2分
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，6分
则有解得或12分
所以z＝－1或z＝－1＋3i.14分
运用共轭复数的概念与复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．
3．理解共轭复数的性质：
(1)z∈R?＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝________.
【解析】 z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.
【答案】 4＋2i
2．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝________.
【解析】 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
【答案】 －i
3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
【解析】 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，
由复数相等定义，得x＝2，且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.
【答案】 －1＋10i
4．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)．
【解】 (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i；
(2)原式＝[(－＋i2)＋(－)i](1＋i)
＝(－＋i)(1＋i)＝－－i＋i－
＝－＋i.
一、填空题
1．(2013·无锡高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．
【解析】 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________.
【解析】 (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，
令2－b＝0得b＝2.
【答案】 2
3．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，
∴a＋1＝2，∴a＝1.
【答案】 1
4．(2012·湖南高考改编)复数z＝i(i＋1)的共轭复数是________．
【解析】 z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴z的共轭复数＝－1－i.
【答案】 －1－i
5．设f(z)＝z，若z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝________.
【解析】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝3＋4i－(－2－i)＝5＋5i，
∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
【答案】 5＋5i
6．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
【解析】 ∵z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai，
∴(－a2)－ai＝－i(a∈R)．
则∴a＝.
【答案】 a＝
7．(2013·安徽高考改编)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝________.
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】 1＋i
8．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
【解析】 (－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i
【答案】 2＋2i
二、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
【解】 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a－b－1)i＝4，
∴解得
∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.
10．已知z－1＋2zi＝－4＋4i，求复数z.
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入z－1＋2zi＝－4＋4i整理，得(x－2y－1)＋(2x＋y)i＝－4＋4i，
故有解得
所以复数z＝1＋2i.
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)．
求：b＋ai的共轭复数．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i.
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴解得
则4－3i的共轭复数是4＋3i.
(教师用书独具)
已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2b＝(a＋2z)2成立，求a，b的值．
【思路探究】 将z＝1＋i代入条件，利用复数相等将其化为实数问题求解．
【规范解答】 az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
又∵az＋2b＝(a＋2z)2，a，b∈R，
∴
解得或
∴所求实数a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
已知复数z1满足z1－2＝(1＋i)·，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2的值．
【解】 由z1－2＝(1＋i)·＝(1＋i)(－i)＝1－i，
∴z1＝2＋(1－i)＝3－i.
∵z2的虚部为2，∴可设z2＝a＋2i(a∈R)．
则z1·z2＝(3－i)(a＋2i)＝(3a＋2)＋(6－a)i为实数，
∴6－a＝0，即a＝6，因此z2＝6＋2i.
第2课时 复数的乘方与除法运算
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握复数的代数形式的乘方与除法运算法则，理解in(n∈N*)的周期性．
2．过程与方法
通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是分母实数化问题．
3．情感、态度与价值观
通过对复数除法法则合理性的探究，让学生用联系的观点看问题，培养学生的探索精神．
●重点、难点
重点：复数代数形式的乘方与除法运算．
难点：复数除法运算及应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数代数形式的乘方与除法运算法则的教学
教学时，建议教师采取类比的方法进行教学：类比多项式乘方进行复数乘方运算教学(但i2要比为－1)，类比根式除法的分母有理化进行复数除法运算教学(利用分数的基本性质，把分子分母同乘以分母的共轭复数转化成复数乘法进行运算)．
2．关于虚数单位i的幂的周期性的教学
教学时，建议教师对i的幂的周期性加以归纳，对它的考查常和数列相结合，其周期是4，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．同时注意(1±i)2＝±2i，＝－i，＝i在简化运算中的应用．
●教学流程
创设问题情景，根据问题归纳in的性质，乘方运算与复数的除法运算法则．?通过例1及其变式训练，使学生掌握in的周期性及其应用，并注意简化运算．?通过例2及其变式训练，使学生掌握复数代数形式的除法运算．(分母实数化)?完成例3及其变式训练，熟练进行复数代数形式的四则运算，理解一些简单运算技巧．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．
课标解读
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立．(重点)
2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算．(重点、难点)
3.了解i幂的周期性．(易错点)
复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
【问题导思】
计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？
【提示】 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
1．复数范围内正整数指数幂的运算性质
对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.
2．虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
复数的除法
【问题导思】
如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
【提示】 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘c－di，化简后可得结果．
复数的除法运算及法则
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝＝＋i.
i的运算特征
计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 012＋i2 013；
(2)(1－)2 014＋(1－i)2 014.
【思路探究】 (1)利用等比数列求和公式与i的周期性求解；(2)注意到(1±i)2＝±2i，再利用复数乘方的运算律求解．
【自主解答】 (1)1＋i＋i2＋…＋i2 012＋i2 013
＝＝＝1＋i；
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i，
∴(1－)2 014＋(1－i)2 014
＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.
1．虚数单位i的性质：
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i等一些重要结论简化运算．
计算i2 006＋(＋i)8－()50.
【解】 i2 006＋(＋i)8－()50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[]25
＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i
＝255－i.
复数的除法
(1)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________；
(2)复数z＝的共轭复数是________．
【思路探究】 运用复数乘除运算法则与共轭复数的概念求解．
【自主解答】 (1)＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝1＋i；
(2)∵z＝＝＝＝－1＋i，
∴z的共轭复数＝－1－i.
【答案】 (1)1＋i (2)－1－i
1．这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．
2．复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．
(1)设i是虚数单位，则＝________；
(2)复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
【解析】 (1)∵＝＝＝－i，
∴＝i3(－i)＝－i4＝－1；
(2)∵＝＝＝＝2－i，
∴复数z＝＝2＋i.
【答案】 (1)－1 (2)2＋i
复数四则运算的综合应用
(1)＋(5＋i2)－()2；
(2).
【思路探究】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
【自主解答】 (1)＋(5＋i2)－()2
＝＋(5－1)－
＝i＋4－i＝4；
(2)原式＝
＝
＝＝·(2i)2·i
＝－4i.
1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；
(2)记住一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
计算(1)＋(－－)6；
(2)＋()2＋.
【解析】 (1)原式＝＋i6(－＋i)6
＝i＋i2＝i－1；
(2)原式＝＋＋
＝i＋＋
＝i＋(－i)＋0＝0.
复数集中错用判别式导致错误
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求实数k的值构成的集合．
【错解】 ∵方程有实根，
∴Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)＝k2－12≥0，
∴k≥2或k≤－2，
∴实数k的值构成的集合为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
【错因分析】 错解忽略了根据判别式与0的大小关系确定方程有无实根的适用范围是在实系数范围内．
【防范措施】 1.数集扩充后，在实数集中的性质、运算切忌盲目推广到复数集，有些结论不一定成立．
2．设出实根x0，利用复数的代数运算和复数相等的定义，实施复数问题实数化．
【正解】 设x＝x0为方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0的实根，
代入整理后得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
∴k的值构成的集合为{－2，2}．
1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．
2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝i(a＋bi)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．
3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”
1．(2012·广东高考)设i为虚数单位，则复数＝________.
【解析】 ＝＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i.
【答案】 －6－5i
2．复数＝________.
【解析】 原式＝＝
＝－－i.
【答案】 －－i
3．设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2·…·i12，则z1·z2＝________.
【解析】 z1＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i9＋i10＋i11)
＝0＋0－1＝－1.
z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，∴z1z2＝1.
【答案】 1
4．计算：(1)若＝－i，求实数a的值；
(2)若复数z＝，求＋3i.
【解】 (1)依题意，
得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－.
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴＝－1－i，
∴＋3i＝－1＋2i.
一、填空题
1．复数＋i3＝________.
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
则原式＝i－i＝0.
【答案】 0
2．(2012·四川高考改编)复数z＝＝________.
【解析】 z＝＝＝－1.
【答案】 －1
3．(2012·浙江高考)设i是虚数单位，则＝________.
【解析】 ＝＝＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
4．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，对于虚数单位i，α(i)＝________.
【解析】 α(i)表示in＝1的最小正整数n，
又因为i4k＝1(k∈N*)，
显然n＝4，即α(i)＝4.
【答案】 4
5．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
【解析】 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
6．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
【解析】 z2＝(－)2＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.
【答案】 －i
7．(2013·安徽高考改编)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．
【解析】 因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
【答案】 3
8．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则＝______.
【解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
依题设z＋＝2a＝4，a＝2，
z·＝a2＋b2＝8，则b＝±2，
∴＝＝(2±2i)2＝±i.
【答案】 ±i
二、解答题
9．计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 [(1＋2i)·i100＋()5]2－()20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
10．已知z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a，b的值．
【解】 由z＝1＋i，有
＝
＝
＝(a＋2)－(a＋b)i，
由已知(a＋2)－(a＋b)i＝1－i.
∴即
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解】 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝＋2
＝2－i.
由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
(教师用书独具)
满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．
【思路探究】 本例属探究性命题，先假定存在，然后利用复数的有关概念和四则运算进行探索．
【规范解答】 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)．
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋(y－)i
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
【解】 ＝
＝＝＝1－i.
∵a是纯虚数，设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋
＝－2i＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i＜0，
∴
得m＝4，∴a＝4i.3.3复数的几何意义
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系，会求复数的模，理解复数加减法的几何意义．
2．过程与方法
让学生经历探究学习的过程，结合问题引导，提高学生的数学探究能力，理解对应与运动变化的观点．
3．情感、态度与价值观
通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育，体会数形结合的思想方法．
●重点、难点
重点：复数的两个几何意义及应用，复数加减法的几何意义．
难点：复数的两个几何意义及应用，复数的模及其数形结合在最值求解中的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复平面内的点、平面向量和复数之间关系的教学
注意类比，类比有序实数时，平面内的点和平面向量间的关系，沟通知识间的横向联系，重视几何直观，作出复数所对应的几何图形．通过数形结合，使问题变得直观、简洁、易解．
2．关于复数模的教学
教学时建议教师类比实数的绝对值、平面向量的模的概念来引导学生掌握复数的模的概念．
3．关于复数加、减法的几何意义的教学
教学时，建议教师在明确复数的几何意义基础上，进而将复数的加、减运算转化成对应向量的加、减运算．注重方法介绍，难度不宜过大．
●教学流程
创设问题情景，结合知识点1,2,3中的问题给出复数的几何意义、复数的模及其意义和复数加法、减法的几何意义．?通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的几何意义．?通过例2及其变式训练，使学生掌握复数模的求法并明确其几何意义的应用．?通过例3及其互动探究，使学生掌握复数加、减法的几何意义的应用．?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．
课标解读
1.了解复数的几何意义，并能简单应用．(重点)
2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．(易错点)
3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)
复数的几何意义
【问题导思】
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
2．有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
【提示】 一一对应．
3．复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
【提示】 一一对应．
4．复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)、向量三者有何关系？
【提示】 复数z＝a＋bi，可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，也可以用向量来表示，三者的关系是一一对应的．
1．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量.
复数的模及意义
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记为|z|.
(2)公式|z|＝.
(3)几何意义：复数z对应点Z到原点O的距离.
复数加减法的几何意义
【问题导思】
类比绝对值|x－x0|的几何意义，说明|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义．
【提示】 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
复数加法、减法的几何意义
图3－3－1
(1)如图3－3－1所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2.
则向量与复数z1＋z2相对应；向量与复数z1－z2相对应．
(2)|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
复数的几何意义
在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
【思路探究】 (1)由复数与点的对应关系，根据中点坐标公式，求D点坐标．(2)由复数的向量表示，根据向量运算，求对应的复数．
【自主解答】 法一 设点D对应复数为x＋yi(x，y∈R)，
∵复数i,1,4＋2i的对应点分别为A，B，C，
∴A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，D(x，y)．
设?ABCD的对角线的交点为E，则E为AC与BD的中点，
∴∴
故D点对应的复数为3＋3i.
法二 由复数的向量表示知：
＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)．
在?ABCD中，＝＝－＝(3,2)，
∴＝＋＝(3,3)，
因此点D对应的复数为3＋3i.
1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
2．复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
(2013·济南高二检测)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
(1)若点Z在虚轴上，求m的值；
(2)若点Z位于第一象限，求m的取值范围．
【解】 z＝＝＝＋i，
(1)∵点Z在虚轴上，
∴＝0，则m＝－2.
(2)点Z位于第一象限，
则m＋2＞0且1－2m＞0，解之得－2＜m＜.
故实数m的取值范围是(－2，).
复数的模及其几何意义
已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小．
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
【思路探究】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件．
【自主解答】 (1)由复数模的定义：
|z1|＝|－i|＝2，|z2|＝|－＋i|＝1.
∴|z1|>|z2|.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，复数的模可以比较大小．
2．复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
(1)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，求|z|的取值范围；
(2)若|z′|的取值范围是(1)中所求，则复数z′对应的点Z的集合是什么图形．
【解】 (1)由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可得|z|＝.
因为0＜a＜2，所以1＜a2＋1＜5.
故1＜|z|＝＜.
(2)由(1)知1＜|z′|＜，易得满足条件1＜|z′|＜的点Z的集合是以原点为圆心、分别以1和为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图．
复数加减法的几何意义
在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
【思路探究】 关键是求向量对应的复数，可从复数及其加减法的几何意义着手，转化为向量的坐标运算．
【自主解答】 由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋.
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1
＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)
＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z2－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|
＝2.
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．
2．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
本例条件改为：A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求顶点D对应的复数．
【解】 设点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则对应的复数为(x＋yi)－z1＝(x－1)＋(y－1)i，对应的复数为z3－z2＝－2＋2i.
又∵四边形ABCD为平行四边形，则＝，
∴(x－1)＋(y－1)i＝－2＋2i
因此∴
故顶点D对应的复数为－1＋3i.
复平面上的点的轨迹认识不清致错
若复数为纯虚数，则复数z对应的复平面上的点Z的轨迹是什么？
【错解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵＝＝＝，
又是纯虚数，
∴＝0，即x(x－1)＋y2＝0.
化简，得(x－)2＋y2＝.
∴所求的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
【错因分析】 对于是纯虚数，y应满足y≠0，忽视复数z中x，y的取值范围，导致增解．
【防范措施】 要抓住两点：(1)注意复数z的实部与虚部的取值范围；(2)要注意挖掘题目中的隐含条件，保证等价转化．
【正解】 根据题意，设＝bi(b≠0，b∈R)，
则z＝zbi－bi，∴z＝.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
∵b≠0，∴x≠0，且y≠0.
①÷②，得＝－b.③
把③代入②得y＝，整理，得(x－)2＋y2＝，
即复数z对应复平面上的点Z的轨迹是以(，0)为圆心，以为半径的圆，且不包括点(0,0)和(1,0)．
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点z1和点z2之间的距离．
3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和.
1．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
【解析】 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 5
2．(2013·南京高二检测)复数z＝－1在复平面内，则z所对应的点在第________象限．
【解析】 ∵z＝－1＝i－1，
∴复数z对应的点为(－1,1)在第二象限．
【答案】 二
3．若、对应的复数分别是7＋i、3－2i，则||＝________.
【解析】 对应的复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，∴||＝|－4－3i|＝＝5.
【答案】 5
4．已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量、(O为原点)，若向量对应的复数为纯虚数，求a的值．
【解】 ∵＝－，
∴对应的复数为(a－1)＋(a2＋2a－1)i－[(a2－3)＋(a＋5)i]＝－(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i.
∵对应的复数为纯虚数，
∴解得a＝－1.
一、填空题
1．(2013·福建高考改编)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限．
【解析】 z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 三
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
【解析】 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数，
∴∴m＝2，
∴z＝3i，∴|z|＝＝3.
【答案】 3
3．已知复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝________.
【解析】 依题意，a2＋1＝4＋1，
∴a＝±2.
【答案】 ±2
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内对应点的坐标是________．
【解析】 ∵z＝3－4i，则|z|＝5，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.
因此，所求复数对应的点是(－1，－5)．
【答案】 (－1，－5)
5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝y－x＋(2x－y)i.
根据复数相等的定义，得
解得
∴x＋y＝5.
【答案】 5
6．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
【答案】
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
【解析】 由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又∵＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
8．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，试确定复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________．
【解】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1＞0，
∴|z|－3＝0，则|z|＝3，故x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
二、解答题
9．(2013·扬州高二检测)已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
【解】 (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3＜a＜0.
故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限．
10．(2013·南京高二检测)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi，(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则?
z＝－4＋3i，
∴
＝
＝＝3＋4i.
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形.
(教师用书独具)
已知a∈R，求复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i在复平面内对应的点在第几象限？对应点的轨迹是什么？
【思路探究】 通过判断a2－2a＋4与－(a2－2a＋2)的符号，可确定复数z在复平面内对应的点所在的象限；设出复数z的代数形式，结合求轨迹问题的一般方法，寻求x，y之间的关系，但要注意参数的限定条件．
【规范解答】 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数，
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a2－2a，得y＝x＋2(x≥3)，
∴复数z在复平面内对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2(x≥3)．
已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，
∴?或
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1,1)，B(0，－2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝·2·1＝1.
当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i，
则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝·2·1＝1.
(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝，
又因为|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1，
则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆．
所以，|m|min＝－1，|m|max＝＋1.
复数的概念及分类
复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i，满足i2＝－1，且i同实数间可以进行加、减、乘、除法的运算，结合复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)中，a、b的条件可把复数分为：
复数(z＝a＋bi，
a、b∈R)
其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
【思路点拨】 先将已知复数化为“a＋bi”的形式，再由纯虚数定义求a.
【规范解答】 法一 ＝＝
为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2，故选A.
法二 ＝为纯虚数，所以a＝2，故选A.
【答案】 A
若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
【解析】 a2－a－2≠0或
a≠－1且a≠2或a＝2.
综上可知，a≠－1.
【答案】 C
复数的四则运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加、减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.同时应熟练掌握i幂的周期性变化，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
(1)计算＋()3 204；
(2)已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
【思路点拨】 (1)进行复数乘除运算，注意i的性质的活用；(2)设出复数的代数形式，转化为实数运算．
【规范解答】 (1)＋()3 204
＝＋[]1 602
＝＋()1 602＝i＋(－i)1 602
＝i＋i2＝－1＋i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
代入条件得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
计算：(1)；
(2)＋()2 006.
【解】 (1)＝
＝－＝2(－＋i)＝－1＋i；
(2)＋()2 006＝＋
＝－＝i－＝i－i＝0.
复数及运算的几何意义
复数的几何意义包括两个方面：复数的表示(点和向量)、复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
若i为虚数单位，如图3－1所示复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．
图3－1
【思路点拨】 根据图形观察Z点的坐标，则复数z易得，根据复数的四则运算求出，则它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定．
【解析】 由图示可知，z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴该复数在复平面内对应的点的坐标是(2，－1)，即点H.
【答案】 H
已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，O为坐标原点OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设顶点C对应的复数z＝x＋yi，x，y∈R，
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.
数形结合思想在复数中的应用
复数与复平面内的点、向量一一对应，复数的加、减法与复数的模有明确的几何意义，这为数形结合的应用提供了基础，数形结合可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，直观化．
已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
【思路点拨】 运用乘方运算，求复数z1及|z1|；由模的意义，可求动圆|z|＝1上的点到z1对应点的距离．
【规范解答】 (1)z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(1－i)2
＝(i＋1)(－2i)＝－2i2－2i＝2－2i，
从而|z1|＝|2－2i|＝2.
(2)∵|z－z1|表示复数z与z1对应点间的距离．
如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．
由图形可知|z－z1|max＝|z1|＋|z|＝1＋2.
已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值．
【解】 (1)由|z－1|≤1，可知集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|，可知集合N是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，
解方程组
得A(，)，B(，－)，
则|OA|＝＝，
|OB|＝＝，
又点O到直线l的距离为，且＜，
则在集合P中复数z的模的最大值为，最小值为.综合检测(二)
第3章 数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把正确的答案填在题中横线上)
1．(2012·福建高考)若复数z满足zi＝1－i，则z等于________．
【解析】 由zi＝1－i，得z＝＝－1＝－1－i.
【答案】 －1－i
2．(2013·湖南高考改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第________象限．
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1,1)，该点位于第二象限．
【答案】 二
3．若(x－i)i＝y＋2i(x，y∈R)，则复数x＋yi＝________.
【解析】 (x－i)i＝xi＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.
∴x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
4．若z＝a－i(a∈R且a＞0)的模为，则复数z的共轭复数＝________.
【解析】 ∵＝，且a＞0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
【答案】 1＋i
5．(2013·湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【解析】 (2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
6．设i为虚数单位，则＋＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＋＝－i－1＋i＋1＝0.
【答案】 0
7．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________．
【解析】 |z|＝＝，
∵－2≤m≤1，
∴m＝1时，|z|max＝5.
【答案】 5
8．i是虚数单位，()4等于________．
【解析】 ()4＝[]2＝()2＝1.
【答案】 1
9．(2013·盐城高二检测)在复平面内，对应的复数是2＋i，对应的复数是－1－3i.则对应的复数为________．
【解析】 ∵对应复数－2－i，对应复数－1－3i，
∴对应复数－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
【答案】 －3－4i
10．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则＝________.
【解析】 ∵z＝a－2＋3i(a∈R)是纯虚数，
∴a＝2，
∴＝＝＝－i.
【答案】 －i
11．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________．
【解析】 复数－2－i对应点A(－2，－1)，
点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2)，
∴对应的复数为1＋2i.
【答案】 1＋2i
12．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，
p3：z的共轭复数为1＋i，
p4：z的虚部为－1，
其中的真命题为________．
【解析】 z＝＝＝－1－i，
∴|z|＝，p1错，z2＝(－1－i)2＝2i，p2正确．
z的共轭复数＝－1＋i，p3错误，p4正确．
【答案】 p2，p4
13．已知z＝1－i，则＝________.
【解析】 ＝＝＝－2i.
【答案】 －2i
14．已知复数z＝，则|z|＝________.
【解析】 z＝＝
＝
＝－＋i，则|z|＝＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)纯虚数．
【解】 z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)∵z∈R且m∈R，
∴m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.
即当m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)∵z是纯虚数，
∴得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
16．(本小题满分14分)(2013·常州高二检测)计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 原式＝2－[]10
＝[1＋2i＋(－i)5]2－i10＝(1＋2i－i)2－i2
＝(1＋i)2＋1＝1＋2i.
17．(本小题满分14分)已知z＝.
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a、b的值．
【解】 z＝＝＝
＝＝1－i.
(1)∵z＝1－i，∴|z|＝.
(2)把z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
得：a＋b－(2＋a)i＝1＋i，
∴解得
所以实数a，b的值分别为－3,4.
18．(本小题满分16分)(2013·徐州高二检测)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
【解】 (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)z是纯虚数，
∴3－3b＝0且9＋b≠0，则b＝1，从而z＝3＋i.
(2)ω＝＝＝＝－，
∴|ω|＝＝.
19．(本小题满分16分)已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i、z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
【解】 (1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos 2θ－1)＝－1－2sin2θ·i.
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝π.
20．(本小题满分16分)已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵z＋2i＝x＋(2＋y)i∈R，∴y＝－2.
又∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
且(z＋ai)2对应点在第一象限，a∈R.
∴解之得2
故实数a的取值范围是(2,6)．
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第2章 推理与证明
【命题趋势】 1.从近年来的新课标高考看，新课标高考对本部分的考查直接涉及的多为小题，主要考查利用归纳推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他主要是渗透到数学问题的求解之中．
2．直接证明与间接证明是解决数学证明问题的两种重要的思想与方法，是数学证明题的核心，也是数学学习的重要内容．从近年的新课标高考看，高考对本部分考查的难度多为中档题，也有高档题，其相关知识常常涉及数学的各个方面，主要是不等式、数列、三角函数、向量、函数、解析几何、立体几何等.
归纳推理
(教材第45页习题2.1第1题(2))
观察下列等式，从中归纳出一般性结论：
1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…
(2013·陕西高考)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…，
照此规律，第n个等式可为________
【命题意图】 本题考查归纳推理、数列的概念和等差数列求和．观察式子特点考查归纳总结能力，综合应用知识的能力．
【解析】 12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…，
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝
(－1)n＋1
(2012·陕西高考)观察下列不等式
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为________．
【解析】 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋＜.
【答案】 1＋＋＋＋＋＜
反证法
(教材第51页习题2.2第5题)
用反证法证明：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．
(2011·安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明直线l1与l2相交；
(2)试证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
【命题意图】 本题以解析几何为背景考查反证法在证明题中的应用，考查推理论证能力和运算求解能力．
【证明】 (1)假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，
由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为直线l1，l2的斜率，则有k1＝k2，
代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2无实数解，
这与已知k2为实数矛盾，
因此k1≠k2，直线l1与l2相交．
(2)法一 由方程组
解得交点P的坐标为(，)，
又因为2x2＋y2＝2()2＋()2
＝＝＝1，
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
法二 交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0，∴k1＝，且k2＝.
代入k1k2＋2＝0.得·＋2＝0.
整理后，得2x2＋y2＝1，
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
(2012·江苏高考改编)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N*，bn＋1＝，，n∈N*，且{an}是等比数列，求证：an＝a1，n∈N*.
【证明】 ∵an＞0，bn＞0，
∴≤a＋b＜(an＋bn)2，
∴1＜an＋1＝≤(*)，
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0，下面用反证法证明q＝1；
若q＞1，则a1＝＜a2≤，∴当n＞logq时，an＋1＝a1qn＞，与(*)矛盾；
若0＜q＜1，则a1＝＞a2＞1，
∴当n＞logq时，an＋1＝a1qn＜1，与(*)矛盾．
综上所述，q＝1，从而an＝a1，n∈N*.
第3章 数系的扩充与复数的引入
【命题趋势】 复数是高考必考的内容之一，几乎每年都要涉及一道填空题，难度不大，以考查复数的概念和代数运算为主，有时还考查复数的模和复数加减法的几何意义.
复数的有关概念
(教材第67页练习第6题)
求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)(x－3y)＋(2x＋3y)i＝5＋i；
(2)(x2－y2)＋2xyi＝6i－8；
(3)2x2－5x＋3＋(y2＋y－6)i＝0.
(2013·课标全国卷Ⅱ)＝( )
A．2 B．2 C. D．1
【命题意图】 本题主要考查复数的运算以及求复数的模．
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
(2013·山东高考)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B.
C．5 D.
【解析】 z＝＝＝＝－4－3i，
∴|z|＝＝＝5.
【答案】 C
复数的运算
(教材第73页练习第2题)
计算：(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)18；(6).
(2013·课标全国卷Ⅰ)＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
【命题意图】 本题结合复数的四则运算考查运算求解能力．
【解析】 ＝＝＝＝－1＋i.
【答案】 B
(2012·辽宁高考)复数＝( )
A.－i B.＋i
C．1－i D．1＋i
【解析】 ＝＝＝－.
【答案】 A
复数的几何意义
(教材第78页练习第2题)
在复平面内，复数对应的点在第几象限？
(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【命题意图】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，考查运算求解能力．
【解析】 ∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴复数z在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限．
【答案】 A
(2013·江西高考)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为z＝i(－2－i)＝1－2i，所以复数z对应的点在第四象限．
【答案】 D
共轭复数
(教材第71页练习第4题)
分别写出复数3－5i，－1＋2i，－5i,8的共轭复数．
(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
【命题意图】 本题考查复数除法和共轭复数概念同时考查运算能力．
【解析】 由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i.故选D.
【答案】 D
(2012·课标全国卷)复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】 z＝＝＝
＝－1＋i
∴＝－1－i.
【答案】 D
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(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上．)
1．(2013·重庆高考)设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
【解析】 ∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝.
【答案】
2．①正方形的对角线互相平分；②平行四边形的对角线互相平分；③正方形是平行四边形．根据“三段论”推理推出一个结论，则这个结论是________(填序号)．
【解析】 根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提为③，故得到结论为①.
【答案】 ①
3．设复数z满足＝i，i为虚数单位，则z等于______．
【解析】 ∵＝i，∴z＝＝＝2－i.
【答案】 2－i
4．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数“正确的反设为________．
【答案】 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
5．已知a∈R，复数z＝在复平面内对应的点位于y轴的负半轴上，那么实数a的值是________．
【解析】 z＝＝
＝＋i，
∵z对应的点位于y轴的负半轴上，
∴＝0且＜0，解得a＝－1.
∴a＝－1.
【答案】 －1
6．如图1(1)中，小正方体的个数为1，图(2)中，小正方体的个数为5，图(3)中，小正方体的个数为14，依此规律堆积，则第6个图形中小正方体的个数为________．
图1
【解析】 an＝12＋22＋…＋n2，∴a6＝12＋22＋…＋62＝91.
【答案】 91
7．(2013·广东高考改编)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是________．
【解析】 法一 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法三 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
【答案】 5
8．下列推理：①留长头发的都是艺术家，小孙留了长头发，所以小孙也是艺术家；②因为a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，而a＝tan π＞1，所以y＝(tan π)x是增函数；③平行四边形的对角线互相平分，因为菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；④无理数都是实数，是实数，所以是无理数．其中错误的命题序号是________．
【解析】 ①中“留长头发的都是艺术家”不正确，大前提错误；②中0＜a＝tan π＝＜1，小前提错误；④中小前提中的特殊对象必须是大前提中一般对象的子集，正确的小前提应为“”是无理数；只有③的推理是正确的．∴①②④错误．
【答案】 ①②④
9．(2013·湖北高考改编)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限．
【解析】 z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．
【答案】 四
10．若三角形内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，运用类比思想，对于空间中的四面体的内切球，存在一个类似的结论为________．
【解析】 “面积”类比为“体积”，“长度”类比为“面积”．
【答案】 若四面体内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则四面体的体积为V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)
11．在古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形．
图2
则第n个三角形数为________．
【解析】 转化为
∴an＝an－1＋n＝an－2＋(n－1)＋n
＝an－3＋(n－2)＋(n－1)＋n＝…
＝1＋2＋3＋…＋n＝.
【答案】 n(n＋1)
12．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】 ∵b＝，c＝，显然b又∵c2＝(－)2＝8－4＜2＝a2，
∴a>c，∴a>c>b.
【答案】 a>c>b
13．(2013·无锡高二检测)对于两个复数：α＝＋i，β＝－i，有如下几个结论：
①在复平面内，α，β表示的点关于实轴对称；②＝β2；③α2 010＋β2 010＝2；④α＞β.其中正确结论的序号为________．
【解析】 ①正确．因为α，β对应的点分别为(，)，(，－)，关于实轴对称．
②错误，＝－i，β2＝(－i)2＝－－i，
∴≠β2.
③正确，α3＝(＋i)3＝－1，β3＝(－i)3＝－1，∴α2 010＝(α3)670＝(－1)2＝1，β2 010＝(β3)670＝(－1)2＝1.
④错误，因为复数不能比较大小．
【答案】 ①③
14．(2013·徐州高二检测)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图3所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
图3
【解析】 CE平分角ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B，
∴可类比成，故结论为＝.
【答案】 ＝
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知：x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.
求证：a，b中至少有一个不小于0.
【证明】 假设a，b中没有一个不小于0，
即a<0，b<0，则a＋b<0，
又∵a＋b＝x2－1＋2x＋2
＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0.
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
∴a，b中至少有一个不小于0.
16．(本小题满分14分)(2013·湛江高二检测)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，则z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
【解】 (1)因为b是方程的根，
所以(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y是实数)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得：(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
∴z的对应点Z的轨迹是以(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
所以z＝1－i时，|z|最小值为.
17．(本小题满分14分)已知：sin2 30°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的结论，并给出证明．
【解】 一般性的结论为：
sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)]
＝－(cos 2αcos 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°)
＝－[2cos 2α·(－)＋cos 2α]
＝.
∴左边＝右边，故一般性结论成立．
18．(本小题满分16分)(2013·连云港高二检测)设实部为正数的复数z满足|z|＝，且(1＋2i)z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
(1)求复数z；
(2)若＋(m∈R)为纯虚数，求m的值．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a＞0，b∈R)．
∴(1＋2i)z＝(1＋2i)(a＋bi)＝(a－2b)＋(2a＋b)i，
由题意可知
由①得a＝－3b.
∵a＞0，∴b＜0.
解得a＝3，b＝－1，
∴z＝3－i.
(2)由(1)知z＝3－i，∴＝3＋i，
∴＋＝3＋i＋
＝－i.
∵＋为纯虚数，
∴m＋5＝0且m－1≠0，即m＝－5.
故实数m的值是－5.
19．(本小题满分16分)
图4
(2013·山东高考)如图4，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
(1)
【证明】 法一 如图(1)，取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB.
又因为AB∥CD，CD＝AB，
所以EH∥CD，EH＝CD.
所以四边形DCEH是平行四边形．
所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)
法二 如图(2)，连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又因为CD＝AB，所以AF＝CD.
又因为AF∥CD，
所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.
又因为CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又因为EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又因为CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.
又因为AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又因为MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
20．(本小题满分16分)已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论．
(2)求证B不可能是钝角．
【解】 (1)大小关系为＜，证明如下：
要证明＜，
只需证明＜，
又a，b，c大于0，
只需证明b2＜ac，(*)
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
因此b2≤ac，(**)
∵a，b，c均不相等，
∴(**)式等号不成立，则b2＜ac成立，
故＜成立．
(2)假设B为钝角，则cos B＜0，
又cos B＝＞＞＞0，
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立，
所以角B不可能是钝角．
一、填空题
1．(2013·福建高考改编)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第________象限．
【解析】 z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
【答案】 三
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
【解析】 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数，
∴∴m＝2，
∴z＝3i，∴|z|＝＝3.
【答案】 3
3．已知复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝________.
【解析】 依题意，a2＋1＝4＋1，
∴a＝±2.
【答案】 ±2
4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内对应点的坐标是________．
【解析】 ∵z＝3－4i，则|z|＝5，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.
因此，所求复数对应的点是(－1，－5)．
【答案】 (－1，－5)
5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝y－x＋(2x－y)i.
根据复数相等的定义，得
解得
∴x＋y＝5.
【答案】 5
6．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z的虚部为.
【答案】
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
【解析】 由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又∵＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
8．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，试确定复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________．
【解】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1＞0，
∴|z|－3＝0，则|z|＝3，故x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
二、解答题
9．(2013·扬州高二检测)已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
【解】 (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3＜a＜0.
故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限．
10．(2013·南京高二检测)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi，(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则?
z＝－4＋3i，
∴
＝
＝＝3＋4i.
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形.
一、填空题
1．(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．
【解析】 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________.
【解析】 ∴a＝－4.
【答案】 －4
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－1.
【答案】 －1
4．若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________.
【解析】 由z1＝z2，得a＝0，b＝2，
∴a－b＝－2.
【答案】 －2
5．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则有下列结论：
①A∪B＝C；②?S A＝B；③A∩?S B＝?；④B∪?S B＝C.
其中正确的是________．
【解析】 ①显然错误；?SA＝{虚数}，故②错误；A∩?SB＝A，故③错误；④正确．
【答案】 ④
6．(2013·连云港高二检测)设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的范围是________．
【解析】 a＋2i2＝a－2为正实数，
∴a－2＞0，则a＞2.
【答案】 (2，＋∞)
7．下列说法正确的个数是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，其中C为复数集，则必有
②2＋i＞1＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在．
【解析】 ①中，由y∈?CR，C为复数集知，y是虚数，则不成立，故①错误；
②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；
③中，对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数，若a＝－1，则(a＋1)i是0，不是纯虚数，故③错误；
④中，实数的虚部为0，故④错误．
【答案】 0
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
【解】 由纯虚数的定义知
log2(m2－3m－3)＝0且log2(m－2)≠0，
∴解得m＝4.
故实数m＝4.
10．(2013·徐州高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i.
【解】 (1)由可得m＝1；
(2)由可得m＝0；
(3)由可得m＝2；
综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z是2＋5i.
11．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求复数z＝y－xi.
【解】 由题意＝(3x＋2y)＋yi，
∴(3x＋2y)＋yi＝(x＋y)＋(x＋3)i，(x，y∈R)．
由复数相等定义，得
解之得
∴复数z＝2＋i.
一、填空题
1．(2013·无锡高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．
【解析】 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________.
【解析】 (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，
令2－b＝0得b＝2.
【答案】 2
3．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，
∴a＋1＝2，∴a＝1.
【答案】 1
4．(2012·湖南高考改编)复数z＝i(i＋1)的共轭复数是________．
【解析】 z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴z的共轭复数＝－1－i.
【答案】 －1－i
5．设f(z)＝z，若z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝________.
【解析】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝3＋4i－(－2－i)＝5＋5i，
∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
【答案】 5＋5i
6．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
【解析】 ∵z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai，
∴(－a2)－ai＝－i(a∈R)．
则∴a＝.
【答案】 a＝
7．(2013·安徽高考改编)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝________.
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】 1＋i
8．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
【解析】 (－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i
【答案】 2＋2i
二、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
【解】 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a－b－1)i＝4，
∴解得
∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.
10．已知z－1＋2zi＝－4＋4i，求复数z.
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入z－1＋2zi＝－4＋4i整理，得(x－2y－1)＋(2x＋y)i＝－4＋4i，
故有解得
所以复数z＝1＋2i.
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)．
求：b＋ai的共轭复数．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i.
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴解得
则4－3i的共轭复数是4＋3i.
一、填空题
1．复数＋i3＝________.
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
则原式＝i－i＝0.
【答案】 0
2．(2012·四川高考改编)复数z＝＝________.
【解析】 z＝＝＝－1.
【答案】 －1
3．(2012·浙江高考)设i是虚数单位，则＝________.
【解析】 ＝＝＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
4．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，对于虚数单位i，α(i)＝________.
【解析】 α(i)表示in＝1的最小正整数n，
又因为i4k＝1(k∈N*)，
显然n＝4，即α(i)＝4.
【答案】 4
5．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
【解析】 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
6．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
【解析】 z2＝(－)2＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.
【答案】 －i
7．(2013·安徽高考改编)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为________．
【解析】 因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
【答案】 3
8．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则＝______.
【解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
依题设z＋＝2a＝4，a＝2，
z·＝a2＋b2＝8，则b＝±2，
∴＝＝(2±2i)2＝±i.
【答案】 ±i
二、解答题
9．计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 [(1＋2i)·i100＋()5]2－()20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
10．已知z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a，b的值．
【解】 由z＝1＋i，有
＝
＝
＝(a＋2)－(a＋b)i，
由已知(a＋2)－(a＋b)i＝1－i.
∴即
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解】 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝＋2
＝2－i.
由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
