8.2.3倍角公式（一）教学设计 高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 8.2.3倍角公式（一）教学设计 高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-19 08:08:27 | ||
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文档简介
8．2．3倍角公式（一）
一、教学目标
1. 使学生掌握二倍角的的正弦、余弦、正切公式
2. 能用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明
二、重点难点：
教学重点：二倍角的的正弦、余弦、正切公式
教学难点：灵活运用三角公式解决有关问题
三、教学过程
（一）复习引入
回顾两角和差的三角公式
（二）新课讲授
问题一：你能根据以上公式，写出由的三角函数值求,,的一般公式吗？
如果在两角和的正弦公式中，令，则可求出的公式，
即
类似地，可得
问题二:能否将二倍角的余弦公式表示为仅含正弦或余弦的形式？
问题三：能否由和推导出的公式？
问题四：这组二倍角公式，有什么约束条件吗？
倍角公式都是对于使它们有意义的角而言的，关系正、余弦的二倍角公式，正切的二倍角公式中.
我们看到倍角公式是和角公式的特殊情形，和角公式是倍角公式的一般形式。
请大家完成以下练习，进一步熟悉倍角公式.
练习一、填空
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
练习二、求值
解答：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
接下来我们结合几道例题，来应用一下公式.
例1已知,求,,的值．
解析：因为,
所以,
因此,
,
另解：
,
例题1是倍角公式的直接应用，例1在由求时，由于应用了同角的平方关系，所以要根据的终边所在象限来确定正负号。我们也可以由已知先求,利用平方关系求得,但同样要关注符号判断，大家可以尝试一下，比较一下两种方式的优劣之处。如果已知、、这三个值中的一个以及角的终边所在象限，那么不仅可以求出其余两个值，还可以求出、、这三个值，我们要在之前学习的基础上不断拓展我们的解题能力.
例2、已知
分析：观察已知和所求角之间的关系，我们应将已知的角看成一个整体，所求角为其两倍，
可直接使用倍角公式解决
解：
本题解决的是一类三角求值问题——给值求值。主要用到了倍角公式沟通了已知与求解。从例2的解答我们发现，倍角是相对的，只要有二倍的关系就可以应用倍角公式。
例3：已知
观察到
思路一：联立分别求出，进而求出
思路二：求解不必分别求出，只需求出整体，继而想到利用“平方”将已知变形，进而求出。
解析：法一：联立方程得
由①得，将其代入②，整理得，
所以
所以
法二：
则
则
所以
很显然，应用思路二运算量更小，更直接方便。本题主要考察三角求值问题。主要用到了同角三角基本关系和倍角关系对表达式进行三角恒等变换。在例3中我们观察角之间的关系，利用平方变形转化，求解了，由此我们也可以推导出倍角公式的常见变形，, 这个公式以后会经常用到，即遇到角的正余弦的和差关系，求的三角函数值时，我们利用此式转化运算，可简便运算。在之后的学习中，我们将学习其他的倍角变形式，请大家在学习中不断体会这种转化思想。通过以上几道例题，我们体会了公式的正用、逆用、变形用。期望对你灵活解决三角函数求值问题有所启发。下面我们再来看一道利用倍角公式的证明题。
例4.证明下列恒等式.
（1） （2）
分析：证明三角恒等式的常用方法：（1）由等式的任意一边推出另一边；（2）证明左右两边等于同一个式子；（3）证明与原等式等价的式子，从而推出原式成立．
第（1）小题由于左右两边的繁简程度明显不同，显然要将繁琐的左边化简为右边更为简便. 观察恒等式中角的关系，我们要用倍角公式将化为.
证明：（1）左边=
=
=
==右边
第（2）小题由于左右两边的繁简程度差不多，我们可以从任何一边入手，进行证明。观察恒等式中角的关系，观察等式左右，我们发现角是一致的，所以不能逆用倍角公式将
变为。从等式的左边入手，观察分式的分子，分母，分子中的“1”要用代换，构造平方式，才能使证明向期待的方向化简。
（2）
法一：左边=
=
=
===右边
除了这种方法外，还可以有下面做法，从左右两边分别证明等于同一个式子，我们来看方法二，
法二：左边=
=
=
=
右边===
所以 左边=右边
对于第二小题，我们当然也可以右边入手向左边证明。
右边===左边
本题还有其他方法证明，有兴趣的同学可以课后尝试更多的证明方法。对于三角恒等变换问题，我们要特别关注两个问题：一是如何获取解题思路？二是如何灵活变形？
在利用公式解决三角恒等变换问题，主要在于“三看”：
看角（善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式）、
看名（统一三角函数名称，利用和差角公式、同角关系、倍角公式等实现名称的统一）
看式（观察式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,我们常用的变形方法有:常值代换、逆用公式或变形形式、分解与组合、配方与平方等）
（三）课堂小结
通过本节课的学习，希望你可以掌握以下两个方面：
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2．运用二倍角公式解决三角函数式问题
本节课我们由和角公式推出了倍角公式，本章公式较多，同学们要学会发现公式间的内在联系，在理解的基础上，从“角”“名”“幂”“构”多角度辨识，才能熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，三角式的恒等变换过程,不仅需要同学善于发现角之间的差别与联系，根据式子的结构特征进行变形，还需要同学们在思考和练习中掌握一定的技巧。
一、教学目标
1. 使学生掌握二倍角的的正弦、余弦、正切公式
2. 能用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明
二、重点难点：
教学重点：二倍角的的正弦、余弦、正切公式
教学难点：灵活运用三角公式解决有关问题
三、教学过程
（一）复习引入
回顾两角和差的三角公式
（二）新课讲授
问题一：你能根据以上公式，写出由的三角函数值求,,的一般公式吗？
如果在两角和的正弦公式中，令，则可求出的公式，
即
类似地，可得
问题二:能否将二倍角的余弦公式表示为仅含正弦或余弦的形式？
问题三：能否由和推导出的公式？
问题四：这组二倍角公式，有什么约束条件吗？
倍角公式都是对于使它们有意义的角而言的，关系正、余弦的二倍角公式，正切的二倍角公式中.
我们看到倍角公式是和角公式的特殊情形，和角公式是倍角公式的一般形式。
请大家完成以下练习，进一步熟悉倍角公式.
练习一、填空
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
练习二、求值
解答：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
接下来我们结合几道例题，来应用一下公式.
例1已知,求,,的值．
解析：因为,
所以,
因此,
,
另解：
,
例题1是倍角公式的直接应用，例1在由求时，由于应用了同角的平方关系，所以要根据的终边所在象限来确定正负号。我们也可以由已知先求,利用平方关系求得,但同样要关注符号判断，大家可以尝试一下，比较一下两种方式的优劣之处。如果已知、、这三个值中的一个以及角的终边所在象限，那么不仅可以求出其余两个值，还可以求出、、这三个值，我们要在之前学习的基础上不断拓展我们的解题能力.
例2、已知
分析：观察已知和所求角之间的关系，我们应将已知的角看成一个整体，所求角为其两倍，
可直接使用倍角公式解决
解：
本题解决的是一类三角求值问题——给值求值。主要用到了倍角公式沟通了已知与求解。从例2的解答我们发现，倍角是相对的，只要有二倍的关系就可以应用倍角公式。
例3：已知
观察到
思路一：联立分别求出，进而求出
思路二：求解不必分别求出，只需求出整体，继而想到利用“平方”将已知变形，进而求出。
解析：法一：联立方程得
由①得，将其代入②，整理得，
所以
所以
法二：
则
则
所以
很显然，应用思路二运算量更小，更直接方便。本题主要考察三角求值问题。主要用到了同角三角基本关系和倍角关系对表达式进行三角恒等变换。在例3中我们观察角之间的关系，利用平方变形转化，求解了，由此我们也可以推导出倍角公式的常见变形，, 这个公式以后会经常用到，即遇到角的正余弦的和差关系，求的三角函数值时，我们利用此式转化运算，可简便运算。在之后的学习中，我们将学习其他的倍角变形式，请大家在学习中不断体会这种转化思想。通过以上几道例题，我们体会了公式的正用、逆用、变形用。期望对你灵活解决三角函数求值问题有所启发。下面我们再来看一道利用倍角公式的证明题。
例4.证明下列恒等式.
（1） （2）
分析：证明三角恒等式的常用方法：（1）由等式的任意一边推出另一边；（2）证明左右两边等于同一个式子；（3）证明与原等式等价的式子，从而推出原式成立．
第（1）小题由于左右两边的繁简程度明显不同，显然要将繁琐的左边化简为右边更为简便. 观察恒等式中角的关系，我们要用倍角公式将化为.
证明：（1）左边=
=
=
==右边
第（2）小题由于左右两边的繁简程度差不多，我们可以从任何一边入手，进行证明。观察恒等式中角的关系，观察等式左右，我们发现角是一致的，所以不能逆用倍角公式将
变为。从等式的左边入手，观察分式的分子，分母，分子中的“1”要用代换，构造平方式，才能使证明向期待的方向化简。
（2）
法一：左边=
=
=
===右边
除了这种方法外，还可以有下面做法，从左右两边分别证明等于同一个式子，我们来看方法二，
法二：左边=
=
=
=
右边===
所以 左边=右边
对于第二小题，我们当然也可以右边入手向左边证明。
右边===左边
本题还有其他方法证明，有兴趣的同学可以课后尝试更多的证明方法。对于三角恒等变换问题，我们要特别关注两个问题：一是如何获取解题思路？二是如何灵活变形？
在利用公式解决三角恒等变换问题，主要在于“三看”：
看角（善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式）、
看名（统一三角函数名称，利用和差角公式、同角关系、倍角公式等实现名称的统一）
看式（观察式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,我们常用的变形方法有:常值代换、逆用公式或变形形式、分解与组合、配方与平方等）
（三）课堂小结
通过本节课的学习，希望你可以掌握以下两个方面：
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2．运用二倍角公式解决三角函数式问题
本节课我们由和角公式推出了倍角公式，本章公式较多，同学们要学会发现公式间的内在联系，在理解的基础上，从“角”“名”“幂”“构”多角度辨识，才能熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，三角式的恒等变换过程,不仅需要同学善于发现角之间的差别与联系，根据式子的结构特征进行变形，还需要同学们在思考和练习中掌握一定的技巧。