高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章章直线和圆的方程小结(1)-教学设计

教学设计
课程基本信息
课题 直线和圆的方程小结
教学目标
教学目标：通过问题串的形式，梳理本章的知识体系和基础知识，更系统全面地掌握基础知识，加深理解。 教学重点：梳理本章的知识体系。 教学难点：建立知识点之间的内在联系。
教学过程
时间 教学环节 主要师生活动
5’ 坐标法的研究 问题1：本章中，我们学习了一种新的研究问题方法——坐标法，你知道坐标法是用来研究什么问题的方法么？ 教师讲解：坐标法是研究和解决平面几何问题的重要方法. 追问1：用坐标法研究和解决平面几何问题的步骤是什么？ 教师讲解：第一步，建立坐标系，用坐标和方程表示点、距离、斜率，直线、圆等.第二步，进行有关代数运算.第三步，把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 追问2：那么，你知道坐标法的作用是什么么？ 教师讲解：给出几何图形的代数表示，对代数表示中的坐标、方程等进行代数运算，把几何图形和代数运算联系在一起. 追问3：它们是怎么联系的呢？ 教师讲解：几何图形中的点与代数运算中的数，也就是坐标，进行对应， 几何图形中的曲线对应代数运算中的方程.而坐标法，正是基于这种对应，通过代数运算来研究几何图形的形状、大小、位置关系等性质.所以以后，我们再研究几何问题时，不仅要考虑图形的几何性质，还要考虑它对应的代数特征.
5’ 直线的几何要素与方程 问题2：在直角坐标系中，我们是如何探索确定直线位置的几何要素的？它与平面几何中确定直线位置的几何要素有什么差异？ 教师讲解：我们知道：两个点可以确定一条直线.而一个方向和一个点也能确定直线.我们本章的直线的方程，就是从这个角度出发来进行研究的. 一般来说，从几何角度，我们是用倾斜角的大小来刻画直线的倾斜程度，也就是直线的方向.而从代数角度，我们是用斜率进一步刻画倾斜角. 追问1：直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线上两点的坐标表示这条直线的斜率？直线的方向向量在刻画直线的倾斜角、斜率方面有什么作用？ 教师讲解：直线的倾斜角和斜率是分别从几何和代数的角度来刻画直线的倾斜程度的.直线上任意两点坐标和其中，可以求得斜率.直线的方向向量，一方面，其方向和倾斜角是对应的，另一方面，方向向量的坐标中的纵坐标与横坐标的比是斜率的大小，它起到了连接几何与代数桥梁的作用. 追问2：你能叙述直线点斜式方程的建立过程吗？ 教师讲解： 设任意不同于点A的点P坐标为,由斜率公式化简得点斜式方程,此时点A的坐标也符合方程. 追问3：有人说，直线方程的其他形式都是点斜式方程的“推论”，对此你有什么看法？ 教师讲解：由点斜式方程，推导出直线方程的其他形式. 追问4：写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中字母系数的几何意义以及直线方程的特点. 教师讲解：表格呈现直线方程及其特点. 追问5：你考虑过上述方程什么时候使用最合适吗？ 教师讲解：几种方程形式的适用范围.
10’ 位置关系 问题4：在这一章，我们都学习了哪些位置关系呢？ 教师讲解：本章学习的位置关系有直线与直线、直线与圆以及圆与圆三大类. 追问1：直线和直线的位置关系有几种？研究哪些内容？ 教师讲解：两条不同的直线的位置关系主要有平行和相交两种情况，其中相交还有一种特殊情况是垂直关系. 我们可以通过倾斜角之间的关系进行判断，也可以通过斜率之间的关系来进行判断. 除此之外，我们还在坐标法和向量法的帮助下，研究了点到直线的距离公式并由此，还进一步得出两条平行直线间的距离公式. 如果两条直线相交，我们还会研究它们的交点坐标.而这，就需要我们联立两条直线的方程组成方程组进行求解. 追问2：直线和圆的位置关系有几种？怎么判断这几种位置关系呢？ 教师讲解：直线与圆的位置关系，主要是相离、相切、相交三种情况.可以依据交点个数的进行判断.而从代数运算的角度来说，我们就要联立直线与圆的方程，判断二元二次方程组根的个数，来进行判断.当然，还可以根据圆心到直线的距离来进行判断. 追问3：圆与圆的位置关系从几何和代数的角度都是如何区分的？如何判断比较便捷？ 教师讲解：圆与圆的位置关系相对复杂，如果从几何图形上说，从远到近依次为相离、外切、相交、内切和内含. 而从交点个数上分，则分为三类：没有交点、一个交点、两个交点.所以对应于代数运算，如果我们只是简单的联立两个圆的方程进行求解，也只能出现没有解，一组解和两组解三种情况. 但是显然这样的分类不够细致，所以我们又基于几何图形的特点，换了一种判断方式：对两圆圆心的距离和两圆的半径和以及差的绝对值进行比较.
1’ 作业 这是我们书后的一张知识结构图，你可以根据你的理解，对这张知识结构图进行细化和完善吗？