高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章3.1.2椭圆的综合应用教学设计
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章3.1.2椭圆的综合应用教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 86.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-19 08:10:30 | ||
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文档简介
3.1.2椭圆的综合应用
一、教学内容
椭圆的综合应用
二、教学目标
1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养.
2.熟练掌握椭圆的几何性质，能够根据条件求曲线的轨迹方程，并简单了解椭圆第二定义为三种圆锥曲线的统一定义打下基础。
3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会坐标法在解析几何中的威力。
三、教学重难点
重点：根据几何特征求轨迹方程和探索直线与椭圆的位置关系
难点：探索直线与椭圆的位置关系
四、教学过程设计
师：同学们先对只是再现题的答案，然后思考，再现了哪些关于椭圆的知识。第一个用到了椭圆的定义，第二个用到了椭圆的标准方程，第三个用到了椭圆的简单几何性质，本章我们先学习了椭圆的定义，然后推导出椭圆的标准方程，再利用方程研究了简单几何性质，那么接下来我们该学习什么问题了？
生：应用
师： 对，这就是圆锥曲线通用的研究路径。下面我们先看椭圆在实际生活中的应用。讲解例1： 如图1，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知试建立适当的平面直角坐标系，求截口曲线BAC的方程.
设计意图：体会椭圆在生产生活中的应用，发展学生数学抽象、数学建模素养。
师：椭圆具有良好的性质，所以它在实际生活中有着广泛的应用。比如：行星运行轨道是椭圆，拱桥造型也是椭圆一部分，还有椭圆的光学性质也具有良好的应用。看我们的例1这个实际问题。读题：F1，F2是两个焦点，建立适当的坐标系，求曲线BAC的方程。如何建系才能使求出的方程更简单？
生：以的中点为原点O建系
师：很好，建系之后就把实际问题，转化为求曲线方程的数学问题了。下面我们看这个同学是如何解决的这个问题
生：先建系，然后设椭圆的标准方程为，由垂直利用勾股定理求出的长，，利用椭圆的定义得到a的值，再求出b的值，得出椭圆的标准方程，然后又题中说的是求曲线BAC的方程，曲线BAC只是求出的椭圆的一部分，所以用x的范围限制。x的范围为（）。
师：很好，请坐。这位同学注意到了求的曲线是椭圆的一部分，要注明x的范围，有些同学就在这里出现了问题。这里是利用定义求出了a的值，这是求椭圆标准方程的定义法。再看这个同学的做法。这个同学也是建系，设椭圆的标准方程，然后将点B的坐标代入椭圆方程，结合c=3，得到了关于a的方程，求出a的值，但是没求出来。这是利用待定系数法求的椭圆。但是这个方法的计算要比上个方法麻烦。所以同学们在求椭圆标准方程的时候要选择合适的方法。反思本题，如何解决实际问题？我们要先把实际问题转化
生：先把实际问题转化为数学问题，然后再求解数学问题
时：很好，这就是数学建模，将实际问题建立数学模型。
师：最后这一步，我们又回归到了实际问题上去，曲线BAC是椭圆的一部分，要写出范围。
此题是求曲线方程的问题，我们再看一个求轨迹方程的问题。例2.读题，如何求动点的轨迹，是不是需要先求出动点的轨迹方程，然后再看对应什么轨迹。讲解例2
例2：动点M（x，y）与定点F（4,0）的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
设计意图：回顾求椭圆轨迹方程的方法，让学生认识到椭圆还有其他产生方式
生：对
师：我们看这位同学是如何解决的
生：先表示出距离，然后列出关系式，整理就得到了轨迹方程，最后轨迹是个椭圆
师：很好，这是求轨迹方程方法的哪个方法？直接表示出关于x，y的关系式得到轨迹方程，这是直接法，你能总结直接法求轨迹方程的步骤吗？
生：写出关系式
师：如果题中没有坐标系，也没设动点的坐标呢？
生：先建系，设点，然后在写关系式，再化简
师：化简完之后这个方程就是曲线的轨迹方程吗？当曲线上点的坐标满足方程，满足方程的点都在曲线上，方程才是曲线的方程。这里我们要看这个方程需不需要抠点。回看各步骤，有需要抠的点吗？
生：没有。
师：本题不用抠点，但是这个思维过程要有。最后下结论。这是直接法求轨迹方程的步骤，求轨迹方程还有哪些方法？
生：相关点法，定义法
师：这两个方法的具体步骤呢？同学们课下思考。一分钟整理本题。前两个例题都是求方程的问题，类比第二章直线和圆的方程，我们学完圆的方程，研究了什么？
生：直线与圆的位置关系
师：类比过来，我们学完椭圆的方程接下来研究什么问题？
生：直线与椭圆的位置关系
老师讲解例3
例3：已知椭圆C：，直线l：
(1)当m=0时，直线l与椭圆C有几个公共点？
(2)当m=25时，直线l与椭圆C有几个公共点？
(3)当m=40时，直线l与椭圆C有几个公共点？
设计意图：让学生体会用方程研究曲线问题的基本思路与方法，以及由特殊到一般的归纳抽象思维。放开让学生去思考直线与椭圆的位置关系还会考查什么问题，使学生思维更灵活。
师：我们不妨在例2这个椭圆的基础上给出直线，也就是例3这样的直线，当m的值确定时，直线与椭圆的位置关系就是确定的。怎么判断直线与椭圆几个交点呢？我们是不是也可以类比判断直线与圆位置关系的方法，找个同学来说
生：联立直线与椭圆的方程，消元，得一元二次方程，看，如果，就有两个公共点
师：为什么？
生：因为，方程就有两个根，对应就有两个交点。，有一个公共点，，无公共点
师：这样我们可以联立每个问题下的直线方程和椭圆方程，求出相应的来判断，第一题，有两个公共点，第二题有一个公共点，第三题没有公共点。这是判断直线与椭圆位置关系的一个通用方法。我们再看第一题这条直线，m=0，这条直线是不是过原点。这条直线过原点，原点在椭圆内，所以它肯定与椭圆有两个交点，这样就不用联立直线与椭圆方程了。但是m=25时画图就看不出来了。就要用刚才的方法，用方程解决直线与椭圆位置关系几何问题的方法叫坐标法。所以我们解决圆锥曲线问题时，要先用几何的眼光去思考分析问题，然后再用坐标法解决问题。这三个题是不是也可以一起解决？怎么解决？
生：可以先带着m联立直线与椭圆的方程，消元，求，时，，此时有两个公共点；时，，此时有yi个公共点；时，，此时无公共点。然后，再看题中m的值在哪个范围，做出判断即可。
师：很好，这样是不是有衍生出来一个题，你能描述一下这道题吗？
生：当m为何值时，直线l与椭圆C
①有两个公共点？②有一个公共点？③没有公共点？
师：很好，同学们思考如何判断直线与椭圆的位置关系？
生：联立方程看
师：如果我们通过观察就能看出位置关系呢？
生：先观察几何特征，不行再联立看。
师：例3这三道题中的直线什么是相同的
生：斜率
师：它们是平行直线系，我们还研究过这样的直线系，这个直线方程因m未知，所以表示很多直线，虽然直线在变化，有没有不变的量在里面？
生：过定点。
师：过哪个定点？
生：过（-1,0）点
师：那么你能判断这条直线与椭圆的位置关系吗？
生：在椭圆呢，因为过的定点在椭圆内。
师：很好，所以解决圆锥曲线问题时，要先几何眼光分析问题，再用坐标法解决问题。
下面我们就观察着几何图形，看能提出什么问题？（小组讨论）
生1：求交点A，B的坐标
生2：求AB长
生3：求三角形AF1F2的周长，面积
生4：求焦点到直线的距离
生5：求椭圆上的点到直线的距离
师：那这个距离就有很多了，前面几个学生提出的都是确定的值，这个同学提出的是变化的值。变化的值就涉及到求范围，求最大最小值所以可以提出个什么问题
生6：求椭圆上的点到直线l3的最大距离和最小距离。
师：同学们提出的这些问题都很好，时间关系，我们只能拿比较典型的问题来研究，比如刚才说到的求弦长，如何求
生：求出A，B的坐标，再代入两点间的距离公式
师：如果求出的两根很麻烦呢？能不能设而不求呢？同学们能不能推导出不用求出两根，也可以求弦长的公式呢？请同学们动手推导。老师投影学生推导过程和结果，强调弦长公式。刚才有个同学还提到求椭圆上的点到直线l3的最大距离和最小距离。我们看这个问题如何解决
生：平移直线l3，当和椭圆有且只有一个公共点时，为l4，继续向下平移，当和椭圆有且只有一个公共点时为l5，l3与l4的距离为最小距离，l3与l5的距离为最大距离
师：这个学生的做法很好，想到把直线平移，动起来，这里就用到了运动的思想，动起来，体会其中的变化过程，就能得到解决问题的方法。其他问题等到我们有时间再探讨，我们总结以下本节，你解决了哪些类型的问题
小结
设计意图：师生共同梳理本节所学知识和题型，总结解题思想和方法，进一步感受坐标法这一解析几何的基本思想和方法
生：实际问题，轨迹方程问题还有直线与椭圆位置关系问题
师：用到了哪些知识
生：椭圆的定义、标准方程、性质，韦达定理等
师：用到了哪些思想和方法
生：数形结合的思想，求轨迹方程的方法，坐标法
师：你还有哪些困惑吗？我这有个问题，例2求出的轨迹是椭圆，这是偶然还是必然，同学们可以阅读课本116页，自己寻找答案。今天的作业是学案检测题，最后用著名数学家华罗庚老先生的几句话结束本课，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。愿在以后的学习中，同学们去进一步体会数形结合的思想，去体会数学的奥妙。
一、教学内容
椭圆的综合应用
二、教学目标
1.能通过将关于椭圆的实际问题转化为关于椭圆的数学问题，解决数学问题，从而解决关于椭圆的实际问题，发展数学建模素养.
2.熟练掌握椭圆的几何性质，能够根据条件求曲线的轨迹方程，并简单了解椭圆第二定义为三种圆锥曲线的统一定义打下基础。
3.能类比用直线的方程与圆的方程研究直线与圆的位置关系，用直线的方程与椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系，进一步体会坐标法在解析几何中的威力。
三、教学重难点
重点：根据几何特征求轨迹方程和探索直线与椭圆的位置关系
难点：探索直线与椭圆的位置关系
四、教学过程设计
师：同学们先对只是再现题的答案，然后思考，再现了哪些关于椭圆的知识。第一个用到了椭圆的定义，第二个用到了椭圆的标准方程，第三个用到了椭圆的简单几何性质，本章我们先学习了椭圆的定义，然后推导出椭圆的标准方程，再利用方程研究了简单几何性质，那么接下来我们该学习什么问题了？
生：应用
师： 对，这就是圆锥曲线通用的研究路径。下面我们先看椭圆在实际生活中的应用。讲解例1： 如图1，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知试建立适当的平面直角坐标系，求截口曲线BAC的方程.
设计意图：体会椭圆在生产生活中的应用，发展学生数学抽象、数学建模素养。
师：椭圆具有良好的性质，所以它在实际生活中有着广泛的应用。比如：行星运行轨道是椭圆，拱桥造型也是椭圆一部分，还有椭圆的光学性质也具有良好的应用。看我们的例1这个实际问题。读题：F1，F2是两个焦点，建立适当的坐标系，求曲线BAC的方程。如何建系才能使求出的方程更简单？
生：以的中点为原点O建系
师：很好，建系之后就把实际问题，转化为求曲线方程的数学问题了。下面我们看这个同学是如何解决的这个问题
生：先建系，然后设椭圆的标准方程为，由垂直利用勾股定理求出的长，，利用椭圆的定义得到a的值，再求出b的值，得出椭圆的标准方程，然后又题中说的是求曲线BAC的方程，曲线BAC只是求出的椭圆的一部分，所以用x的范围限制。x的范围为（）。
师：很好，请坐。这位同学注意到了求的曲线是椭圆的一部分，要注明x的范围，有些同学就在这里出现了问题。这里是利用定义求出了a的值，这是求椭圆标准方程的定义法。再看这个同学的做法。这个同学也是建系，设椭圆的标准方程，然后将点B的坐标代入椭圆方程，结合c=3，得到了关于a的方程，求出a的值，但是没求出来。这是利用待定系数法求的椭圆。但是这个方法的计算要比上个方法麻烦。所以同学们在求椭圆标准方程的时候要选择合适的方法。反思本题，如何解决实际问题？我们要先把实际问题转化
生：先把实际问题转化为数学问题，然后再求解数学问题
时：很好，这就是数学建模，将实际问题建立数学模型。
师：最后这一步，我们又回归到了实际问题上去，曲线BAC是椭圆的一部分，要写出范围。
此题是求曲线方程的问题，我们再看一个求轨迹方程的问题。例2.读题，如何求动点的轨迹，是不是需要先求出动点的轨迹方程，然后再看对应什么轨迹。讲解例2
例2：动点M（x，y）与定点F（4,0）的距离和M到定直线l：的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
设计意图：回顾求椭圆轨迹方程的方法，让学生认识到椭圆还有其他产生方式
生：对
师：我们看这位同学是如何解决的
生：先表示出距离，然后列出关系式，整理就得到了轨迹方程，最后轨迹是个椭圆
师：很好，这是求轨迹方程方法的哪个方法？直接表示出关于x，y的关系式得到轨迹方程，这是直接法，你能总结直接法求轨迹方程的步骤吗？
生：写出关系式
师：如果题中没有坐标系，也没设动点的坐标呢？
生：先建系，设点，然后在写关系式，再化简
师：化简完之后这个方程就是曲线的轨迹方程吗？当曲线上点的坐标满足方程，满足方程的点都在曲线上，方程才是曲线的方程。这里我们要看这个方程需不需要抠点。回看各步骤，有需要抠的点吗？
生：没有。
师：本题不用抠点，但是这个思维过程要有。最后下结论。这是直接法求轨迹方程的步骤，求轨迹方程还有哪些方法？
生：相关点法，定义法
师：这两个方法的具体步骤呢？同学们课下思考。一分钟整理本题。前两个例题都是求方程的问题，类比第二章直线和圆的方程，我们学完圆的方程，研究了什么？
生：直线与圆的位置关系
师：类比过来，我们学完椭圆的方程接下来研究什么问题？
生：直线与椭圆的位置关系
老师讲解例3
例3：已知椭圆C：，直线l：
(1)当m=0时，直线l与椭圆C有几个公共点？
(2)当m=25时，直线l与椭圆C有几个公共点？
(3)当m=40时，直线l与椭圆C有几个公共点？
设计意图：让学生体会用方程研究曲线问题的基本思路与方法，以及由特殊到一般的归纳抽象思维。放开让学生去思考直线与椭圆的位置关系还会考查什么问题，使学生思维更灵活。
师：我们不妨在例2这个椭圆的基础上给出直线，也就是例3这样的直线，当m的值确定时，直线与椭圆的位置关系就是确定的。怎么判断直线与椭圆几个交点呢？我们是不是也可以类比判断直线与圆位置关系的方法，找个同学来说
生：联立直线与椭圆的方程，消元，得一元二次方程，看，如果，就有两个公共点
师：为什么？
生：因为，方程就有两个根，对应就有两个交点。，有一个公共点，，无公共点
师：这样我们可以联立每个问题下的直线方程和椭圆方程，求出相应的来判断，第一题，有两个公共点，第二题有一个公共点，第三题没有公共点。这是判断直线与椭圆位置关系的一个通用方法。我们再看第一题这条直线，m=0，这条直线是不是过原点。这条直线过原点，原点在椭圆内，所以它肯定与椭圆有两个交点，这样就不用联立直线与椭圆方程了。但是m=25时画图就看不出来了。就要用刚才的方法，用方程解决直线与椭圆位置关系几何问题的方法叫坐标法。所以我们解决圆锥曲线问题时，要先用几何的眼光去思考分析问题，然后再用坐标法解决问题。这三个题是不是也可以一起解决？怎么解决？
生：可以先带着m联立直线与椭圆的方程，消元，求，时，，此时有两个公共点；时，，此时有yi个公共点；时，，此时无公共点。然后，再看题中m的值在哪个范围，做出判断即可。
师：很好，这样是不是有衍生出来一个题，你能描述一下这道题吗？
生：当m为何值时，直线l与椭圆C
①有两个公共点？②有一个公共点？③没有公共点？
师：很好，同学们思考如何判断直线与椭圆的位置关系？
生：联立方程看
师：如果我们通过观察就能看出位置关系呢？
生：先观察几何特征，不行再联立看。
师：例3这三道题中的直线什么是相同的
生：斜率
师：它们是平行直线系，我们还研究过这样的直线系，这个直线方程因m未知，所以表示很多直线，虽然直线在变化，有没有不变的量在里面？
生：过定点。
师：过哪个定点？
生：过（-1,0）点
师：那么你能判断这条直线与椭圆的位置关系吗？
生：在椭圆呢，因为过的定点在椭圆内。
师：很好，所以解决圆锥曲线问题时，要先几何眼光分析问题，再用坐标法解决问题。
下面我们就观察着几何图形，看能提出什么问题？（小组讨论）
生1：求交点A，B的坐标
生2：求AB长
生3：求三角形AF1F2的周长，面积
生4：求焦点到直线的距离
生5：求椭圆上的点到直线的距离
师：那这个距离就有很多了，前面几个学生提出的都是确定的值，这个同学提出的是变化的值。变化的值就涉及到求范围，求最大最小值所以可以提出个什么问题
生6：求椭圆上的点到直线l3的最大距离和最小距离。
师：同学们提出的这些问题都很好，时间关系，我们只能拿比较典型的问题来研究，比如刚才说到的求弦长，如何求
生：求出A，B的坐标，再代入两点间的距离公式
师：如果求出的两根很麻烦呢？能不能设而不求呢？同学们能不能推导出不用求出两根，也可以求弦长的公式呢？请同学们动手推导。老师投影学生推导过程和结果，强调弦长公式。刚才有个同学还提到求椭圆上的点到直线l3的最大距离和最小距离。我们看这个问题如何解决
生：平移直线l3，当和椭圆有且只有一个公共点时，为l4，继续向下平移，当和椭圆有且只有一个公共点时为l5，l3与l4的距离为最小距离，l3与l5的距离为最大距离
师：这个学生的做法很好，想到把直线平移，动起来，这里就用到了运动的思想，动起来，体会其中的变化过程，就能得到解决问题的方法。其他问题等到我们有时间再探讨，我们总结以下本节，你解决了哪些类型的问题
小结
设计意图：师生共同梳理本节所学知识和题型，总结解题思想和方法，进一步感受坐标法这一解析几何的基本思想和方法
生：实际问题，轨迹方程问题还有直线与椭圆位置关系问题
师：用到了哪些知识
生：椭圆的定义、标准方程、性质，韦达定理等
师：用到了哪些思想和方法
生：数形结合的思想，求轨迹方程的方法，坐标法
师：你还有哪些困惑吗？我这有个问题，例2求出的轨迹是椭圆，这是偶然还是必然，同学们可以阅读课本116页，自己寻找答案。今天的作业是学案检测题，最后用著名数学家华罗庚老先生的几句话结束本课，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。愿在以后的学习中，同学们去进一步体会数形结合的思想，去体会数学的奥妙。