江西省吉安市万安县中2022-2023学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版含答案）

万安县中2022-2023学年高二下学期5月期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A． B． C． D．
3．等差数列1＋x，2x＋2，5x＋1，…的第四项等于(　　)
A．10 B．6 C．8 D．12
4．已知数列：，，，…，又，则数列的前n项的和为（ ）
A． B． C． D．
5．公差不为0的等差数列的前项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则（ ）
A．81 B．63 C．41 D．32
6．等差数列中，为前项和，已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线C：的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．已知，若关于的方程有三个不同的实根，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
11．已知（其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为
C．的极小值为 D．方程有两个不同的解
三、填空题（共20分）
13．已知，则___________.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn﹣1是an和Sn的等比中项，设，则数列{bn}的前100项和为_____.
15．若函数，则___________．
16．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是________.
四、解答题（共70分）
17．在等差数列中，已知，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前5项的和.
18．如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.
（1）证明:平面平面
（2）, 三棱锥的体积为，求长.
19．“绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%．
(1)若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？
(2)到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？
（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）
20．已知函数．
(1)当时，求函数的极值．
(2)是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
22．已知，函数，．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
1．C
因为，
所以
所以.
故选：C
2．C
记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,
则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==，故选C.
3．C
解：由题意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)
解得x＝1
∴这个数列为2，4，6，8，…
故选C.
4．C
因为数列为:，，，，…
所以，
所以，
所以的前项和为
故选：C.
5．C
因为，
所以，故，
设等差数列的公差为，则，
所以，
因为，，，，依次成等比数列，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．C
由得：，
可知：，
故是以为首项，以为公差的等差数列，
而，
所以，即，
，
解得：，
故选：C
7．D
设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作垂足分别为，
因为直线l过抛物线的焦点，所以，
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以，
所以，则直线MN的倾斜角是150°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是60°，斜率是.
故选：D
8．D
设，
由已知方程组有三组解，
又函数的定义域为，导函数为，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且时，，当时，，
当时，，当时，，
当，时，，
由此可得函数的大致图象如下：
所以当时，方程没有解，
当时，方程有两个解，
当或时，方程有一个解，
又方程至多有两个不相等的解，
由已知可得，方程必有两个解，且其中一个解，
若另一个解，则，，矛盾，
若另一个解，则，，矛盾，
故另一个解，且，
因为，
所以，，
所以，
故选：D.
9．AC
A．令，则，是递增数列，正确；
B．令，则，，不合题意，错；
C．令，则，符合题意．正确；
D．令，则，，不合题意．错．
故选：AC．
10．AC
对于A选项:,故A错误;
对于B选项: 根据导数运算律可得,故B正确;
对于C选项: ,故C错误;
对于D选项:根据复合函数导数运算 ,,故D正确.
故选 :AC.
11．BC
构造函数，，
，得，当，，单调递增，
当，，单调递减，
，因为，所以，
即，.
故选：BC
12．ABD
，，，所以在处的切线方程为，A正确.
令可得，所以的单调递减区间为，B正确.
令可得，所以的单调递增区间为，所以有极大值，没有极小值，C不正确.
由前面的分析可知，先增后减，有唯一极大值，当时，，
当无限大时，无限接近；简图如下：
因为，所以有两个不同的解，D正确.
故选：ABD.
13．
令，得，令，得，由二项式定理知的系数为，所以.
故答案为：
14．
依题意，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
以此类推，猜想，
.
下用数学归纳法证明：
当时，成立.
假设当时，
当时，，
，
，
，
，
，
，所以假设成立.
所以对任意，，.（证毕）
所以，
所以数列的前项和为
.
故答案为：
15．2
令，
则，
因为，
所以．
故答案为：2
16．或.
因为，
当时，，则，
由得；由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
此时有极大值；
当时，显然单调递减；
作出函数的大致图像如下：
由得或，
因为函数有5个零点，
所以与或共有5个交点，
由图像可得：只需或，即或.
故答案为：或.
17．（1）（2）62
（1）设等差数列的公差为，由题意得
，解得，
所以
（2）由（1）得，
因为，
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以
18．（1）见解析 （2）
（1）证明：因为四边形为菱形，所以.
因为平面平面，所以
因为，故平面
又平面,
所以平面平面
（2）设， 在菱形中，由，可得
.因为,所以在中，可得
由平面得，
在直角中，可得，
，故.
即
19．(1)亿元
(2)该集团能通过该品牌汽车实现盈利
（1）设第n年的销售量为万辆，则该汽车的年销售量构成首项为10，公差为10的等差数列，所以，
设第n年每辆车的平均销售利润为元，则每辆汽车的平均销售利润构成首项为3000，公比为0.9的等比数列，所以，
记第n年的销售利润为，则万元；
即第n年的销售利润为亿元
（2）到2027年年底，设销售利润总和为S亿元，
则①，
②，
①﹣②得亿元，
而总投资为亿元，
因为，则到2027年年底，该集团能通过该品牌汽车实现盈利．
20．(1)极大值为，极小值为；
(2)存在，
（1）当时，，
，令，解得或，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为；
（2）假设存在实数a， 对任意的，且，都有恒成立，
不妨设， 若，即，
令，
显然只要在为增函数即成立，
因为，
要使在为增函数则在恒成立，
即只需，则，
所以存在满足题意．
21．(1)
(2)定值为
（1）由题可知， ，解得， ，故椭圆C的方程为；
（2）直线l的方程为，
联立方程组整理得，
则 ，
由题意，必须有 ，即 必须满足 ，
此时，．
，
整理得，
因为l不经过点A，所以，所以，即，
故k为定值，且该定值为；
综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.
22．(1)见解析
(2)2
（1），令，，
令,解得
在上单调递减,单调递增，
，
，
命题得证.
（2）存在,使得对于成立,
等价于存在,使得对于成立，
由于,原题意的必要条件是,对都成立
设,使得,即，
在是减函数,在是增函数,其中,即，
，
显然,
由上图知,，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,
,由上证明知存在大于0的正的最小值,
故存在大于0的,使得恒成立，
当时,设,
故对不恒成立，
存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.