行知高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学 试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共12题，总计60分）
1．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数在处有极大值，则a的值为（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．无答案
3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
4.已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( )
A. B. C. D.
5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
6．的展开式中的常数项为（ ）
A． B．18 C． D．9
7．考古团队发现，海昏侯墓出土的一套件编钮钟的出土排序存在错位，推测为随葬时造成，调整为正确顺序后，它已能演奏乐曲，音色清脆悦耳.若将这件编钮钟（每件编钮钟都不一样）随机排成一排，不同的排法有（ ）
A．种 B．种 C．14种 D．1种
8．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第k（，）个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第k斜列与第斜列各项之和最大时，k的值为（ ）
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
9．甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．设袋子中有个同样大小的球，其中有个红球，个白球，今从中任取个球，令“任取的个球中红球的个数”，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共4题，总计20分）
13．已知函数在处取得极值，则实数a的值为_________．
14．的展开式中的常数项为______．
15．已知X服从正态分布，且，则________．
16．已知函数，若函数至少有两个零点，则的取值范围___．
三、解答题(17题10分,其余每题12分，共6题，总计70分)
17.某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺会演活动.
(1)求男生甲被选中的概率; (2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
18．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；②偶数项的二项式系数和为256；③前三项的二项式系数之和为46.
已知在的展开式中，__________.
求含项的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项
19．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值.
（1)求函数的单调区间和极值；
(2)求在上的最大值和最小值.
20．甲乙参加英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行考试，至少答对2道题才算合格．
(1)若一次考试中甲答对的题数是，求的概率分布列，并求甲合格的概率；
(2)若答对1题得5分，答错1题扣5分，记为乙所得分数，求的概率分布列．
21．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，从年龄分为“50岁以下”和“50岁以上（含50岁）”两类人群进行了统计，得到给予“好评、中评、差评”评价人数如下表所示．
网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数
50岁以下 9000 3000 2000
50岁以上（含50岁） 1000 2000 3000
(1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价网民中每次随机抽取1人，如果抽取到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过5次，求抽取了5次的概率；
(2)从给予“中评”评价的网民中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在50岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，且．证明：．行知高级中学校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学 答案
选择题：
-5 DBDCC 6--10 AACDC 11--12 CB
填空题
13．
【分析】根据函数在处取得极值，可得，即可得解.
【详解】，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
经检验符合题意，所以.
故答案为：.
14．
【分析】结合二项式展开式的通项公式以及乘法分配律求得正确结果.
【详解】的展开式的通项公式为.
令，令.
则的展开式中的常数项为.
故答案为：
15．0.1
【分析】由正态分布的对称性求解即可.
【详解】解析：由题知：，故，又，
故.
故答案为：0.1.
16．
【分析】根据题意转化为至少有两个不同的解，令，转化为函数的图象与至少有两个交点，求得，求得函数单调性和极值，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，函数至少有两个零点，即至少有两个不同的解，
令，则函数的图象与至少有两个交点，
又由，
令，解得，令，解得或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，当时，，
作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，，即实数的取值范围是.
故答案为：.
解答题
17.
18【分析】（1）若选填条件①②，由二项式系数的性质可得；若选填条件③，由组合数的计算可得.结合二项式展开式的通项公式计算即可求解；
（2）由（1），设第项系数绝对值最大，则，利用组合数的计算公式可解得，求解r即可求解.
【详解】（1）若选填条件①，，由二项式系数的性质可得，；
若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即，可得，；
若选填条件③，，
即，解得或，因为，所以
二项式展开式的通项：.
由，得.
展开式中含项的系数为.
（2）假设第项系数绝对值最大，则，
所以，
所以，因为，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项为.
19．【分析】（1）由在处的切线斜率为结合导数的几何意义可得，后由时，有极值可得，即可得答案；
（2）由（1）结果，利用导数知识可得的单调区间和极值；
（3）由（2）中单调性可得在上的单调性，即可得最值.
【详解】.因切线斜率为，则.
又时，有极值，则.
则；
由（1），.
令，得或.
令或，.
则在，上单调递增，在上单调递减.
则在时取极大值，为；
在时取极小值，为；
（3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，则
，
，
而，则，
即在上的最大值为，最小值为.
20.
21．【分析】（1）先求得抽取到“好评”的概率，再分第5次抽到好评和没抽到好评求解；
（2）易知抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为6人，4人，再根据X服从参数为10，3，6的超几何分布求解.
【详解】（1）解：从参与评价的网民中每次抽取1人，抽取到“好评”的概率为．
记A表示事件：“抽取了5次”，
则．
（2）在给予“中评”评价的人中，年龄在50岁以下及50岁以上人数之比为3：2．
因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为6人，4人．
依题意X服从参数为10，3，6的超几何分布，
所以，，1，2，3．
于是X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望．
21．【分析】（1）按a分类讨论，利用导数与原函数的关系即可求得函数的单调性；
（2）利用分析法去证明，过程中构造函数，利用导数证得，从而证明原不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，
当时，由，可得
当时，，当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题可得，
两式相减可得，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，故原命题成立．
