课件42张PPT。教师用书独具演示演示结束 复数的概念及代数表示 虚数单位 －1 实数 a＋bi(a，b∈R) 复数 实部 虚部 复数的分类与复数相等 实数 虚数 a＝0且b≠0 a＝c且b＝d a＝b＝0 复数的概念 复数的分类 复数相等的充要条件 课时作业（3.1） 教师用书独具课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束 复数的加减法 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 复数的乘法与共轭复数 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 a－bi a＝c且b＝－d z 复数的加法、减法运算 复数的乘法运算 共轭复数的概念 课时作业（3.2（1）） 教师用书独具课件42张PPT。教师用书独具演示演示结束 复数的乘方与in(n∈N*)的周期性 zmn 1 i －1 －i 复数的除法 i的运算特征 复数的除法 复数四则运算的综合应用 课时作业（3.2（2）） 教师用书独具课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 复数的几何意义 复平面 实轴 虚轴 复数的模及意义 邻边 z1＋z2 z1－z2 复数的几何意义 复数的模及其几何意义 复数的加减法的几何意义 课时作业（3.3） 教师用书独具第三章 数系的扩充与复数的引用
3．1数系的扩充
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类，理解并掌握复数相等的定义．
2．过程与方法
体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．
3．情感、态度与价值观
体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．
●重点难点
重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．
难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．
为了突出重点，突破难点，多创设问题情境，引发学生的认知冲突，激发学生将实数系扩充的欲望，教师适度点拨引导，通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数“i”开始，复数的分类、复数的概念、复数的相等关键是抓住复数的代数形式，这样抓住突破问题的关键所在，有利于突破难点．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数概念的教学
关于复数概念的教学，建议教师很好地利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好地理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．
2．关于复数分类的教学
关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．
3．关于复数相等的充要条件的教学
关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想，解决此类问题．
●教学流程
创设问题情境，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．??通过例2及其互动探究，理解复数的分类；求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．???
课标解读
1.理解复数的基本概念、复数的代数表示(重点)．
2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用(重点、难点)．
3．实部、虚部的概念(易混点).
复数的概念及代数表示
【问题导思】
若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．
【提示】 有解，x＝±i.
1．虚数单位
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1；
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数、复数集
(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
复数的分类与复数相等
1.复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，特别地，若a＋bi＝0?a＝b＝0．
复数的概念
判断下列命题是否正确？为什么？
(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
(2)当z∈C时，z2≥0；
(3)若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应；
(4)若a＞b，则ai＞bi.
【思路探究】 (1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．
【自主解答】 (1)中，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，(1)是假命题．
(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.
(3)错误，当a＝0时，ai＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．
(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．
1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．
2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．
下列给出的四个命题：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④复数z＝－1＋i的虚部是i.
其中，正确的命题个数是________．
【解析】 由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，∴①错．两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．
当a＝－1时，(a＋1)i＝0不是纯虚数，③错．复数z＝－1＋i的虚部是1不是i，④错．
∴正确的命题个数是0.
【答案】 0
复数的分类
当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【思路探究】 ―→
―→―→
【自主解答】 (1)当即m＝2.
∴当m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)由解得m＝－3.
∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．
1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．
2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．
若例题中的复数“z＝＋(m2－2m)i”改为复数“z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)”，试求当a为何值时，z是实数？z是纯虚数？
【解】 (1)当z为实数时，
则∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为纯虚数时，则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
复数相等的充要条件
已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
【思路探究】 根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解．
【自主解答】 ∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，
由复数相等定义，∴
因此实数x＝3，y＝－2.
1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值．
【解】 由两复数相等的充要条件知：
解得
∴实数x＝－1，y＝2.
对纯虚数的概念把握不准致误
实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数？
【错解】 由题意得
＝0，
解之得m＝－2或m＝1.
∴当m＝－2或m＝1时，复数z是纯虚数．
【错因分析】 错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．
【防范措施】 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可．
2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义．
【正解】 要使复数z是纯虚数，则有
解得
∴m＝1.
故当m＝1时，
复数z是纯虚数．
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别 .对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．
3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．如a＋bi＞0(a，b∈R)?a＞0且b＝0.
1．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
【解析】 2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2.
∴所求复数z＝2－2i.
【答案】 2－2i
2．(2013·连云港高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________．
【解析】 由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得
故x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
3．若a－b－2i＝1＋bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝________．
【解析】 ∴
∴a2＋b2＝5.
【答案】 5
4．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？
【解】 (1)z∈R时，m需满足解得m＝－3.
(2)z为虚数时，m需满足解得m≠1且m≠－3.
(3)z为纯虚数时，m需满足解得m＝0或m＝－2.
综上知，当m＝－3时，z∈R；当m≠1且m≠－3时，z是虚数；当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
一、填空题
1．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的____条件．
【解析】 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．
【解析】 ∴a＝－4.
【答案】 －4
3．(2013·张家港高二检测)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－1.
【答案】 －1
4．若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________．
【解析】 由z1＝z2，得a＝0，b＝2，∴a－b＝－2.
【答案】 －2
5．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则有下列结论：
①A∪B＝C；②?SA＝B；③A∩?SB＝?；④B∪?SB＝C.
其中正确的是________．
【解析】 ①显然错误；?SA＝{虚数}，故②错误；A∩?SB＝A，故③错误；④正确．
【答案】 ④
6．(2013·无锡市高二检测)设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的取值范围是________．
【解析】 a＋2i2＝a－2为正实数，
∴a－2＞0，则a＞2.
【答案】 (2，＋∞)
7．下列说法正确的个数是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，其中C为复数集，则必有
②2＋i＞1＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在．
【解析】 ①中，由y∈?CR，C为复数集知，y是虚数，则不成立，故①错误；
②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；
③中，对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数，若a＝－1，则(a＋1)i是0，不是纯虚数，故③错误；
④中，实数的虚部为0，故④错误．
【答案】 0
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
【解】 由纯虚数的定义知，
log2(m2－3m－3)＝0且log2(m－2)≠0.
∴解得m＝4.
10．(2013·徐州高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)0 ；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i?
【解】 (1)由可得m＝1；
(2)由可得m＝0；
(3)由可得m＝2；
综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z是2＋5i.
11．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，其中x，y∈R，求复数z＝y－xi.
【解】 由题意＝(3x＋2y)＋yi，
∴(3x＋2y)＋yi＝(x＋y)＋(x＋3)i(x，y∈R)．
由复数相等定义，得
解之得
∴复数z＝2＋i.
(教师用书独具)
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．
【自主解答】 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由两个复数相等的充要条件，得
解得或
∴实数k的值为±2.
(2013·常州高二检测)求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y值．其中x∈R，y是纯虚数．
【解】 设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得因此x＝－，y＝4i.
3．2复数的四则运算
第1课时 复数的加法、减法、乘法运算
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解复数代数形式的加法、减法与乘法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法、乘法运算．
2．过程与方法
渗透转化思想，经历探究过程，提高数学运算能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神，并且通过探究学习，培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．
●重点难点
重点：复数代数形式的加法、减法、乘法运算．
难点：复数减法、乘法运算与算法的理解．
复数的加(减)法、乘法运算法则均是作为“规定”给出的，在教学中，引导学生领会这样处理的合理性，加深对运算法则的理解．为了突破难点，类比实数的减法、类比多项式的合并同类项与乘法，减少不必要的公式记忆，减少运算错误．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数加法、减法法则的教学
类比多项式的合并同类项，应用复数的加法、减法法则的关键是确定复数的实部和虚部，然后是复数实部与实部，虚部与虚部的加、减运算，要正确运用法则．
2．关于复数乘法运算的教学
类比多项式的乘法法则，但要把i2化为－1，明确实数系的乘法公式在复数系仍然成立，不仅可以简化运算，而且为引出共轭复数提供实例支持，为进一步学习复数的除法做点准备．
●教学流程
创设问题情境，结合知识点1，2中的问题给出复数加(减)、乘法法则和共轭复数的定义，明确运算律．?????
课标解读
1.掌握复数代数形式的加减运算(重点)．
2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算(重点、难点)．
3．掌握共轭复数的概念及应用(易错点).
复数的加减法
【问题导思】
1．已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．复数的加法满足交换律和结合律吗？
【提示】 满足．
2．若复数的z1，z2满足z1－z2＞0，能得到z1＞z2吗？
【提示】 不能，如(2＋i)－i＞0，但2＋i与i不能比较大小．
1．复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
(2)加法法则：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，减法法则：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2．运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
复数的乘法与共轭复数
【问题导思】
1．复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？
【提示】 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数
形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．
2．复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．
【提示】 两复数实部相等，虚部互为相反数；z1·z2＝a2＋b2，积为实数．
3．是否存在复数z，使z＝z?
【提示】 存在，当z∈R时，z＝z.
1．复数的乘法
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
2.共轭复数
(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数是z＝a－bi．
(2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数?a＝c且b＝－d．
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝z，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．
复数的加法、减法运算
已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．
设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.
【思路探究】 着眼于(1)复数的加减运算法则，(2)复数相等的充要条件．
【自主解答】 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
1．复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．
2．把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【解】 (1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.
(2)由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.
复数的乘法运算
(1)若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________．
(2)(2012·重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．
【思路探究】 利用复数乘法及复数相等的充要条件．
【自主解答】 (1)∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i，
∵(m2＋i)(1＋mi)是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.
(2)∵a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3.∴a＋b＝4.
【答案】 (1)－1 (2)4
1．复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件，求a，b.
2．三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(1)设a∈R，且(a＋i)2·i为正数，则a＝________．
(2)(2012·山东高考改编)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝________．
【解析】 (1)∵(a＋i)2·i＝[(a2－1)＋2ai]i
＝－2a＋(a2－1)i.
依题意－2a＞0且a2－1＝0，∴a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z(2－i)＝(x＋yi)(2－i)＝(2x＋y)＋(2y－x)i.
从而2x＋y＋(2y－x)i＝11＋7i，
∴2x＋y＝11且2y－x＝7，从而x＝3且y＝5，
故z＝3＋5i.
【答案】 (1)－1 (2)3＋5i
共轭复数的概念
复数z满足z·z＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．
【思路探究】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，要求z，关键在于求x，y.根据共轭复数的性质、复数相等的充要条件，把复数的代数运算转化为实数运算．
【自主解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.
∵z·z＋2iz＝4＋2i，
∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i.
得
解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
因此z的共轭复数z＝1－3i或z＝1＋i.
1．有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：(1)设z＝a＋bi，则z·z＝a2＋b2；(2)z∈R?z＝z.
2．紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i”，试求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.
∵3z＋(z－2)i＝2z－(1＋z)i，
∴3(a＋bi)＋(a－2－bi)i
＝2(a－bi)－(1＋a＋bi)i，
∴3a＋b＋(3b＋a－2)i
＝2a＋b－(2b＋a＋1)i，
∴
解之得a＝0且b＝.
故所求的复数z＝i.
转化思想在复数求解中的应用
(满分14分)已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
【思路点拨】 根据共轭复数的概念，设出z和z的代数形式，然后代入所给等式，利用两个复数相等的充要条件求解．
【规范解答】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R).2分
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，6分
则有
解得或12分
所以z＝－1或z＝－1＋3i.14分
1．运用共轭复数的概念与复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．正确熟练地进行复数运算是解题的基础．
2．求解复数问题，一般设出复数的代数形式，利用有关概念和性质，将复数问题转化为实数问题，复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法．
1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如，(3－2i)＋2i＝3.
3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．
4．理解共轭复数的性质：
(1)z∈R?z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．
1．(2013·浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)·(2－i)＝________．
【解析】 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.
【答案】 －1＋3i
2．(2013·徐州高二检测)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则zz－z－1＝________．
【解析】 ∵z＝1＋i，∴z＝1－i，
∴z·z＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
【答案】 －i
3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．
【解析】 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，
由复数相等定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.
【答案】 －1＋10i
4．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)．
【解】 (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.
(2)原式＝[(－＋i2)＋(－)i](1＋i)
＝(－＋i)(1＋i)＝－－i＋i－
＝－＋i.
一、填空题
1．(2013·无锡高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．
【解析】 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________．
【解析】 (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，
令2－b＝0且2b＋1≠0，
∴b＝2.
【答案】 2
3．(2013·常州高二检测)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i
∴－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，
由复数相等定义，a＋1＝2且b＝3，∴a＝1.
即z的实部为1.
【答案】 1
4．(2012·湖南高考改编)复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________．
【解析】 ∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴z的共轭复数是z＝－1－i.
【答案】 －1－i
5．设f(z)＝z，若z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝________．
【解析】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝3＋4i－(－2－i)＝5＋5i，
∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
【答案】 5＋5i
6．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
【解析】 ∵z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai，
∴(－a2)－ai＝－i(a∈R)，
则∴a＝.
【答案】
7．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．
【解析】 z2＝t－i，z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，
∴4t－3＝0，∴t＝.
【答案】
8．已知＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
【解析】 (－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.
【答案】 2＋2i
二、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
【解】 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a－b－1)i＝4.
∴解得
∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.
10．已知z－1＋2zi＝－4＋4i，求复数z.
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入z－1＋2zi＝－4＋4i整理，得(x－2y－1)＋(2x＋y)i＝－4＋4i，
故有解得
所以复数z＝1＋2i.
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴
解之得
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
(教师用书独具)
已知复数z＝1＋i，实数a，b满足az＋2bz＝(a＋2z)2成立，求a，b的值．
【自主解答】 az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，
∴(a＋2b)＋(a－2b)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∴
解得
或
∴所求实数a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
已知复数z1满足z1－2＝(1＋i)·i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2的值．
【解】 由z1－2＝(1＋i)·i＝(1＋i)(－i)＝1－i，
∴z1＝2＋(1－i)＝3－i，
∵z2的虚部为2.∴可设z2＝a＋2i(a∈R)．
则z1·z2＝(3－i)(a＋2i)＝(3a＋2)＋(6－a)i为实数．
∴6－a＝0，即a＝6，因此z2＝6＋2i.
第2课时 复数的乘方与除法运算
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握复数的代数形式的乘方与除法运算法则，理解in(n∈N*)的周期性．
2．过程与方法
通过复数除法的运算过程理解复数的除法运算实质是分母实数化问题．
3．情感、态度与价值观
通过对复数除法法则合理性的探究，让学生用联系的观点看问题，培养学生的探索精神．
●重点难点
重点：复数代数形式的乘方与除法运算．
难点：复数除法运算及应用．
为了突出重点，突破难点，将复数的除法作为乘法的逆运算，让学生相互交流，研讨得出除法运算法则；同时充分运用类比思想，将复数的除法与实数除法类比，复数的除法与根式除法的有理化类比．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复数代数形式的乘方、除法运算法则的教学
教学时，建议教师采取类比的方法进行教学：类比多项式乘方进行复数乘方运算教学(但i2要化为－1)，类比根式除法的分母有理化进行复数除法运算教学(利用分数的基本性质，把分子分母同乘以分母的共轭复数转化成复数乘法进行运算)．
2．关于虚数单位i的幂的周期性的教学
教学时，建议教师对i的幂的周期性加以归纳，对它的考查常和数列相结合，其周期是4，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．同时注意(1±i)2＝±2i，＝－i，＝i在简化运算中的应用．
●教学流程
?????
课标解读
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立(重点)．
2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算(重点、难点)．
3．了解i幂的周期性(易错点).
复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
【问题导思】
1．若z∈C，则z2＝z2正确吗？
【提示】 不正确．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，z2＝a2－b2－2abi.
2．计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值是什么规律吗？
【提示】 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
1．复数范围内正整数指数幂的运算性质
设对任何z∈C及m，n∈N*，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz.
2．虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．
复数的除法
【问题导思】
如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
【提示】 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘c－di，化简后可得结果．
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商，且x＋yi＝＝＋i．
i的运算特征
计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 012＋i2 013；
(2)(1－)2 014＋(1－i)2 014.
【思路探究】 (1)由等比数列求和公式与i的周期性，(2)注意到(1±i)2＝±2i，再利用复数乘方的运算律．
【自主解答】 (1)1＋i＋i2＋…＋i2 012＋i2 013＝＝＝1＋i.
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴(1－)2 014＋(1－i)2 014
＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.
1．虚数单位i的性质：
①i4n＋3＝－i，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1(n∈N*)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
2．复数的乘方运算，要充分适用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．
计算i2 006＋(＋i)8－()50.
【解】 i2 006＋(＋i)8－()50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[]25
＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.
复数的除法
(1)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________．
(2)(2012·课标全国卷改编)复数z＝的共轭复数是________
【思路探究】 运用复数乘除运算法则与共轭复数的概念．
【自主解答】 (1)＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝1＋i.
(2)∵z＝＝＝＝－1＋i.
∴z的共轭复数z＝－1－i.
【答案】 (1)1＋i (2)－1－i
1．这类问题求解的关键在于“分母实数化”，类似于根式除法的分母“有理化”．
2．复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．
(1)设i是虚数单位，则等于________．
(2)复数z满足(1＋2i)·z＝4＋3i，则z＝________．
【解析】 (1)∵＝＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.
(2)∵z＝＝＝＝2－i，
∴复数z＝2－i＝2＋i.
【答案】 (1)－1 (2)2＋i
复数四则运算的综合应用
计算：
(1)＋(5＋i2)－()2；
(2).
【思路探究】 解答较为复杂的复数相乘、除时，一方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
【自主解答】 (1)＋(5＋i2)－()2
＝＋(5－1)－
＝i＋4－i＝4.
(2)原式＝
＝
＝＝·(2i)2·i
＝－4i.
1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用：
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；(2)记住一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
计算：(1)＋(－－)6；
(2)＋()2＋.
【解】 (1)原式＝＋i6(－＋i)6
＝i＋i2＝i－1.
(2)原式＝＋＋
＝i＋＋
＝i＋(－i)＋0＝0.
复数集中错用判别式导致错误
已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求实数k的值构成的集合．
【错解】 ∵方程有实根，
∴Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)＝k2－12≥0，
∴k≥2或k≤－2，
∴实数k的值构成的集合为(－∞，－2)∪[2，＋∞)．
【错因分析】 错解忽略了根据判别式与0的大小关系确定方程有无实根的适用范围是在实系数范围内．
【防范措施】 1.数集扩充后，在实数集中的性质、运算切忌盲目推广到复数集，有些结论不一定成立．
2．设出实根x0，利用复数的代数运算和复数相等的定义，实施复数问题实数化．
【正解】 设x＝x0为方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0的实根，
代入整理后得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件得
解得
或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
∴k的值构成的集合为{－2，2}．
1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用in的同期性．此外，实数运算中的平方差公式、两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．
2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝i(a＋bi)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．
3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现和“i2＝1”，“i4＝－1”等错误．
1．(2012·广东高考改编)设i为虚数单位，则复数＝________．
【解析】 ＝＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i.
【答案】 －6－5i
2．复数＝________．
【解析】 原式＝＝
＝－－i.
【答案】 －－i
3．设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2·…·i12，则z1·z2＝________．
【解析】 z1＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i9＋i10＋i11)
＝0＋0－1＝－1.
z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，
∴z1z2＝1.
【答案】 1
4．(1)若＝－i，求实数a的值．
(2)若复数z＝，求z＋3i.
【解】 (1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－.
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴z＝－1－i，
∴z＋3i＝－1＋2i.
一、填空题
1．复数＋i3＝________．
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.
【答案】 0
2．(2012·四川高考改编)复数＝________．
【解析】 z＝＝－1.
【答案】 －1
3．(2012·浙江高考改编)已知i是虚数单位，则＝________．
【解析】 ＝＝＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
4．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，对于虚数单位i，α(i)＝________．
【解析】 α(i)表示in＝1的最小正整数n，
又i4k＝1(k∈N*)，显然n＝4，即α(i)＝4.
【答案】 4
5．(2013·连云港高二检测)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________．
【解析】 ＝＝，
由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.
【答案】 2
6．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
【解析】 z2＝(－)2＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.
【答案】 －i
7．(2012·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
【解析】 ∵＝＝(25＋15i)＝5＋3i，
∴a＝5，b＝3.
∴a＋b＝5＋3＝8.
【答案】 8
8．设z的共轭复数为z，若z＋z＝4，z·z＝8，则＝________．
【解析】 z＝a＋bi，a，b∈R，
z＝a－bi.
依题设z＋z＝2a＝4，a＝2.
z·z＝a2＋b2＝8，则b＝±2.
∴＝＝(2±2i)2＝±i.
【答案】 ±i
二、解答题
9．计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 [(1＋2i)·i100＋()5]2－()20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10.
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
10．已知z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a，b的值．
【解】 由z＝1＋i，有
＝
＝＝(a＋2)－(a＋b)i，
由已知(a＋2)－(a＋b)i＝1－i.
∴即
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解】 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝＋2＝2－i.
由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，
∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
(教师用书独具)
满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
【自主解答】 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)．
则z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋(y－)i.
由已知得∵y≠0，∴
解得或
∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．
复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
【解】 ＝
＝＝＝1－i.
∵a是纯虚数，设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋
＝－2i＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i＜0，
∴得m＝4，∴a＝4i.
3．3复数的几何意义
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握复数的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系，会求复数的模，理解复数加减法的几何意义．
2．过程与方法
让学生经历探究学习的过程，结合问题引导，提高学生的数学探究能力，理解对应与运动变化的观点．
3．情感、态度与价值观
通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育，体会数形结合的思想方法．
●重点难点
重点：复数的两个几何意义及应用，复数加减法的几何意义．
难点：复数的两个几何意义及应用，复数的模及其数形结合在最值求解中的应用．
为了突出重点、突破难点，一定要注意类比，充分运用几何直观，降低理解难度，建立知识之间的横向联系，形成知识架构．
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于复平面内的点、平面向量和复数之间关系的教学
注意类比，类比有序实数对，平面内的点和平面向量间的关系，沟通知识间的横向联系，重视几何直观，作出复数所对应的几何图形，通过数形结合，使问题变得直观、简捷、易解．
2．关于复数模的教学
教学时建议教师类比实数的绝对值、平面向量的模的概念来引导学生掌握复数的模的概念．
3．关于复数加、减法的几何意义的教学
教学时，建议教师在明确复数的几何意义基础上，进而将复数的加、减运算转化成对应向量的加、减运算．注重方法介绍，难度不宜过大．
●教学流程
??????
课标解读
1.了解复数的几何意义，并能简单应用(重点)．
2．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系(易错点)．
3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义(重点、难点).
复数的几何意义
【问题导思】
复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)、向量三者有何关系？
【提示】 复数z＝a＋bi，可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，也可以用向量来表示，三者的关系是一一对应的．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)一一对应向量．
复数的模及意义
1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记为|z|.
2．公式：|z|＝．
3．几何意义：复数z对应点Z到原点O的距离．
复数加减法的几何意义
【问题导思】
类比绝对值|x－x0|的几何意义，说明|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义．
【提示】 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
图3－3－1
复数加减法的几何意义
(1)如图3－3－1所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线．以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2.
则向量与复数z1＋z2相对应；向量与复数z1－z2相对应．
(2)|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
复数的几何意义
在复平面上，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
【思路探究】 (1)由复数与点的对应关系，根据中点坐标公式，求D点坐标．(2)由复数的向量表示，根据向量运算，求对应的复数．
【自主解答】 法一 设点D对应复数为x＋yi(x，y∈R)，
∵复数i，1，4＋2i的对应点分别为A，B，C，
∴A(0，1)，B(1，0)，C(4，2)，D(x，y)．
设?ABCD的对角线的交点为E，则E为AC与BD的中点．
∴∴
故D点对应的复数为3＋3i.
法二 由复数的向量表示知：
＝(0，1)，＝(1，0)，＝(4，2)，
在?ABCD中，＝＝－＝(3，2)，
∴＝＋＝(3，3)，
因此点D对应的复数为3＋3i.
复数可由复平面内的点或向量进行表示：
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
(2013·济南高二检测)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
(1)若点Z在虚轴上，求m的值；
(2)若点Z位于第一象限，求m的取值范围．
【解】 z＝＝＝＋i.
(1)∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝－2.
(2)点Z位于第一象限，则m＋2＞0且1－2m＞0，
解之得－2＜m＜.
故实数m的取值范围是(－2，)．
复数的模及其几何意义
已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小．
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
【思路探究】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件．
【自主解答】 (1)由复数模的定义：
|z1|＝|－i|＝2，|z2|＝|－＋i|＝1.
∴|z1|＞|z2|.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，复数的模可以比较大小．
2．复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
(1)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，求|z|的取值范围；
(2)若|z′|的取值范围是(1)中所求，则复数z′对应的点Z的集合是什么图形．
【解】 (1)由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可得|z|＝.
因为0＜a＜2，所以1＜a2＋1＜5.
故1＜|z|＝＜.
即|z|的取值范围是(1，)．
(2)由(1)知1＜|z′|＜，易得满足条件1＜|z′|＜的点Z的集合是以原点为圆心、分别以1和为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图．
复数的加减法的几何意义
在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
【思路探究】 关键是求向量对应的复数，可从复数及其加减法的几何意义着手，转化为向量的坐标运算．
【自主解答】 由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋.
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1
＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z2－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．
2．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
本例条件改为：A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求顶点D对应的复数．
【解】 设点D对应的复数为x＋yi(x、y∈R)，则对应的复数为(x＋yi)－z1＝(x－1)＋(y－1)i，对应的复数为z3－z2＝－2＋2i.
又∵四边形ABCD为平行四边形，则＝，
∴(x－1)＋(y－1)i＝－2＋2i.
因此∴
故顶点D对应的复数为－1＋3i.
复平面上的点的轨迹认识不清致误
若复数为纯虚数，则复数z对应的复平面上的点Z的轨迹是什么？
【错解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)．
∵＝＝＝，又是纯虚数，
∴＝0，即x(x－1)＋y2＝0.
化简，得(x－)2＋y2＝.
∴所求的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
【错因分析】 对于是纯虚数，y应满足y≠0，忽视复数z中x，y的取值范围，导致增解．
【防范措施】 要抓住两点：(1)注意复数z的实部与虚部的取值范围；(2)注意挖掘题目中的隐含条件，保证等价转化．
【正解】 根据题意，设＝bi(b≠0，b∈R)，
则z＝zbi－bi，∴z＝.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
∵b≠0，∴x≠0，y≠0.
①÷②，得＝－b.③
把③代入②得y＝，
整理，得(x－)2＋y2＝，
即复数z对应复平面上的点Z的轨迹是以(，0)为圆心，以为半径的圆，且不包括点(0，0)和(1，0)．
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
3．复数加减法的几何意义
(1)根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．
(2)利用复数减法的几何意义，要特别注意z2－z1所对应的向量是，而不是(或)．
1．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
【解析】 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
【答案】 5
2．(2013·南京高二检测)复数z＝－1在复平面内，z所对应的点在第________象限．
【解析】 z＝－1＝i－1，
∴复数z对应的点为(－1，1)在第二象限．
【答案】 二
3．若，对应的复数分别是7＋i，3－2i，则||＝________．
【解析】 对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，
∴||＝|－4－3i|＝＝5.
【答案】 5
4．已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量、(O为原点)，若向量对应的复数为纯虚数，求a的值．
【解】 ∵＝－，
∴对应的复数为(a－1)＋(a2＋2a－1)i－[(a2－3)＋(a＋5)i]＝－(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i.
∵对应的复数为纯虚数，
∴解得a＝－1.
一、填空题
1．(2013·潍坊高二检测)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
【解析】 ∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6，5)，B(－2，3)．
∴中点C(2，4)，其对应复数2＋4i.
【答案】 2＋4i
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________．
【解析】 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数，
∴∴m＝2，
∴z＝3i，∴|z|＝＝3.
【答案】 3
3．已知复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝________．
【解析】 依题意，a2＋1＝4＋1，∴a＝±2.
【答案】 ±2
4．(2013·湖南高考改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)位于第________象限．
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1，1)，该点位于第二象限．
【答案】 二
5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝y－x＋(2x－y)i.
根据复数相等的定义，得
解得∴x＋y＝5.
【答案】 5
6．设z为纯虚数，且|z－1－i|＝1，则z＝________．
【解析】 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则
|z－1－i|＝|(b－1)i－1|，
∴(b－1)2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i.
【答案】 i
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么对应的复数为________．
【解析】 由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
8．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1>0，∴|z|－3＝0，则|z|＝3.故x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
二、解答题
9．(2013·扬州高二检测)已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
【解】 (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3＜a＜0.
故当a∈(－3，0)时，z2对应的点在第一象限．
10．(2013·南京高二检测)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则?z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为
zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形．
(教师用书独具)
已知a∈R，求复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i在复平面内对应的点在第几象限？对应点的轨迹是什么？
【自主解答】 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数，
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，
∴复数z在复平面内对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．
已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，(z)2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，
∴?
或
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，(z)2＝－2i，z－z2＝1－i，则A(1，1)，B(0，－2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝·2·1＝1.
当z＝－1－i时，(z)2＝－2i，z－z2＝－1－3i，
则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝·2·1＝1.
(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1，1)在第一象限，|z|＝，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1.
则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1，1)为圆心，1为半径的圆，
所以，|m|min＝－1，|m|max＝＋1.
复数的有关概念
复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、共轭复数及复数的模、复数相等等知识点，其中，复数的分类及复数的相等是本节考查的热点内容，特别是复数分类中“纯虚数”的条件是学习的难点和易错点，学习时应引起足够的重视．
设z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，求m取何值时，
(1)z是纯虚数；
(2)z是实数．
【思路点拨】 根据复数的分类列方程(组)求解．
【规范解答】 (1)由
即
解得
∴当m＝3时，z是纯虚数．
(2)由
得
∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数．
实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数；
(4)是0.
【解】 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
(4)当即k＝－1时，该复数为0.
复数代数形式的四则运算
复数的代数运算是本章的核心，包括加、减、乘、除四种运算．常同复数的有关概念和几何意义有机的结合起来命题．学习该部分知识时，尤其应注意除法运算及虚数单位i的周期性．
(2013·广东高考改编)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是________．
【思路点拨】 先求出x＋yi，再求模．
【规范解答】 法一 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法三 因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
【答案】 5
已知(1＋2i)z＝4＋3i，则的值为________．
【解析】 因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
【答案】 ＋i
复数及运算的几何意义
复数的几何意义包括两个方面：复数的表示(点和向量)、复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
图3－1
若i为虚数单位，如图3－1所示复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．
【思路点拨】 根据图形观察Z点的坐标，则复数z易得，根据复数的四则运算求出，则它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定．
【规范解答】 由图示可知，z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴该复数在复平面内对应的点的坐标是(2，－1)，即点H.
【答案】 H
已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
【解】 (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴
解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝＝.
∴sin B＝＝，
∴S?ABCD＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
【思路点拨】 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
【规范解答】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝(x＋)＋(y－)i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝(x－)＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，
代入x2＋y2＝1中，
求出y＝±，
∴复数z＝±i.
设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
【解】 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i.
∴z1＋z2＝(－2)＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i，
∵z1＋z2是虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m≠－2，∴m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
即m的取值范围是
{m|m≠5，m≠－3且m≠－2}．
综合检测(三)
第3章 数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．(2012·福建高考改编)若复数z满足zi＝1－i，则z＝________．
【解析】 法一 由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i.
法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，
得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.
由复数相等的充要条件得即
∴z＝－1－i.
【答案】 －1－i
2．在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限．
【解析】 ∵z＝i(1＋3i)＝i＋3i2＝－3＋i，
∴复数z对应的点为(－3，1)在第二象限．
【答案】 二
3．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________．
【解析】 (x－i)i＝xi＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.
∴x＋yi＝2＋i.
【答案】 2＋i
4．若z＝a－i(a∈R且a＞0)的模为，则复数z的共轭复数z＝________．
【解析】 ∵＝，且a＞0，
∴a＝1，则z＝1－i，∴z＝1＋i.
【答案】 1＋i
5．若复数3－5i，1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝________．
【解析】 三个复数对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，根据三点共线，可得a＝5.
【答案】 5
6．设i为虚数单位，则＋＋＋＝________．
【解析】 ＋＋＋＝－i－1＋i＋1＝0.
【答案】 0
7．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________．
【解析】 |z|＝
＝
∵－2≤m≤1，∴m＝1时，|z|max＝5.
【答案】 5
8．(2013·青岛高二检测)i是虚数单位，则()4＝________．
【解析】 ()4＝[]2＝()2＝1.
【答案】 1
9．(2013·盐城高二检测)在复平面内，对应的复数是2＋i，对应的复数是－1－3i.则对应的复数为________．
【解析】 ∵对应复数－2－i，对应复数－1－3i，
∴对应复数－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
【答案】 －3－4i
10．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则＝________．
【解析】 ∵z＝a－2＋3i(a∈R)是纯虚数，
∴a＝2，
∴＝＝＝－i.
【答案】 －i
11．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为________．
【解析】 复数－2－i对应点A(－2，－1)，
点A关于直线y＝－x的对称点为B(1，2)，
∴对应的复数为1＋2i.
【答案】 1＋2i
12．(2012·课标全国卷改编)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为________．
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵z＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
【答案】 p2，p4
13．已知z＝1－i，则＝________．
【解析】 ＝＝＝－2i.
【答案】 －2i
14．已知复数z＝，则|z|＝________．
【解析】 z＝＝
＝＝－＋i，则|z|＝＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是
(1)实数；(2)纯虚数？
【解】 ∵z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)∵z∈R且m∈R，
∴m2－3m＋2＝0，
解得m＝1或m＝2.
即当m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)由z是纯虚数
得
得m＝－.
故当m＝－时，z为纯虚数．
16．(本小题满分14分)(2013·常州高二检测)计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 原式＝[(1＋2i)i4×25＋()5]2－[]10
＝[1＋2i＋(－i)5]2－i10＝(1＋2i－i)2－i2
＝(1＋i)2＋1＝1＋2i.
17．(本小题满分14分)已知z＝，
(1)求|z|；
(2)若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
【解】 (1)z＝＝＝
＝＝1－i.
∴|z|＝.
(2)把z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
得：a＋b－(2＋a)i＝1＋i，
∴
解得
所以实数a，b的值分别为－3，4.
18．(本小题满分16分)(2013·徐州高二检测)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝，求复数w的模|w|.
【解】 (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)z是纯虚数，
∴3－3b＝0且9＋b≠0，
则b＝1，
从而z＝3＋i.
(2)w＝＝＝＝－i.
∴|w|＝＝.
19．(本小题满分16分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
【解】 (1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos 2θ－1)＝－1－2sin2θ·i.
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，
∴θ＝或θ＝π.
20．(本小题满分16分)已知z是复数，z＋2i与均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵z＋2i＝x＋(2＋y)i∈R，
∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由题意，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
且(z＋ai)2对应点在第一象限，a∈R.
∴
解之得2
故实数a的取值范围是(2，6)．
模块高考热点透视
第1章 导数及其应用
导数的几何意义及运算
【命题趋势】 从近年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程，导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．
(教材第26页习题1.2第7题)
已知函数f(x)＝sin x＋cos x，x∈(0，2π)．
(1)求x0，使f′(x0)＝0；
(2)解释(1)中x0及f′(x0)的意义．
1．(2012·课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．
【命题意图】 本题主要考查求导公式，导数的运算法则，以及运用导数的几何意义求切线方程．
【解析】 ∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，
∴k＝y′|x＝1＝4，
∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
【答案】 y＝4x－3
2．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．
【命题意图】 本题主要考查函数解析式的求法及导数的计算．
【解析】 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.
【答案】 2
1．(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________．
【解析】 函数y＝kx＋ln x的导函数为y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.
【答案】 －1
2．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
【解析】 因为y＝x2，所以y′＝x，易知P(4，8)，Q(－2，2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，
将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
【答案】 －4
利用导数研究函数的单调性
【命题趋势】 利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．
(教材第34页习题1.3第2题)
确定下列函数的单调区间：
(1)y＝－4x＋2；(2)y＝xln x；
(3)y＝sin x＋cos x；(4)y＝x2(x－3)．
(2012·山东高考)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【命题意图】 本题主要考查导数运算、导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，以及计算与数学推理能力．
【解】 (1)由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0，1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2013·重庆高考)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0，6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
利用导数研究函数的极值与最值
【命题趋势】 利用导数研究函数的极(最)值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性、函数图象的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等．本部分内容是高考的重点和热点．在高考试题中，既有选择题、填空题的形式，也有解答题的形式．基本上是中档或中档偏难题目．
(教材第34页习题1.3第4题)
求下列函数在所给区间上的最大值和最小值：
(1)y＝x3－3x，x∈[0，3]；(2)y＝，x∈[0，2]；
(3)y＝x－cos x，x∈[－，]．
1．(2013·浙江高考改编)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则下列正确结论的序号是________．
①当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
②当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
③当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
④当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
【命题意图】 本题主要考查导数公式及导数的四则运算，考查极值的判定方法．
【解析】 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，
所以f(1)不是极值．
当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，
则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
所以f′(1)＝0，且当x＞1时，f′(x)＞0；在x＝1附近的左侧，f′(x)＜0，所以f(1)是极小值．
【答案】 ③
2．(2012·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值．
【命题意图】 主要考查利用导数研究函数的最值、极值等性质，考查分析和解决数学问题的基本能力．
【解】 (1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2，2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.
1．(2013·安徽高考改编)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是________．
【解析】 因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，所以f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，所以x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根．所以解关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0得f(x)＝x1或f(x)＝x2.不妨设x1＜x2，由题意知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．又f(x1)＝x1＜x2，如图，数形结合可知f(x)＝x1有两个不同实根，f(x)＝x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.
【答案】 3
2．(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．第2章 推理与证明
合情推理与演绎推理
【命题趋势】 归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．
(教材第81页习题2.1第1题、第2题)
1．观察下列等式，从中归纳出一般性法则：
(1)16＝42，1 156＝342，111 556＝3342，11 115 556＝3 3342，…
(2)1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…
图1
2．如图1，四边形ABCD和EFGH都是边长为a的正方形，将点E固定于正方形ABCD的中心，并以点E为旋转中心旋转正方形EFGH，试问：在转动过程中，两个正方形重叠部分的面积(图中阴影部分)发生什么变化？
1．(2013·陕西高考)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……
照此规律，第n个等式可为________．
【命题意图】 本题考查归纳推理，考查数学猜想与推理能力．
【解析】 从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
【答案】 (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
2．(2011·广东高考改编)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有________．
【命题意图】 本题考查正五棱柱对角线的定义，空间想象能力和演绎推理能力．
【解析】 如图所示，在正五棱柱ABCDE—A1B1C1D1E1中，顶点A与顶点D1，C1不同在任何侧面且不同在任何底面，
所以AD1，AC1是正五棱柱ABCDE—A1B1C1D1E1的对角线．
同理可得BD1，BE1，CE1，CA1，DA1，DB1，EB1，EC1都是正五棱柱ABCDE—A1B1C1D1E1的对角线，
综上可得：一个正五棱柱的对角线共有10条．
【答案】 10
1．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n，3)＝n2＋n，
正方形数 N(n，4)＝n2，
五边形数 N(n，5)＝n2－n，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．
【解析】 由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n.故N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.
【答案】 1 000
2．(2013·宁波检测)在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R为________．
【解析】 由二维到三维空间，圆类比球，圆与三角形的三边相切，则球面与三棱锥的四个面相切．
∴由r＝类比得R＝(可用割补法证明)．
【答案】
直接证明与间接证明
【命题趋势】 近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，三角恒等式、立体几何中的平行、垂直、不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中、高档．
(教材第102页复习题第9题)
观察下列算式，猜测一般性结论，并加以证明．
1＝1，
3＋5＝8，
7＋9＋11＝27，
13＋15＋17＋19＝64，
21＋23＋25＋27＋29＝125，
… …
1．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【命题意图】 本题考查归纳推理(由特殊到一般)，以及分析证明数学问题的能力，考查转化化归的数学思想方法．
【解】 法一 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二 (1)同法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
2．(2012·江苏高考改编)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N*，bn＋1＝·，n∈N*，且{an}是等比数列，求证：an＝a1，n∈N*.
【命题意图】 本题以数列为背景考查反证法在证明题中的应用，考查推理论证能力和运算求解能力．
【证明】 ∵an＞0，bn＞0，
∴≤a＋b＜(an＋bn)2，
∴1＜an＋1＝≤.(*)
设等比数列{an}的公比为q，由an＞0知q＞0，下面用反证法证明q＝1；
若q＞1，则a1＝＜a2≤，∴当n＞logq时，an＋1＝a1qn＞，与(*)矛盾；
若0＜q＜1，则a1＝＞a2＞1，∴当n＞logq时，an＋1＝a1qn＜1，与(*)矛盾．
综上所述，q＝1，从而an＝a1，n∈N*.
图2
1．(2013·济宁检测)如图2所示，在四面体中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点，求证：
(1)直线EF∥面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
【证明】 (1)∵E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥AD，
∵EF?面ACD，AD?面ACD，
∴直线EF∥面ACD.
(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，
∴EF⊥BD.
∵CB＝CD，F是BD的中点，则CF⊥BD.
又EF∩CF＝F，
∴BD⊥面EFC，
∵BD?面BCD，
∴面EFC⊥面BCD.
2．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明直线l1与l2相交；
(2)试证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
【证明】 (1)假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为直线l1，l2的斜率，则有k1＝k2，
代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2无实数解，
这与已知k2为实数矛盾，
因此k1≠k2，则直线l1与l2相交．
(2)法一 由方程组解得交点P的坐标为(，，
又2x2＋y2＝2()2＋()2
＝＝＝1，
此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
法二 交点P的坐标(x，y)满足
故知x≠0.
∴k1＝，且k2＝，
代入k1k2＋2＝0，得·＋2＝0.
整理后，得2x2＋y2＝1，
所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．
第3章 数系的扩充与复数的引入
复数的概念与运算
【命题趋势】 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查复数的概念的理解以及复数的代数四则运算
(教材第118页习题3.2第5题)
已知复数z0＝3＋2i，且复数z满足z·z0＝3z＋z0，求复数z.
1．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
【命题意图】 本题主要考查复数的四则运算及复数模的概念，考查计算求解能力．
【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，
∴z的虚部为.
【答案】
2．(2012·江西高考改编)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为________．
【命题意图】 本题主要考查共轭复数的概念及复数的代数形式的加、减、乘法运算．
【解析】 ∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.则z2＋z2的虚部为0.
【答案】 0
1．(2013·北京高考改编)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限．
【解析】 ∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，
∴复数(2－i)2在复平面内对应点的坐标为(3，－4)，
对应的点位于复平面内第四象限．
【答案】 四
2．(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________．
【解析】 设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.
根据复数相等的充要条件得解得
∴z＝－1＋i.
【答案】 －1＋i
模块学习评价
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中的横线上)
1．(2013·重庆高考)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．
【解析】 |z|＝＝
＝|i＋2|＝.
【答案】
2．若f(x)＝sin α－cos x(α是常数)，则f′(α)＝________．
【解析】 f′(x)＝(sin α－cos x)′＝sin x，
∴f′(α)＝sin α.
【答案】 sin α
3．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．
【答案】 a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．
【解析】 f′(x)＝2x－2－>0，>0.
∵x>0，
∴(x－2)(x＋1)>0.
∴x>2.
【答案】 (2，＋∞)
5．复平面上三点A，B，C分别对应复数1，2i，5＋2i，则△ABC是________三角形．
【解析】 |AB|＝，|BC|＝5，|AC|＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2故为直角三角形．
【答案】 直角
6．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________．
【解析】 由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，
解得a＝1，b＝2，
故a＋bi＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
7．如图1(1)中，小正方体的个数为1，图(2)中，小正方体的个数为6，图(3)中，小正方体的个数为15，依此规律堆积，则第6个图形中小正方体的个数为________．
(1) (2) (3)
图1
【解析】 a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，…，an－an－1＝4×(n－1)＋1，
累加得an－a1＝4×＋(n－1)，
即an＝2n2－n，a6＝66.
【答案】 66
8．(2013·杭州高二检测)函数y＝ln x(x＞0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于________．
【解析】 y′＝(ln x)′＝(x＞0)，
又y＝ln x的图象与直线y＝x＋a相切，
∴＝，∴x＝2，
因此，切点P(2，ln 2)在直线y＝x＋a上，
∴ln 2＝1＋a，∴a＝ln 2－1.
【答案】 ln 2－1
9．(2013·镇江高二检测)用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1，k∈N*)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
【解析】 令f(n)＝1＋＋＋…＋，
∴f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
因此应增加的项为＋＋…＋，共2k项．
【答案】 2k
10．下列推理：①留长头发的都是艺术家，小孙留了长头发，所以小孙也是艺术家；②因为a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，而a＝tan π＞1，所以y＝(tan π)x是增函数；③平行四边形的对角线互相平分，因为菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；④无理数都是实数，是实数，所以是无理数．其中错误命题的序号是________．
【解析】 ①中“留长头发的都是艺术家”不正确，大前提错误；②中0＜a＝tan π＝＜1，小前提错误；④中小前提中的特殊对象必须是大前提中一般对象的子集，正确的小前提应为“”是无理数；只有③的推理是正确的．①②④错误．
【答案】 ①②④
11．在边长分别为a，b，c的三角形ABC中，其内切圆半径为r，则该三角形面积为S＝(a＋b＋c)r，将这一结论类比到空间，有：________．
【答案】 在四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4的三棱锥中，其内切球的半径为r，则该三棱锥的体积是V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
12．(2013·南京高二检测)设函数f(x)＝＋ln x，则正确的序号是________．
(1)x＝为f(x)的极大值点；
(2)x＝为f(x)的极小值点；
(3)x＝2为f(x)的极大值点；
(4)x＝2为f(x)的极小值点．
【解析】 函数定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，
得x＝2.
当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数．
所以x＝2为函数f(x)的极小值点．
【答案】 (4)
13．(2013·无锡高二检测)对于两个复数：α＝＋i，β＝－i，有如下几个结论：
①在复平面内，α，β表示的点关于实轴对称；②α＝β2；③α2 010＋β2 010＝2；④α＞β.其中正确结论的序号为________．
【解析】 ①正确．因为α，β对应的点分别为(，)，(，－)，关于实轴对称．
②错误，α＝－i，β2＝(－i)2＝－－i，
∴α≠β2.
③正确，α3＝(＋i)3＝－1，β3＝(－i)3＝－1，∴α2 010＝(α3)670＝(－1)2＝1，β2 010＝(β3)670＝(－1)2＝1.
④错误，因为复数不能比较大小．
【答案】 ①③
14．设函数y＝f(x)可导，y＝f(x)的图象如图2所示，则导函数y＝f′(x)可能是后面四个图象中的________(填写序号)．
图2
【解析】 当x＜0时，f(x)递增，
∴f′(x)＞0.
当x＞0时，f(x)的图象先增，后减，再增．
∴y＝f′(x)的图象应为④.
【答案】 ④
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由|z|＝1＋3i－z得
＝1＋3i－a－bi.
从而
解得
∴复数z＝－4＋3i.
＝
＝＝3＋4i.
16．(本小题满分14分)已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的结论，并给出证明．
【解】 一般性结论为：
sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
证明：
左边＝＋＋
＝－[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)]
＝－(cos 2αcos 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°)
＝－[2cos 2α·(－)＋cos 2α]＝.
∴左边＝右边，故一般性结论成立．
17．(本小题满分14分)设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
【解】 (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知f′(1)＝f′(2)＝0，
∴
解方程组得
∴f(x)＝－ln x－x2＋x.
(2) 由(1)知，f′(x)＝－x－1－x＋1，
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数f(x)取得极大值－ln 2.
所以，x＝1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点．
18．(本小题满分16分)强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为3，试问；在连结两光源的线段AB上，距光源A为多少的点P处照度最小？
(注：照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比)
图3
【解】 点P在线段AB上，设P距光源A为x，则P距光源B为3－x(0＜x＜3)．P点受A光源的照度为，P点受B光源的照度为，其中k为比例常数．
从而，P点处的总照度为：I(x)＝＋(0＜x＜3)．
由I′(x)＝－＋
＝＝0.
解得：x＝2，
当0＜x＜2时，I′(x)＜0；
当2＜x＜3时，I′(x)＞0；
因此，x＝2时，I(x)取得极小值，且是最小值．
答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小．
19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，
得x＝±k.
当k＞0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
4k2e－1
?
0
?
所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．
当k＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4k2e－1
?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．
(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.
所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k＜0.
故对?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．
20．(本小题满分16分)等差数列{an}中，an＋1＞an(n∈N*)，a2，a4为方程x2－10x＋21＝0的两根，前n项和为Sn；等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋c(c为常数)．
(1)求c的值；
(2)证明：对任意n∈N*，Sn－Tn＜1.
【解】 (1)由Tn＝3n＋c，
得T1＝b1＝3＋c，
T2＝b1＋b2＝9＋c，T3＝b1＋b2＋b3＝27＋c.
∴b1＝3＋c，b2＝6，b3＝18.
又{bn}为等比数列，
∴b1＝3＋c＝2，∴c＝－1.
(2)证明 方程x2－10x＋21＝0的两根为3，7，
由an＋1＞an(n∈N*)知，a2＜a4，
∴a2＝3，a4＝7，
∴等差数列{an}的公差d＝＝＝2，
∴a1＝a2－d＝3－2＝1，
∴Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2.
要证Sn－Tn＜1，只要证明Sn＜Tn＋1，即n2＜3n
一、填空题
1．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的____条件．
【解析】 因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．
【解析】 ∴a＝－4.
【答案】 －4
3．(2013·张家港高二检测)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－1.
【答案】 －1
4．若复数z1＝a＋2i，z2＝bi，a，b均为实数，且z1＝z2，则a－b＝________．
【解析】 由z1＝z2，得a＝0，b＝2，∴a－b＝－2.
【答案】 －2
5．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则有下列结论：
①A∪B＝C；②?SA＝B；③A∩?SB＝?；④B∪?SB＝C.
其中正确的是________．
【解析】 ①显然错误；?SA＝{虚数}，故②错误；A∩?SB＝A，故③错误；④正确．
【答案】 ④
6．(2013·无锡市高二检测)设a∈R，且a＋2i2为正实数，则a的取值范围是________．
【解析】 a＋2i2＝a－2为正实数，
∴a－2＞0，则a＞2.
【答案】 (2，＋∞)
7．下列说法正确的个数是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，其中C为复数集，则必有
②2＋i＞1＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在．
【解析】 ①中，由y∈?CR，C为复数集知，y是虚数，则不成立，故①错误；
②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；
③中，对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数，若a＝－1，则(a＋1)i是0，不是纯虚数，故③错误；
④中，实数的虚部为0，故④错误．
【答案】 0
8．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的值为________．
【解析】 ∴x＝－2.
【答案】 －2
二、解答题
9．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
【解】 由纯虚数的定义知，
log2(m2－3m－3)＝0且log2(m－2)≠0.
∴解得m＝4.
10．(2013·徐州高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)0 ；(2)纯虚数；(3)z＝2＋5i?
【解】 (1)由可得m＝1；
(2)由可得m＝0；
(3)由可得m＝2；
综上：当m＝1时，复数z是0；当m＝0时，复数z是纯虚数；当m＝2时，复数z是2＋5i.
11．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，其中x，y∈R，求复数z＝y－xi.
【解】 由题意＝(3x＋2y)＋yi，
∴(3x＋2y)＋yi＝(x＋y)＋(x＋3)i(x，y∈R)．
由复数相等定义，得
解之得
∴复数z＝2＋i.
一、填空题
1．(2013·无锡高二检测)复数z满足z－(1－i)＝2i，则z等于________．
【解析】 ∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i.
【答案】 1＋i
2．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝________．
【解析】 (1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i，
令2－b＝0且2b＋1≠0，
∴b＝2.
【答案】 2
3．(2013·常州高二检测)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i
∴－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，
由复数相等定义，a＋1＝2且b＝3，∴a＝1.
即z的实部为1.
【答案】 1
4．(2012·湖南高考改编)复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是________．
【解析】 ∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴z的共轭复数是z＝－1－i.
【答案】 －1－i
5．设f(z)＝z，若z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝________．
【解析】 ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝3＋4i－(－2－i)＝5＋5i，
∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
【答案】 5＋5i
6．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为________．
【解析】 ∵z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai，
∴(－a2)－ai＝－i(a∈R)，
则∴a＝.
【答案】
7．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．
【解析】 z2＝t－i，z1·z2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，
∴4t－3＝0，∴t＝.
【答案】
8．已知＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
【解析】 (－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，
∴∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.
【答案】 2＋2i
二、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
【解】 z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]
＝(a＋3b)＋(a－b－1)i＝4.
∴解得
∴z1＝＋3i，z2＝－3＋3i.
10．已知z－1＋2zi＝－4＋4i，求复数z.
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入z－1＋2zi＝－4＋4i整理，得(x－2y－1)＋(2x＋y)i＝－4＋4i，
故有解得
所以复数z＝1＋2i.
11．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
【解】 z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴
解之得
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
一、填空题
1．复数＋i3＝________．
【解析】 ＝＝＝i，i3＝i2·i＝－i.
∴原式＝i－i＝0.
【答案】 0
2．(2012·四川高考改编)复数＝________．
【解析】 z＝＝－1.
【答案】 －1
3．(2012·浙江高考改编)已知i是虚数单位，则＝________．
【解析】 ＝＝＝1＋2i.
【答案】 1＋2i
4．设z是复数，α(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，对于虚数单位i，α(i)＝________．
【解析】 α(i)表示in＝1的最小正整数n，
又i4k＝1(k∈N*)，显然n＝4，即α(i)＝4.
【答案】 4
5．(2013·连云港高二检测)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________．
【解析】 ＝＝，
由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.
【答案】 2
6．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
【解析】 z2＝(－)2＝－i.
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.
【答案】 －i
7．(2012·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
【解析】 ∵＝＝(25＋15i)＝5＋3i，
∴a＝5，b＝3.
∴a＋b＝5＋3＝8.
【答案】 8
8．设z的共轭复数为z，若z＋z＝4，z·z＝8，则＝________．
【解析】 z＝a＋bi，a，b∈R，
z＝a－bi.
依题设z＋z＝2a＝4，a＝2.
z·z＝a2＋b2＝8，则b＝±2.
∴＝＝(2±2i)2＝±i.
【答案】 ±i
二、解答题
9．计算[(1＋2i)·i100＋()5]2－()20.
【解】 [(1＋2i)·i100＋()5]2－()20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10.
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
10．已知z＝1＋i，如果＝1－i，求实数a，b的值．
【解】 由z＝1＋i，有
＝
＝＝(a＋2)－(a＋b)i，
由已知(a＋2)－(a＋b)i＝1－i.
∴即
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
【解】 由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1＝＋2＝2－i.
由复数z2的虚部为2，设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，
∴4－a＝0，即a＝4，
∴z2＝4＋2i.
一、填空题
1．(2013·潍坊高二检测)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
【解析】 ∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6，5)，B(－2，3)．
∴中点C(2，4)，其对应复数2＋4i.
【答案】 2＋4i
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________．
【解析】 ∵z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数，
∴∴m＝2，
∴z＝3i，∴|z|＝＝3.
【答案】 3
3．已知复数z1＝a＋i，z2＝2－i，且|z1|＝|z2|，则实数a＝________．
【解析】 依题意，a2＋1＝4＋1，∴a＝±2.
【答案】 ±2
4．(2013·湖南高考改编)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)位于第________象限．
【解析】 ∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴复数z对应复平面上的点是(－1，1)，该点位于第二象限．
【答案】 二
5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【解析】 由复数的几何意义，知
3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝y－x＋(2x－y)i.
根据复数相等的定义，得
解得∴x＋y＝5.
【答案】 5
6．设z为纯虚数，且|z－1－i|＝1，则z＝________．
【解析】 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则
|z－1－i|＝|(b－1)i－1|，
∴(b－1)2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i.
【答案】 i
7．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么对应的复数为________．
【解析】 由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.
【答案】 4－4i
8．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程是________．
【解析】 由|z|2－2|z|－3＝0，
得(|z|＋1)(|z|－3)＝0.
∵|z|＋1>0，∴|z|－3＝0，则|z|＝3.故x2＋y2＝9.
【答案】 x2＋y2＝9
二、解答题
9．(2013·扬州高二检测)已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
【解】 (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，
∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3＜a＜0.
故当a∈(－3，0)时，z2对应的点在第一象限．
10．(2013·南京高二检测)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，求的值．
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，
即－1－3i＋a＋bi＝0，
则?z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
11．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为
zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形．
