课件43张PPT。教师用书独具演示演示结束 函数平均变化率 平均变化率的意义 数量化 视觉化 求函数在某区间内的平均变化率 实际问题中的平均变化率 平均变化率的应用 、课时作业（1.1.1） 教师用书独具课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束 导数的实际背景 割线 逼近 无限逼近 逼近 曲线在点P处的切线 趋近 瞬时速度 趋近 瞬时加速度 导数及其几何意义 常数 可导 常数 导数 斜率 求瞬时速度、瞬时加速度 求函数在某点处的导数 导数几何意义的应用 课时作业（1.1.2） 教师用书独具课件43张PPT。教师用书独具演示演示结束 幂函数与一次函数的导数 k 基本初等函数的求导公式 cosx －sinx axlna ex 利用导数公式求导 基本初等函数求导公式的应用 导数公式在曲线切线中的应用 课时作业（1.2.1） 教师用书独具课件44张PPT。教师用书独具演示演示结束 导数的四则运算法则 f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 复合函数的导数 基本初等函数 y′u·u′x y′u·a 利用导数的运算法则求导数 求简单复合函数的导数 函数求导法则的运用 课时作业（1.2.2.（3）） 教师用书独具课件47张PPT。教师用书独具演示演示结束 函数的单调性与导数符号的关系 增函数 减函数 常数函数 导数与函数图象间的关系 增 减 变化得快 “陡峭” “平缓” 判断(证明)函数的单调性 求函数的单调区间 应用函数的单调性求参数的取值范围 课时作业（1.3.1） 教师用书独具课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束 函数极大值与极小值的概念 都要大 都要小 极值 函数的极值与导数的关系 ≤＝≥>0 ＝0 <0 极大 极小 求函数的极值 由函数的极值求参数 函数极值的综合应用 课时作业（1.3.2） 教师用书独具课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束 函数的最大值与最小值 ≤ ≥ 惟一 利用导数求函数的最值 极值 极值 f(a) f(b) 求函数在给定区间上的最值 含字母参数的最值问题 与最值有关的综合问题 课时作业（1.3.3） 教师用书独具课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束 导数在实际生活中的应用 函数 导数 面积、容积最值问题 成本最低、节能减排问题 利润(受益)最大问题 课时作业（1.4） 教师用书独具第一章 导数及其应用
1．1导数的概念
1．1.1 平均变化率
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型．
2．过程与方法
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．
3．情感、态度与价值观
感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
●重点难点
重点：平均变化率的概念．
难点：平均变化率概念的形成过程．
为了使得平均变化率概念的引入自然流畅，可创设实际问题情境，如气球吹气时的平均膨胀率、跳板跳水某段起跳后的平均速度，通过具体的实例提出问题；借助天气预报中某天气温的变化曲线，以形助数，让学生有一个直观的认识，然后从数学的角度，描述这种现象就一目了然了．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．
在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．
●教学流程
?????
课标解读
1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点)．
2．了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点)．
3．平均变化率的正负(易混点).
函数平均变化率
【问题导思】
在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝.
1．当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
【提示】 平均膨胀率为≈＝0.62(dm/L)．
2．当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
【提示】 平均膨胀率为.
一般地，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为，其中Δy＝f(x2)－f(x1)是函数值的改变量．
平均变化率的意义
【问题导思】
如图所示，函数y＝f(x)图象上四点A，B，D，E.
1．由Δy＝f(x2)－f(x1)能否判断曲线在A→B段的陡峭程度？
【提示】 不能．
2．平均变化率能否近似刻画曲线在A→B段的陡峭程度？为什么？曲线段AB与曲线段DE哪段更陡峭？
【提示】 能．因为kAB＝表示A，B两点所在直线的斜率，所以可近似地刻画曲线段AB的陡峭程度．由于kDE＞kAB，知曲线段DE更加陡峭．
从平均变化率的定义知，其几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率．因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
求函数在某区间内的平均变化率
已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.5]上的平均变化率．
【思路探究】 对于给定的三个区间，分别求函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值.
【自主解答】 (1)函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝5.
(2)函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为
＝＝4.
(3)函数f(x)在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝＝3.5.
1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算，解题的关键是弄清自变量与函数值的增量．
2．求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：
(1)作差：求Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)作商：求，即的值．
求函数y＝5x2＋6在区间[2，3]上的平均变化率．
【解】 函数在区间[2，3]上的平均变化率为＝＝45－20＝25.
实际问题中的平均变化率
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
【思路探究】 (1)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[0，0.5]上的平均变化率；(2)求函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10在区间[1，2]上的平均变化率．
【自主解答】 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s)．
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2(m/s)．
1．结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
2．平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
已知某物体运动位移与时间的关系为s(t)＝gt2，试分别计算t从3 s到3.1 s，3.001 s各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？
【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速度分别为V1，V2，
则ΔS1＝S(3.1)－S(3)
＝g×3.12－g×32＝0.305g(m)．
∴物体从3 s到3.1 s时平均速度
V1＝＝＝3.05g(m/s)，
同理V2＝＝
＝3.000 5g(m/s)．
通过计算可以发现，随着时间间隔Δt的变小，平均速度在向3g m/s靠近，而3g m/s为物体做自由落体运动时，t＝3 s时的瞬时速度．
平均变化率的应用
2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－1所示，据图回答：
图1－1－1
(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
【思路探究】 利用平均变化率的计算公式及其实际意义进行分析．
【自主解答】 (1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．
(2)由图形知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝，
在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝＝sB－sC，
显然kBC＞kAB，即sB－sC＞，
∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
1．本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．
2．在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．
为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
【解】 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，
乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
实际问题中平均变化率意义不明致误
甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图1－1－2中①②所示，试问：
图1－1－2
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
【错解】 (1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有kOB＞kOA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．
(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的时间、路程相同，平均变化率相等，速度相等，所以两人跑得一样快．
【错因分析】 在(2)中，题意不明，误求甲、乙在[0，t0]上的平均变化率认为是终点附近的平均速度．
【防范措施】 (1)在实际问题中，理解平均变化率具有的现实意义；(2)弄清题目的要求，区别平均速度与瞬时速度．
【正解】 (1)同上面解法．
(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．
1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．
2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．
1．函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________．
【解析】 ＝2.
【答案】 2
2．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
【解析】 ∵S＝πr2，
∴＝＝＝0.4π.
【答案】 0.4π
3．如图1－1－3，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
图1－1－3
【解析】 ∵kAB＝＝＝－1，
由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.
【答案】 －1
4．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
【解】 甲企业生产效益的平均变化率为＝.
乙企业生产效益的平均变化率为＝.
∵＞，
∴甲企业的生产效益较好．
一、填空题
1．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
【解析】 ＝＝－.
【答案】 －
2．函数f(x)＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是________．
【解析】 函数的平均变化率是＝＝.
【答案】
3．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：米)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________．
【解析】 ＝＝20(m/s)．
【答案】 20 m/s
4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________．
【解析】 由题意得＝3，
∴m＝2(m＝1舍去)．
【答案】 2
5．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
【解析】 ＝0.1(m/h)．
【答案】 0.1
6．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/
(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)．
【解析】 ＝
＝－0.002 mg/(mL·min)．
【答案】 －0.002
7．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔[1，]内的平均加速度为________．
【解析】 平均加速度＝＝.
【答案】
图1－1－4
8．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．
【解析】 在[0，t0]内甲、乙的平均速度为，①②错．在[t0，t1]上，v甲＝，v乙＝.
∵s2－s0＞s1－s0，且t1－t0＞0，
∴v甲＞v乙，故③正确，④错误．
【答案】 ③
二、解答题
9．求函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率．
【解】 f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为＝.
10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
【解】 依题意，生产并售出x台所获得的利润是
L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，
∴x取值从10台至20台的平均利润为
＝＝87(元)，
故所求平均利润为87元．
11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
图1－1－5
【解】 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝＝，
∴hBC>hAB ，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
(教师用书独具)
已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
【自主解答】 ∵V＝πr3，∴r3＝，r＝ ，
即r(V)＝ .
(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为
＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为
＝ － ≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
一块正方形的铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热铁板会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数，试求0～10 ℃内铁板面积S的平均变化率．
【解】 铁板面积S＝102(1＋at)2，
在区间[0，10]上，S的平均变化率为
＝＝200a＋1 000a2，
即0～10 ℃内铁板面积S的平均变化率为(200a＋1 000a2)cm2/℃.
1．1.2 瞬时变化率——导数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．
2．过程与方法
用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．
3．情感、态度与价值观
通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣，在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．
●重点难点
重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．
难点：从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，及函数在开区间内的导函数的理解．
为了突出重点、突破难点，在导数概念的教学中，积极创设问题情境，从学生已有的认知入手，例如物理学中的瞬时速度、曲线割线的斜率等，采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过不断出现的一个个问题，一步步创设出使学生有兴趣探索知识的“情境”，通过反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而更好地理解导数概念．
(教师用书独具)
●教学建议
新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)——瞬时变化率——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程．
因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、观察、分析、类比、抽象、概括，并借助excel及几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
●教学流程
??????
课标解读
1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率—导数的概念及其几何意义(重点、难点)．
2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程(重点)．
3．理解导数与平均变化率的区别与联系(易错点).
导数的实际背景
【问题导思】
1．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？曲线上在某一点处的切线的含义是什么？
【提示】 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C在点P处的切线l与曲线C还有一个公共点Q.
曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．
2．运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？
【提示】 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.
1．曲线上一点处的切线
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
2．瞬时速度、瞬时加速度
(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．
(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．
导数及其几何意义
1.导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无
限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线PT的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
求瞬时速度、瞬时加速度
已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．
【思路探究】
【自主解答】 ＝
＝＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝6×2＋3×0.01＝12.03(cm/s2)．
(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.
1．求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．
2．求瞬时加速度：(1)求平均加速度；(2)令Δt→0，求出瞬时加速度．
质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
【解】 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
当Δt→0时，→4a.
∵在t＝2时，瞬时速度为8 m/s，
∴4a＝8，∴a＝2.
求函数在某点处的导数
求函数y＝f(x)＝x－在x＝1处的导数．
【思路探究】 ―→→
【自主解答】 ∵Δy＝(1＋Δx)－－(1－)＝Δx＋1－＝Δx＋.
∴＝＝1＋，
当Δx→0时，→1＋1＝2.
∴f′(1)＝2.
1．本题是利用定义求f′(1)，解题的关键是求出并化简，利用定义求解的步骤为：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率；③当Δx无限趋近于0时，确定的无限趋近值．
2．求f′(x0)也可先求出导函数f′(x)，再将x＝x0代入，即求出f′(x)在点x＝x0处的函数值．
在例题中，若条件改为f′(x0)＝，试求x0的值．
【解】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)－－(x0－)＝Δx＋
∴＝1＋
当Δx→0时，→1＋.
又f′(x0)＝，则1＋＝.∴x0＝±2.
导数几何意义的应用
已知抛物线y＝2x2，求抛物线在点(1，2)处的切线方程．
【思路探究】 根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程．
【自主解答】 因为点(1，2)在抛物线上，所以抛物线在点(1，2)处的切线斜率为函数y＝2x2在x＝1处的导数f′(1)．
因为＝＝＝4＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋2Δx无限趋近于4，所以f′(1)＝4.
所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
1．本题是“给出曲线和切点(x0，f(x0))求切线方程”，此时切线的斜率就是f′(x0)，则该点处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．若求“过点(x0，y0)的切线方程”，此时所给的点有可能不是切点，切线的斜率还用f′(x0)则可能会出错．此时应先设出切点坐标P(x′0，y′0)，由已知条件列出切点横坐标的方程，求x′0，然后再求解．
曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
【解析】 ∵＝
＝3x0Δx＋3x＋(Δx)2，
∴当x0＝1，Δx→0时，k＝f′(1)＝3.
∴曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线为y＝3x＋9.
∴当x＝0时，y＝9.
因此所求切线与y轴交点的纵坐标为9.
【答案】 9
对导数定义理解不透彻致误
已知f′(1)＝－2，则当Δx→0时，→________．
【错解】 当Δx→0时，→－2.
【答案】 －2
【错因分析】 产生错解的原因是对导数定义的理解不透彻，一味地套用公式．本题分子中自变量的增量是2Δx，即(1＋2Δx)－1＝2Δx，而错解中分母中的增量为Δx，二者不是等量的．
【防范措施】 在导数定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但无论如何变化，其实质是分子中的自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．
【正解】 ＝2·
当Δx→0时，→f′(1)，
∴2·→2f′(1)
＝2×(－2)＝－4.
【答案】 －4
1．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤都是一样的——(1)计算Δy，(2)求，(3)看Δx无限趋近于0时，无限趋近于哪个常数．
2．准确理解导数的概念，正确求y＝f(x)在点x＝x0处的导数注意两点：(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)不能误认为Δy＝f(Δx)；(2)求解时不给出Δx的具体值，否则求出的是平均变化率，而不是瞬时变化率(导数)．
3．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．
(1)若已知点(x0，y0)为切点，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若题中所给的点(x0，y0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
因此求曲线的切线方程一定要明确切点的位置，分清楚是“曲线在某点处的切线”还是“过某点的曲线切线”．
1．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
【解析】 ＝＝18＋3Δt，
当Δt→0时，→18＋3×0＝18.
∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18.
【答案】 18
2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．
【解析】 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2Δx，
∴＝2，∴f′(2)＝2.
【答案】 2
3．抛物线y＝x2在点Q(2，1)处的切线方程为______．
【解析】 ＝＝1＋Δx.
当Δx→0时，→1，即f′(2)＝1，
由导数的几何意义，点Q处切线斜率k＝f′(2)＝1.
∴切线方程为y－1＝1(x－2)即y＝x－1.
【答案】 y＝x－1
4．求函数y＝在x＝1处的导数．
【解】 法一 ∵Δy＝－1，∴＝＝，
当Δx无限趋近于0时，＝无限趋近于，
∴函数y＝在x＝1处的导数为.
法二 ＝＝，
当Δx→0时，→，所以y′＝.
当x＝1时，y′＝.
∴函数y＝在x＝1处的导数为.
一、填空题
1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于的值，以下说法中正确的是________．
①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；
③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．
【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．
【答案】 ②
2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．
【解析】 ＝＝6＋Δx，
令Δx→0，得f′(3)＝6.
【答案】 6
3．(2013·合肥高二检测)函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．
【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2.
又f(4)＝－2×4＋9＝1.
故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.
【答案】 －1
4．已知物体的运动方程为s＝－t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．
【解析】 Δs＝－(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－×22)＝6Δt－(Δt)2，
则＝6－Δt，
当Δt→0时，→6.
【答案】 6
5．曲线f(x)＝x3在x＝0处的切线方程为________．
【解析】 ＝＝＝(Δx)2.
当Δx→0时，→0.
∴由导数的几何意义，切线的斜率k＝f′(0)＝0.
因此所求切线方程为y＝0.
【答案】 y＝0
6．若点(0，1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________．
【解析】 ∵f(0)＝1，∴b＝1.
又＝＝Δx＋a.
∴当Δx→0时，→a，则f′(0)＝a＝1.
所以a＋b＝1＋1＝2.
【答案】 2
7．高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．
【解析】 ＝
＝6.5－4.9Δt
∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，
∴该运动员的初速度为6.5米/秒．
【答案】 6.5
8．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
图1－1－6
【解析】 k1表示曲线在x＝1处的切线的斜率，k2表示曲线在x＝2处的切线的斜率，
k3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率，
由图可知：k1＞k3＞k2.
【答案】 k1＞k3＞k2
二、解答题
9．已知函数f(x)＝2x2＋4x，试求f′(3)．
【解】 Δy＝f(3＋Δx)－f(3)
＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝2Δx＋16，
当Δx→0时，→16.
因此f′(3)＝16.
10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，
子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0(Δt)＋a(Δt)2，
所以＝at0＋a(Δt)．所以当Δt→0时，→at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
11．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q(－1，)．
求：(1)曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
【解】 将P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，∴y＝，设f(x)＝，
∵＝
＝
＝，
∴当Δx→0时，→.
∴f′(x)＝.
(1)由导数的几何意义，知
曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.
曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
(教师用书独具)
已知曲线y＝2＋1，问曲线上哪一点处的切线与直线y＝－2x＋3垂直，并求切线方程．
【自主解答】 设切点坐标为(x0，y0)，＝＝＝＝.
当Δx→0时，→＝，
又直线y＝－2x＋3的斜率为－2，
所以所求切线的斜率为，故＝.
所以x0＝4，y0＝5，所以切点坐标为(4，5)，
切线方程为y－5＝(x－4)，
即x－2y＋6＝0.
已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 设切点为P(t，t2＋1)．
∵＝＝2t＋Δx，
当Δx→0时，→2t.
由导数的几何意义，
在点P(t，t2＋1)处切线的斜率k＝f′(t)＝2t，
∴切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋(a－1)＝0，
因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，
解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
1．2导数的运算
1．2.1 常见函数的导数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．
2．过程与方法
使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．
●重点难点
重点：利用导数公式，求简单函数的导数．
难点：对导数公式的理解与记忆．
在初等函数的求导公式中，对数函数与指数函数的求导公式比较难记忆，要区分公式的结构特征，找出他们之间的差异去记忆．
(教师用书独具)
●教学建议
导数的定义不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法，但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的，因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．
●教学流程
?利用导数的定义求y＝xn(n＝1，2，3，－1，)的导数．????
课标解读
1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想(难点)．
2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数(重点)．
3．掌握函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝logax(a＞0，a≠1)的求导公式及应用(易混点).
幂函数与一次函数的导数
【问题导思】
1．函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
【提示】 当k＞0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快．
当k＜0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快．
2．你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(x)′＝x－归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗？
【提示】 f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.
1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地c′＝0(c为常数)．
2．(xα)′＝α·xα－1(α为常数)．
基本初等函数的求导公式
【问题导思】
1．计算过程(cos )′＝－sin ＝－正确吗？
【提示】 不正确．因为cos ＝为常数，其导数为0.
2．如何利用(ln x)′推出(logax)′？
【提示】 (logax)′＝()′＝(ln x)′＝·
＝.
原函数
导函数
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
利用导数公式求导
给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；
②(ex)′＝ex；
③若y＝，则y′＝－；
④(－)′＝ .
其中正确的结论是________．
【思路探究】 根据基本初等函数求导公式求解．
【自主解答】 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
显然(ex)′＝ex，②正确．
()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；
(－)′＝(－x－)′＝x－＝，所以④正确．
【答案】 ②④
1．导数公式求导数是解决导数问题的基本工具，在解题中恰当选择公式、准确套用公式是解决此类问题的关键．
2．对于基本初等函数的求导公式要准确记忆，不可乱用，如指(对)数函数的导数、正余弦函数的导数等．
给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；②若f(x)＝3x，则f′(1)＝2；
③(logax)′＝；④若f(x)＝3x，则f′(0)＝1.
其中正确的结论是________．
【解析】 ①中y′＝()′＝－3x－4，①正确．
②中，f′(x)＝(3x)′＝3，∴f′(1)＝2不正确．
又(logax)′＝知③错误．
∵f′(x)＝(3x)′＝3xln 3.
∴f′(0)＝30ln 3＝ln 3，④错误．
因此，只有①正确，②③④均错误．
【答案】 ①
基本初等函数求导公式的应用
求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin(x＋)；
(3)y＝2sin cos ；(4)y＝logx2－logx.
【思路探究】 对函数进行分类，然后选择相应的求导公式；不是基本初等函数的函数，应变形化简，再进行求导．
【自主解答】 (1)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－.
(2)∵y＝sin(x＋)＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(3)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝logx2－logx＝logx.
∴y′＝(logx)′＝＝－.
1．基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类问题的关键．
2．不能直接求导的函数，应先对原函数变形化简，然后再求导运算．
求下列函数的导函数：
(1)y＝x；(2)y＝2－x；(3)y＝cos2－sin2.
【解】 (1)y′＝(x)′＝(x)′＝x.
(2)∵y＝2－x＝()x，
∴y′＝[()x]′＝()x·ln ＝－()xln 2.
(3)∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
导数公式在曲线切线中的应用
(2013·连云港检测)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值．
【思路探究】 利用求导法则求出导函数，将x＝a代入可得函数在点(a，a－)处的切线的斜率，由点斜式写出切线方程，然后将所围三角形的面积用参数a表示出来，最后求解．
【自主解答】 求导得y′＝－x－(x＞0)，
所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝－a－，
由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的交点坐标分别为(3a，0)，(0，a－)，
所以直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积S＝×3a×a－＝a＝18，
解得a＝64.
1．本题易出现计算所围三角形面积错误，出现错误的原因没有正确求出切线与坐标轴的截距．
2．解答本题的关键是利用导数求出切线方程，再去计算三角形的面积，注意在计算三角形的面积时，切线与坐标轴的截距要取绝对值．
(2013·青岛高二检测)设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为________．
【解析】 令f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
已知直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，设切点为(x0，y0)，则由导数的几何意义可知f′(x0)＝，所以f′(x0)＝＝，得x0＝2.
故切点为(2，ln 2)，代入直线方程y＝x＋b，
得b＝ln 2－1.
【答案】 ln 2－1
混淆“在点(x0，y0)处的切线”与
“过点(x0，y0)的切线”致误
求曲线y＝x3－2x过点P(1，－1)的切线方程．
【错解】 ∵点P(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，
∴k＝f′(1)＝f′(x)|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，
∴过点P(1，－1)的切线方程为y－(－1)＝1·(x－1)，即x－y－2＝0.
【错因分析】 求曲线过点P(1，－1)的切线方程，点P(1，－1)未必是切点，误认为是求在点P(1，－1)处的切线方程，导致失解．
【防范措施】 已知曲线上一点，求过该点的切线方程，此时该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
【正解】 设切点坐标为(x0，y0)，y＝x3－2x的导数为y′＝3x2－2，则切线的斜率k＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又切线过点(1，－1)，
∴－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解之得x0＝1或x0＝－.
当切点为P(1，－1)时，f′(1)＝1，
∴切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
又当x0＝－，y0＝，切点为(－，)．
又k＝f′(－)＝－，
∴切线方程为y－＝－(x＋)，即5x＋4y－1＝0.
所以过点P(1，－1)的切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
1．进一步理解导数的概念和导数的几何意义．
2．利用基本初等函数导数公式求导的关键是记熟、记准求导公式，特别是ax，logax，cos x这三个函数的导数容易出错，另外注意logax与ln x间的联系帮助我们记忆．
3．求f′(x0)，可先求f′(x)，再求f′(x0)．
1．已知f(x)＝x2，则f′(－2)＝________．
【解析】 f′(x)＝2x，
∴f′(－2)＝－4.
【答案】 －4
2．下列结论：①(sin x)′＝－cos x，②()′＝，
③(log3x)′＝，④(ln x)′＝.
其中正确的结论是________．
【解析】 由求导公式知：(sin x)′＝cos x，()′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，故④正确．
【答案】 ④
3．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
【解析】 y′＝(4x－2)′＝－8x－3，
设点P(x0，y0)，依题意得
－8x＝tan 135°＝－1，∴x0＝2.
又P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝1.
【答案】 (2，1)
4．已知函数y＝asin x＋b的图象过点A(0，0)，B(，－1)，试求函数在点A(0，0)处的切线方程．
【解】 ∵y＝asin x＋b的图象过点A(0，0)，B(，－1)，
∴
解得
∴y＝sin x，
因此y′＝(sin x)′＝cos x.
∴当x＝0时，y′＝1，
即切线的斜率k＝1.
∴切线方程为y＝x.
一、填空题
1．(2013·南通高二检测)若f(x)＝，则f′(－1)＝________．
【解析】 由y＝＝x，知f′(x)＝x－，
∴f′(－1)＝×(－1)－＝.
【答案】
2．(2013·南昌高二检测)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为________．
【解析】 ∵y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1.
【答案】 1
3．(2013·淮安高二检测)已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为________．
【解析】 f′(x)＝，∴f′(e)＝.
【答案】
4．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，∴m＝－4.
【答案】 －4
5．(2013·南京高二检测)已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为________．
【解析】 设切点为P(x0，y0)，
对曲线，y′＝，由题意知x＝x0时，y′＝1，
∴＝1，x0＝1.∴P(1，0)．
把P(1，0)代入直线y＝x＋a，得a＝－1.
【答案】 －1
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 013(x)＝________．
【解析】 由题意f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，则可知周期为4.
从而f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.
【答案】 cos x
7．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
【解析】 ∵y′＝x，设切点坐标为(x0，x)，
∴x0＝1，则y0＝，切点为(1，)，切线的斜率为1，
∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0.
【答案】 x－y－＝0
8．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【解析】 由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为：
y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，得x＝，即ak＋1＝
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】 21
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝3lg；(3)y＝2cos2－1.
【解】 (1)y′＝(x)′＝x.
(2)∵y＝3lg＝lg x.
∴y′＝(lg x)′＝.
(3)因y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
10．已知直线y＝kx是函数y＝ln x图象的一条切线，试求k的值．
【解】 设切点为(x0，y0)，∵y＝ln x，
∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
又点(x0，y0)在直线y＝kx与曲线y＝ln x上，
∴
∴·x0＝ln x0，x0＝e，从而k＝＝.
11．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
【证明】 由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P(x0，)，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0，0)，B(0，)，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·||＝2.
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
(教师用书独具)
已知曲线f(x)＝在点P(1，1)处的切线与直线m平行且距离等于，求直线m的方程．
【自主解答】 ∵f′(x)＝()′＝－3x－4，
∴曲线在点P(1，1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝－3，
则在点P处的切线为y－1＝－3(x－1)，
即3x＋y－4＝0.
∴设直线m的方程为
3x＋y＋b＝0(b≠－4)．
又两直线间的距离为，
∴＝，
解之得b＝6或b＝－14.
∴直线m的方程为
3x＋y＋6＝0或3x＋y－14＝0.
已知曲线f(x)＝ex，试在曲线上求点P，使其到直线y＝x的距离最短．
【解】 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，
得x0＝0，因此y0＝1.
∴切点P(0，1)．
由点到直线的距离公式，d＝＝.
∴点P为(0，1)，
且点P到直线y＝x的最小距离为.
1．2.2 函数的和、差、积、商的导数
1．2.3 简单复合函数的导数
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握导数的四则运算法则，理解复合函数的求导法则．
2．过程与方法
能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求限于形如f(ax＋b)的复合函数的导数．
3．情感、态度与价值观
培养学生对问题的认识能力，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．
●重点难点
重点：导数的四则运算法则．
难点：导数的四则运算法则的应用，求简单复合函数的导数．
为了突出重点、突破难点，在给出导数的运算法则、复合函数求导公式后，应引导学生分析对比乘、除法则的区别联系，充分借助特例检验运算法则和复合求导公式，加深对公式的记忆和理解．认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中加深学生对学习数学的兴趣．
(教师用书独具)
●教学建议
本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用．教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，培养学生的计算能力，有利于进一步研究函数的性质．在教学中要引导学生积极主动参与，合作交流，多动手，善于思考，进行反馈总结，形成数学运算能力．
●教学流程
?????
课标解读
1.理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数(重点)．
2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数(难点)．
3．积函数、商函数求导公式的正确运用(易错点).
导数的四则运算法则
【问题导思】
1．若f(x)＝x，g(x)＝，且Q(x)＝x＋，H(x)＝x－，那么Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有什么关系？
【提示】 Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)；H′(x)＝f′(x)－g′(x)．
2．等式[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)和[]′＝成立吗？
【提示】 不成立．
1．设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
续表
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
[]′＝(g(x)≠0)
2.若c为常数，则[cf(x)]′＝c·f′(x)．
复合函数的导数
【问题导思】
1．函数y＝xsin x是复合函数吗，为什么？
【提示】 不是．函数y＝xsin x表示f(x)＝x与g(x)＝sin x的乘积，并不是由两个基本初等函数复合而成的．
2．函数y＝ln(x＋2)由哪两个函数复合而成？它们的导数之间有什么关系？
【提示】 y＝ln(x＋2)由y＝ln u和u＝x＋2(x＞－2)复合而成．且y′x＝y′u·u′x＝.
复合函数的
概念
由基本初等函数复合而成的函数称为复合函数
复合函数的
求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a
利用导数的运算法则求导数
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(x＋2)(x－3)；(2)f(x)＝lg x－3x；
(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝.
【思路探究】
【自主解答】 (1)∵f(x)＝x2－x－6，
∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.
(2)f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝－3xln 3.
(3)∵f(x)＝＝，
∴y′＝()′＝＝.
(4)∵f(x)＝＝1－，
∴f′(x)＝1′－()′
＝－
＝.
1．解题的关键在于选择正确的求导公式和运算法则，特别是函数积与商的导数运算，一定避免[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及[]′＝的错误；其次还要特别注意在两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数中是“＋”号，而商的导数中分子上是“－”号．
2．对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ex·ln x；(2)f(x)＝x·sin x－.
【解】 (1)f′(x)＝(ex·ln x)′
＝(ex)′·ln x＋ex·(ln x)′
＝ex·ln x＋.
(2)f′(x)＝(x·sin x)′－()′
＝sin x＋x(sin x)′－
＝sin x＋xcos x－.
求简单复合函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)5；(2)y＝ln(2x＋3)；
(3)y＝e1－3x；(4)y＝cos(3x－1)－ln(－2x－1)．
【思路探究】 分清函数的复合关系，选好中间变量，运用求导法则求函数的导数．
【自主解答】 (1)∵函数y＝(2x－1)5由y＝u5和u＝2x－1复合而成，
∴y′x＝(u5)′·(2x－1)′＝5·u4·2＝10(2x－1)4.
(2)因为函数y＝ln(2x＋3)由函数y＝ln u和函数u＝2x＋3复合而成，
所以y′x＝(ln u)′·(2x＋3)′＝·2＝.
(3)y＝e1－3x可由y＝eu和u＝1－3x复合而成，
从而y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(1－3x)′＝eu·(－3)＝－3e1－3x.
(4)y′＝－3sin(3x－1)－
＝－3sin(3x－1)－.
1．简单的复合函数求导，其一般步骤是“分解—求导—回代”，也就是：
(1) 分清复合关系，选好中间变量；(2)利用法则求导，要弄清是哪个变量对哪个变量求导；(3)最终把中间变量化为自变量．
2．第(4)题不仅涉及复合函数求导还涉及导数的四则运算法则的应用，解此类题时明晰函数的和、差、积、商的导数是主线，要优先进行，复合函数的求导是支线，最后进行．
求下列函数的导数：
(1)y＝sin(2x－1)；(2)y＝x·e2x＋1.
【解】 (1)y＝sin(2x－1)由y＝sin u与u＝2x－1复合而成，
∴y′x＝(sin u)′·(2x－1)′＝2cos u＝2cos(2x－1)．
(2)y′＝(x·e2x＋1)′＝x′·e2x＋1＋x·(e2x＋1)′
＝e2x＋1＋x·e2x＋1·(2x＋1)′＝e2x＋1(1＋2x)．
函数求导法则的运用
已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程．
【思路探究】 可利用复合函数求导法则对已知函数解析式求导，得点(0，f(0))处切线的斜率，进而求曲线的切线方程．
【自主解答】 f′(x)＝＋
＝＋.
当a＝2时，f′(0)＝＋＝，
由导数的几何意义，
所求切线的斜率k＝f′(0)＝.
又f(0)＝＋ln(0＋1)＝－.
因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(－)＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.
1．基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合运用，极大地方便函数的导数求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力．
2．将函数的求导法则与导数的几何意义结合起来考查是近几年高考的热点题型，解题关键是将复合函数分解为基本初等函数，掌握考查导数几何意义的相应题型的解法．
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量，已知t＝30时，铯137含量的变化率为－10ln 2(太贝克/年)．
(1)求M0的值；
(2)求函数M(t)的表达式，并计算M(60)的值．
【解】 ∵M(t)＝M02－，
∴M′(t)＝－ln 2×M02－.
(1)M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2.
解得M0＝600.
(2)由(1)可知M(t)＝600×2－，
∴M(60)＝600×2－＝600×＝150.
数形结合思想在导数中的应用
(满分14分)若函数f(x)＝ln x－kx有零点，求实数k的取值范围．
【思路点拨】 转化为求曲线y＝ln x与y＝kx有公共点，求k的取值，研究y＝kx与y＝ln x相切时，利用导数的几何意义，数形结合求解．
【规范解答】 若f(x)＝ln x－kx有零点，则直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点.2分
设直线y＝kx与y＝ln x相切时，切点为P(x0，y0)，
则kx0＝ln x0.6分
∵(ln x)′＝，由导数的几何意义，则k＝.
从而kx0＝1＝ln x0，∴x0＝e.
∴y＝kx与y＝ln x相切时，k＝.10分
结合图象知：当k≤0或k＝时，直线y＝kx与y＝ln x有一个公共点．
当0＜k＜时，直线y＝kx与y＝ln x有两个公共点．
综上可知，当k≤时，曲线有公共点，即函数f(x)有零点时k的取值范围是(－∞，].14分
1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与曲线方程沟通搭建了一个平台．因此从某种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁．
2．本题将函数零点的研究转化为曲线公共点，这种数形转化为运用导数的几何意义求曲线的切点与斜率奠定了基础．
1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．求复合函数的导数应注意：
(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系；
(2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导；
(3)不要忘记将中间变量代回原自变量．
1．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝______．
【解析】 f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.
【答案】 1
2．函数y＝的导数y′＝________．
【解析】 y′＝
＝＝.
【答案】
3．函数f(x)＝cos(x－)，则f′(3π)＝________．
【解析】 因为f′(x)＝－sin(x－)·(x－)′
＝－sin(x－)，
所以f′(3π)＝－sin(－)＝－sin＝.
【答案】
4．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解】 当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
一、填空题
1．函数y＝－2exsin x的导数y′＝________．
【解析】 y′＝(－2ex)′sin x＋(－2ex)·(sin x)′
＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．
【答案】 －2ex(sin x＋cos x)
2．函数f(x)＝xe－x的导数f′(x)＝________．
【解析】 f′(x)＝x′·e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
【答案】 (1－x)e－x
3．曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程为________．
【解析】 y′＝－3x2＋6x，因为点(1，2)在曲线上，且y′|x＝1＝3，即切线斜率为3，所以利用点斜式可得切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
【答案】 y＝3x－1
4．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________．
【解析】 ∵v＝s′＝6t2－gt，
∴a＝v′＝12t－g＝12×2－10＝14(m/s2)．
【答案】 14 m/s2
5．(2013·盐城高二检测)曲线C：f(x)＝ex＋sin x＋1在x＝0处的切线方程是________．
【解析】 ∵f′(x)＝ex＋cos x，∴k＝f′(0)＝2，切点(0，2)，切线方程为y＝2x＋2.
【答案】 y＝2x＋2
6．若f(x)＝，则f′()等于________．
【解析】 ∵f′(x)
＝
＝＝，
∴f′()＝＝.
【答案】
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
【解析】 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝＝及导数的几何意义，
∴y′|x＝x0＝＝1，
即x0＋a＝1.
因此，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴x0＝－1.
从而a＝1－x0＝2.
【答案】 2
8．(2013·南通高二检测)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．
【解析】 ∵(1，g(1))在切线y＝2x＋1上，
∴g(1)＝2×1＋1＝3，∴f(1)＝g(1)＋12＝4.
又∵k＝f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴切线方程为y－4＝4(x－1)即y＝4x.
【答案】 y＝4x
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xln(x＋1)；(2)y＝sin22x＋2x＋1.
【解】 (1)y′＝[xln(x＋1)]′＝x′ln(x＋1)＋
＝ln(x＋1)＋.
(2)y＝＋2x＋1＝2x－cos 4x＋，
∴y′＝(2x)′－(cos 4x)′＋()′
＝2x·ln 2＋sin 4x·(4x)′
＝2x·ln 2＋2sin 4x.
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．
【解】 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，
故即
解得a＝1，b＝1.
11．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系h(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中h的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义．
【解】 h′(t)＝[3sin(t＋)]′
＝3cos(t＋)·(t＋)′
＝cos(t＋)．
将t＝18代入h′(t)，得h′(18)＝cos ＝(m/h)．
它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
(教师用书独具)
已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
【自主解答】 ∵f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′
＝2ax－，∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝相切，
∴圆心(0，0)到直线l的距离为，
所以有＝，解得a＝.
设曲线y＝xn(1－x)(n∈N*)在x＝2处的切线斜率为an，求数列{}的前n项和．
【解】 ∵y＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，
∴y′＝(xn)′－(xn＋1)′＝nxn－1－(n＋1)xn.
∴当x＝2时，导函数值为：
n·2n－1－(n＋1)·2n＝n·2n－1－2(n＋1)·2n－1＝－(n＋2)·2n－1，
即为曲线在x＝2处的切线斜率an.
∴＝－2n－1(n∈N*)，
∴数列{}的前n项和为：
Sn＝－1－2－22－…－2n－1＝－＝1－2n.
1．3导数在研究函数中的应用
1．3.1 单调性
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解利用导数判断函数单调性的原理，掌握判断函数单调性的方法及步骤．
(2)能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间．
(3)能解决含参数函数的单调性问题以及掌握函数单调性与导数关系逆推．
2．过程与方法
(1)通过问题的探究，体会知识的类比迁移．以已知探究求未知、从特殊到一般的数学思想方法．
(2)在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想．
3．情感、态度与价值观
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯．
●重点难点
重点：函数单调性的判定和单调区间的求法．
难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来，学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性．通过本节课的学习，应使学生体验到，利用导数判断单调性开拓了另一种解题的途径，它要比用定义判断简捷得多(尤其对于三次多项式函数，或图象难以画出的函数而言)，充分展示了导数解决问题的优越性．
(教师用书独具)
●教学建议
让学生“动起来”，为突出学生学习的主体地位，运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方式．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神．采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解．
●教学流程
?????
课标解读
1.利用导数研究函数的单调性(重点)．
2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解(难点)．
3．由单调性求参数的取值范围(易错点).
函数的单调性与导数符号的关系
【问题导思】
试在y＝x＋的定义域(1，＋∞)任取两个自变量值，其导数大于0吗？
【提示】 大于0.由于y′＝1－＞0(x＞1)，y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数．
1．一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)＞0
f(x)为该区间上的增函数
f′(x)＜0
f(x)为该区间上的减函数
2.如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
导数与函数图象间的关系
【问题导思】
如图是y＝f′(x)的图象，你能判断y＝f(x)的增区间吗？
【提示】 当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0.
∴y＝f(x)的增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
1．导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．
2．一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些．
判断(证明)函数的单调性
求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
【思路探究】 根据函数的单调性与导数正负的关系，只要证明f′(x)在(0，＋∞)上为正，在(－∞，0)上为负即可．
【自主解答】 由于f(x)＝ex－x－1，
所以f′(x)＝ex－1，
当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
1．利用导数证明函数f(x)在给定区间上的单调性，实质上就是证明f′(x)＞0(f′(x)＜0)在给定区间上恒成立．
2．利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．
判断函数f(x)＝在区间(0，2)上的单调性．
【解】 由于f(x)＝，
所以f′(x)＝＝.
由于0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，x2＞0.
故f′(x)＝＞0.
∴函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数．
求函数的单调区间
设f(x)＝，x∈(－1，1)，常数b≠0，试求函数f(x)的单调区间．
【思路探究】 显然f(x)是奇函数，只需判断f(x)在(0，1)上的单调性，但应注意参数b取值的影响，应进行分类讨论．
【自主解答】 ∵f(x)的定义域为(－1，1)且函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0，1)上的单调性．
∵f′(x)＝b·
＝－，
当0＜x＜1时，x2＋1＞0，(x2－1)2＞0，
∴－＜0.
∴当b＞0时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)在(0，1)上是减函数；
当b＜0时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在(0，1)上是增函数；
又函数f(x)是奇函数，且f(0)＝0.
∴当b＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数；
当b＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．
因此，当b＞0时，f(x)的递减区间是(－1，1)；
当b＜0时，f(x)的递增区间是(－1，1)．
1．运用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围确定单调区间．
2．(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连结，而只能用“逗号”或“和”字隔开．(2)若字母参数的取值影响单调性，应注意分类讨论．
求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝(1＋x－x2)ex；
(2)f(x)＝x2－2x－4ln(x＋1)．
【解】 (1)f′(x)＝(－2x＋1)ex＋(1＋x－x2)ex
＝(－x2－x＋2)ex＝－(x＋2)(x－1)ex，
由f′(x)＞0，得－(x＋2)(x－1)＞0，即－2＜x＜1；
由f′(x)＜0，得－(x＋2)(x－1)＜0，即x＜－2或x＞1.
所以，f(x)的增区间是(－2，1)，减区间是(－∞，－2)和(1，＋∞)．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝x－2－＝
＝.
由f′(x)＞0，且x＞－1，得x＞3；
由f′(x)＜0，且x＞－1，得－1＜x＜3.
所以，f(x)的增区间为(3，＋∞)，减区间为(－1，3)．
应用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
【思路探究】 对函数h(x)求导，转化为h′(x)≤0对x∈[1，4]上恒成立问题．
【自主解答】 h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1，4]上单调递减，
所以x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
所以a≥G(x)max，
且G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1，4]，
所以∈[，1]，
∴当＝，即x＝4时，G(x)有最大值G(x)max＝－.
因此a≥－.
当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝≤0当且仅当x＝4时取等号．
∴h(x)在[1，4]上为减函数．
故实数a的取值范围是[－，＋∞)．
1．已知函数的单调性求参数的范围，是一种非常重要的题型．其基本解法是转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区间上恒成立问题，最后要验证等号是否成立．
2．本题用到了一个非常重要的转化，即m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max及m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1)，a＞0，若f(x)在(0，1)上是增函数，求a的取值范围．
【解】 f(x)＝2ax－x3，得f′(x)＝2a－3x2.
∵f(x)在(0，1)上是增函数，
∴f′(x)≥0在x∈(0，1)上恒成立，
从而2a－3x2≥0，得a≥x2恒成立．
又∵x∈(0，1)，∴x2＜，
所以a≥.
又当a＝时，f′(x)＝3(1－x2)＞0恒成立．
因此实数a的取值范围是[，＋∞)．
导数与函数单调性关系理解不清致误
设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
【错解】 函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝a＋－＝.
(1)由f′(2)＝0，得a－1＝0，∴a＝.
则f′(x)＝(2x2－5x＋2)，且x＞0.
由f′(x)＞0，及x＞0，得x＞2或0＜x＜，
∴f(x)的递增区间为(0，]和[2，＋∞)．
(2)f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝＞0恒成立．
因此ax2－2x＋a＞0对x＞0恒成立．
转化为a＞对x∈(0，＋∞)恒成立，
又≤1，当且仅当x＝1时等号成立，
因此实数a的取值范围为(1，＋∞)．
【错因分析】 在(2)中产生错误的原因是误认为f′(x)＞0?f(x)在(0，＋∞)上是增函数，事实上a＝1时，f′(x)＝≥0，当且仅当x＝1时，f′(x)＝0，函数f(x)仍是增函数．
【防范措施】 在某个区间上，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，f(x)在这个区间上单调递增(或递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(或递减)而仅仅得到f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使得f′(x)在这个区间上单调，因而对于能否取得等号的问题需要单独验证．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．
【正解】 第(1)题仍同上述解法，(2)更正如下：
(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝≥0恒成立．
因此ax2－2x＋a≥0对x＞0恒成立，
转化为a≥对任意x＞0恒成立．
又≤1当且仅当x＝1时取等号．
∴的最大值为1，从而a≥1.
当a＝1时，f′(x)＝≥0当且仅当x＝1时等号成立．因此实数a的取值范围为[1，＋∞)．
1．利用导数讨论函数的单调性，要先求函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．
2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．两个单调性相同的区间，不能用并集符号连结．
3．当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间．
4．由函数单调性求参数取值范围．
f(x)为增函数?f′(x)≥0且f′(x)＝0不恒成立．
f(x)为减函数?f′(x)≤0且f′(x)＝0不恒成立．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
【解析】 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)＞0，解得x＞2.
【答案】 (2，＋∞)
2．(2012·辽宁高考改编)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________．
【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，且y′＝x－≤0，
由y′≤0，得x≤，∴0＜x≤1，
∴函数y＝x2－ln x的单调减区间为(0，1]．
【答案】 (0，1]
3．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则k的取值范围是________．
【解析】 由题意知h′(x)＝2＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，得k≥－2x2，
∴k≥－2.
【答案】 [－2，＋∞)
4．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.若f(x)在[，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
【解】 由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a.
当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a.
令＋2a>0，得a>－，
所以，当a∈(－，＋∞)时，f(x)在[，＋∞)上存在单调递增区间．
一、填空题
1．已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图1－3－1所示，则函数y＝f(x)的单调增区间为________，单调减区间为________．
图1－3－1
【解析】 由f′(x)的图象知，当x＞6时，f′(x)＜0；
当x＜6时，f′(x)＞0.
∴f(x)的增区间为(－∞，6)，单调减区间为(6，＋∞)．
【答案】 (－∞，6) (6，＋∞)
2．函数y＝4x2＋的增区间是________．
【解析】 y′＝8x－＝＝.
令y′＞0，则x＞，
∴单调增区间为(，＋∞)．
【答案】 (，＋∞)
3．(2013·苏州高二检测)已知函数f(x)＝xex(x∈R)，若a＜b＜－1，则f(a)________f(b)．
【解析】 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
∵x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－1)内为减函数，∴f(a)＞f(b)．
【答案】 ＞
4．若函数y＝sin x＋ax为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 y′＝cos x＋a，令y′≥0，可得a≥－cos x，故a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m.
∵f(x)在R上非单调，∴f′(x)有两个相异零点，
∴Δ＝4－12m＞0，∴m＜.
【答案】 (－∞，)
6．已知f(x)＝＋ln x，则f(e)，f(2)与f(3)的大小关系是________．
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(3)＞f(e)＞f(2)．
【答案】 f(3)＞f(e)＞f(2)
7．(2013·南京高二检测)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝－x＋，当x＞－1时，f′(x)＜0，即－x＋＜0，∴x＞.
∴b＜x(x＋2)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.
∵x＞－1时，(x＋1)2－1＞－1，
∴b≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
8．(2013·大连高二检测)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
【解析】 令f(x)－2x－4＝g(x)，
则g′(x)＝f′(x)－2.
∴g′(x)＞0，则g(x)在R上是增函数．
又f(－1)＝2，∴g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
从而g(x)＞g(－1)?x＞－1.
【答案】 {x|x＞－1}
二、解答题
9．求函数f(x)＝ln x－x2＋1的单调区间．
【解】 f′(x)＝－x＝，且f(x)定义域(0，＋∞)，
令f′(x)＞0，得1－2x2＞0，∴0＜x＜，
令f′(x)＜0，得1－2x2＜0，∴x＞，
所以函数f(x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)．
10．(2012·陕西高考改编)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间(，1)内存在惟一零点．
【证明】 b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fn()fn(1)＝(－)×1<0，
∴fn(x)在(，1)内存在零点．
又当x∈(，1)时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∴fn(x)在(，1)上是单调递增的，
∴fn(x)在(，1)内存在惟一零点．
11．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
因此实数a的取值范围是(－∞，0]．
(教师用书独具)
设函数f(x)＝x－－aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．
【自主解答】 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，则对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4.
(1)当|a|≤2时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当a＜－2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都小于0.在(0，＋∞)上，g(x)＞0，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)当a＞2时，Δ＞0，g(x)＝0的两根都大于0，分别为x1＝，x2＝.
当0＜x＜x1时，g(x)＞0，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，g(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞x2时，g(x)＞0，f′(x)＞0.
故f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．
已知函数f(x)＝(x－k)2e，求f(x)的单调区间．
【解】 f′(x)＝2(x－k)·e＋(x－k)2·e
＝e[x2－2x＋k＋2x－2k]＝(x2－k2)e
＝(x＋k)(x－k)e.
①当k＞0时，由f′(x)＞0，得x＜－k或x＞k；
由f′(x)＜0得－k＜x＜k.
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．
②当k＜0时，
由f′(x)＞0得k＜x＜－k；
由f′(x)＜0得x＜k或x＞－k，
所以f(x)的单调递增区间是(k，－k)，单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)．
1．3.2 极大值与极小值
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
(2)理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值．
(3)掌握求可导函数的极值的步骤．
2．过程与方法
(1)结合实例，借助函数图象直观感知，并探索函数的极值与导数的关系．
(2)培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质的一般性和有效性．通过函数的极值与单调性之间的联系，体会知识的发展过程，逐步提高科学地分析、解决问题的能力．
●重点难点
重点：利用导数知识求函数的极值．
难点：函数的极值与导数的关系，利用函数的极值求有关参数．
用上节课导数的单调性作铺垫，借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义，利用定义求函数的极值．通过观察分析，合作交流，探究发现，归纳总结，注重概念形成的过程及求函数极值的方法，突出重点，突破难点．
(教师用书独具)
●教学建议
在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要“知其所以然”．为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，在教师的引导下，创设情境，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学的严谨，使之获得内心感受．
●教学流程
?????
课标解读
1.会求函数的极大值与极小值(重点)．
2．掌握函数极大(小)值与导数的关系及灵活应用(难点)．
3．理解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件(易错点).
函数极大值与极小值的概念
【问题导思】
如图所示函数y＝f(x)的图象，函数y＝f(x)在点x＝1，x＝2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系？
【提示】 f(1)比在点x＝1处附近的函数值都要大；f(2)比在点x＝2处附近的函数值都要小．
设函数f(x)在x1附近有定义，且f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；
设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x2)比它附近点的函数值都要小，我们称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．
函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
函数的极值与导数的关系
【问题导思】
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，在点a，b附近，函数y＝f(x)的导数符号有什么规律？
【提示】 在点a附近的导数的符号是左正右负；在点b附近的导数符号是左负右正．
2．若f′(x0)＝0，那么y＝f(x)在点x＝x0处是否一定取到极值？
【提示】 不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x＝x0两侧的符号是否异号．例如：f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
1．极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增?
极大值f(x1)
减
(2)极小值与导数之间的关系
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
求函数的极值
求下列函数的极值．
(1)f(x)＝＋3ln x；(2)f(x)＝－2.
【思路探究】 求出f′(x)和使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧的单调性，进而判断极值．
【自主解答】 (1)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
当f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值3
?
因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－3
?
－1
?
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
1．求函数极值，一定要树立定义域优先的意识；当方程f′(x)＝0的实根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
2．求可导函数极值的基本步骤：
(1)求函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0的实根；(4)检查f′(x)＝0落在定义域内根左、右两侧f′(x)值的符号，若左正右负(或左负右正)，则f(x)在这个根处取得极大值(或极小值)．
求下列函数的极值．
(1)y＝2x＋；(2)y＝x2·e－x.
【解】 (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y′＝2－，令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，0)
(0，2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
?
－8
?
?
8
?
由上表可知，当x＝－2时，y极大值＝－8；
当x＝2时，y极小值＝8.
(2)函数y＝x2·e－x的定义域为R，
f′(x)＝(x2·e－x)′＝()′＝＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
由上表可知：当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值为f(2)＝.
由函数的极值求参数
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a，b的值．
【思路探究】 可先求f′(x)，则f′(－1)＝0.建立关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值，最后将a，b代入原函数验证极值情况．
【自主解答】 ∵f(x)在x＝－1时有极值0且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
∴即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)
∴当x＜－3或x＞－1时，f′(x)＞0；当－3＜x＜－1时，f′(x)＜0.
因此f(x)在x＝－1处取得极小值．
所以a＝2，b＝9.
1．本题中，满足f′(－1)＝0的a，b并不能保证x＝－1为极值点，常忽略验证导致增解．因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以必须验证根的合理性．
2．已知函数的极值求参数，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
若将本例中“x＝－1时有极值0”改为“x＝－1和x＝3处有极值”，结果会怎样？
【解】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′(－1)＝－6a＋3＋b＝0，
即b－6a＝－3.①
又∵f′(3)＝18a＋27＋b＝0，
∴b＋18a＝－27.②
联立①②，解得
∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3.
列表
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大
?
极小
?
∴f(x)在－1，3处取极值，
∴a＝－1，b＝－9符合题意．
函数极值的综合应用
已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？
【思路探究】 (1)利用极值和单调性作出y＝f(x)草图；(2)将方程根的判定转化为研究函数的图象与x轴交点的个数，数形结合，对极值加以限制，求得a值．
【自主解答】 (1)∵f(x)＝－x3＋3x＋a，
∴f′(x)＝－3x2＋3.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0.
所以函数f(x)的极小值f(－1)＝a－2；极大值f(1)＝a＋2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示．
(2)若方程f(x)＝0恰有两个实根，则y＝f(x)的图象与x轴有两个公共点．
结合函数y＝f(x)的图象，应有：
或
解之得a＝2或a＝－2.
∴当a＝±2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根．
1．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．
2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
【解】 ∵f(x)在x＝－1处有极值，且f′(x)＝3x2－3a.∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
∴f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3，1)．
错认“导数为0的点为极值点”致误
若f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，求a＋b的值．
【错解】 因为f(x)在x＝1处有极值10，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以即
解得或
所以a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】 本题未检验x＝1左右附近f′(x)的符号导致增解，可导函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值为0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要但不充分条件．
【防范措施】 f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即可导函数f(x)在x0处取得极值，必有f′(x0)＝0.反之，若f′(x0)＝0，则可导函数f(x)在x0处不一定取得极值，还要考虑到f′(x)在x0两侧异号，已知极值求某些参变量的值时，一定不要忘了求解后的检验．
【正解】 因为f(x)在x＝1处有极值10，且f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以即
解得或
(1)当a＝4且b＝－11时，f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．
当x∈(－，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
故当x＝1时，f(x)取得极小值．
(2)当a＝－3，b＝3时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，
此时f′(x)＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点，舍去．
综上可知，a＝4，b＝－11，则a＋b＝－7.
1．对极值的理解
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、右两侧的邻域而言的．
(2)极值点是函数定义域内的点，定义域的端点绝不是函数的极值点，在区间(a，b)上的单调函数没有极值点．
2．可导函数f(x)在x＝x0处有极值必须满足f′(x0)＝0，且f′(x)在x＝x0的左、右两侧函数值异号．
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．
1．(2013·南京高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1－3－2所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点________个．
图1－3－2
【解析】 A，B，O，D均满足f′(x)＝0，但要为极小值点，需满足使f′(x)“左负右正”，只有B点．
【答案】 1
2．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则a＝________，b＝________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b两零点为－2，4，
∴
∴
【答案】 －3 －24
3．(2013·盐城高二检测)若函数y＝，则函数有极大值________，极小值________．
【解析】 y′＝，
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，
列表
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小
?
极大
?
∴y极小＝－3，y极大＝3.
【答案】 3 －3
4．求函数f(x)＝的极值．
【解】 函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，
解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
?
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值．
一、填空题
1．(2013·广州高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．
【答案】 2
2．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________．
【解析】 f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)，
由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，
即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－.
【答案】 －
3．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
【解析】 由f′(x)＝＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，
又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
【答案】 3
4．(2013·杭州高二检测)设a∈R，若函数y＝ex－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【解析】 y′＝ex－a，令y′＝0得x＝ln a，
令ln a＞0，则a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之间的关系如下表
x
(－∞，0)
0
(0，4)
4
(4，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小
?
极大
?
由表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
6．(2013·连云港高二检测)已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos 2α＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3，
且f(x)在x＝1处有极值．
∴f′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
【答案】 －
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同实根，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×3a＞0，
解得a＜0或a＞9.
【答案】 (－∞，0)∪(9，＋∞)
8．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________．
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，
即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，
∴由根与系数的关系知
解得故a＋b＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求实数k的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．
∵k＞0，令f′(x)＞0，得x＞或x＜0；令f′(x)＜0，得0＜x＜.
∴f(x)的增区间是(－∞，0)与(，＋∞)；减区间是(0，)．
(2)由(1)知，f(x)的极小值f()＝－＋1＝1－，
依题意，1－＞0，∴k＞2.
故实数k的取值范围是(2，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求实数a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
【解】 (1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
因此
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1.
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因为当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是单调递增的；在(－∞，－2)和(0，1)?
一、填空题
1．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
【解析】 ＝＝－.
【答案】 －
2．函数f(x)＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是________．
【解析】 函数的平均变化率是＝＝.
【答案】
3．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(单位：米)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为________．
【解析】 ＝＝20(m/s)．
【答案】 20 m/s
4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________．
【解析】 由题意得＝3，
∴m＝2(m＝1舍去)．
【答案】 2
5．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
【解析】 ＝0.1(m/h)．
【答案】 0.1
6．服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/
(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)．
【解析】 ＝
＝－0.002 mg/(mL·min)．
【答案】 －0.002
7．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)＝t＋t3，则该物体在时间间隔[1，]内的平均加速度为________．
【解析】 平均加速度＝＝.
【答案】
图1－1－4
8．如图1－1－4所示，显示甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．
①在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度．
【解析】 在[0，t0]内甲、乙的平均速度为，①②错．在[t0，t1]上，v甲＝，v乙＝.
∵s2－s0＞s1－s0，且t1－t0＞0，
∴v甲＞v乙，故③正确，④错误．
【答案】 ③
二、解答题
9．求函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率．
【解】 f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为＝.
10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
【解】 依题意，生产并售出x台所获得的利润是
L(x)＝r(x)－c(x)＝3x2－3x(元)，
∴x取值从10台至20台的平均利润为
＝＝87(元)，
故所求平均利润为87元．
11．(2013·泰安高二检测)巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
图1－1－5
【解】 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝＝，
∴hBC>hAB ，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
一、填空题
1．设函数f(x)在x＝x0处可导，当h无限趋近于0时，对于的值，以下说法中正确的是________．
①与x0，h都有关；②仅与x0有关而与h无关；
③仅与h有关而与x0无关；④与x0，h均无关．
【解析】 导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与h无关．
【答案】 ②
2．(2013·徐州高二检测)函数f(x)＝x2在x＝3处的导数等于________．
【解析】 ＝＝6＋Δx，
令Δx→0，得f′(3)＝6.
【答案】 6
3．(2013·合肥高二检测)函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________．
【解析】 由导数的几何意义，f′(4)＝－2.
又f(4)＝－2×4＋9＝1.
故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.
【答案】 －1
4．已知物体的运动方程为s＝－t2＋8t(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为________．
【解析】 Δs＝－(2＋Δt)2＋8(2＋Δt)－(8×2－×22)＝6Δt－(Δt)2，
则＝6－Δt，
当Δt→0时，→6.
【答案】 6
5．曲线f(x)＝x3在x＝0处的切线方程为________．
【解析】 ＝＝＝(Δx)2.
当Δx→0时，→0.
∴由导数的几何意义，切线的斜率k＝f′(0)＝0.
因此所求切线方程为y＝0.
【答案】 y＝0
6．若点(0，1)在曲线f(x)＝x2＋ax＋b上，且f′(0)＝1，则a＋b＝________．
【解析】 ∵f(0)＝1，∴b＝1.
又＝＝Δx＋a.
∴当Δx→0时，→a，则f′(0)＝a＝1.
所以a＋b＝1＋1＝2.
【答案】 2
7．高台跳水运动员在t秒时距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(单位：米)，则该运动员的初速度为________米/秒．
【解析】 ＝
＝6.5－4.9Δt
∵当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，
∴该运动员的初速度为6.5米/秒．
【答案】 6.5
8．(2013·泰州高二检测)已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图1－1－6所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
图1－1－6
【解析】 k1表示曲线在x＝1处的切线的斜率，k2表示曲线在x＝2处的切线的斜率，
k3表示两点(1，f(1))，(2，f(2))连线的斜率，
由图可知：k1＞k3＞k2.
【答案】 k1＞k3＞k2
二、解答题
9．已知函数f(x)＝2x2＋4x，试求f′(3)．
【解】 Δy＝f(3＋Δx)－f(3)
＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－30＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝2Δx＋16，
当Δx→0时，→16.
因此f′(3)＝16.
10．子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，运动方程为s＝at2，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，
子弹在枪筒中的运动时间为1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
【解】 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0(Δt)＋a(Δt)2，
所以＝at0＋a(Δt)．所以当Δt→0时，→at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
11．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q(－1，)．
求：(1)曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
【解】 将P(2，－1)代入y＝，
得t＝1，∴y＝，设f(x)＝，
∵＝
＝
＝，
∴当Δx→0时，→.
∴f′(x)＝.
(1)由导数的几何意义，知
曲线在点P处的切线斜率f′(2)＝1.
曲线在点Q处的切线斜率f′(－1)＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，即x－4y＋3＝0.
一、填空题
1．(2013·南通高二检测)若f(x)＝，则f′(－1)＝________．
【解析】 由y＝＝x，知f′(x)＝x－，
∴f′(－1)＝×(－1)－＝.
【答案】
2．(2013·南昌高二检测)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为________．
【解析】 ∵y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1.
【答案】 1
3．(2013·淮安高二检测)已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为________．
【解析】 f′(x)＝，∴f′(e)＝.
【答案】
4．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－，
又g′(x)＝m，∴g′(2)＝m，
由g′(2)＝，∴m＝－4.
【答案】 －4
5．(2013·南京高二检测)已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为________．
【解析】 设切点为P(x0，y0)，
对曲线，y′＝，由题意知x＝x0时，y′＝1，
∴＝1，x0＝1.∴P(1，0)．
把P(1，0)代入直线y＝x＋a，得a＝－1.
【答案】 －1
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 013(x)＝________．
【解析】 由题意f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，则可知周期为4.
从而f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.
【答案】 cos x
7．曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________．
【解析】 ∵y′＝x，设切点坐标为(x0，x)，
∴x0＝1，则y0＝，切点为(1，)，切线的斜率为1，
∴切线方程为：y－＝x－1，即x－y－＝0.
【答案】 x－y－＝0
8．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
【解析】 由y＝x2(x>0)得，y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为：
y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，得x＝，即ak＋1＝
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】 21
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝3lg；(3)y＝2cos2－1.
【解】 (1)y′＝(x)′＝x.
(2)∵y＝3lg＝lg x.
∴y′＝(lg x)′＝.
(3)因y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
10．已知直线y＝kx是函数y＝ln x图象的一条切线，试求k的值．
【解】 设切点为(x0，y0)，∵y＝ln x，
∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
又点(x0，y0)在直线y＝kx与曲线y＝ln x上，
∴
∴·x0＝ln x0，x0＝e，从而k＝＝.
11．求证：双曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
【证明】 由xy＝1，得y＝，从而y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P(x0，)，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，
即y＝－x＋.
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0，0)，B(0，)，
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·||＝2.
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
一、填空题
1．函数y＝－2exsin x的导数y′＝________．
【解析】 y′＝(－2ex)′sin x＋(－2ex)·(sin x)′
＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．
【答案】 －2ex(sin x＋cos x)
2．函数f(x)＝xe－x的导数f′(x)＝________．
【解析】 f′(x)＝x′·e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.
【答案】 (1－x)e－x
3．曲线y＝－x3＋3x2在点(1，2)处的切线方程为________．
【解析】 y′＝－3x2＋6x，因为点(1，2)在曲线上，且y′|x＝1＝3，即切线斜率为3，所以利用点斜式可得切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
【答案】 y＝3x－1
4．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________．
【解析】 ∵v＝s′＝6t2－gt，
∴a＝v′＝12t－g＝12×2－10＝14(m/s2)．
【答案】 14 m/s2
5．(2013·盐城高二检测)曲线C：f(x)＝ex＋sin x＋1在x＝0处的切线方程是________．
【解析】 ∵f′(x)＝ex＋cos x，∴k＝f′(0)＝2，切点(0，2)，切线方程为y＝2x＋2.
【答案】 y＝2x＋2
6．若f(x)＝，则f′()等于________．
【解析】 ∵f′(x)
＝
＝＝，
∴f′()＝＝.
【答案】
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
【解析】 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．
又y′＝＝及导数的几何意义，
∴y′|x＝x0＝＝1，
即x0＋a＝1.
因此，y0＝ln(x0＋a)＝0，∴x0＝－1.
从而a＝1－x0＝2.
【答案】 2
8．(2013·南通高二检测)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．
【解析】 ∵(1，g(1))在切线y＝2x＋1上，
∴g(1)＝2×1＋1＝3，∴f(1)＝g(1)＋12＝4.
又∵k＝f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴切线方程为y－4＝4(x－1)即y＝4x.
【答案】 y＝4x
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xln(x＋1)；(2)y＝sin22x＋2x＋1.
【解】 (1)y′＝[xln(x＋1)]′＝x′ln(x＋1)＋
＝ln(x＋1)＋.
(2)y＝＋2x＋1＝2x－cos 4x＋，
∴y′＝(2x)′－(cos 4x)′＋()′
＝2x·ln 2＋sin 4x·(4x)′
＝2x·ln 2＋2sin 4x.
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．
【解】 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，
故即
解得a＝1，b＝1.
11．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系h(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中h的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义．
【解】 h′(t)＝[3sin(t＋)]′
＝3cos(t＋)·(t＋)′
＝cos(t＋)．
将t＝18代入h′(t)，得h′(18)＝cos ＝(m/h)．
它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
一、填空题
1．已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图1－3－1所示，则函数y＝f(x)的单调增区间为________，单调减区间为________．
图1－3－1
【解析】 由f′(x)的图象知，当x＞6时，f′(x)＜0；
当x＜6时，f′(x)＞0.
∴f(x)的增区间为(－∞，6)，单调减区间为(6，＋∞)．
【答案】 (－∞，6) (6，＋∞)
2．函数y＝4x2＋的增区间是________．
【解析】 y′＝8x－＝＝.
令y′＞0，则x＞，
∴单调增区间为(，＋∞)．
【答案】 (，＋∞)
3．(2013·苏州高二检测)已知函数f(x)＝xex(x∈R)，若a＜b＜－1，则f(a)________f(b)．
【解析】 f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
∵x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－1)内为减函数，∴f(a)＞f(b)．
【答案】 ＞
4．若函数y＝sin x＋ax为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】 y′＝cos x＋a，令y′≥0，可得a≥－cos x，故a≥1.
【答案】 [1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m.
∵f(x)在R上非单调，∴f′(x)有两个相异零点，
∴Δ＝4－12m＞0，∴m＜.
【答案】 (－∞，)
6．已知f(x)＝＋ln x，则f(e)，f(2)与f(3)的大小关系是________．
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故f(3)＞f(e)＞f(2)．
【答案】 f(3)＞f(e)＞f(2)
7．(2013·南京高二检测)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝－x＋，当x＞－1时，f′(x)＜0，即－x＋＜0，∴x＞.
∴b＜x(x＋2)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.
∵x＞－1时，(x＋1)2－1＞－1，
∴b≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
8．(2013·大连高二检测)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
【解析】 令f(x)－2x－4＝g(x)，
则g′(x)＝f′(x)－2.
∴g′(x)＞0，则g(x)在R上是增函数．
又f(－1)＝2，∴g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
从而g(x)＞g(－1)?x＞－1.
【答案】 {x|x＞－1}
二、解答题
9．求函数f(x)＝ln x－x2＋1的单调区间．
【解】 f′(x)＝－x＝，且f(x)定义域(0，＋∞)，
令f′(x)＞0，得1－2x2＞0，∴0＜x＜，
令f′(x)＜0，得1－2x2＜0，∴x＞，
所以函数f(x)的增区间为(0，)，减区间为(，＋∞)．
10．(2012·陕西高考改编)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间(，1)内存在惟一零点．
【证明】 b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fn()fn(1)＝(－)×1<0，
∴fn(x)在(，1)内存在零点．
又当x∈(，1)时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∴fn(x)在(，1)上是单调递增的，
∴fn(x)在(，1)内存在惟一零点．
11．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为[ln a，＋∞)．
(2)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
因此实数a的取值范围是(－∞，0]．
一、填空题
1．(2013·广州高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x<0时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．
【答案】 2
2．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极值，则x0＝________．
【解析】 f′(x)＝2x＋x·2xln 2＝2x(1＋xln 2)，
由已知f′(x0)＝0，∴2x0(1＋x0ln 2)＝0，
即1＋x0ln 2＝0.∴x0＝－.
【答案】 －
3．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
【解析】 由f′(x)＝＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，
又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
【答案】 3
4．(2013·杭州高二检测)设a∈R，若函数y＝ex－ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【解析】 y′＝ex－a，令y′＝0得x＝ln a，
令ln a＞0，则a＞1.
【答案】 (1，＋∞)
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________．
【解析】 y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
令y′＝0得x1＝0，x2＝4.
x，y′，y之间的关系如下表
x
(－∞，0)
0
(0，4)
4
(4，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小
?
极大
?
由表可知y极大＝f(4)＝32＋m＝13.
∴m＝－19.
【答案】 －19
6．(2013·连云港高二检测)已知函数f(x)＝x3＋(3－5cos α)x2－3x在x＝1处有极值，则cos 2α＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2(3－5cos α)x－3，
且f(x)在x＝1处有极值．
∴f′(1)＝3＋2(3－5cos α)－3＝0，∴cos α＝，
因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.
【答案】 －
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3ax＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同实根，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×3a＞0，
解得a＜0或a＞9.
【答案】 (－∞，0)∪(9，＋∞)
8．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＋b＝________．
【解析】 f′(x)＝＋2bx＋3＝，
∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，
∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，
即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，
∴由根与系数的关系知
解得故a＋b＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求实数k的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3kx2－6x＝3kx(x－)．
∵k＞0，令f′(x)＞0，得x＞或x＜0；令f′(x)＜0，得0＜x＜.
∴f(x)的增区间是(－∞，0)与(，＋∞)；减区间是(0，)．
(2)由(1)知，f(x)的极小值f()＝－＋1＝1－，
依题意，1－＞0，∴k＞2.
故实数k的取值范围是(2，＋∞)．
10．设函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1为f(x)的极值点．
(1)求实数a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
【解】 (1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0，
因此
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1.
所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
因为当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－2，0)和(1，＋∞)上是单调递增的；在(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的．
11．(2012·重庆高考)设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【解】 (1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因为x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
一、填空题
1．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是________．
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2(舍去)．
当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，f(x)递增；
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)递减；
∴x＝0时，f(x)取最大值2.
【答案】 2
2．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值是________．
【解析】 由f′(x)＝－＝0，得x＝1，
∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x∈(1，5]时，f′(x)＞0.
故当x＝1时，f(x)有最小值，且f(1)＝3.
【答案】 3
3．函数y＝x＋2cos x在区间[0，]上的最大值是________．
【解析】 ∵y′＝1－2sin x，x∈[0，]，
令y′＝0，得x＝.
由于f(0)＝2，f()＝＋，f()＝，
∴函数的最大值为＋.
【答案】 ＋
4．(2013·常州高二检测)函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2－2x－1，x∈[0，2]，
令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－舍去)．
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
∴f(x)在[0，2]上的最大值为a＋2＝3，∴a＝1.
【答案】 1
5．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的最小值是________．
【解析】 f′(x)＝－＋1＝，
当x∈[1，3]时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，
∴f(x)在x∈[1，3]上的最小值为f(1)＝.
【答案】
6．若对任意的x＞0，恒有ln x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是________．
【解析】 原不等式化为ln x－px＋1≤0，
令f(x)＝ln x－px＋1，只需f(x)max≤0.
由f′(x)＝－p知f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．
∴f(x)max＝f()＝－ln p，
由f(x)max≤0，得p≥1.
【答案】 [1，＋∞)
7．(2013·长沙高二检测)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________．
【解析】 设h(x)＝x2－ln x，
易知h′(x)＝2x－＝，x＞0，
x＝是h(x)在x∈(0，＋∞)内惟一极小值点，
且h()＝－ln ＞0，则|MN|min＝h(x)min，
∴MN达到最小时，t＝.
【答案】
8．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 设y＝x2＋，则y′＝2x－＝，
当x≤－时，y′＜0，y＝x2＋是减函数，
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
【答案】 (－∞，－]
二、解答题
9．设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．
【解】 函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a＞0.
即f(x)在(0，1]上单调递增，故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
10．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋c，x∈[－2，6]，若当x∈[－2，6]时，f(x)＜2c恒成立，求实数c的取值范围．
【解】 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
c＋5
?
极小值
c－27
?
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2，6]时f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可，
因此c＞54.
即实数c的取值范围为(54，＋∞)．
11．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝exx(x＋2)，
令exx(x＋2)＞0，得x＞0或x＜－2，
∴f(x)的增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)，
令exx(x＋2)＜0，得－2＜x＜0，
∴f(x)的减区间为(－2，0)．
(2)因为x∈[－2，2]，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0，
又由(1)知，x＝－2，x＝0分别为f(x)的极大值点和极小值点．
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)max＝2e2.
∵x∈[－2，2]时，f(x)＜m恒成立．
∴m＞2e2，即m的取值范围为(2e2，＋∞)．
一、填空题
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为S＝t3－2t2，则速度为零的时刻是________秒末．
【解析】 S′＝4t2－4t，令S′＝0，得t＝0或t＝1，
∴速度为0的时刻是0秒末或1秒末．
【答案】 0或1
2．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＋)(x＞0)，所以y′＝2(1－)．
令y′＝0，得x＝200或x＝－200(舍去)，
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
故当x＝200时，y取得最小值800，即矩形广场的周长至少为800米．
【答案】 800
3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为________．
【解析】 设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，则V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x＝或x＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；
当＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝时，V取得最大值．
【答案】 cm
4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，则存款利率定为________时，银行可获得最大利润．
【解析】 设利润为y，则y＝kx2(0.048－x)＝0.048kx2－kx3，∴y′＝0.096kx－3kx2.
令y′＝0得x1＝0(舍去)，x2＝0.032.
【答案】 0.032
5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________．
【解析】 设直棱柱的底面边长为a，高为h，
依题意，a2·h＝V，∴ah＝.
因此表面积S＝3ah＋2·a2＝＋a2.
∴S′＝a－，由S′＝0，得a＝.
易知当a＝时，表面积S取得最小值．
【答案】
6．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为________元．(毛利润＝销售收入－进货支出)
【解析】 设毛利润为L(p)，则题意知：
L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
【答案】 23 000
7．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为________海里/时．
【解析】 设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元．依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，x∈(0，35]．
则y′＝300－，x∈(0，35]．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝＋300x在(0，35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
【答案】 35
图1－4－2
8．如图1－4－2所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形(其中一边长为x)，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．
【解析】 由题意可知，正六棱柱的底面边长为1－2x，高为xtan 60°＝x，所以六棱柱的体积为V(x)＝6×(1－2x)2×x＝(4x3－4x2＋x)(0令V′(x)＝0，得x＝或x＝(舍去)．
因为当x∈(0，)时，V′(x)>0；当x∈(，)时，V′(x)<0，所以x＝时函数取得极大值，也是最大值．
此时正六棱柱的底面边长为.
【答案】
二、解答题
图1－4－3
9．要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图1－4－3，则斜角θ为多大时，水槽的流量最大？
【解】 设横截面面积为S，则S＝(AB＋ED)·CD，
AB＝a＋2acos θ，CD＝asin θ，
S＝[a＋(a＋2acos θ)]·asin θ
＝a2sin θ(1＋cos θ)(0＜θ＜)．
又S′＝a2(2cos2θ＋cos θ－1)，
令S′＝0，即a2(2cos2θ＋cos θ－1)＝0，
得cos θ＝或cos θ＝－1.
因为0＜θ＜，故cos θ≠－1，则cos θ＝，此时θ＝.
而0＜θ＜时，S′＞0；＜θ＜时，S′＜0.
故当θ＝时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大．
10．甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
【解】 (1)Q＝P·
＝(v4－v3＋15v)·
＝(v3－v2＋15)·400
＝－v2＋6 000(0＜v≤100)．
(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0.
∴当v＝80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，
又函数在(0，100]内有惟一极小值，也就是最小值．
故运输成本的最小值为Q(80)＝(元)．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解】 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
∴n＝－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256(－1)＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－
＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
