课件46张PPT。教师用书独具演示演示结束圆锥曲线 两条相交直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 距离的和F1F2两个定点F1，F2PF1＋PF2＞距离的差的绝 对值小于F1F2的正数定点F1，F2两焦点F不在l上相等定点F定直线l|PF1－PF2|＜PF＝d椭圆的定义及应用 双曲线的定义及应用 抛物线的定义及应用 课时作业（五）课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的标准方程 (0，－c)，(0，c) a2＝b2＋c2 待定系数法求椭圆的标准方程 椭圆标准方程的应用 与椭圆有关的轨迹问题 课时作业（六）课件71张PPT。教师用书独具演示演示结束椭圆的简单几何性质 2a 2b 2c x轴、y轴 (0,0) 接近于1 接近于0 由椭圆方程求其几何性质 由椭圆的几何性质求方程 求椭圆的离心率 直线与椭圆的位置关系 课时作业（七）课件59张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) (－c,0)(0，－c)(c,0)(0，c)求双曲线的标准方程 双曲线标准方程的应用 与双曲线有关的轨迹问题 课时作业（八）课件75张PPT。教师用书独具演示演示结束双曲线的几何性质 等长 由双曲线标准方程求其几何性质 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 求双曲线的离心率(或取值范围) 直线与双曲线的位置关系 课时作业（九）课件50张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程 由标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程 抛物线标准方程及定义的应用 课时作业（十）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束抛物线的几何性质 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R， y≥0x∈R， y≤0 O(0,0) 向右 向左 向上 向下 由几何性质求标准方程 抛物线的焦点弦问题 抛物线的最值问题 课时作业（十一）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束圆锥曲线的统一定义 常数e 0
1 e＝1 焦点 准线 已知准线求圆锥曲线的方程 圆锥曲线统一定义的应用 焦点弦问题 课时作业（十二）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束曲线的方程 方程的曲线 曲线C 方程f(x，y)＝0 f(x，y)＝0 曲线C 曲线C的方程 方程f(x，y)＝0的曲线 曲线与方程的概念理解 点与曲线的位置关系 由方程判断曲线类型，研究曲线的性质 课时作业（十三）课件55张PPT。教师用书独具演示演示结束求曲线的方程的一般步骤 求曲线方程的常用方法 直接法 代入法 参数法 几何法 定义法 直接法求动点轨迹方程 代入法求动点的轨迹方程 参数法求动点的轨迹方程 课时作业（十四）课件61张PPT。教师用书独具演示演示结束两条曲线的交点 弦长公式 曲线的公共点个数问题 弦的问题 直线与圆锥曲线的综合问题 课时作业（十五）第2章 圆锥曲线与方程
2．1圆锥曲线
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，掌握椭圆、抛物线的定义，了解双曲线的定义，并能用数学符号或自然语言描述．
2．过程与方法
(1)通过用平面截圆锥面，体会圆锥曲线的形状及产生过程，归纳圆锥曲线的定义内涵，通过数形结合，由具体形象抽象出概念．
(2)通过具体动点轨迹的判定过程，体会定义法求动点轨迹的方法．
3．情感、态度与价值观
通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们透过现象揭示事物内在本质的思维方式，提高他们认识事物的能力．
●重点难点
重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义．
难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．
教学时，应从回顾圆的定义入手，结合冷却塔、油罐车、探照灯等实例，激发学生的探究兴趣，通过平面按不同的角度截割圆锥曲面的动画效果，使学生生动的认识椭圆、抛物线、双曲线的形象，抽象出三种圆锥曲线的概念．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课作为圆锥曲线的起始课程，安排本章的开篇，本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义，这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．
●教学流程
回顾初中有关圆的概念，作为三种圆锥曲线定义的铺垫．?通过用平面去截圆锥面得到不同曲线的动画，展示圆锥曲线的产生过程，揭示圆锥曲线的定义内涵．?由形象到具体，由具体到抽象，抽象出圆锥曲线的定义，通过生活中的实例，理解概念实质，通过举反例，诠释概念内涵．?通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆定义及应用，判别动点轨迹是否为椭圆，求椭圆上一点到焦点的距离．?通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义及应用，判别动点轨迹是否为双曲线，求双曲线上一点到焦点的距离．?通过例3及变式训练，让学生掌握抛物线定义及应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化．?通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读
1.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形．(重点、难点)
2．了解双曲线的定义和几何图形．(重点)
3．双曲线与椭圆定义的区别．(易混点)
圆锥曲线
【问题导思】
1．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？
【提示】 圆．
2．函数y＝x2的图象是什么？
【提示】 开口向上的抛物线．
3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？
【提示】 圆、椭圆．
1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．
2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.
定义(自然语言)
数学语言
双曲线
平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
PF＝d，其中d为点P到l的距离
椭圆的定义及应用
下列说法中不正确的是________．
①已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
②已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
③到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
【思路探究】
判定是否为椭圆回顾椭圆定义分析距离满足条件
【自主解答】 ①中F1F2＝8，故到F1、F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.
②中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2，故这样的轨迹不存在．
③中点(5,3)到F1、F2的距离之和为＋＝4>F1F2＝8，故③中是椭圆的轨迹．
④中是线段F1F2的垂直平分线．
【答案】 ①②④
1．判断动点P的运动轨迹是否为椭圆，关键分析两点：
(1)点P到两定点的距离之和是否为常数．
(2)该常数是否满足大于两定点间的距离．
如果满足以上两条，则动点P的轨迹便为椭圆．
2．椭圆定义不仅可以用来判定动点轨迹形状，也可由椭圆求解其他问题．
图2－1－1
如图2－1－1，已知F1，F2为椭圆两焦点，直线AB过F1，若椭圆上任一点M满足MF1＋MF2＝8，F1F2＝6，求△ABF2的周长．
【解】 由椭圆定义，AF1＋AF2＝8，BF1＋BF2＝8，
∴△ABF2周长为16.
双曲线的定义及应用
曲线上的点到两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.满足条件的曲线若存在，是什么样的曲线？若不存在，请说明理由．
【思路探究】
求F1F1→将常数与F1F2比较大小→由定义判别
【自主解答】 (1)∵F1F2＝10>6，∴满足该条件的曲线是双曲线．
(2)∵F1F2＝10，
∴满足该条件的曲线不是双曲线，而是两条射线．
(3)∵F1F2＝10<12，
∴满足条件的点不存在．
1．到两定点距离差的绝对值为一个常数时，动点轨迹不一定是双曲线，应与焦距比较大小．
2．本例(1)中，若将“绝对值”去掉，则轨迹只是双曲线的一支．
若一个动点P到两个定点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，试讨论点P的轨迹．
【解】 ∵F1F2＝2，故有
(1)当a＝2时，P点轨迹是两条射线y＝0(x≥1)或
y＝0(x≤－1)；
(2)当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，即y轴；
(3)当0＜a＜2时，轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线；
(4)当a＞2时，轨迹不存在．
抛物线的定义及应用
若动点M到点F(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，那么点M的轨迹是什么图形？
【思路探究】 由题意知MF＝d(d为点M到直线x＝－3的距离)，可根据抛物线的定义确定点M的轨迹是抛物线．
【自主解答】 由题意知，动点M到点F(3,0)和定直线x＝－3的距离相等，点F(3,0)不在定直线x＝－3上，所以由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F(3,0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线．
1．本题中动点M的轨迹是抛物线，在求解的过程中一定要判断点F是否在给定的定直线x＝－3上，当F在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹是以F点为垂足的定直线x＝－3的垂线；当F不在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹才是抛物线．
2．利用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定直线与到定点的距离是否相等．
如图2－1－2所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，侧面AA1B1B内有一动点P，满足P到平面AA1D1D的距离与到直线BC的距离总相等，则P点的轨迹是________．
图2－1－2
【解析】 如题图，PM是点P到平面AA1D1D的距离，PB是P到直线BC的距离，故PM＝PB，所以P的轨迹是以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线．
【答案】 以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线
忽略圆锥曲线定义中的条件致误
若一动圆与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心M的轨迹为________．
【错解】 双曲线．
【错因分析】 在错解中，忽略了MC2>MC1，从而导致错误．圆C2的圆心C2(4,0)，半径为2，设动圆的半径为r.因为动圆与圆C1外切，所以MC1＝r＋1.又因为动圆与圆C2外切，所以MC2＝r＋2，从而MC2－MC1＝1【防范措施】 在椭圆的定义中，一定要注意常数大于F1F2这一条件；在双曲线的定义中，要注意常数为小于F1F2的正数这一条件，同时注意取绝对值；在抛物线的定义中，要注意点不能在定直线上，否则轨迹是一条直线．
【正解】 双曲线的一支．
1．利用圆锥曲线的定义判定动点轨迹时，应注意定义中的条件，若部分满足，则动点轨迹不是完整的圆锥曲线．
2．利用圆锥曲线定义解题是本章的一个重要解题方法，此方法常与平面几何知识结合，利用数形结合的思想解题.
1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6的点P的轨迹是________．
【解析】 ∵F1F2＝6，
∴点P的轨迹是线段F1F2.
【答案】 线段F1F2
2．已知△ABC，其中B(0,1)，C(0，－1)，且AB－AC＝1，则A点的轨迹是________．
【解析】 ∵AB－AC＝1<2＝BC，
∴A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)．
【答案】 以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)
3．抛物线上一点到焦点距离为4，则它到准线的距离为________．
【解析】 根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故它到准线的距离为4.
【答案】 4
4．已知A、B是两个定点，AB＝8，且△ABC的周长等于18，试确定这个三角形的顶点C所在的曲线．
【解】 由题意知，AB＋BC＋CA＝18，∵AB＝8，∴BC＋CA＝10>AB.∴点C所在的曲线是以A，B为焦点的椭圆．(除去椭圆与直线AB的两个交点)
一、填空题
1．已知M(－2,0)，N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PM＋PN＝6，则动点P的轨迹是________．
【解析】 ∵PM＋PN＝6>4，∴动点P的轨迹是一椭圆．
【答案】 椭圆
2．到定点(0,7)和定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．
【解析】 ∵定点(0,7)在定直线y＝7上，∴到定点(0,7)与到定直线y＝7距离相等的点的轨迹是过(0,7)的该直线的垂线，其方程为x＝0.
【答案】 x＝0
3．命题甲：动点P到定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
【解析】 甲D?/乙，乙?甲．
【答案】 必要不充分
4．定点F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1－MF2|＝6，则M点的轨迹是________．
【解析】 ∵|MF1－MF2|＝6＝F1F2，
∴M的轨迹是x轴上以F1，F2分别为端点的两条射线．
【答案】 x轴上分别以F1，F2为端点的两条射线
5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填椭圆、双曲线或抛物线)
【解析】 由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．
【答案】 抛物线
图2－1－3
6．如图2－1－3，点A为圆O内一定点，P为圆周上任一点，AP的垂直平分线交OP于动点Q，则点Q的轨迹为________．
【解析】 由题意，QA＝QP，
∴OQ＋QA＝OQ＋QP＝OP(半径)>OA，
∴Q点的轨迹是以O、A为焦点的一椭圆．
【答案】 以O、A为焦点的一椭圆
7．(2013·徐州高二检测)已知椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△AF1F2的周长为18，则△ABF2的周长为________．
【解析】 因为AF2＋AF1＋F1F2＝18，F1F2＝8，
所以AF2＋AF1＝10，于是BF2＋BF1＝10，
所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝20.
【答案】 20
8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin B－sin A)＝3sin C，则顶点C的轨迹是________．
【解析】 运用正弦定理，将4(sin B－sin A)＝3sin C转化为边的关系，即4(－)＝3×，则AC－BC＝6【答案】 以A，B为焦点的双曲线的上支(去掉点(0,3))
二、解答题
9．已知F1(－4,3)，F2(2,3)为定点，动点P满足PF1－PF2＝2a，当a＝2或a＝3时，求动点P的轨迹．
【解】 由已知可得，F1F2＝6.
当a＝2时，2a＝4，即PF1－PF2＝4当a＝3时，PF1－PF2＝6＝F1F2，此时动点P的轨迹是射线F2P，即以F2为端点向x轴正向延伸的射线．
故当a＝2时，动点P的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F2)；当a＝3时，动点P的轨迹是射线F2P.
10．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝16，圆C2：(x－3)2＋y2＝1，动圆P与两圆相外切，求动圆圆心P的轨迹．
【解】 设圆P的半径为r，两圆圆心分别为C1(－3,0)，C2(3,0)，由圆P与两圆相外切可知PC1＝4＋r，PC2＝1＋r，∴PC1－PC2＝311．若点P(x，y)的坐标满足方程＝，试判断点P的轨迹是哪种类型的圆锥曲线．
【解】 ＝，
即＝，
等式左边表示点P(x，y)到点(1,2)的距离，右边表示点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离，即点P(x，y)到点(1,2)的距离与到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等．
又∵点(1,2)不在直线3x＋4y＋12＝0上，
由拋物线的定义知，点P的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x＋4y＋12＝0为准线的拋物线.
(教师用书独具)
如图，某山区的居民生活用水源于两处，一处是位于该地区内的一口深水井，另一处是位于该地区西边的一条河(河岸近似看成直线)．已知井C到河岸AB的距离为4千米，请为该区域划一条分界线，并指出应如何取水最合理．
【思路探究】
审题→转化为数学模型→
找距离相等→点的轨迹→转化为实际问题答案
【自主解答】 分界线上的点到深水井C和到河岸AB的距离应相等，依据抛物线定义可知，分界线是以C为焦点，河岸AB为准线的抛物线．所谓取水合理，即选择最近点取水，易知抛物线包含的区域应到深水井取水，抛物线上的区域到深水井或河中取水均可，其他区域则应到河中取水．
1．实际问题有时可以以圆锥曲线为数学模型进行思考，要根据题意，抽象出数学关系和条件．
2．利用圆锥曲线的定义求解实际问题，要注意实际意义的限制，很多情形下，动点的轨迹只是圆锥曲线的一部分．
一炮弹在某处爆炸，在F1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5 000,0)处晚 s，已知坐标轴的单位长度为1 m，声速为340 m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？
【解】 由声速为340 m/s可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6 000(m)，且小于F1F2＝10 000(m)，
因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上，
因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上.
2.2椭 圆
2．2.1 椭圆的标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．
2．过程与方法
(1)通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用．
(2)在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．
3．情感、态度与价值观
在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维能力，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．
●重点难点
重点：标准方程的推导及椭圆的判断．
难点：椭圆标准方程的推导及应用．
教学时，应从回顾椭圆定义入手，回顾曲线方程的求解方法，通过建立坐标系，推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程，从而得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，且通过推导，得出基本量a，b，c之间的基本关系，化解难点．通过三个例题的教学，突出椭圆的标准方程的应用．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课主要内容是椭圆的标准方程．学生在前面已经学习了解析几何的两种基本曲线：直线和圆，初步掌握了解析几何的思维方法——利用代数的方法描述平面图形及性质；基本上掌握了解析几何的解题基本格式，数形结合的思想比以前有了质的飞跃，因此在教学过程中，采用了引导发现法和感性体验法进行教学．
引导发现法属于启发式教学，有利于充分调动学生的积极性和主动性，体现了认知心理学的相关内容．在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情景，使学生带着问题去主动思考，动手操作，交流合作，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识真正成为自己的知识．
●教学流程
创设情景情景一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义．情景二：展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？情景三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？?互动探究椭圆标准方程的推导问题1：回想圆方程的推导步骤是如何的？问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？问题3：焦点在y轴的椭圆方程该如何推导？?分析两类椭圆的标准方程，体会二者的区分办法，及共性．?通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．?通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的应用，根据椭圆特征对方程中字母范围的讨论，以及焦点三角形的求解．?通过例3及变式训练，使学生掌握与椭圆有关的轨迹问题的求法，会用椭圆定义判断曲线是否为椭圆，并用待定系数法求动点轨迹方程．?通过易错易误辨析，体会焦点分别在x轴，y轴上的区别，注重分类讨论思想的应用．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读
1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)
2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)
3．两种位置的椭圆的标准方程的区分．(易混点)
椭圆的标准方程
【问题导思】
1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，你能画出椭圆吗？
【提示】 固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．
2．求曲线的方程通常分为几步？
【提示】 四步：建系、设点、列式、化简．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1
(a＞b＞0)
＋＝1
(a＞b＞0)
图象
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
待定系数法求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，且椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且过点(－，)．
【思路探究】 (1)由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，代入b2＝a2－c2求出b2即可；(2)本题有两种思路：一是先由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，再求解；二是将点的坐标代入椭圆方程，结合b2＝a2－c2求解．
【自主解答】 (1)由题意，设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)，则2c＝6,2a＝10，所以a＝5，c＝3.由a2＝b2＋c2，得b2＝16，所以椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
法一 由椭圆的定义知2a＝ ＋ ＝2，所以a＝.
又由题意知c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.
因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 因为所求椭圆过点(－，)，所以＋＝1.又a2－b2＝c2＝4，解得a2＝10，b2＝6，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1．在本例(2)的解答中，利用椭圆定义求a较为简洁，也是我们常用的一种方法．
2．在已知椭圆的类型求椭圆的标准方程时，一般采用待定系数法求解，步骤如下：
(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出对应的标准方程；
(2)将已知条件代入，求出a，b(注意隐含条件a2＝b2＋c2，a>b>0)，此时注意椭圆定义的应用；
(3)写出椭圆的标准方程．
其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”．
求经过点M(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程．
【解】 法一 已知椭圆方程可化为＋＝1，∴c＝，∴F1(0，－)，F2(0，)，∴2a＝MF1＋MF2＝2，∴a＝，∴b2＝a2－c2＝10，∴椭圆方程为＋＝1.
法二 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±)，则设所求椭圆的方程为＋＝1(λ>0)．
又椭圆过点(2，－3)，
∴＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆方程为＋＝1.
椭圆标准方程的应用
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；
(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
图2－2－1
【思路探究】
(1)化为标准方程→由条件列不等式→求k的范围
(2)
PF1·PF2面积PF1＋PF2＝4―→由定义PF1，PF2，
F1F2关系―→由余弦
定理
【自主解答】 (1)原方程可化为＋＝1，
∵表示焦点在y轴上的椭圆．
∴解得0∴k的取值范围是0(2)由题意知a＝2，b＝，c＝＝＝1，
∴F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中有，
PF1＋PF2＝4， ①
PF＋PF－2PF1·PF2·cos 60°＝F1F，
即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4， ②
①代入②得PF1·PF2＝4，
∴S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 60°＝×4×＝.
1．对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别注意，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．
2．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．
(1)已知方程(2－k)x2＋ky2＝2k－k2表示焦点在x轴上的椭圆，求实数k的取值范围．
(2)如图2－2－2所示，点P为椭圆＋＝1上一点，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
图2－2－2
【解】 (1)由(2－k)x2＋ky2＝2k－k2表示椭圆，知2k－k2≠0，且有＋＝1.
∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴k>2－k>0，
即1故实数k的取值范围是1(2)由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，F1F2＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理，得
PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2·cos 120°，
即PF＝PF＋4＋2PF1， ①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，
即PF2＝4－PF1， ②
②代入①解PF1＝.
∴S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin 120°＝××2×＝.
与椭圆有关的轨迹问题
△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a＞b＞c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
【思路探究】 利用椭圆定义分析出B点的轨迹是椭圆，再利用待定系数法求解．
【自主解答】 由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b＝4，即AB＋BC＝4，
∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，设椭圆的标准方程为＋＝1(a′>b′>0)．
其中a′＝2，c′＝1.
∴b′2＝3.
又a＞b＞c，
∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2＜x＜0)．
1．本例解答过程中，不要忽略a>b>c这个条件，而误认为轨迹为整个椭圆．
2．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是：
已知动圆与定圆C：x2＋y2＋4y－32＝0内切且过定圆内的一个定点A(0,2)，求动圆圆心P的轨迹方程．
【解】 由定圆C：x2＋(y＋2)2＝36知，圆心C(0，－2)，半径r＝6，设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为PA，由于圆P与圆C相内切，
∴PC＝r－PA，
即PA＋PC＝r＝6>AC.
因此，动圆圆心P到两定点A(0,2)，C(0，－2)的距离之和为6，
∴P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，
∴b2＝5.∴所求动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1.
误认为焦点只在x轴上而致错
已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，求m的值．
【错解】 ∵2c＝6，∴c＝3，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.
∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.
又m>0，故m＝4.
【错因分析】 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
【防范措施】 涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴或y轴上．
【正解】 ∵2c＝6，∴c＝3.
(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.
∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.
又m>0，故m＝4.
(2)当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.
∵a2＝b2＋c2，∴m2＝25＋9＝34.
又m>0，故m＝.
由(1)(2)可得m的值为4或.
1．求椭圆的标准方程，主要采用待定系数法，一般“先定型”即先确定标准形式，“再定量”即由题目条件求基本量a，b，c，求解过程中，要注意定义的应用．
2．对方程带有字母系数的椭圆，其焦点在哪个坐标轴上要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．
3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利用椭圆的定义求解轨迹问题.
1．动点P到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和为10，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 ∵2a＝10，∴a＝5，∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝16，
又∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．
【解析】 由题意，a＝6，
不妨设PF1＝3，又PF1＋PF2＝2×6＝12，
∴PF2＝12－3＝9.
【答案】 9
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
【解析】 ∵，∴k∈(3,4)∪(4,5)．
【答案】 (3,4)∪(4,5)
4．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．
【解析】 由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
【答案】 10
一、填空题
1．椭圆25x2＋16y2＝400的焦点坐标为________．
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1，∴c2＝9，∴c＝3，
∴焦点坐标为(0，±3)．
【答案】 (0，±3)
2．(2012·上海高考改编)对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”)
【解析】 由方程mx2＋ny2＝1的曲线表示椭圆，常数m，n的取值为所以mn>0；反过来，由mn>0得不到方程mx2＋ny2＝1的曲线表示椭圆．
【答案】 必要不充分
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为________．
【解析】 ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
【答案】 3或5
4．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.
【解析】 如图，xP＝－c＝－，
∴＋y＝1，∴yP＝，∴PF1＝.
∵PF1＋PF2＝4，∴PF2＝.
【答案】
5．一个焦点坐标是(0,4)，且过点B(1，)的椭圆的标准方程为________．
【解析】 由一个焦点坐标是(0,4)知椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由c＝4，得b2＝a2－c2＝a2－16，则椭圆方程可化为＋＝1(a2－16>0)，将点B(1，)代入，得a2＝20(a2＝12舍去)，从而b2＝a2－16＝4，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
6．若单位圆x2＋y2＝1上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，则所得曲线的方程是________．
【解析】 设所求曲线上任一点的坐标为(x，y)，圆x2＋y2＝1上的对应点为(x1，y1)，由题意可得，
解得①，将①代入x＋y＝1得(3x)2＋y2＝1，即y2＋＝1.
所以所求曲线的方程是y2＋＝1.
【答案】 y2＋＝1
7．(2013·西安高二检测)椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为________．
【解析】 由题意，a＝5，b＝3，∴c＝＝＝4，
MF1＝2，∴MF2＝2×5－2＝8，
又ON为△MF1F2的中位线，
∴ON＝MF2＝×8＝4.
【答案】 4
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
【解析】 ∵B在椭圆上，
∴BA＋BC＝2a＝10.由正弦定理，知
＝＝＝.
【答案】
二、解答题
9．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．
【解】 依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF1⊥PF2，试求椭圆的方程．
【解】 在Rt△F1PF2中，∵PF＋PF＝F1F，
∴(3＋c)2＋16＋(3－c)2＋16＝4c2，
∴c2＝25，∴c＝5，
∴F1(－5,0)，F2(5,0)，
∴2a＝PF1＋PF2＝6，
∴a＝3，∴b2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
11．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；
(2)求PF1·PF2的最大值．
【解】 (1)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．
根据椭圆的定义，得m＋n＝20.
在△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2·cos ∠F1PF2＝F1F，
即m2＋n2－2mn·cos ＝122.
∴m2＋n2－mn＝144，
即(m＋n)2－3mn＝144.
∴202－3mn＝144，即mn＝.
又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2
＝mn·sin ，
∴S△F1PF2＝××＝.
(2)由题意知a＝10，∴根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝20.
∵PF1＋PF2≥2，
∴PF1·PF2≤()2＝()2＝100，
当且仅当PF1＝PF2时，等号成立．
∴PF1·PF2的最大值是100.
(教师用书独具)
椭圆C：＋＝1(a>b>c)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝，PF2＝.求椭圆C的方程．
【思路探究】
画图分析→利用椭圆定义求2a→
求2c→求b→求方程
【自主解答】 因为点P在椭圆C上，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝6，所以a＝3.在Rt△PF1F2中，F1F2＝＝＝2，故c＝，
从而b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
1．本例中，求解2c时利用Rt△PF1F2，充分利用了平面图形的性质．
2．求椭圆的标准方程最常用的方法是待定系数法．
已知椭圆经过点(，)和点(，1)，求椭圆的标准方程．
【解】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
∵点(，)，(，1)在椭圆上，
∴解得
∴椭圆方程为＋x2＝1.
2．2.2 椭圆的几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．
2．过程与方法
利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．
3．情感、态度与价值观
通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．
●重点难点
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．
难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．
根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，
●教学流程
通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？?由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．?采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．?通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．?通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．?通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．?通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．?通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．
课标解读
1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
2．掌握椭圆离心率及其范围的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点)
3．会用椭圆及其性质处理一些实际问题．(重点、难点)
椭圆的简单几何性质
【问题导思】
图中椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
1．椭圆具有对称性吗？
【提示】 有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．
2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
【提示】 可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
【提示】 x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
【提示】 b越小，椭圆越扁．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
F1F2＝2c
对称性
对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2.当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.
由椭圆方程求其几何性质
求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
【思路探究】
化为标准方程→求a，b→求几何性质
【自主解答】 把已知方程化成标准方程＋＝1，
于是a＝9，b＝3，c＝＝6，
所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝，焦点为F1(－6，0)，F2(6，0)，顶点为A1(－9，0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
将方程变形为y＝±，
根据y＝ 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：
x
0
3
6
9
y
3
2.83
2.24
0
先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
1．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．
2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．
求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．
【解】 把椭圆的方程化为标准方程＋＝1.
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2，故半焦距c＝＝＝.
因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；离心率e＝＝，两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．
为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为
y＝± (－3≤x≤3)．
由y＝ (0≤x≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
2
1.97
1.89
1.73
1.49
1.11
0
描点，再用光滑曲线顺次连结这些点，得到椭圆在第一象限的图形，然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如图所示．
由椭圆的几何性质求方程
求符合下列条件的椭圆标准方程：
(1)焦距为8，离心率为0.8；
(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为－，焦点与短轴两端点的连线互相垂直；
(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．
【思路探究】
由几何性质→寻求a，b，c关系→求a，b→得方程
【自主解答】 (1)由题意：∵2c＝8，∴c＝4.
又∵＝0.8，∴a＝5，∴b2＝9，
焦点在x轴上时椭圆标准方程为：＋＝1；
焦点在y轴上时椭圆标准方程为：＋＝1.
(2)由题意：a－c＝－，b＝c，a2＝b2＋c2，
∴解得a2＝10，b2＝5，焦点在x轴上时椭圆标准方程为：＋＝1；焦点在y轴上时椭圆标准方程为：＋＝1.
(3)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
又过点(2，－6)，因此有
＋＝1或＋＝1.
由已知a＝2b，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.
故所求的方程为＋＝1或＋＝1.
1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．
2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y轴上的情形．
求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.
【解】 (1)若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2，
∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，
∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由已知，∴.从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
求椭圆的离心率
(1)(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．
(2)已知F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值．
【思路探究】 (1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式．
(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b求解．
【自主解答】 (1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以AF1＝a－c，F1B＝a＋c，F1F2＝2c.因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，即5c2＝a2，所以a＝c，所以离心率为e＝＝.
【答案】
(2)法一 设PF1＝m，PF2＝n，∴m2＋n2＝4c2，
又2a＝m＋n，
∴4a2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)＝8c2.
即：a2≤2c2，∴e＝≥.∴emin＝.
法二 设椭圆与y轴上方交点为B.
∵∠F1BF2≥90°，∴cos ∠F1BF2＝≤0，
即：a2≤2c2.∴e＝≥，
∴emin＝.
法三 以F1F2为直径的圆的方程为：x2＋y2＝c2，
由题意c≥b，∴c2≥a2－c2，∴2c2≥a2，∴≥，
∴e＝≥，∴emin＝.
1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a，b，c的等式关系．
2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a，b，c间的不等关系，然后利用定义或列出关于e的不等式进行求解，应注意e还应受到0(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
【解析】 在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF＝102＋82－2×10×8×＝36，则|AF|＝6.由|AB|2＝|AF|2＋|BF|2可知，△ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c＝|OF|＝＝5.设椭圆的另一焦点为F1，因为点O平分AB，且平分FF1，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|＝|AF1|＝8.由椭圆的性质可知|AF|＋|AF1|＝14＝2a?a＝7，则e＝＝.
【答案】
直线与椭圆的位置关系
已知椭圆＋y2＝1，(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？
(2)当m＝2时，求直线被椭圆截得的线段长．
【思路探究】
联立，消y得一元二次方程→Δ判别式→m的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长
【自主解答】 (1)联立消去y得，5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0(Ⅰ)．
∵Δ＝64m2－80(m2－1)>0，
∴－∴当－(2)当m＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x2＋16x＋12＝0，
设线段端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得
x1＋x2＝－，x1x2＝，又k＝1，
∴AB＝ ＝.
1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别．
2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝ 进行求解，也可利用AB＝|y1－y2|＝· 进行求解．
焦点分别为(0,5)和(0，－5)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．
【解】 设＋＝1(a>b>0)，
且a2－b2＝(5)2＝50. ①
由，
∴(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，
∵＝，
∴＝，
∴a2＝3b2， ②
此时Δ>0，
由①②得：a2＝75，b2＝25，
∴＋＝1.
忽略椭圆的范围导致错误
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P(0，)到椭圆的最远距离是，求椭圆的标准方程．
【错解】 依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e2＝＝＝1－＝，所以＝，即a＝2b.
设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋(y－)2＝a2(1－)＋y2－3y＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3.
所以当y＝－时，d2有最大值，从而d也有最大值，所以4b2＋3＝()2，由此解得b2＝1，a2＝4.
于是所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
【错因分析】 错解中“当y＝－时，d2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y的取值范围．事实上，由于点(x，y)在椭圆上，所以有－b≤y≤b，因此在求d2的最大值时，应分类讨论．
【防范措施】 涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆＋＝1(a>b>0)，x∈[－a，a]，y∈[－b，b]；对于椭圆＋＝1(a>b>0)，x∈[－b，b]，y∈[－a，a]．
【正解】 同错解得到d2＝x2＋(y－)2＝a2(1－)＋y2－3y＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3.
若b<，则当y＝－b时，d2有最大值，从而d有最大值，于是()2＝(b＋)2，从而解得b＝－>，与b<矛盾．
所以必有b≥，此时当y＝－时，d2有最大值，从而d有最大值，所以4b2＋3＝()2，解得b2＝1，a2＝4.
于是所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．
2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．
3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a，b，c的相等或不等关系，从而得出关于e的方程或不等式．
4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是________．
【解析】 ∵x2＋＝1，∴焦点在y轴上，∴长轴端点坐标为(0，±)．
【答案】 (0，±)
2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e＝________.
【解析】 如图，△F1B2F2为等边三角形，
∴∠B2F2O＝60°，
∴e＝＝＝cos 60°＝.
【答案】
3．若椭圆＋＝1的离心率为，则m等于________．
【解析】 ∵1－＝或1－＝，
∴m＝或.
【答案】 或
4．椭圆经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1、F2在x轴上，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
【解】 设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝，即＝，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
∴椭圆方程可化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
一、填空题
1．(2013·厦门高二检测)椭圆＋＝1的离心率是________．
【解析】 e＝＝＝.
【答案】
2．(2012·上海高考)已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则下列说法正确的是________．
①C1与C2顶点相同；
②C1与C2长轴长相同；
③C1与C2短轴长相同；
④C1与C2焦距相等．
【解析】 由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.只有④正确．
【答案】 ④
3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．
【解析】 由题意得，解得，因为焦点在x轴上，所以所求椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率为e＝，则其标准方程为________．
【解析】 依题意，得a＝2，e＝＝，
∴c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
【答案】 ＋x2＝1
5．(2013·无锡高二检测)若椭圆＋＝1(0【解析】 ∵0【答案】 6
6．(2012·课标全国卷改编)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
【解析】 ∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF2A＝60°，PF2＝F1F2＝2c，∴AF2＝c，
∴2c＝a，∴e＝.
【答案】
7．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．
【解析】 ∵||＋||＝2a，
∴||·||≤()2＝a2，
∴2c2≤a2≤3c2，
∴≤e2≤，
∴≤e≤.
【答案】 [，]
图2－2－3
8．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；
④＜.
其中正确式子的序号是________．
【解析】 由题图知a1＋c1>a2＋c2，故①错误．
又a1－c1＝PF，a2－c2＝PF，故a1－c1＝a2－c2，即②正确．
由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e1>e2，即>.
又a1，a2均大于0，故c1a2>a1c2，故③正确．
显然④错误，故②③正确．
【答案】 ②③
二、解答题
9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA＝，求椭圆的方程．
【解】 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA＝，
∴点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
∴OF＝c，OA＝b.
AF＝＝＝a＝3，＝，
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知椭圆C的中心O在原点，长轴在x轴上，焦距为6，短轴长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(－5,0)作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，求△ABO的面积．
【解】 (1)设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，由题意得c＝3，b＝4，a＝5，
所以椭圆C方程为＋＝1.
(2)不妨设A(－5,0)，直线AB方程为：
y＝x＋5，由得.
所以S△OAB＝OA·|yB|＝×5×＝.
11．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，
于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
(教师用书独具)
已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，求弦长AB.
【思路探究】
求出焦点F的坐标→
求出直线l的斜率→设直线l的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解
【自主解答】 椭圆方程为＋＝1，a＝，b＝2，c＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)，由消去y，得9x2＋10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
AB＝|x1－x2|＝·
＝·
＝·＝.
1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．
2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果AB＝，求椭圆C的方程．
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1<0，y2>0)，
(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.
联立消去x得
(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.
解得y1＝，
y2＝，
因为＝2，
所以－y1＝2y2，
即＝2·，
得离心率e＝＝.
(2)因为AB＝|y2－y1|，
所以·＝.
由＝得b＝a.所以a＝，得a＝3，b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
2.3双曲线
2．3.1 双曲线的标准方程
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解双曲线的定义和标准方程的推导过程．
(2)熟记双曲线的定义和标准方程与焦点位置的对应关系．
(3)会在简单的题设条件下求双曲线的标准方程．
2．过程与方法
(1)在实验与类比的教学过程中，培养学生合理猜测的能力．
(2)在标准方程的推导过程中，提高学生的运算和化简能力．
(3)在求标准方程的过程中，体会待定系数法的应用．
3．情感、态度与价值观
(1)在整个的教学过程中，体验数与形的辨证统一关系．
(2)在双曲线的定义剖析中，感受量变产生质变的唯物主义世界观．
(3)在双曲线标准方程的推导过程中，培养学生耐心细致执着的个性品质．
●重点难点
重点：双曲线的标准方程的推导及应用．
难点：双曲线的标准方程的推导．
(教师用书独具)
●教学建议
本节课主要内容是双曲线的标准方程．学生在前面已经学习了椭圆的标准方程，掌握了圆锥曲线的标准方程的推导过程，标准方程的形式与分类标准，因此本节课宜采用类比教学的方法，引导学生自己动手，合作、交流、探究、对比、纠错、升华，得出双曲线的标准方程．并且在此基础上，学会利用双曲线的标准方程，以及利用待定系数法求具体双曲线的标准方程．
●教学流程
回顾椭圆和双曲线的定义，口答椭圆标准方程的推导过程及两种标准形式，引导学生利用类比思维推导双曲线的标准方程．?分组推导双曲线的标准方程，具体步骤是：小组讨论明确过程，分工探究每个细节，代表发言宣读结论，讨论纠错完善结果．?系统分析两类双曲线的标准方程，体会二者的区分办法及共性，并且与椭圆进行比较，从标准方程及基本量a，b，c的关系找出二者的联系与区别．?通过例1及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．?通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的应用，根据双曲线标准方程完成基本量a，b，c的互求，注意双曲线定义与方程的综合应用，求解焦点三角形问题．?通过例3及变式训练，使学生掌握与双曲线有关的轨迹问题的求法，会用双曲线定义判断曲线是否为双曲线，并用待定系数法求动点轨迹方程．?通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．对于双曲线上一点，要分清所在哪一支．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读
1.了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程．(重点、难点)
2．会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．
3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)
双曲线的标准方程
【问题导思1】
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”航相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．
1．“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？
【提示】 远340×3＝1 020米．
2．若把“马鞍山舰”和“千岛湖舰”看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满足什么条件？
【提示】 MB－MA＝1 020.
【问题导思2】
在平面直角坐标系中A(－3,0)，B(3,0)，C(0，－3)，D(0，3)．
1．若动点M满足|MA－MB|＝4，则M的轨迹方程是什么？
【提示】 －＝1.
2．若动点M满足|MC－MD|＝4，则点M的轨迹方程呢？
【提示】 －＝1.
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦点
坐标
F1(－c,0)，
F2(c,0)
F1(0，－c)，
F2(0，c)
a，b，c之
间的关系
c2＝a2＋b2
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
【思路探究】 (1)由椭圆方程得出双曲线的a，b，c，从而求出双曲线方程；(2)由双曲线定义求2a，也可设出方程代入求系数；(3)统一设为＋＝1(mn<0)，求m，n.
【自主解答】 (1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一 ∵c2＝16＋4＝20，∴c＝2，
∴F(±2，0)，
∴2a＝ |－|＝4，∴a2＝12，
∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为－＝1.
法二 设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，∴
解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
1．待定系数法求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是两种都有可能．
(2)设方程：根据焦点位置，设出标准方程，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．
2．若求双曲线的标准方程，焦点所在坐标轴不定时，可设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，以避免分类讨论．
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(2)焦点在x轴上，经过点M(3,2)和N(17,12)．
【解】 (1)由已知得焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝6.
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A到两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件，得，解得.
即双曲线的标准方程为x2－＝1.
双曲线标准方程的应用
已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，
(1)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积．
【思路探究】 结合双曲线的定义列出|PF1－PF2|＝2a，则(1)易解；(2)需利用上述关系式，结合余弦定理求解．
【自主解答】 由双曲线的标准方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，则|PF2－10|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16.
(2)易知PF2－PF1＝6，两边平方得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos ∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
双曲线的定义及标准方程常用于：
(1)涉及双曲线上一点与两焦点的距离问题，依据|PF1－PF2|＝2a求解，其中a可由双曲线方程得到．注意不能忽略绝对值，而认为该点只能在双曲线的一支上．此外，要对所求结果进行验证(负数舍去；值不小于c－a)．
(2)双曲线的焦点三角形问题，除注意定义的应用外，还需掌握解三角形的知识，把握整体思想的应用．
双曲线－＝1上有一点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2面积为________．
【解析】 ∵
∴PF1·PF2＝36，
∴S＝PF1·PF2·sin ＝9.
【答案】 9
与双曲线有关的轨迹问题
在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A、B、C满足sin B－sin A＝sin C，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．
【思路探究】
利用正弦定理角化边→
利用定义判断C点的轨迹→求出对应a、b、c→写出轨迹方程→剔除不满足条件的点
【自主解答】 如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则点A(－2，0)，点B(2，0)．
由正弦定理得sin A＝，
sin B＝，sin C＝.
∵sin B－sin A＝sin C，∴b′－a′＝.
从而有CA－CB＝AB＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(，0)．
1．利用双曲线的定义判定动点轨迹时，一定要注意题目中的条件是否满足定义，若不完全满足，轨迹不是完整的双曲线，求方程时应加以限制．
2．用定义法求轨迹方程的一般步骤是：
①根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)；
②根据已知条件确定参数a，b的值(定参)；
③写出标准方程并下结论(定论)．
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得MC1－AC1＝MA，
MC2－BC2＝MB，
∵MA＝MB，
∴MC1－AC1＝MC2－BC2，
即MC2－MC1＝2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M的集合为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．
这里a＝1，c＝3，则b2＝8，
设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：x2－＝1(x≤1)．
错用双曲线的定义致误
已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且PF1＝17，求PF2的值．
【错解】 由双曲线的定义可知，|PF1－PF2|＝2a＝16，因为PF1＝17，所以PF2＝1或PF2＝33.
【错因分析】 出错的原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍掉一个．
【防范措施】 在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．
【正解】 在双曲线中，由－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图形可得，点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.
因为|PF1－PF2|＝2a＝16，PF1＝17，所以PF2＝33(PF2＝1舍去)．
1．双曲线的定义与标准方程的简单综合主要有两类：一是利用双曲线定义判断点的轨迹或曲线的形状，然后利用标准方程求双曲线方程；二是已知双曲线方程，求出焦点和常数2a，并用它们解决相关问题．
2．求双曲线的标准方程有三种方法：一是求出a、b，代入标准方程；二是用待定系数法，若不能确定双曲线的位置，可设方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)；三是求点的轨迹方程，这其中又包含定义法，即若能根据双曲线定义判断出点的轨迹是双曲线，就可直接利用双曲线的标准方程求点的轨迹方程．
3．求双曲线的标准方程一定要注意确定焦点的位置．如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，解出的结果如果是m>0，n<0，那么焦点在x轴上，如果m<0，n>0，那么焦点在y轴上.
1．双曲线－＝1的焦点坐标为________．
【解析】 ∵c2＝16＋9＝25，∴F(±5,0)．
【答案】 (±5,0)
2．双曲线－＝1的两个焦点分别为F1、F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为________．
【解析】 ∵|PF1－PF2|＝10，PF1＝12，
∴PF2＝22或2.
【答案】 22或2
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为______．
【解析】 将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，
∴c＝＝，故右焦点坐标为(，0)．
【答案】 (，0)
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)a＝2，且与双曲线－＝1有公共焦点．
【解】 (1)∵焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
又双曲线过点(－5,2)，且c＝则
有
解得
故所求双曲线标准的方程为－y2＝1.
(2)已知双曲线－＝1的焦点坐标为(±2，0)，所求双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，
又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
一、填空题
1．(2013·南京高二检测)双曲线－＝1的焦点坐标是________．
【解析】 ∵c2＝5＋4＝9，∴c＝3，∴F(±3,0)．
【答案】 (±3,0)
2．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是________．
【解析】 由题意知k<0.
【答案】 (－∞，0)
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
【解析】 ∵a>0，∴焦点在x轴上，
∴4－a＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 1
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 ∵xM＝3，∴－＝1，
∴yM＝±.
又∵右焦点为F2(4,0)，
∴MF2＝＝4.
【答案】 4
5．(2013·福州高二检测)双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为________．
【解析】 双曲线方程化为标准形式为x2－＝1，由焦点是(，0)，可得k<0，且1－＝()2，解得k＝－1.
【答案】 －1
6．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【解析】 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝2.
【答案】 2
7．(2013·潍坊高二检测)已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c>0)，它们所表示的曲线可能是________．
【解析】 方程ax2＋by2＝ab可化为＋＝1，若a>0，b>0，则直线ax＋by＋c＝0在两轴上截距均为负值，无此图形；若a>0，b<0，则②符合；若a<0，b>0，无此图形．
【答案】 ②
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
【解析】 如图，F(－4,0)，设F′为双曲线右焦点，则F′(4，0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，PF－PF′＝2a＝4，而PF＋PA＝4＋PF′＋PA≥4＋AF′＝4＋5＝9.当且仅当A、P、F′三点共线时取等号．
【答案】 9
二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点P1(3，－4)，P2(，5)；
(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4.
【解】 (1)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，
得，解得，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆的方程为标准方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．
由题意点A在椭圆＋＝1上，因为yA＝4，则＋＝1，
解得xA＝(xA＝－舍去)，故点A的坐标为(，4)．
由题意知，双曲线的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，点A(，4)在双曲线上，则由双曲线定义可得2a＝|AF1－AF2|＝|－|＝4，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹．
【解】 设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)，由题意知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)，化简，整理得－＝1(x≠±5)．
因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(A，B两点除外)．
11．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝2，建立适当的平面直角坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
【解】 以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x0，y0)、M(－c,0)、N(c,0)(y0>0，c>0)如图所示．
则解得
设双曲线方程为－＝1，
将点P(，)代入，
可得a2＝(a2＝舍去)．
∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.
(教师用书独具)
方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求角α所在的象限．
【思路探究】 首先化成标准方程，应用标准方程的条件，结合三角函数的有关性质求解．
【自主解答】 将方程化为－＝1.
∵方程表示焦点在y轴上的双曲线，
∴，即.∴α在第四象限．
1．求解本题时，也可直接判断.
2．方程表示双曲线，则x2，y2的系数异号．双曲线焦点在x轴上时：－＝1(a>0，b>0)；焦点在y轴上时：－＝1(a>0，b>0)，焦点的位置是由x2，y2的系数的符号来判断的，只要解不等式即可．
若方程＋＝1表示双曲线，求实数m的取值范围．
【解】 依题意有或，
解得－33.
所以实数m的取值范围是－33.
2．3.2 双曲线的几何性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．
(2)掌握双曲线标准方程中a，b，c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明．
(3)能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题．
2．过程与方法
(1)通过与椭圆的性质的类比，获得双曲线的性质，培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．
(2)通过对双曲线的性质的求解和应用，加深双曲线方程的求解及性质的理解，体会数形结合思想的应用．
3．情感、态度与价值观
培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．
●重点难点
重点：从知识上来讲，要掌握如何利用双曲线标准方程的结构特征研究双曲线的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究双曲线性质的过程中思维的过程展现，如类比思维、数形结合等．
难点：双曲线渐近线方程和离心率的求解及应用．通过动画展示，让学生形象地体会双曲线渐近线的真正内涵，渐近线方程与双曲线方程的内在联系、渐近线斜率与离心率的关系．
(教师用书独具)
●教学建议
这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论，在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学生建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力．
渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难．因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设(释)疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念(或图形)特征，培养思维的深刻性．
●教学流程
通过复习和预习，如何通过对双曲线的标准方程的讨论来研究它的几何性质．提问：椭圆有哪些几何性质，获取的途径有哪些？?由范围、对称性、顶点及离心率等研究双曲线的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．?采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．总结由双曲线标准方程推得渐近线方程的方法，共渐近线双曲线方程的设法．比较椭圆与双曲线几何性质的异同．?通过例1及变式训练，使学生掌握由双曲线方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．注意椭圆、双曲线的区别．?通过例2及变式训练，使学生掌握由双曲线的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b.c，从而求出其标准方程．注意焦点所在坐标轴的不同对方程的影响．?通过例3及变式训练，使学生掌握双曲线离心率或其范围的求解方法，求双曲线的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．注意椭圆与双曲线离心率公式及范围的异同．?通过例4及变式训练，使学生掌握直线与双曲线位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长、弦中点等问题．体会方程思想的应用．?通过易错易误辨析，体会双曲线与直线交点个数的讨论方法，要注意直线平行于渐近线的情形，否则将会导致错误．?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．?完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.
课标解读
1.能通过图形理解双曲线的简单几何性质，会通过方程求双曲线的简单几何性质．(重点)
2．双曲线的离心率的求法．(难点)
3．双曲线与椭圆几何性质的比较．(易混点)
双曲线的几何性质
【问题导思】
已知双曲线方程－＝1(a>0，b>0)．
1．双曲线的对称轴和对称中心各是什么？
【提示】 坐标轴、坐标原点．
2．双曲线与坐标轴有交点吗？
【提示】 与x轴有两个交点(－a,0)，(a,0)，与y轴没有交点．
3．双曲线方程中x，y的取值范围是什么？
【提示】 |x|≥a，y∈R.
1．双曲线的几何性质
标准
方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
范围
x≥a或x≤－a，
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
离心率
e＝
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝.
由双曲线标准方程求其几何性质
求双曲线4x2－y2＝4的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程．
【思路探究】
化为标准方程→求基本量a，b，c→
求几何性质
【自主解答】 原方程可化为x2－＝1，
所以，a＝1，b＝2，c＝，
因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a＝2,2b＝4，两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的两个顶点是A1(－1,0)，A2(1,0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±2x.
1．由双曲线方程求其几何性质时，首先应将方程化为标准形式，并注意焦点所在坐标轴．
2．求解双曲线几何性质时，应注意与椭圆区分开，尤其是基本量a，b，c的关系，对椭圆，a2＝b2＋c2；对双曲线，c2＝a2＋b2.
求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
【解】 ∵椭圆＋＝1，∴，∴c1＝.
∴对双曲线，∴b2＝3，
∴双曲线方程：－＝1.
∴实轴长2a＝2，虚轴长2b＝6，离心率e＝，渐近线y＝±x.
由双曲线的几何性质求双曲线的
标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；
(2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；
(3)过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线．
【思路探究】 题(1)已知焦点所在的坐标轴，则只需求出几何量a，b的值，便可得到双曲线的标准方程；题(2)中双曲线的焦点位置不确定，则应分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论；题(3)中，可按焦点在x轴、y轴上分类讨论，更简单的做法是按公共渐近线的双曲线的统一设法求解方程．
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
把点(－5,3)代入双曲线方程，得a2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由题意得2c＝10,2a＝4b，即c＝5，a＝2b.
利用c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5.
由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)法一 当焦点在x轴上时，由于＝，
故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)，
得b2＝－2(舍去)．
当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)，得a2＝2.
∴所求双曲线方程为－＝1.
法二 因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2.
∴所求双曲线的方程为－y2＝－2，即－＝1.
1．根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a、b、c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
2．以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x.
【解】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)，
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，∵＝，a＝3，
∴b＝，∴双曲线标准方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，＝，a＝3，∴b＝2，∴双曲线标准方程为－＝1.
求双曲线的离心率(或取值范围)
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________；
(2)如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定，则由渐近线方程得到a，b之间的关系式，结合c2＝a2＋b2可求；(2)数形结合，根据该点的横坐标x>a得出关于a，c的不等式，从而求e的范围．
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2，可得＝，解得e2＝，e＝(负值舍去)．
(2)如图，∵AO＝AF，F(C,0)，
∴xA＝，∵A在右支上且不在顶点处，
∴>a，∴e＝>2.
【答案】 (1) (2)(2，＋∞)
1．求双曲线的离心率，就要根据题意得出基本量a，b，c的等量关系，从而转化为关于e的方程求解，并且要注意e>1.
2．求离心率的取值范围，就要根据题意，得出关于基本量a，b，c的不等关系，从而得出关于e的不等式求解，并且注意e>1.
双曲线－＝1(0【解】 由l过两点(a,0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
16()2－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
∵e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
∵0，
∴离心率e为2.
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【思路探究】
(1)联立消元→二次项系数不为0→Δ>0
(2)S△AOB
计算办法S△AOB＝AB·h韦达定理S△AOB被y轴分割
【自主解答】 (1)联立方程组
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则满足条件
解得－∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)法一 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝|x1－x2|＝·
＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·AB·d＝＝，
即2k4－3k2＝0.解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.
法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.又直线l过点D(0，－1)，
∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|
＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，即(－)2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
由(1)知上述k的值符合题意，
∴实数k的值为0或±.
1．直线与双曲线公共点个数的讨论，一般转化为方程根的个数讨论，但应注意消元后所得方程不一定是一元二次方程，只有二次项系数不为0的时候，才能利用Δ判别式．
2．有关直线被双曲线截得的弦的问题，要注意弦长公式及韦达定理的综合应用，对于弦的端点坐标，一般采用“设而不求”的思想．
已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
【解】 ∵a＝1，b＝，c＝2，
∵直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝·＝6.
忽略分类讨论而致错
求经过点P(1,3)且与双曲线4x2－y2＝1仅交于一点的直线的条数．
【错解】 直线的斜率显然存在．
设过点P(1,3)的直线方程为y－3＝k(x－1)，
联立直线方程与双曲线方程得
整理得(4－k2)x2＋(2k2－6k)x－k2＋6k－10＝0，
当4－k2≠0时，由Δ＝0，得3k2－24k＋40＝0，
即k＝.
此时，过P点的直线与双曲线仅交于一点，这样的直线有两条．
【错因分析】 本题的错解中忽略了4－k2＝0，即直线平行于渐近线的情形．
【防范措施】 若直线与双曲线只有一个交点，则不仅要考虑相切的情形，还要考虑直线平行于渐近线的情形．不能误以为直线与双曲线只有相切时，才有一个交点．
【正解】 直线的斜率显然存在．
设过点P(1,3)的直线方程为y－3＝k(x－1)，代入双曲线方程，得(4－k)2x2＋(2k2－6k)x－k2＋6k－10＝0.
当4－k2≠0时，由Δ＝0，得3k2－24k＋40＝0，
即k＝.
当4－k2＝0时，即k＝±2时，过P点的直线与双曲线的渐近线平行，此时该直线与双曲线也仅交于一点．
综上所述，共有4条．
1．由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆．
2．渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟练写出其渐近线方程；反过来，由渐近线方程也应熟练设出相应双曲线方程．
3．直线与双曲线的综合问题类似于直线与椭圆，主要利用方程思想求解，但也有不同，直线与椭圆，消元后所得方程二次项系数不为0，为真正的一元二次方程；直线与双曲线，消元后所得方程二次项系数可能为0，必要时需分类讨论.
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
【解析】 双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，实轴长为2a＝4.
【答案】 4
2．顶点是(±2,0)，焦点是(±3,0)的双曲线方程是________．
【解析】 ∵a＝2，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝5，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率e＝________.
【解析】 由题意，b2＝ac，∴＝，
∴e2－1＝e即e2－e－1＝0，∴e＝.
【答案】
4．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________．
【解析】 由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
一、填空题
1．(2013·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，
所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
2．(2013·扬州高二检测)若双曲线x2－＝1的离心率为2，则m的值为________．
【解析】 显然m>0，∴e＝＝2，∴m＝3.
【答案】 3
3．(2013·福建高考改编)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．
【解析】 双曲线的渐近线为直线y＝±x，即x±2y＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝＝.
【答案】
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．
【解析】 双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为
－＝0，
整理得3x±ay＝0，故a＝2.
【答案】 2
5．(2013·常州高二检测)双曲线tx2－y2－1＝0的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．
【解析】 渐近线方程为y＝±x，∵2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2，∴＝，∴t＝，∴双曲线方程为－y2＝1，∴e＝＝.
【答案】
6．(2013·哈师大附中高二检测)y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 消去y得：(1－4k2)x2－16kx－25＝0，
∴，∴－【答案】 (－，－)
7．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
图2－3－1
【解析】 △ABE是等腰三角形，AE＝BE，∴只需∠AEB为锐角，
∴∠AEF<45°，∴＝AF∴e2－e－2<0，∴－1又∵e>1，∴1∴e∈(1,2)．
【答案】 (1,2)
8．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．
图2－3－2
【解析】 设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a′，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a＝2×2a′，即a＝2a′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e′＝，椭圆离心率e＝，故＝＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．(1)求焦点在x轴上，过点(3，－)，离心率为e＝的双曲线的标准方程；
(2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x－2y＝0的双曲线方程及离心率．
【解】 (1)焦点在x轴上，设方程为－＝1，
则－＝1，①
又e＝＝＝＝，
得a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，得双曲线标准方程为x2－＝1.
(2)∵双曲线的一条渐近线是3x－2y＝0，
∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵其中一个焦点是(－4,0)，
∴4λ＋9λ＝16.
∴λ＝.
∴双曲线方程为－＝1，离心率e＝＝.
10．已知斜率为1的直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为y＝x＋b，
由得x2－2bx－b2－2＝0，
∴x1＋x2＝2b，x1x2＝－b2－2，
∴由AB＝ ＝ ＝
一、填空题
1．抛物线y2＝8x的准线方程是________．
【解析】 ∵p＝4，∴准线方程为x＝－2.
【答案】 x＝－2
2．(2013·南京高二检测)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________．
【解析】 设抛物线方程为y2＝mx，将(2,2)代入得m＝2，
∴抛物线方程为y2＝2x.
【答案】 y2＝2x
3．(2013·启东高二检测)抛物线y2＝2x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是________．
【解析】 准线x＝－，∴xM＋＝1，∴xM＝.
【答案】
4．(2013·肇庆高二检测)若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是________．
【解析】 设P(x0，y0)，中点(x，y)，则
∵y0＝2x＋1，∴2y＋1＝2(2x)2＋1，∴y＝4x2.
【答案】 y＝4x2
5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
【解析】 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
【答案】 6
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
【解析】 因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以＝2，解得p＝4.
【答案】 4
7．(2013·哈师大附中高二检测)已知直线y＝(x－2)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若＝λ，(||>||)，则λ＝________.
【解析】 如图，设AF＝n，BF＝m，
AA1⊥l，BB1⊥l，FN⊥AA1于N，BM⊥x轴于M.
则AN＝n－4，FM＝4－m.
又∠AFN＝∠FBM＝30°，
∴
∴，∴λ＝＝3.
【答案】 3
8．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．
【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为F(0，－1)，因为－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点E作EQ⊥l于点Q，过点M作MP⊥l于点P，所以MF＋ME＝MP＋ME≥EQ，又EQ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
【答案】 4
二、解答题
9．求适合下列条件的拋物线方程．
(1)顶点在原点，准线x＝4；
(2)拋物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点．
【解】 (1)由题意＝4，∴p＝8.
∴拋物线方程为y2＝－16x.
(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)，
∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)，
∴拋物线方程为y2＝－12x.
图2－4－2
10．如图2－4－2所示，动圆P与定圆C：(x－1)2＋y2＝1外切且与y轴相切，求圆心P的轨迹．
【解】 设P(x，y)，动圆P的半径为r.
∵两圆外切，∴PC＝r＋1.
又圆P与y轴相切，
∴r＝|x|(x≠0)，
即＝|x|＋1，
整理得y2＝2(|x|＋x)．
当x>0时，得y2＝4x；当x<0时，得y＝0.
∴点P的轨迹方程是y2＝4x(x>0)和y＝0(x<0)，表示一条抛物线(除去顶点)和x轴的负半轴．
11．(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试给出FP1，FP2，FP3之间的关系式；
(2)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，求||＋||＋||.
【解】 (1)由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－，则由抛物线的定义得FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，则FP1＋FP3＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，因为x1＋x3＝2x2，所以FP1＋FP3＝2x2＋p＝2(x2＋)＝2FP2，从而FP1，FP2，FP3之间的关系式为FP1＋FP3＝2FP2.
(2)设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知2p＝4，p＝2，F(1,0)，又＋＋＝0，则有xA－1＋xB－1＋xC－1＝0，即xA＋xB＋xC＝3.
由抛物线的定义可知，||＋||＋||＝(xA＋)＋(xB＋)＋(xC＋)＝(xA＋xB＋xC)＋3×＝3＋3＝6.
一、填空题
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．
【解析】∵＝2，∴p＝4，∴抛物线标准方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
2．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．
【解析】 通径长为2p.
【答案】 2p
3．(2013·烟台高二检测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________．
【解析】 PQ＝x1＋x2＋2＝10.
【答案】 10
4．(2013·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________．
【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，
则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.
【答案】
5．已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．
【解析】 设△AOB边长为a，则A(a，)，∴＝6×a.
∴a＝12.
【答案】 12
6．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________.
【解析】 由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，
∴＋＝4a，即＋＝4a.
【答案】 4a
7．(2013·南通高二检测)已知弦AB过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则以AB为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，如图，则AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p.
设A，B，M到准线l：x＝－距离分别为d1，d2，d，则有d1＝x1＋，d2＝x2＋，
d＝＝＝，
∴以AB为直径的圆与拋物线的准线相切．
【答案】 相切
8．(2012·陕西高考)如图2－4－4所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．
图2－4－4
【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.
设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x＝6，解得x0＝±，所以水面宽为2米．
【答案】 2
二、解答题
9．(2013·哈师大附中高二检测)设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程．
【解】 设与l平行的切线方程为3x＋4y＋m＝0，
由得2x2－3px－pm＝0.
∴Δ＝0即m＝－p.
又d＝＝1，
∴p＝8或p＝(舍)，
∴抛物线的标准方程为x2＝－16y.
10．过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标．
【解】 直线方程为y＝－x＋4.
由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.
所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.
由已知OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.
所以，拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．
图2－4－5
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．
【解】 (1)设l：my＝x－1与y2＝4x联立，得y2－4my－4＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－3.
(2)证明：设l：my＝x＋n与y2＝4x联立，得y2－4my＋4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4n.
由·＝－4＝(m2＋1)y1y2－mn(y1＋y2)＋n2＝n2＋4n，解得n＝－2，
∴l：my＝x－2过定点(2,0)．
一、填空题
1．中心在原点，一条准线方程为x＝8，离心率为的椭圆方程为________．
【解析】 由题意，得e＝＝，＝8，∴a＝4，c＝2，
b2＝a2－c2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．双曲线2x2－y2＝－16的准线方程为________．
【解析】 双曲线方程可化为：－＝1，∴a2＝16，b2＝8，c2＝24，
∴准线方程为y＝±.
【答案】 y＝±
3．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
【解析】 由题可知a＝2，b＝，c＝，
右准线x＝＝，e＝＝.
设P到y轴的距离为d，则＝，d＝.
【答案】
4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________．
【解析】 由题意得，－＝－4，即a2＝4c，且椭圆的焦点在x轴上，又2c＝4，则c＝2，故a2＝8，b2＝a2－c2＝4，则椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．已知椭圆＋＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．
【解析】 设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，则PF1＋PF2＝2a＝20.
又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.
设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝＝，d2＝＝.故点P到两准线的距离分别为，.
【答案】 ，
6．若双曲线－＝1的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为________．
【解析】 y2＝8x的准线为x＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x＝－2，
则－＝－2，又a2＝8，
∴c＝4.∴e＝＝＝.
【答案】
7．(2013·吉林高二检测)已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x，y)满足：＝，则AC＋BC＝________.
【解析】 ∵点C到B(1,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比为，
∴点C的轨迹是椭圆，且＝，－c＝4－1，
∴a＝2，c＝1.
∴点A恰好是椭圆的另一个焦点．
∴AC＋BC＝2a＝4.
【答案】 4
8．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为________．
【解析】 设椭圆C的焦点在x轴上，如图所示，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则BF＝＝a.作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，所以DD1＝OF＝c，即xD＝.圆锥曲线的统一定义得FD＝e(－)＝a－.又由BF＝2FD，得a＝2a－，整理得＝，即e2＝，
∴e＝－(舍去)或e＝.
【答案】
二、解答题
9．已知椭圆＋＝1，P为椭圆上一点，F1、F2为左、右两个焦点，若PF1∶PF2＝2∶1，求点P的坐标．
【解】 设点P的坐标为(x，y)．
∵椭圆＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴e＝，准线方程为x＝±.
由圆锥曲线的统一定义知PF1＝ed1＝(x＋)＝x＋5，
PF2＝ed2＝(－x)＝5－x.
∵PF1∶PF2＝2∶1，∴(x＋5)∶(5－x)＝2∶1，
解得x＝，代入椭圆的方程得y＝±.
∴点P的坐标为(，)或(，－)．
10．求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程是x＝3，离心率为的椭圆方程．
【解】 法一 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得所以
∴b2＝a2－c2＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
法二 设M为椭圆上任意一点，其坐标为(x，y)．
由法一知准线x＝3对应的焦点为F(，0)．
由圆锥曲线的统一定义得＝，
∴＝，化简得4x2＋9y2＝20.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线方程．
【解】 (1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P(，)，又F(c,0)，
∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.
∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴＝3，即b＝3，又e＝＝，
∴＝，∴a＝4.故双曲线方程为－＝1.
一、填空题
1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是________．(填序号)
①圆； ②两条直线；
③一个点； ④两个点．
【解析】 ∵(x－2)2＋(y＋2)2＝0，∴表示一个点(2，－2)．
【答案】 ③
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________________．
①y＝与y2＝x；②y＝x与＝1；
③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x.
【解析】 ①中y＝中y≥0，x≥0，而y2＝x时x≥0，y∈R故不表示同一曲线；②中＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．
【答案】 ③
3．点A(1，－2)在x2－xy＋ay＋1＝0上，则a＝________.
【解析】 ∵点A在x2－xy＋ay＋1＝0，
∴12－1·(－2)＋a·(－2)＋1＝0，∴a＝2.
【答案】 2
4．方程(x＋y－1)(x－y＋2)＝0表示的曲线是________．
【解析】 ∵(x＋y－1)(x－y＋2)＝0，∴x＋y－1＝0或x－y＋2＝0，
∴表示两条相交直线．
【答案】 两条相交直线
5．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是________．
【解析】 由截距式得x＋y＝5，且x∈[0,5]．
【答案】 x＋y＝5，且x∈[0,5]
6．下图中方程表示图中曲线的是________．
【解析】 ∵x2＋y2＝1表示单位圆，故①错；x2－y2＝0表示二直线y＝x和y＝－x，故②错；lg x＋lg y＝0可化为xy＝1(x>0，y>0)，故④错；只有③正确．
【答案】 ③
7．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
【解析】 由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.又0≤α<2π，∴α＝或.
【答案】 或
8．方程|x－1|＋|y－1|＝1的曲线所围成的图形的面积是________．
【解析】 |x－1|＋|y－1|＝1可写成
或或或其曲线如图所示．它是边长为的正方形，其面积为2.
【答案】 2
二、解答题
9．方程：①2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；②(x＋y－1)＝0分别表示什么曲线？
【解】 ①∵2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，
∴2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.
∴∴
∴方程①表示一点A(1，－1)．
②∵(x＋y－1)＝0，
∴或x－y－2＝0.
∴②表示如图所示的一直线与一射线．
10．已知方程(x－a)2＋(y－b)2＝36的曲线经过点O(0,0)和点A(0，－12)，求a、b的值．
【解】 ∵点O、A都在方程(x－a)2＋(y－b)2＝36表示的曲线上，∴点O、A的坐标都是方程(x－a)2＋(y－b)2＝36的解．
∴
解得
即a＝0，b＝－6为所求．
11．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
【解】 方程可化x2＋y2＝4(x≥0)，
∴曲线C表示的是以原点为圆心，2为半径的圆在y轴上及其右边的部分．
∴其面积S＝＝2π.
一、填空题
1．已知点A(－5,0)，B(5,0)，动点P到A，B距离的平方和为122，则动点P满足的方程是________．
【解析】 依题意，设动点P(x，y)．
由PA2＋PB2＝122，得(x＋5)2＋y2＋(x－5)2＋y2＝122，即x2＋y2＝36.
故所求动点P满足的方程为x2＋y2＝36.
【答案】 x2＋y2＝36
2．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长CD＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
【解析】 设A(x，y)，D(x0，y0)，
则
即x0＝，y0＝，又(x0－5)2＋(y0－0)2＝9，
∴(x－10)2＋y2＝36(y≠0)为所求A点的轨迹方程．
【答案】 (x－10)2＋y2＝36(y≠0)
3．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．
【解析】 由已知M(0，y)，N(x，－y)，则·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4，
即－＝1.
【答案】 －＝1
4．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程为________．
【解析】 由题意知，AB＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)．
【答案】 y＝0(x≤－1)
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件PA＝2PB，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于________．
【解析】 设P(x，y)，由PA＝2PB，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，所以，动点P的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.
【答案】 4π
6．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 由＝2及A、B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，知A(x,0)，B(0,3y)，
所以＝(－x,3y)．
由点Q与点P关于y轴对称，知Q(－x，y)，
所以＝(－x，y)，
则由·＝1，得(－x,3y)·(－x，y)＝x2＋3y2＝1(x>0，y>0)，即为点P的轨迹方程．
【答案】 x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
7．设点A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，点P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为________．
【解析】 由题意，不妨设A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，直线A1P1与A2P2的交点P(x，y)．
∵点A1，P1，P共线，∴＝. ①
∵点A2，P2，P共线，∴＝. ②
由①②得x0＝，y0＝，代入已知椭圆方程得－＝1.
【答案】 －＝1
8．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．
①若动点P与定点A(－4,0)，B(4,0)连线PA，PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分；
②设m，n∈R，常数a>0，定义运算“*”：m*n＝(m＋n)2－(m－n)2，若x≥0，则动点P(x，)的轨迹是抛物线的一部分；
③已知圆A：(x＋1)2＋y2＝1和圆B：(x－1)2＋y2＝25，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆；
④已知A(7,0)，B(－7,0)，C(2，－12)，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．
【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P(x，)即为P(x，)，设y＝，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r，因为MA＝r＋1，MB＝5－r，所以MA＋MB＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F，则AC＋AF＝BC＋BF，即AF－BF＝BC－AC＝15－13＝2，又0<2【答案】 ④
二、解答题
9．在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为PA、PB、PC，且满足PA2＝PB2＋PC2，求P点的轨迹方程．
【解】 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，a)，
用点的坐标表示等式PA2＝PB2＋PC2，
有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，
化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，
即所求的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y>0)．
10．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R，且m＋n＝1，求点C的轨迹方程．
【解】 设C(x，y)，则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)，
∴
∴x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，
∴x＋2y＝5，即x＋2y－5＝0.
11．(2013·南京高二检测)将圆x2＋y2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若曲线E与x轴、y轴分别交于点A(a,0)，B(－a,0)，C(0，b)，其中a>0，b>0.过点C的直线l与曲线E交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.当点P异于点B时，求证：·为定值．
【解】 (1)设曲线E上任一点为M(x，y)，相应圆上点为N(x0，y0)，
由题意消去x0，y0得＋y2＝1.
(2)显然A(2,0)，B(－2,0)，C(0,1)．根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋1，
由可得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.
解得x＝0或x＝，代入直线l方程得D点坐标
为(－，)．
又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，
联立
解得
因此Q(－4k,2k＋1)，
又P(－，0)，
所以·＝(－，0)·(－4k,2k＋1)＝4.
故·为定值．
一、填空题
1．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为______．
【解析】 联立方程，得，消去y，得x2－(x＋4)2＝1，即8x＝－17，解得x＝－，代入y＝x＋4，得y＝.故直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为(－，)．
【答案】 (－，)
2．抛物线C1：y2＝2px与C2：y＝2px2(p≠0)的交点个数为________．
【解析】 如图，交点有2个．
【答案】 2
3．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F2，则直线l与椭圆的交点坐标为________．
【解析】 椭圆的右焦点F2的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝2(x－1)，由方程组，解得，，因此所求交点坐标为(0，－2)，(，)．
【答案】 (0，－2)，(，)
4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k的取值是________．
【解析】 由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＝0，即k＝或k＝－时，直线与椭圆有一个公共点．
【答案】 ，－
5．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．
【解析】 由(kx＋1)2＝x，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，则当k≠0时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1>0，得k<且k≠0.故由“k≠0”推不出“直线l与抛物线C有两个不同的交点”，但由“直线l与抛物线C有两个不同的交点”能推出“k≠0”．即“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
6．直线y＝kx－2与椭圆x2＋4y2＝80相交于不同的两点P、Q，若PQ的中点的横坐标为2，则弦长PQ＝________.
【解析】 先利用点差法求出直线斜率，再利用弦长公式求解．
【答案】 6
7．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则这样的直线l有________条．
【解析】 由于a＝1，∴2a＝2<4，故当A、B在左右两支上时，有两条，由于过F垂直于x轴的弦长恰为4，故A、B均在右支上有一条，所以共有3条．
【答案】 3
8．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式作差得＝＝＝.
又直线AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，
代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线的标准方程是－＝1.
【答案】 －＝1
二、解答题
9．已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．
【解】 易知直线AB的斜率必存在，设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得
(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A、B的横坐标分别为x1、x2，
则＝＝1.
解得k＝－，故AB方程为y＝－(x－1)＋1.
∴所求方程为4x＋9y－13＝0.
10．若直线y＝2x＋b被曲线y2＝4x截得的弦AB的长为3，求b的值．
【解】 联立方程得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0(*)，
设两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得
故AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝3.
化简，得＝3，于是b＝－4，
当b＝－4时，方程(*)的判别式为
Δ＝(4b－4)2－16b2＝－32b＋16
＝－32×(－4)＋16＝144>0.
故直线与曲线有两个交点，于是所求的b的值为－4.
11．(2013·玉溪高二检测)直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)由得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0. ①
据题意：，
解得－2(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
则由①式得：.
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F(，0)，则FA⊥FB.
∴·＝0，
即：(x1－)(x2－)＋y1y2＝0.
∴(x1－)(x2－)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
即(1＋k2)x1x2＋(k－)(x1＋x2)＋＝0.
∴(1＋k2)·＋(k－)·＋＝0.
∴5k2＋2k－6＝0.
∴k＝－或k＝?(－2，－)(舍去)．
∴k＝－时，使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点．
一、填空题
1．已知M(－2,0)，N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PM＋PN＝6，则动点P的轨迹是________．
【解析】 ∵PM＋PN＝6>4，∴动点P的轨迹是一椭圆．
【答案】 椭圆
2．到定点(0,7)和定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．
【解析】 ∵定点(0,7)在定直线y＝7上，∴到定点(0,7)与到定直线y＝7距离相等的点的轨迹是过(0,7)的该直线的垂线，其方程为x＝0.
【答案】 x＝0
3．命题甲：动点P到定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
【解析】 甲乙，乙?甲．
【答案】 必要不充分
4．定点F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1－MF2|＝6，则M点的轨迹是________．
【解析】 ∵|MF1－MF2|＝6＝F1F2，
∴M的轨迹是x轴上以F1，F2分别为端点的两条射线．
【答案】 x轴上分别以F1，F2为端点的两条射线
5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填椭圆、双曲线或抛物线)
【解析】 由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．
【答案】 抛物线
图2－1－3
6．如图2－1－3，点A为圆O内一定点，P为圆周上任一点，AP的垂直平分线交OP于动点Q，则点Q的轨迹为________．
【解析】 由题意，QA＝QP，
∴OQ＋QA＝OQ＋QP＝OP(半径)>OA，
∴Q点的轨迹是以O、A为焦点的一椭圆．
【答案】 以O、A为焦点的一椭圆
7．(2013·徐州高二检测)已知椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△AF1F2的周长为18，则△ABF2的周长为________．
【解析】 因为AF2＋AF1＋F1F2＝18，F1F2＝8，
所以AF2＋AF1＝10，于是BF2＋BF1＝10，
所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝20.
【答案】 20
8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin B－sin A)＝3sin C，则顶点C的轨迹是________．
【解析】 运用正弦定理，将4(sin B－sin A)＝3sin C转化为边的关系，即4(－)＝3×，则AC－BC＝6【答案】 以A，B为焦点的双曲线的上支(去掉点(0,3))
二、解答题
9．已知F1(－4,3)，F2(2,3)为定点，动点P满足PF1－PF2＝2a，当a＝2或a＝3时，求动点P的轨迹．
【解】 由已知可得，F1F2＝6.
当a＝2时，2a＝4，即PF1－PF2＝4当a＝3时，PF1－PF2＝6＝F1F2，此时动点P的轨迹是射线F2P，即以F2为端点向x轴正向延伸的射线．
故当a＝2时，动点P的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F2)；当a＝3时，动点P的轨迹是射线F2P.
10．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝16，圆C2：(x－3)2＋y2＝1，动圆P与两圆相外切，求动圆圆心P的轨迹．
【解】 设圆P的半径为r，两圆圆心分别为C1(－3,0)，C2(3,0)，由圆P与两圆相外切可知PC1＝4＋r，PC2＝1＋r，∴PC1－PC2＝311．若点P(x，y)的坐标满足方程＝，试判断点P的轨迹是哪种类型的圆锥曲线．
【解】 ＝，
即＝，
等式左边表示点P(x，y)到点(1,2)的距离，右边表示点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离，即点P(x，y)到点(1,2)的距离与到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等．
又∵点(1,2)不在直线3x＋4y＋12＝0上，
由拋物线的定义知，点P的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x＋4y＋12＝0为准线的拋物线.
一、填空题
1．椭圆25x2＋16y2＝400的焦点坐标为________．
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1，∴c2＝9，∴c＝3，
∴焦点坐标为(0，±3)．
【答案】 (0，±3)
2．(2012·上海高考改编)对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”)
【解析】 由方程mx2＋ny2＝1的曲线表示椭圆，常数m，n的取值为所以mn>0；反过来，由mn>0得不到方程mx2＋ny2＝1的曲线表示椭圆．
【答案】 必要不充分
3．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为________．
【解析】 ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
【答案】 3或5
4．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝________.
【解析】 如图，xP＝－c＝－，
∴＋y＝1，∴yP＝，∴PF1＝.
∵PF1＋PF2＝4，∴PF2＝.
【答案】
5．一个焦点坐标是(0,4)，且过点B(1，)的椭圆的标准方程为________．
【解析】 由一个焦点坐标是(0,4)知椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由c＝4，得b2＝a2－c2＝a2－16，则椭圆方程可化为＋＝1(a2－16>0)，将点B(1，)代入，得a2＝20(a2＝12舍去)，从而b2＝a2－16＝4，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
6．若单位圆x2＋y2＝1上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，则所得曲线的方程是________．
【解析】 设所求曲线上任一点的坐标为(x，y)，圆x2＋y2＝1上的对应点为(x1，y1)，由题意可得，
解得①，将①代入x＋y＝1得(3x)2＋y2＝1，即y2＋＝1.
所以所求曲线的方程是y2＋＝1.
【答案】 y2＋＝1
7．(2013·西安高二检测)椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON(O为坐标原点)的值为________．
【解析】 由题意，a＝5，b＝3，∴c＝＝＝4，
MF1＝2，∴MF2＝2×5－2＝8，
又ON为△MF1F2的中位线，
∴ON＝MF2＝×8＝4.
【答案】 4
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
【解析】 ∵B在椭圆上，
∴BA＋BC＝2a＝10.由正弦定理，知
＝＝＝.
【答案】
二、解答题
9．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．
【解】 依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF1⊥PF2，试求椭圆的方程．
【解】 在Rt△F1PF2中，∵PF＋PF＝F1F，
∴(3＋c)2＋16＋(3－c)2＋16＝4c2，
∴c2＝25，∴c＝5，
∴F1(－5,0)，F2(5,0)，
∴2a＝PF1＋PF2＝6，
∴a＝3，∴b2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
11．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；
(2)求PF1·PF2的最大值．
【解】 (1)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．
根据椭圆的定义，得m＋n＝20.
在△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2·cos ∠F1PF2＝F1F，
即m2＋n2－2mn·cos ＝122.
∴m2＋n2－mn＝144，
即(m＋n)2－3mn＝144.
∴202－3mn＝144，即mn＝.
又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2
＝mn·sin ，
∴＝××＝.
(2)由题意知a＝10，∴根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝20.
∵PF1＋PF2≥2，
∴PF1·PF2≤()2＝()2＝100，
当且仅当PF1＝PF2时，等号成立．
∴PF1·PF2的最大值是100.
一、填空题
1．(2013·厦门高二检测)椭圆＋＝1的离心率是________．
【解析】 e＝＝＝.
【答案】
2．(2012·上海高考)已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则下列说法正确的是________．
①C1与C2顶点相同；
②C1与C2长轴长相同；
③C1与C2短轴长相同；
④C1与C2焦距相等．
【解析】 由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.只有④正确．
【答案】 ④
3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．
【解析】 由题意得，解得，因为焦点在x轴上，所以所求椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率为e＝，则其标准方程为________．
【解析】 依题意，得a＝2，e＝＝，
∴c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
【答案】 ＋x2＝1
5．(2013·无锡高二检测)若椭圆＋＝1(0【解析】 ∵0【答案】 6
6．(2012·课标全国卷改编)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
【解析】 ∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF2A＝60°，PF2＝F1F2＝2c，∴AF2＝c，
∴2c＝a，∴e＝.
【答案】
7．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是________．
【解析】 ∵||＋||＝2a，
∴||·||≤()2＝a2，
∴2c2≤a2≤3c2，
∴≤e2≤，
∴≤e≤.
【答案】 [，]
图2－2－3
8．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；
④＜.
其中正确式子的序号是________．
【解析】 由题图知a1＋c1>a2＋c2，故①错误．
又a1－c1＝PF，a2－c2＝PF，故a1－c1＝a2－c2，即②正确．
由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e1>e2，即>.
又a1，a2均大于0，故c1a2>a1c2，故③正确．
显然④错误，故②③正确．
【答案】 ②③
二、解答题
9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA＝，求椭圆的方程．
【解】 椭圆的长轴长为6，cos ∠OFA＝，
∴点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，
∴OF＝c，OA＝b.
AF＝＝＝a＝3，＝，
∴c＝2，b2＝32－22＝5.
故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知椭圆C的中心O在原点，长轴在x轴上，焦距为6，短轴长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(－5,0)作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，求△ABO的面积．
【解】 (1)设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，由题意得c＝3，b＝4，a＝5，
所以椭圆C方程为＋＝1.
(2)不妨设A(－5,0)，直线AB方程为：
y＝x＋5，由得.
所以S△OAB＝OA·|yB|＝×5×＝.
11．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，
于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，解得k＝±.
一、填空题
1．(2013·南京高二检测)双曲线－＝1的焦点坐标是________．
【解析】 ∵c2＝5＋4＝9，∴c＝3，∴F(±3,0)．
【答案】 (±3,0)
2．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是________．
【解析】 由题意知k<0.
【答案】 (－∞，0)
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
【解析】 ∵a>0，∴焦点在x轴上，
∴4－a＝a＋2，∴a＝1.
【答案】 1
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 ∵xM＝3，∴－＝1，
∴yM＝±.
又∵右焦点为F2(4,0)，
∴MF2＝＝4.
【答案】 4
5．(2013·福州高二检测)双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(，0)，那么实数k的值为________．
【解析】 双曲线方程化为标准形式为x2－＝1，由焦点是(，0)，可得k<0，且1－＝()2，解得k＝－1.
【答案】 －1
6．(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【解析】 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝2.
【答案】 2
7．(2013·潍坊高二检测)已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0(其中ab≠0，a≠b，c>0)，它们所表示的曲线可能是________．
【解析】 方程ax2＋by2＝ab可化为＋＝1，若a>0，b>0，则直线ax＋by＋c＝0在两轴上截距均为负值，无此图形；若a>0，b<0，则②符合；若a<0，b>0，无此图形．
【答案】 ②
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
【解析】 如图，F(－4,0)，设F′为双曲线右焦点，则F′(4，0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，PF－PF′＝2a＝4，而PF＋PA＝4＋PF′＋PA≥4＋AF′＝4＋5＝9.当且仅当A、P、F′三点共线时取等号．
【答案】 9
二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点P1(3，－4)，P2(，5)；
(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A的纵坐标为4.
【解】 (1)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，
得，解得，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由椭圆的方程为标准方程，得焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．
由题意点A在椭圆＋＝1上，因为yA＝4，则＋＝1，
解得xA＝(xA＝－舍去)，故点A的坐标为(，4)．
由题意知，双曲线的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，点A(，4)在双曲线上，则由双曲线定义可得2a＝|AF1－AF2|＝|－|＝4，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹．
【解】 设M(x，y)，则kAM＝(x≠－5)，kBM＝(x≠5)，由题意知kAM·kBM＝，即·＝(x≠±5)，化简，整理得－＝1(x≠±5)．
因此，点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(A，B两点除外)．
11．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝，tan∠MNP＝2，建立适当的平面直角坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．
【解】 以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x0，y0)、M(－c,0)、N(c,0)(y0>0，c>0)如图所示．
则解得
设双曲线方程为－＝1，
将点P(，)代入，
可得a2＝(a2＝舍去)．
∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1.
一、填空题
1．(2013·江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，
所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
2．(2013·扬州高二检测)若双曲线x2－＝1的离心率为2，则m的值为________．
【解析】 显然m>0，∴e＝＝2，∴m＝3.
【答案】 3
3．(2013·福建高考改编)双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．
【解析】 双曲线的渐近线为直线y＝±x，即x±2y＝0，顶点为(±2,0)，∴所求距离为d＝＝.
【答案】
4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．
【解析】 双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为
－＝0，
整理得3x±ay＝0，故a＝2.
【答案】 2
5．(2013·常州高二检测)双曲线tx2－y2－1＝0的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率为________．
【解析】 渐近线方程为y＝±x，∵2x＋y＋1＝0的斜率为k＝－2，∴＝，∴t＝，∴双曲线方程为－y2＝1，∴e＝＝.
【答案】
6．(2013·哈师大附中高二检测)y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 消去y得：(1－4k2)x2－16kx－25＝0，
∴，∴－【答案】 (－，－)
7．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
图2－3－1
【解析】 △ABE是等腰三角形，AE＝BE，∴只需∠AEB为锐角，
∴∠AEF<45°，∴＝AF∴e2－e－2<0，∴－1又∵e>1，∴1∴e∈(1,2)．
【答案】 (1,2)
8．(2012·浙江高考改编)中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________．
图2－3－2
【解析】 设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a′，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则2a＝2×2a′，即a＝2a′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为e′＝，椭圆离心率e＝，故＝＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．(1)求焦点在x轴上，过点(3，－)，离心率为e＝的双曲线的标准方程；
(2)求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是(－4,0)，一条渐近线是3x－2y＝0的双曲线方程及离心率．
【解】 (1)焦点在x轴上，设方程为－＝1，
则－＝1，①
又e＝＝＝＝，
得a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，得双曲线标准方程为x2－＝1.
(2)∵双曲线的一条渐近线是3x－2y＝0，
∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵其中一个焦点是(－4,0)，
∴4λ＋9λ＝16.
∴λ＝.
∴双曲线方程为－＝1，离心率e＝＝.
10．已知斜率为1的直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为y＝x＋b，
由得x2－2bx－b2－2＝0，
∴x1＋x2＝2b，x1x2＝－b2－2，
∴由AB＝ ＝ ＝4，解得b＝±1，∴直线l的方程为x－y±1＝0.
图2－3－3
11．如图2－3－3，已知双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)P是双曲线C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限．若＝λ，λ∈[，2]，求△AOB面积的取值范围．
【解】 (1)由题意，知双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为，
∴＝，即＝.
由解得
∴双曲线C的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.
设A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.
由＝λ，
得P点的坐标为(，)．将P点坐标代入－x2＝1，化简，
得mn＝.
设∠AOB＝2θ，∵tan(－θ)＝2，
∴tan θ＝，sin θ＝，sin 2θ＝.
又OA＝m，OB＝n，
∴S△AOB＝OA·OBsin 2θ
＝2mn＝(λ＋)＋1.
记S(λ)＝(λ＋)＋1，λ∈[，2]．
由基本不等式，得
S(λ)＝(λ＋)＋1≥×2＋1＝2.
当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
又S()＝，S(2)＝，
∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2；
当λ＝时，△AOB的面积取得最大值.
∴△AOB面积的取值范围是[2，].
