课件29张PPT。第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点 栏目链接1.掌握零点的概念，理解函数零点与方程的根之间的联系.
2.初步形成用函数观点处理问题的意识，体会函数与方程的思想.
3.领会函数零点与相应方程根的关系.
4.掌握零点存在的判定条
栏目链接 栏目链接基础
梳理 栏目链接1．函数零点的概念．
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的__________________．
例如：y＝2x＋1的函数图象与x轴的交点为____________ ，有一个零点是____________．
二次函数y＝x2－x－2函数图象与x轴的交点为____________ ，有两个零点是____________．
f(x)＝0零点 (－1,0)，(2,0)－1与22．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的____________，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的____________．
例如：已知函数f(x)的零点为x＝3，则方程f(x)＝0的实数根为________，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标为______．
3．方程f(x)＝0有________?函数y＝f(x)的图象与x轴有________?函数y＝f(x)有________．
4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在________内有零点．
基础
梳理 栏目链接实数根横坐标 x＝33实数根交点零点(a，b)例如：二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
f(－2) ·f(1)________0(填“＜”或“＞”)．在区间______上有______．
栏目链接基础
梳理＜(－2,1)零点思考
应用 栏目链接 1．如果f(x)是区间上的单调函数，且满足f(a)·f(b)<0，那么f(x)在区间上一定有零点吗？ 栏目链接2．如果函数f(x)在区间有零点，那么一定有f(a)·f(b)<0吗？
思考
应用 栏目链接3．如果连续函数f(x)在区间没有零点，是否一定有f(a)·f(b)>0?
思考
应用自测
自评 栏目链接1．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)自测
自评 栏目链接自测
自评2．函数f(x)＝x2－3x＋2的零点是( )
A．(1,0) B. (2,0)
C. (1,0)与(2,0) D．1与2解析：零点是数而不是点．故选D.
答案：D 栏目链接自测
自评3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2) 栏目链接题型一 求简单函数的零点例1 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝x2－3x－4；
(2)f(x)＝log2x.
栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接1．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋6x＋9.题型二 函数零点的判断例2 栏目链接跟踪
训练 栏目链接题型三 二次函数的零点问题例3 当a为何值时，函数y＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？ 栏目链接跟踪
训练 栏目链接3．若方程ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求a的取值范围．题型四 零点的存在性与零点个数问题例4 设函数f(x)＝x－ln(x＋2)，证明函数f(x)在[e－2－2，e4－2]内有两个零点．
栏目链接跟踪
训练A．3个 B．2个 C．1个 D．0个课件29张PPT。第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解 栏目链接1. 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应
2. 方程的近似解.,2.了解二分法是求方程近似解的常用方法.
栏目链接 栏目链接基础
梳理1．对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数
y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做________．
例如：指出下列函数中哪些能用二分法求其近似零点，哪些不能．
①y＝2x＋3；②y＝x2＋2x＋1；③y＝－3＋lg x.
一分为二 二分法答案：①③可以，②不行 栏目链接2．图象在闭区间[a，b]上连续不断的单调函数f(x)，在(a，b)上至多有________．
例如：判断下列函数在(－2,2)上的零点个数．
①y＝－2x；②y＝3x－10.
基础
梳理 栏目链接一个零点答案：①一个 ②0个3．函数零点的性质．
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝ ____ 的实数；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与________交点的横坐标；
(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与________，则零点x0通常称为不变号零点；
(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与________，则零点x0通常称为变号零点．0x轴x轴相切x轴相交 栏目链接4．用二分法求函数的变号零点．
二分法的条件f(a)·f(b)＜0表明用________求函数的近似零点都是指__________．
栏目链接基础
梳理二分法变号零点＜0中点x1基础
梳理 栏目链接思考
应用 栏目链接1．用二分法求函数的零点近似值时应注意的问题有哪些？
栏目链接 2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的．若要求方程f(x)＝g(x)的实根，可研究哪个函数的零点？
思考
应用 栏目链接3．如何理解“精确度ε”的含义？
思考
应用自测
自评 栏目链接A 栏目链接自测
自评2．根据下表，能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3) 栏目链接 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 二分法概念的理解例1 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接1．下列函数中，能用二分法求零点的为( )
解析：由二分法的使用条件可知，B正确．
答案：B题型二 用二分法判断零点的存在区间例2 设f(x)＝2x＋x－2，用二分法求方程2x＋x－2＝0在(0,1)内近似解的过程中得f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)＜0，则方程的根落在区间( )
A．(0,0.5) B．(0.5,1)
C．不能确定 D．都不正确
栏目链接跟踪
训练 栏目链接题型三 用二分法求函数零点的近似解例3 求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个为正数的零点(精确度为0.1)． 栏目链接 解析：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下： 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接3．求方程x2－2x－1＝0的一个近似解(精确到0.1)．
跟踪
训练课件24张PPT。第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3.1.3 函数与方程(习题课) 栏目链接1.正确理解函数零点与方程根、函数图象与x轴交点横坐标的关系.
2.正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在区间.
3.综合应用二分法、数形结合法与求根公式等研究与方程的根相关问题.
栏目链接 栏目链接基础
梳理 栏目链接x＝mm函数f(x)＝ln(2－x)是区间上的减函数基础
梳理 栏目链接2个思考
应用 栏目链接1．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似解．这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？
栏目链接 2．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间[a，b]上具有什么样的条件时， 连续函数f(x)的零点是唯一的？
思考
应用 栏目链接 3．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使a·f(x0)<0，你能判断它的零点个数吗？
思考
应用自测
自评 栏目链接 栏目链接自测
自评解析：∵f(1)＝ －1, f(2)＝2, f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)在区间(1,2)上必有零点．
答案：B 栏目链接自测
自评 3．已知a是实数，函数 f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围是_________. 栏目链接题型一 判断零点所在的区间例1 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( )
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
题型二 根据零点个数求参数范围例2 若函数y＝mx2－2x－1只有一个零点，求实数m的值． 栏目链接跟踪
训练 栏目链接2．若函数f(x)＝x2－2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1B题型三 讨论曲线的公共点例3 求函数f(x)＝ln x与g(x)＝6－2x的公共点的个数． 栏目链接 栏目链接解析：法一：利用信息技术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋2x－6的图象．
法二：利用函数零点存在性定理．
因为函数F(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，F(2)＝
－1.306 9<0，F(3)＝1.098 6>0则F(2)·F(3)<0.
这说明函数F(x)在区间(2,3)内有零点，由于函数F(x)在定义域内是增函数，
所以f(x)与g(x)仅有一个公共点． 栏目链接法三：图象法． 栏目链接跟踪
训练 栏目链接 3．设曲线C1：f(x)＝x＋1(x≠2)，C2：g(x)＝ax＋2，若曲线
C1，C2没有公共点，求实数a的值．
课件36张PPT。第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型(一) 栏目链接1.复习已学习一次函数、二次函数、反比例与正比例函数及分段函数的应用.
2.能根据数据正确选择最适合的函数模型，研究相应简单应用问题.
3.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异.
4.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
栏目链接 栏目链接基础
梳理 栏目链接1．常见的几类函数模型有：
(1)一次函数模型；(2)二次函数模型；(3)指数函数模型；(4)对数函数模型．
例如：一等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数解析式是________________．
y＝20－2x(5＜x＜10)2．一次函数f(x)＝ax＋b(a>0)在区间 ________ 上是增函数；
二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间
____________________
上是增函数．
结合它们的图象可知，存在实数x0，当x>x0时就有___________．
基础
梳理 栏目链接 g(x)>f(x)思考
应用 栏目链接 1．在实际问题中，建立函数模型时，如果已知这个模型是一次函数，那么确定这个模型需要一些什么样的条件？
栏目链接 2．在实际问题中，如果我们获得了两个变量之间的一组实验数据，若要建立这两个变量间的函数模型，你认为第一步要做什么？思考
应用 栏目链接3．通常，描述增长速度比较平缓的函数模型有哪些？
思考
应用自测
自评 栏目链接1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x 栏目链接自测
自评 2．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量增长速度保持不变，则该厂六年来这种产品的总量可用下列哪个图象表示( )
A 栏目链接自测
自评A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加 栏目链接解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高的．因此A项错误．同理可判断出B项错误. 由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确．
答案：C 栏目链接题型一 一次函数模型的应用例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如下图所示． 栏目链接(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．分析：由题目可获取以下主要信息：(1)通过图象给出函数关系，(2)函数模型为直线型，(3)比较两种函数的增长差异．答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
解析：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30,15)分别代入y1，y2得 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练A．8 000 B．10 000
C．12 000 D．15 000 栏目链接跟踪
训练 栏目链接题型二 二次函数模型的应用例2 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接 栏目链接跟踪
训练题型三 指数型函数模型的应用例3 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式．如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？
(“复利”：即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息．) 栏目链接解析：1期后y1＝a＋a×r＝a(1＋r)，
2期后y2＝a(1＋r)2，…，
则x期后，本利和为：y＝a(1＋r)x.
将a＝1 000元，r＝2.25%，x＝5 代入上式：
y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55，
由计算器算得：y＝1 117.68(元)．
栏目链接 栏目链接跟踪
训练 3．光线通过一块玻璃时，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后的强度为y，则y关于x的函数关系式为______________．
栏目链接y＝a0.9x 题型四 对数型函数模型的应用例3 已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？ 栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练跟踪
训练 栏目链接课件32张PPT。第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用
3.2.2 几类不同增长的函数模型(二) 栏目链接1．能根据数据正确选择最适合的函数模型研究相应简单应用问题．
2．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；掌握其重要结论并且用于解决实际问题之中．
3．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
栏目链接 栏目链接基础
梳理 栏目链接y＝ax(a＞1)y＝xn(n＞0)y＝logax(a＞1)logax0＜x＜ax0y＝2x，y＝x2，y＝log2x基础
梳理 栏目链接答案：y＝logax(0＜a＜1) y＝xn(n＜0)
y＝ax(0＜a＜1) logax0＜x＜ax0基础
梳理 栏目链接思考
应用 栏目链接1．建立函数模型时常用的分析方法有哪些？
栏目链接 2．高中与建立函数模型有关的应用题，常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键在哪？
思考
应用自测
自评 栏目链接 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据(见下表)．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
自测
自评 栏目链接答案：B 栏目链接自测
自评2．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( )
自测
自评答案：C
栏目链接自测
自评 栏目链接自测
自评 栏目链接题型一 增长率模型例1 某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式．
栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练1．一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期．精确到0.1.已知
lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
栏目链接跟踪
训练 栏目链接题型二 利用图形给出函数模型例2 电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．试问(注：图中MN∥CD)：
(1)若通话2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
栏目链接 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接2．某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系用下图中一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元．
(1)试求该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)的关系；
(2)若该店只安排40名职工，求每月的利润S的最大值，并指出此时该种消费品的销售价是多少．跟踪
训练题型三 分段函数模型例3 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( ) 栏目链接解析：由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升，由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．
答案：C
点评：(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值：
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．
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训练3．某人从甲地去乙地，一开始跑步前进，后来步行，图中横轴表示走的时间，纵轴表示此人与乙地的距离，则较符合该走法的图是( )
栏目链接跟踪
训练课件37张PPT。第三章 函数的应用
3.2 函数模型及其应用
3．2.3 函数模型的应用实例 栏目链接1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.体会运用函数思想处理现实生活和社会中的简单问题.
2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.
栏目链接 栏目链接基础
梳理 栏目链接y＝3x(x∈N*)y＝x2(x＞0)基础
梳理 栏目链接y＝2x(x∈N*)24只A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b 答案：B8．我们已经学习到的用来与实际问题拟合的函数有：一次函数、反比例函数、二次函数、指数型函数、对数型函数等．
9．在求其具体解析式时用到的最重要的方法是：待定系数法．
例如：已知y与x是一次函数关系，现已知当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝8.则y与x的函数关系是：____________.y＝2x＋2思考
应用 栏目链接1．在没有给出具体模型的问题中，如何建立函数模型？
思考
应用 栏目链接 2．若已知函数模型的类型，如何确定函数模型的解析表达式？
思考
应用自测
自评 栏目链接 1．某地土地沙化严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )C自测
自评 栏目链接2．某人2009年7月1日到银行存入一年期款a元，若用年利率x复利计算，则2012年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)3元
B．a(1＋x)4元
C．a＋(1＋x)3元
D．a(1＋x3)元A 栏目链接自测
自评60 500 栏目链接题型一 利用散点图拟合函数、建立函数模型例1 某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采取什么办法估算以后几个月的产量？ 栏目链接 栏目链接分析：作出图象如下，图上可以得到四个点：A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)． 栏目链接跟踪
训练 1．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择y＝at＋b与y＝
loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
栏目链接跟踪
训练题型二 函数图象相关的应用题例2 栏目链接 栏目链接 栏目链接跟踪
训练 栏目链接2.某地一年的气温G(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如右图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令Q(t)表示时间段[0，t]的平均气温，Q(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )
跟踪
训练答案：A题型三 几何问题中的函数关系例3 如下图所示，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP，设AP＝x. 栏目链接(1)写出AP＋2PM关于x的函数关系式；
(2)求此函数的最值．
栏目链接跟踪
训练3．距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？
栏目链接跟踪
训练
