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D A B B C A A C A D A D
高二理科期中考试答案
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 14. 16.
17. 本小题分
【答案】
解：由消去参数，得到，
故曲线的普通方程为．
由，结合公式
得到，
得，即，
故曲线的直角坐标方程为．
设点的坐标为，
则点到曲线的距高，其中，
所以当时，取最大值，
所以点到曲线的最大距离为．
18. 本小题分
【答案】
解：直线的直角坐标方程，则其极坐标方程为
，
曲线的直角坐标方程．
直线：为参数代入曲线得，
，设，两点对应的参数分别为，，
，，，，
．
19. 解：由题意得，
又，解得，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，
点的坐标分别为，
由，消去得，
，
则，
所以，
因为，
所以，
即，
又，所以，
结合图象可知，，
所以直线的斜率为定值．
20. 【答案】
证明：在中，，
，
，，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
解：平面，，，又，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，取，解得，，
取平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，为锐角，
，
二面角的余弦值为．
21解：假设数学成绩与语文成绩无关，
根据表中数据计算得，
，
根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关．
，估计的值为．
按分层抽样，语文成绩优秀的为人，语文成绩不优秀的人，随机变量的所有可能取值为，，，．
，，
，
，
的分布列为
数学期望．
22.
解：当时，的定义域为，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，无极大值．
因为函数在上递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，取得极小值，也是最小值，
所以实数的取值范围为．
由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即函数图象与函数图象有两个不同的交点，
因为，
令得：，
所以当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
则，
而，且，
要使函数图象与函数图象有两个不同的交点，
所以的取值范围为 唐徕民高2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷（理科）
（考试时间：120分钟，满分：150分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则复数共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在同一平面直角坐标系中，曲线：经过伸缩变换后所得曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则焦点在轴上的椭圆的离心率
的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知曲线在点处的切线斜率为，且是的极值
点，则函数的另一个极值点为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，若，则
( )
A. B. C. D.
8. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值
为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列说法中正确的是（ ）
设随机变量服从二项分布，则
已知随机变量服从正态分布且，则
小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点
互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
；．
A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①②
10. 如图由曲线，直线以及两坐标轴的正半轴所围成
的图形的面积为，则等于（ ）
A. B. C. D.
11. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的奇函数满足时，成立，且则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是___________．
14. 已知函数，，则的最大值为 ．
15. 某学校安排名高三教师去个学校进行交流学习，且每位教师只去一个学校，要求每个学校至少有一名教师进行交流学习，则不同的安排方式共有 种
16. 一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为_________________．
三、解答题:本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线距离的最大值．
18. （本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，求的值．
19.（本小题满分12分）
已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于，均在第一象限，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为，且其中为坐标原点证明：直线的斜率为定值．
20. （本小题满分12分）
如图：平面，四边形为直角梯形，，
（1）求证：平面面P
（2）求二面角余弦值；
21. （本小题满分12分）
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学 成绩 优秀
不优秀
合计
某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
（1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值．
（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人里再随机抽取人参加数学竞赛，求这人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望．
附：
22. （本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求函数极值
（2）若函数在上递增，求实数的取值范围
（3）函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围．
