上海市上师大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

上海市上师大附高2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.若，则的值为__________.
2.已知向量，则在方向上的数量投影为__________.
3.若，则__________.
4.若向量的夹角，则__________.
5.已知向量的夹角为，且，若向量，则__________.
6.已知函数，当函数值为-2时，自变量的取值集合为__________.
7.已知函数，函数的对称中心与对称轴的最小距离为，则__________.
8.已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是__________.
9.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足，其中，则__________.
10.已知函数在区间上严格增函数，且在区间上只取得一次最大值，则的最大值是__________.
11.已知函数若在区间上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数的取值集合是__________.
12.在中，角的对边分别为，且为正数，为边上的中线，，则的取值范围是__________.
二 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题给中4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则得0分.
13.已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（ ）
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
14.已知函数，那么下列命题中假命题是（ ）
A.是偶函数 B.在上恰有一个零点
C.在上是单调函数 D.是周期函数
15.已知锐角，则边上的高的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16.设函数，其中 为已知实常数，，有如下命题：
（1）若，则对任意实数恒成立；
（2）若，则函数为奇函数：
（3）若，则函数为偶函数；
（4）当时，若，则.
则所有正确命题的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设两个向量且，
（1）求方向的单位向量；
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在区间的值域.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园””.如图所示，以中点为圆心，的长为半径的扇形草坪区，点在弧上（不与端点重合）弧为步行道，其中与垂直，与垂直.设.
（1）如果点位于弧的中点，求三条步行道；
（2）街道允许在步行道开设临时摊点，预计每年能产生的经济效益为每米5万元 5万元 5.9万元，则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少（精确到1万元）
20.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
已知向量，令.
（1）求函数的对称轴方程；
（2）设，当时，求函数的最小值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的实数且，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
21.（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为称为函数的“相伴向量”.
（1）记的“相伴函数"为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数的取值范围；
（2）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围；
（3）已知点，向量的“相伴函数”在处的取值为，在锐角中，设角的对边分别为，且，求的取值范围.
参考答案
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】分子分母同时除以可得，原式.
2.【答案】
【解析】.
3.【答案】
【解析】.
4.【答案】2
【解析】.
5.【答案】4
【解析】.
6.【答案】
【解析】.
7.【答案】
【解析】由题意可得最小正周期以，所以，对称轴义，所以有一个对称中心为，代入函数解析式可得，所以.
8.【答案】
【解析】
，所以时方程有两个不同的实数根，所以的取值范围是.
9.【答案】3
【解析】，由，
得或6，但当时，，
，所以此时1是
的一个周期，不符合图像，故.
10.【答案】
【解析】
依题意，函数，
因为在区间上严格增函数，由，则
，于是且，
解得月.，即，当时，，
因为在区间上只取得一次最大值，因此，
解得，所以的取值范围是.
11.【答案】
【解析】若，则不合题意，
若，则，所以，
因为，所以或，所以或，
若，则不合题意，
综上可得
12.【答案】
【解析】设为正数.
中，为边上的中线，，
，两边平方得，
①
设，代入①得，
整理得②，此方程至少有1个止根，
首先，解得③，
在三角形中，由余弦定理得恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，结合③可得.
对于方程②：
若对称秞，则方程②至少1个正根，符合題意，
若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得
综上所述，也即的取值范围是.
二 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题给中 个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则得0分.
13.【答案】A
【解析】，故选A.
14.【答案】C
【解析】对于，函数，定义域为，关于原点对称，且
，所以是偶函数，正确；
对于时，，
，
且在上恰有一个零点是正确；
对于C，吋，，且，
在上先减后增，错误.
对于D，根据正弦 余弦函数的周期性知，函数是最小正周期为的周期函数，D
正确；
故选：C.
15.【答案】B
【解析】方法一，所以
，因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以.
法二：考虑的外接圆，根据正弦定理得外接圆半径为2，圆心到边的距离为1，过点分别作的垂线，交圆于点，由题意可知，点在劣弧上
（不包含弧端点），如下图，当点在或处时边上的高最小为2，点在劣弧中点时边上的高最大为3，故边上的高的取值范围是.
16.【答案】D
【解析】（1）若，则
则
函数为奇函数；
若，则
函数偶函数，故既是奇函数又是偶函数，
故对任意实数恒成立，故（1）正确；
（2）由（1）的证明过程可知当时，函数为奇函数，正确.
（3）由（1）的证明过程可知当时，函数为偶函数，正确.
（4）对于命题（4），当时，
令
则，
由辅助角公式得
其中，则是函数的两个对称中心点，
函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半，
因此，，命题（4）正确.
故选D.
三 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知，
所以，所以，即方向的单位向量为；
（2）由已知，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
所以.
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1），
函数的最小正周期为.
令，则，
所以单调递增区.间为.
（2），则，
，故函数在区.间的值域为.
19.【答案】（1）；（2）2022
【解析】（1）
，故，
由于点位于弧的中点，所以点位于的角
夹分线上，则
，因为，所以为等边三角
形，则，因此三条街道的总长度为
（米）.
（2）由图可知，
，
在中由余弦定理吋知：
，则，
设三条步行道每年能产生的经济总效益，则
，
当即时取最大值，最大值为.
答：三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
20.【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）因为向量，
所以，
由，得，所以函数对称轴方程为
（2）由（1）得，
因以所以
令，因为，所以，
则，对称轴为，
当，即，可得在上单调递增，
所以，
当，即
时，，
当，即时，在上单调递减，
所以，所以
（3）当时，由（2）可得
所以，而，当且仅当
时取等号，
当且仅当时，取等号，所以，所以，
即实数的取值范围为.
21.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）的“相伴函数”，
方程为
则方程有四个实数解.
所以有四个实数解.
令
①当；
②当.
所以，作出的图像：
所以函数与有四个交点时，实数的取值范围为.
（2）向量的“相伴函数”，
其中.
当，即时，取最大值，
所以，
所以，令，则
所以，解得：，所以，
因为单调递增，所以，所以.
（3）解法1：，
由余弦定理②
由定义则
由正弦定理：
，其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知
注意到，所以
所以，②式变形为，故，从而，
此时函数单调递减，而
所以
解法2：，设中点为，
则
所以如下图所示，
设的外接圆为圆，由于为锐角三角形，故点
的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆的半径
，故
设，则，由余弦定理：
由于函数在时单调递减，
所以