岳池县诊断性检测（三）
数学 试题
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．倒数为的是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．目前全国初中生共有人，将数“”用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．一次函数y＝2x+3的图象沿轴向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝2x－3 B．y＝2x+2 C．y＝2x+1 D．y＝2x
7．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为甲，乙，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，线段PQ在对角线AC上运动，且PQ＝1．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．31 B． C．4 D．21
9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
10．如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤中正确的是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题(请把最简答案填写在答题卡上相应位置，本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11．比较大小：____ （选填“”，“”或“”）
12．已知，则代数式的值是________．
13．若点在第三象限，则点在第________象限
14．若，则＝_________．
15．如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则当时，小球的高度为______m．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2；以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3；以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长___________．
三、解答题(本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中m＝－1．
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．求证：．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、B两点，轴，垂足为C，△AOC的面积是2．
(1)求m、n的值；
(2)求直线的解析式．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21题6分，第22、23、24题各8分，共30分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
21．我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
(1)共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名；
(2)在扇形统计图中，m的值为______；
(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率．
22．为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0
23．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船观测到，同时，巡逻船观测到，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船与落水人的距离？（参考数据：，，，）
24．下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑.请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴。
五、推理论证题（本大题共1个小题，共9分.）
25．如图，AB为⊙O的直径，C、E是⊙O上两点，且CE=CB，过点C的直线与AE垂直，且交AE的延长线于D，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2，CE=，求AE的长．
六、拓展探索题（本大题共1个小题，共10分.）
26．如图，抛物线与直线分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0），点B的纵坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出M点的坐标；
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥y轴交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试题第2页，共2页
数学试题 第1 页 共1 页岳池县诊断性检测（三）
数学 试题
第Ⅰ卷选择题（共 30 分）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.本大题共 10个小题，
每小题 3分，共 30分）
1．倒数为 2的是（ ）
1
A．2 B 1． 2 C． D． 22
2．下列运算中，正确的是（ ）
A 2
2
4
． B． ( 2)2 2 C． a3 a5 a15 D． a2 a2 a4
3 3
3．目前全国初中生共有50100000人，将数“50100000 ”用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.01 107 B．50.1 106 C．501 105 D．0.501 107
4．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．一次函数 y＝2x+3的图象沿 y轴向下平移 2个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝2x－3 B．y＝2x+2 C．y＝2x+1 D．y＝2x
7．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据 2，2，3，4的众数是 2，中位数是 2.5
B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 s2 甲 3， s2 乙 4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生
数学试题 第 1 页 共 4 页
8．如图，在正方形 ABCD中，AB＝3，线段 PQ在对角线 AC上运动，且 PQ＝1．连
接 BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A．3 2 1 B． 19 1 C．4 D．2 5 1
9．如图，直线 AB与⊙O相切于点 A，AC、CD是⊙O的两条弦，且 CD∥AB，若
⊙O的半径为 5，CD=8，则弦 AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 3 D．4 5
10．如图，抛物线 y ax 2 bx c a 0 的顶点为D 1,2 ，与 x轴的一个交点
在点 3,0 和 2,0 之间，其部分图象如图，则以下结论：① 4ac b2 0；
3 , y 1 ②若 2 1
， , y2 是图象上的两点，则 y1 y2 ；③ a b c 0；④若
2
方程 ax 2 bx c m 0 没有实数根，则m>2；⑤3a c 0中正确的是（ ）
A． 2个 B．3个 C． 4个 D．5个
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题(请把最简答案填写在答题卡上相应位置，本大题共 6个小题，每小题 3分，共 18分)
11 6 1
1
．比较大小： ____ （选填“ ”，“ ”或“ ”）
3 3
12．已知 a2 a 1 0，则代数式 2a2 2a 2021的值是________．
13．若点 a, 3 在第三象限，则点 2,a 在第________象限
14．若（x 2021)2 2022 y 2023 m 0 m，则 x y ＝_________．
15．如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小
球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则当 t 1.5s时，
小球的高度为______m．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线 l的函数表达式为 y＝x，点 O1的
坐标为（1，0），以 O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线 l于点 P1，
交 x轴正半轴于点 O2；以 O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线 l于
点 P2，交 x轴正半轴于点 O3；以 O3为圆心，O3O为半径画圆，交
直线 l于点 P3，交 x轴正半轴于点 O4；…按此做法进行下去，其中
P 2023O2024 的长___________．
三、解答题(本大题共 4小题，第 17小题 5分，第 18、19、20小题各 6分，共 23分.解答时应按
要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
17．计算： ( 2020)0 12 4 (
1
) 1 2 tan 60
3
试题第 2页，共 4页
m 2 5
18．先化简，再求值：
m2 3m
m 3 ，其中 m＝－1．
m 3
19．如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O，点 E，F分
别在CA和 AC的延长线上，且 AE CF，连接DE，BF．求证：DE BF．
n
20．如图，在平面直角坐标系中，直线 y mx与双曲线 y 相交于 A 2,a 、
x
B两点， BC x轴，垂足为 C，△AOC的面积是 2．
(1)求 m、n的值；
(2)求直线 AC的解析式．
四、实践应用题（本大题共 4个小题，第 21 题 6 分，第 22、23、24 题各 8 分，
共 30 分.解答时应按要求写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤.)
21．我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、D四个等级，并
将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
(1)共有______名学生参加竞赛；成绩为“B等级”的学生人数有______名；
(2)在扇形统计图中，m的值为______；
(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中，选出 2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”
中有一名女生和两名男生，请用画树状图的方法求出一名男生和一名女生同时被选中的概率．
22．为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备
购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价 180元，售价 320元；
乙种服装每件进价 150元，售价 280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共 200件，恰好用去 32400
元，求购进甲、乙两种服装各多少件
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共 200件的总利润(利润=售价一
进价)不少于 26700元， 且不超过 26800元，则该专卖店有几种进货
方案
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在 5月 1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服
装每件优惠 a(0数学试题 第 3 页 共 4 页
23．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到 PAB 67.5 ，同时，巡逻船
B观测到 PBA 36.9 ，两巡逻船相距 63海里，求此时巡逻船A与落水人 P的距离？（参考
数据： sin36.9
3
， tan36.9
3
， sin 67.5
12
， tan 67.5
12
）
5 4 13 5
24．下列四个图都是由 16个相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形被涂黑.请
你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑使各图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形(另
两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同)，并画出其对称轴。
五、推理论证题（本大题共 1 个小题，共 9 分.）
25．如图，AB为⊙O的直径，C、E是⊙O上两点，且 CE=CB，过点 C的
直线与 AE垂直，且交 AE的延长线于 D，连接 AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若 AC=2 5，CE= 5，求 AE的长．
六、拓展探索题（本大题共 1 个小题，共 10 分.）
1 1
26 2．如图，抛物线 y x bx c与直线 y x 3分别相交于 A，B两点，且此抛物线与 x轴的
2 2
一个交点为 C，连接 AC，BC．已知 A（0，3），C（﹣3，0），点 B的纵坐标为 1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴 l上找一点 M，使|MB－MC|的值最大，求出 M点的坐标；
(3)点 P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥y轴交 y轴于点 Q，问：是否
存在点 P使以 A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的
坐标；若不存在，请说明理由．
试题第 4页，共 4页岳池县诊断性检测（三）
数学 试题参考答案及评分意见
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．＞ 12．2023 13．四
14． 15．30 16．
三、解答题(第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分)
17．解：原式==．……………………………………………5分
18．解：
=………………………………………………1分
=…………………………………………………………2分
=…………………………………………………3分
=；…………………………………………………………………4分
当时，原式= ．…………………………………6分
19．证明：四边形是平行四边形，
，，……………………………………………1分
，
…………………………………………………………2分
在△ODE和△OBF中，，…………………………………………4分
（SAS）……………………………………………………………5分
．…………………………………………………………………………6分
20．（1）解：∵直线与双曲线相交于、B两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，
∴，
∴；…………………………………………………………………………1分
∵，
∴，解得，…………………………………………………………2分
∴，
把代入与得，解得；………………3分
（2）设直线的解析式为，………………………………………………4分
∵直线经过A、C，
∴，解得 ………………………………………………………5分
∴直线的解析式为．………………………………………………6分
四、实践应用(第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分)
21．（1）根据题意，得样本容量（名）；……………………………1分
成绩为“B等级”的学生人数有：（名），…………………………2分
（2）∵，∴，……………………………………………3分
（3）设男生为，女生为，画树状图如下：…………………………………4分
一共有6种等可能性，有女生的有4种等可能性，……………………………5分
所以出女生被选中的概率．………………………………………………6分
22．解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，
根据题意得：180x＋150（200－x）=32400，…………………………………………1分
解得：x=80，200－x=200－80=120．
∴购进甲、乙两种服装80件、120件．…………………………………………2分
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：……………3分
，解得：70≤y≤80．
∵y是正整数，∴共有11种方案．…………………………………………………4分
设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），
即w=（10－a）y+26000．……………………………………………………………5分
①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，
∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件．……………6分
②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以．……………7分
③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，
∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．……………8分
23．解：如图所示，过点作，垂足为．…………………………………1分
设海里，在中，……………………………………………………2分
∵，
∴．……………………………………………………………3分
在中，
∵，
∴．……………………………………………………………4分
∵，
∴，解得，…………………………………………………5分
∵，…………………………………………………………………6分
∴（海里）．……………………………………7分
∴巡逻船与落水人的距离为39海里．…………………………………………8分
24．（1）如图：
对称轴分别是：AB、CD、EF、GH
（答案仅供参考，符合题意，酌情给分，每个2分，共8分）
五、推理与论证(9分)
25． （1）证明：连接OC，……………………1分
∵CE=CB，
∴，
∴∠1=∠2，……………………………………2分
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
∴OC∥AD.…………………………………………………………………………3分
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；………………………………………………………………4分
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，……………………………………………………………………5分
∵AC=2，CB=CE=，
∴.…………………………………………6分
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴，…………………………………………………………………7分
即，
∴AD=4，DC=2．……………………………………………………………………8分
在Rt△DCE中，DE=，
∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．…………………………………………………………9分
六、拓展探究(10分)
26． (1)解：将A（0，3），C（﹣3，0）代入得……1分
解得：………………………………………………………………………2分
∴抛物线的解析式是．……………………………………………………………………3分
(2)解：当点B、C、M三点不共线时，|MB－MC|当点B、C、M三点共线时，|MB－MC|=BC．
∴当点B、C、M三点共线时，|MB－MC|取最大值．…………………………………4分
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线．
∵直线AB解析式为，点B的纵坐标为1，
∴令y=1，则．
∴x=﹣4．
∴B（﹣4，1）．………………………………………………………………………5分
设直线BC解析式为．
把点B和点C坐标代入直线BC解析式得
解得：
∴直线BC的解析式为y=－x－3．
∴当时，．
∴．……………………………………………………………………6分
(3)解：如下图所示．
设点P坐标为．
∵PQ⊥y轴交y轴于点Q，
∴点Q坐标为．
∴PQ=x，AQ=．
∵，，，
∴，，．
∴．
∴∠ACB=90°．………………………………………………………………………7分
①当时．
∵，
∴．
∴．
解得x1=（舍），x2=0（舍）．……………………………………………………8分
∴此时无符合条件的点P．
②当时．
∵，
∴．
∴．
解得x1=1，x2=0（舍）．………………………………………………………………9分
∴点P为（1，6）．∴存在点P使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时点P坐标为（1，6）………………………………………………………………………10分
答案第2页，共2页
答案第1页，共1页岳池县诊断性检测（三）
数学 试题参考答案及评分意见
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C
二、填空题(每小题 3分，共 18 分)
11．＞ 12．2023 13．四
14． 1 15．30 16． 22021
三、解答题(第 17 小题 5分，第 18、19、20 小题各 6分，共 23 分)
17．解：原式=1 (4 2 3) 3 2 3 = 0．……………………………………………5分
m 2 5
18．解： 2 m 3 m 3m m 3
m 2 m2 9 5
= ………………………………………………1分
m2 3m m 3 m 3
= m 2 m
2 4
2 …………………………………………………………2分m 3m m 3
m 2 m 3
=
m(m 3) (m 2)(m 2) …………………………………………………3分
1
= m(m 2) ；…………………………………………………………………4分
1 1
当m 1时，原式= = ．
( 1) ( 1 2) 3 …………………………………6分- - -
19．证明： 四边形 ABCD是平行四边形，
OA OC，OB OD，……………………………………………1分
AE CF，
OE OF…………………………………………………………2分
OD OB
在△ODE和△OBF中， DOE BOF，…………………………………………4分
OE OF
△DOE≌△BOF（SAS）……………………………………………………………5分
DE BF．…………………………………………………………………………6分
答案第 1页，共 6页
n
20．（1）解：∵直线 y mx与双曲线 y 相交于 A 2,a 、B两点，
x
∴点 A与点 B关于原点中心对称，
∴ B 2, a ，
∴C 2,0 ；…………………………………………………………………………1分
∵ S△AOC 2，
1
∴ 2 a 2，解得 a 2，…………………………………………………………2分
2
∴ A 2,2 ，
A 2,2 y mx n n把 代入 与 y 得 2m 2,2 ，解得m 1,n 4；
x ………………3分 2
（2）设直线 AC的解析式为 y kx b，………………………………………………4分
∵直线 AC经过 A、C，
2k b 2 1 k
∴ k b ，解得
2
2 0 ………………………………………………………5分 b 1
1
∴直线 AC的解析式为 y x 1．………………………………………………6分
2
四、实践应用(第 21 小题 6分，第 22、23、24 小题各 8分，共 30 分)
21．（1）根据题意，得样本容量 n 3 15% 20（名）；……………………………1分
成绩为“B等级”的学生人数有：20 3 4 8 5（名），…………………………2分
（2）∵8 20 40% m%，∴m 40，……………………………………………3分
（3）设男生为 B1,B2，女生为G1，画树状图如下：…………………………………4分
一共有 6种等可能性，有女生G1的有 4种等可能性，……………………………5分
4 2
所以出女生被选中的概率 ．………………………………………………6分
6 3
22．解：（1）设购进甲种服装 x件，则乙种服装是（200－x）件，
根据题意得：180x＋150（200－x）=32400，…………………………………………1分
解得：x=80，200－x=200－80=120．
答案第 2页，共 6页
∴购进甲、乙两种服装 80件、120件．…………………………………………2分
（2）设购进甲种服装 y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：……………3分
320 180 y 280 150 200 y 26700
，解得：70≤y≤80．
320 180 y 280 150 200 y 26800
∵y是正整数，∴共有 11种方案．…………………………………………………4分
（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），
即 w=（10－a）y+26000．……………………………………………………………5分
①当 0＜a＜10时，10－a＞0，W随 y增大而增大，
∴当 y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装 80件，乙种服装 120件．……………6分
②当 a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以．……………7分
③当 10＜a＜20时，10－a＜0，W随 y增大而减小，
∴当 y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装 70件，乙种服装 130件．……………8分
23．解：如图所示，过点 P作PC AB，垂足为C．…………………………………1分
设PC x海里，在 Rt APC中，……………………………………………………2分
tan A PC∵ ，
AC
AC PC 5x∴ ．……………………………………………………………3分
tan 67.5 12
在Rt PCB中，
tan B PC∵ ，
BC
x 4
∴BC x．……………………………………………………………4分
tan 36.9 3
∵ AC BC AB 63，
5 4
∴ x x 63，解得 x 36，…………………………………………………5分
12 3
sin PC∵ A ，
PA …………………………………………………………………6分
答案第 3页，共 6页
PA PC 36 36 13∴ 39（海里）．……………………………………7分
sin 67.5 sin 67.5 12
∴巡逻船A与落水人 P的距离为 39海里．…………………………………………8分
24．（1）如图：
对称轴分别是：AB、CD、EF、GH
（答案仅供参考，符合题意，酌情给分，每个 2分，共 8分）
五、推理与论证(9 分)
25． （1）证明：连接 OC，……………………1分
∵CE=CB，
∴C E C B，
∴∠1=∠2，……………………………………2分
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
∴OC∥AD.…………………………………………………………………………3分
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；………………………………………………………………4分
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，……………………………………………………………………5分
∵AC=2 5，CB=CE= 5，
∴ AB AC 2 CB2 (2 5)2 ( 5)2 5 .…………………………………………6分
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，
∴△ADC∽△ACB，
答案第 4页，共 6页
AD AC DC
∴ ，
AC AB CB …………………………………………………………………7分
AD 2 5 DC
即 ，
2 5 5 5
∴AD=4，DC=2．……………………………………………………………………8分
在 Rt△DCE中，DE= EC2 DC2 ( 5)2 22 1，
∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．…………………………………………………………9分
六、拓展探究(10 分)
c 3,1
26． (1)解：将 A（0，3），C 3 0 y x2（﹣ ， ）代入 bx c得 9 b c ……1分2 3 0．
2
5
b ,
解得： 2 ………………………………………………………………………2分
c 3．
∴抛物线的解析式是
y 1 x2 5 x 3．……………………………………………………………………3分
2 2
(2)解：当点 B、C、M三点不共线时，|MB－MC|当点 B、C、M三点共线时，|MB－MC|=BC．
∴当点 B、C、M三点共线时，|MB－MC|取最大值．…………………………………4分
1 2 5
∵抛物线解析式为 y x x 3，
2 2
5
∴抛物线对称轴为直线 x ．
2
1
∵直线 AB解析式为 y x 3，点 B的纵坐标为 1，
2
1
∴令 y=1，则1 x 3．
2
∴x=﹣4．
∴B（﹣4，1）．………………………………………………………………………5分
设直线 BC解析式为 y kx n．
4k n 1,
把点 B和点 C坐标代入直线 BC解析式得
3k n 0．
k 1,
解得：
n 3.
∴直线 BC的解析式为 y=－x－3．
答案第 5页，共 6页
5 1
∴当 x 时， y ．
2 2
5 1
∴M ， 2 2
．……………………………………………………………………6分
(3)解：如下图所示．
P x
1
， x2 5 设点 坐标为 x 3 ．
2 2
∵PQ⊥y轴交 y轴于点 Q，
1 5
∴点 Q坐标为 0， x
2 x 3 ．
2 2
1
PQ=x AQ= x2
5
∴ ， x．
2 2
∵ A 0,3 ， B 4,1 ，C 3,0 ，
∴ AB 2 4 0 2 1 3 2 2 5， BC 3 4 0 1
2 2，
AC 3 0 2 0 3 2 3 2．
∴ BC 2 AC 2 AB2．
∴∠ACB=90°．………………………………………………………………………7分
①当△QPA∽△CAB 时．
∵△QPA∽△CAB ，
PQ AQ
∴ ．
AC BC
1
x x
2 5 x
∴ 2 2 ．
3 2 2
13
解得 x1= （舍），x2=0（舍）．……………………………………………………8分3
∴此时无符合条件的点 P．
②当△QAP∽△CAB时．
∵△QAP∽△CAB，
AQ PQ
∴ ．
AC BC
1 x2 5 x
∴ 2 2 x ．
3 2 2
解得 x1=1，x2=0（舍）．………………………………………………………………9分
∴点 P为（1，6）．∴存在点 P使以 A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时点 P坐
标为（1，6）………………………………………………………………………10分
答案第 6页，共 6页