初中数学沪科版八年级下册17.4 一元二次方程根与系数的关系课件（28张PPT）

(共28张PPT)
*17 .4
一 元 二 次 方 程根与系数的关系
方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2
x2＋2x－15＝0
3x2－4x＋1＝0
2x2－5x＋1＝0
根据你的观察，猜想： 方程 ax2 ＋bx ＋c ＝0 (a≠0)的根如果是 x1，x2，那么x1＋x2 ＝______，x1x2 ＝_______.
你能证明上面的猜想吗
我们知道，一元二次方程 ax ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0)的两根为
x1 ＝，
x2 ＝.
所以 x1＋x2 ＝
＝ ＝
x1·x2 ＝
＝
＝
＝ .
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax ＋ bx ＋ c ＝ 0 (a ≠ 0)的两个根为x1，x2，那么
x1＋x2 ＝ ，
x1·x2 ＝ .
这个关系通常称为韦达定理.
一元二次方程根与系数的关系存在的前提是 a ≠ 0，b2 － 4ac ≥ 0.
特别提醒
(1) x12＋x22 ＝ ( x1＋x2) 2－2x1x2；
(2) (x1－x2) 2 ＝ ( x1＋x2) 2－4x1x2；
(3) ＋ ＝ .
与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形
求一元二次方程两根之和、两根之积时，要把方程化成一元二次方程的一般形式，先确定方程有实数根，再代入公式直接计算即可.
特别提醒
当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为 x2＋px ＋q ＝ 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：
x1＋x2 ＝－p， x1x2 ＝ q.
例 题
例1 已知关于x的方程 2x2 ＋ kx － 4 ＝ 0的一个根是4.
求它的另一个根及k的值.
解 设方程的另一个根是 x2，则
－ 4＋x2 ＝ －
－ 4x2 ＝ －
－ 4＋x2 ＝ －
－ 4x2 ＝ －
解方程组，得
x2 ＝ ，
k ＝ 7.
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
本题还有别的解法吗？
例2 方程 2x2－3x＋1 ＝ 0 的两个根记作 x1，x2，不解
方程，求 x1 － x2的值.
解 由韦达定理，得
x1 ＋ x2 ＝ ，
x1x2 ＝ .
(x1－x2)2 ＝ (x1＋x2)2 －4x1x2
＝ ()2 －4× ＝ .
∴ x1 － x2 ＝ ± .
练 习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少
(1) x2 － 3x ＋1 ＝ 0；
(2) 3x2 － 2x －2 ＝ 0；
(3) 2x2 － 9x ＋5 ＝ 0；
(4) 4x2 － 7x ＋1 ＝ 0；
(5) 2x2 ＋ 3x ＝ 0；
(6) 3x2 ＝ 1.
2. 判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两
个根.
(1) x2＋5x＋4 ＝ 0，(1， 4)；
(2) x2－6x－7 ＝ 0，(－1， 7)；
(3) 2x2－3x＋1 ＝ 0，(， 1)；
(4) 3x2＋5x－2 ＝ 0，(－， 2)；
(5) x2－8x＋11 ＝ 0，(4－， －4＋)；
3. 已知关于x的方程 3x2－19x ＋ m ＝ 0的一个根是1，求
它的另一个根及 m的值.
4. 设x1，x2 是方程 2x2 ＋ 4x － 3 ＝ 0的两个根，利用根
与系数的关系，求下列各式的值.
(1) (x1＋1)(x2＋1)；
(2) ＋ ；
本课结束