17.3 一元二次方程根的辨别式 -初中数学沪科版八年级下册课件

(共32张PPT)
第17章 一元二次方程
义务教育沪科版数学八年级下册
17 .3
一 元 二 次 方 程根的辨别式
交 流
在前面的学习中，你是否注意到：
方程 ax＋bx＋c ＝0(a≠0) 有实数根的条件是什么
何时有两个相等的实数根 何时有两个不相等的实数根
前面，通过配方，得到了一元二次方程
ax2 ＋ bx ＋c ＝0 (a≠0)
的求根公式：
x＝
因为 a≠0 . 所以
(1) 当b2 －4ac ＞0时， 是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：
x1＝
x2＝
(2) 当 b2 －4ac ＝0 时， b2 －4ac ＝ 0，因此，方程有两个相等的实数根：
x1＝；
(3) 当 b2－4ac ＜ 0 时， 在实数范围内无意义，因此方程没有实数根.
1、定 义
可见，一元二次方程 ax2 ＋bx ＋c ＝0 (a≠0)根的情况由 b2－4ac 来确定. 我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 ＋bx ＋c＝0 (a≠0)根的判别式，通常用符号“ ”来表示，即 ＝ b2 － 4ac.
确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定 a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
特别提醒
一般地，一元二次方程 ax2 ＋bx ＋c ＝0 (a≠0)
2、一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
当 ＞ 0 时，有两个不相等的实数根；
当 ＝ 0 时，有两个相等的实数根；
当 ＜ 0 时，没有实数根.
3、利用根的判别式判别一元二次方程根的情况的
步骤：
(1) 把所给的一元二次方程化为一般形式；
(2) 确定 a，b，c 的值；
(3) 计算 b2 － 4ac 的值；
(4) 根据b2 － 4ac的值与 0 的大小关系判别 .
例 题
例 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) 5x2－3x－2 ＝0；
(2) 25y2 ＋4 ＝20y；
(3) 2x2＋3x＋1＝0.
(1) 5x2－3x－2 ＝0；
因为 ＝ (－3)2－4×5× (－2) ＝49 ＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 25y2 ＋4 ＝20y；
原方程可变形为
25y2 －20y ＋4 ＝0.
因为 ＝ (－20)2－4 × 25 × 4 ＝ 0
所以原方程有两个相等的实数根.
(3) 2x2＋3x＋1＝0.
因为 ＝()2－4×2×1＝－5＜0.
所以原方程没有实数根.
练 习
1. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) 2x2 － 5x －4 ＝ 0；
(2) 7t2 －5t ＋2 ＝ 0；
(3) x(x ＋ 1) ＝ 3；
(4) 3y2 ＋ 25 ＝ 10y .
2. 已知关于x的方程 x2 －3x ＋k ＝ 0，问k取何值时，这
个方程:
(1) 有两个不相等的实数根
2. 已知关于x的方程 x2 －3x ＋k ＝ 0，问k取何值时，这
个方程:
(2) 有两个相等的实数根
2. 已知关于x的方程 x2 －3x ＋k ＝ 0，问k取何值时，这
个方程:
(3) 没有实数根
习题 17.3
1. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) 4y(y －1) ＋1 ＝ 0；
(2) 0.2x2 － 5 ＝ x；
(3) 2y2 ＋4y ＋35 ＝ 0；
(4) x2 ＋0.09 ＝ 0.6x.
2. 求证：关于x的方程 x2＋(2k ＋1)x ＋k －1 ＝ 0有两个
不相等的实数根.
3. k取什么值时，关于x的方程 4x2－(k＋2)x＋k－1 ＝0 有
两个相等的实数根 求出这时方程的根.
4. 关于x的一元二次方程 (m－1)x2 －2mx＋m＝0 有实数
根求m的取值范围
5. 求证：关于x的方程 ＋ (m＋1)x＋m2＋m＋1＝0没有
实数根
本课结束