初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法课件（98张PPT）
文档属性
| 名称 | 初中数学沪科版八年级下册 17.2 一元二次方程的解法课件（98张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 54.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-20 21:58:10 | ||
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文档简介
(共98张PPT)
第17章 一元二次方程
义务教育沪科版数学八年级下册
17 . 2
一元二次方程的解法
直接开平方法
复习引入
1. 如果 x2 ＝ a，那么 x 叫做 a 的 .
平方根
2. 如果 x2 ＝ a (a≥0)，那么 x ＝ _______.
3. 如果 x2 ＝ 64，那么 x ＝ ______.
±
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
±8
利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 .
1、定 义
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：
●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是 x2＝p中p ≥ 0.
特别警示
知识链接
平方根的定义：
若 x2＝a (a ≥ 0)，则x是a的平方根，即x＝± .
(1)当 p＞0 时，方程有两个不等的实数根 x1＝ －， x2＝ ；
(2)当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0；
(3)当 p＜0 时，方程没有实数根 .
2. 方程 x2 ＝ p 的解(根)的情况 .
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
步骤 1： 移项，将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为 1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根) .
步骤 2： 开平方，将方程转化为两个一元一次方程 .
步骤 3： 解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根 .
以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比如，求x2＝9中x的值.它的解法，就是开平方，即
x＝±，x ＝±3 .
所以直接开平方就可求得方程 x2 ＝ 9的两个根：x1 ＝ － 3， x2 ＝ 3.
练 习
直接开平方解下列方程：
(1) x2 ＝ 25；
(2) x2 －0.81＝ 0；
x ＝ ±
∴ x1 ＝ ，
x2 ＝－.
x2 ＝0.81
x ＝ ± 0.9
∴ x1 ＝ 0.9，
x2 ＝ － 0.9.
(3) 3(x＋1)2 ＝ 48；
(4) 2(x － 2)2 －4＝ 0；
(x＋1)2 ＝ 16
x＋1 ＝ ± 4
x＝ ± 4 －1
∴ x1 ＝ － 5
x2 ＝ 3
2(x － 2)2 ＝4
(x － 2)2 ＝2
x － 2＝±
x ＝±＋2
∴ x1 ＝ －＋2
x2 ＝ ＋2
17.2.1 配方法
思 考
怎样解上节问题1中得到的方程 x2＋2x－1＝0？
这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式
下面，对这个方程进行变形：
把常数项移到等号右边，得
x2＋2x＝1
对等号左边配方，得
x2＋2x＋1＝1＋1，
即 (x＋1)2＝2.
x2＋2x＋1＝1＋1，
这时，对上式直接开平方，得
x＋1＝±.
为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数
所以原方程的根是
x1＝－1，x2＝－－1.
(考虑到问题1的实际情况，这里只能取x1＝－1≈0.41，即：年平均增长率应是 41%)
x＋1＝±.
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完 全平方式后，接开平方求解的方法，叫做配方法.
1、定 义
“化自方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法.
(1) 移项 . 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边 .
(2) 二次项系数化为 1. 方程的左、右两边同时除以二次项系数 .
(3) 配方 . 把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为( x＋n)2＝p 的形式 .
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
(4) 开平方 . 如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根 . 即：
①当 p ＞ 0 时，方程(x＋n)2＝p 有两个不等的实数根x1＝－n－ p， x2＝－n＋ p .
② 当 p＝0 时， 方程(x＋n) 2＝p 有两个相等的实数根x1＝x2＝－n.
③当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有(x＋n) 2 ≥ 0，所以方程( x＋n) 2＝p 无实数根 .
例 题
例1 用配方法解下列方程 ：
(1) x2－4x－1 ＝ 0；
(2) 2x2 －3x －1＝0.
解 (1) 移项，得
x2－4x ＝1.
配方，得
x2 －2×2x＋______＝1＋_______，
(1) x2－4x－1 ＝ 0；
即 (x－_____)2 ＝_______.
开平方，得 ___________________.
所以原方程的根是 x1＝________，x2＝_______.
4
4
2
5
x－2 ＝ ±
－＋2
＋2
(2) 2x2 －3x －1＝0.
先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以2，得
x2 －x －＝0.
移项，得
x2 －x ＝.
下面的过程由你来完成：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x2 －x ＝.
x2 －x ＋()2 ＝ ＋()2.
(x－)2 ＝ ＋
(x－)2 ＝ ＋
(x－)2 ＝
x－ ＝ ±
x＝ ±
x1＝ －
x2＝
交 流
根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般一元二次方程应有的步骤. 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定
练 习
1. 填空：
(1) x2 －8x ＋ ( )2＝(x－ )2；
(2) y2 ＋5y ＋ ( )2 ＝(y＋ )2；
(3) x2 －x＋( )2＝(x－ )2；
(4) x2 ＋px ＋( )2 ＝(x＋ )2.
±
±
±
±
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2 ＋ x－1＝0；
x2＋x＋－－1＝0；
(x＋) 2＝
x＋＝ ±
x＝ －
x＝ － －
(2) x2 － 3x－2＝0；
x2 － 3x ＋ －－2＝0
(x － )2 ＝
x － ＝ ±
x ＝ ± ＋
x＝ － ＋
x＝ ＋
(3) 2x2 ＋ 5x － 1 ＝ 0 ；
x2 ＋ x － ＝ 0
x2 ＋ x ＋ － － ＝ 0
(x＋) 2 ＝
x＋ ＝±
x＝± －
x＝ －
x＝－ －
(4) 3x2 － 6x ＋ 1 ＝ 0.
x2 － x ＋ ＝ 0
x2 － x ＋1－1＋ ＝ 0
(x－) 2 ＝
x－＝±
x＝± ＋
x＝ ＋
x＝－ ＋
17.2.1 配方法
探 究
如何解一般的一元二次方程
呢？
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
因为a≠0，把方程的两边都除以 a，得
x2＋x＋ ＝0
移项，得
x2＋x ＝ －
配方，得
x2＋x ＝ －
x2＋2·x ＋()2 ＝－ ＋()2
即
(x＋)2 ＝ .
因为 a≠0，4a2＞0.
(x＋)2 ＝ .
当b2－4ac≥0时，≥0，将方程 两边开平方，得
x＋ ＝ ± .
于是得：
x ＝ － ± .
x ＝ ( ≥ 0).
这就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0且b2 － 4ac ≥ 0)的求根公式
1、定 义
有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根.这种解法叫做公式法.
2、用求根公式解一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定公式中 a， b， c 的值；
③求出 b2 － 4ac 的值；
④若 b2 － 4ac ≥ 0, 则把 a， b 及 b2 － 4ac的值代入求根公式求解，若 b2 － 4ac ＜ 0，则方程无实数解 .
例 题
例2 用公式法解下列方程：
(1) 2x2 ＋7x－4＝0；
(2) x2 ＋3 ＝ 2x .
(1) 2x2 ＋7x－4＝0；
解 a ＝ 2，b ＝ 7，c ＝ － 4，
b2－4ac ＝72－4×2× (－4) ＝81 ＞0
代人求根公式，得
x ＝ ＝
∴ x1 ＝ ， x2 ＝.
(2) x2 ＋3 ＝2x .
解 将原方程化为标准形式,得
x2 － 2x＋3 ＝ 0 .
a ＝ 1，b ＝ － 2， c ＝ 3.
b2 － 4ac ＝(－2)2 － 4×1×3 ＝ 0
代人求根公式，得
x ＝ ＝
∴ x1 ＝ x2 ＝.
例3 解方程：x2 ＋x－1 ＝ 0.(精确到0.001)
解 a ＝1，b ＝1，c ＝－1，代人求根公式，得
x ＝ ＝
用计算器求得 ≈ 2.236 1.
∴ x1 ≈ 0.618， x2 ≈ －0.618.
练 习
1. 把下列方程化成 ax2 ＋ bx ＋c ＝0 的形式，并写出其
中 a，b，c 的值：
(1) x2 － 5x ＝ 2；
(2) 3x2 － 1 ＝ 2x；
x2 － 5x －2＝0
a ＝ 1，b ＝ －5 ，
c ＝ －2.
3x2 － 2x －1＝0
a ＝ 3，b ＝ －2 ，c ＝ －1.
(3) 2x(x －1) ＝ x＋4；
(4) (x ＋1)2 ＝ 3x－2；
2x2 －2x ＝ x＋4
2x2 －3x －4＝ 0
a ＝ 2，
b ＝ －3 ，
c ＝ －4.
x2 ＋2x＋1 ＝ 3x－2
x2 －x ＋3＝ 0
a ＝ 1，
b ＝ －1 ，
c ＝ 3.
2. 用公式法解下列方程：
(1) 3x2 ＋5x －2 ＝ 0；
(2) 2x2 ＋5x －12 ＝ 0；
a = 3，b = 5，c =－2，
∵ = 25 +24 = 49，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝，x2＝－2；
a = 2，b = 5，c =－12，
∵ = 25 +96 = 121，
∴ x ＝，
解得：x1＝，x2＝－4；
a = 4，b = － 4，c =3，
∵ = 48－ 48 = 0，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝x2＝ ；
a = 1，b = 2，c =2，
∵ = 8 － 8 = 0，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝x2＝－；
(3) t2 ＋2t ＋ 2 ＝ 0；
(4) 4x2－4x＋3 ＝ 0；
(5) p(2 － p) ＝ 5；
(6) 0.3x(x － 2) ＋ 0.4 ＝ 0.
3. 用公式法解方程：x2 － 3x － 1 ＝ 0. (精确到 0.1)
4. 解关于x的方程：2x2 － mx － n2 ＝ 0.
17.2.3 因式分解法
一个一元二次方程用公式法总可以求解.对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法.如解方程 x2 ＝9，除了直接开平方求解外，还可以把它变形为
x2－9＝0.
再将方程左边分解因式，得
(x－3)(x＋3) ＝0.
(x－3)(x＋3) ＝0.
我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0. 因此，有
x－3＝0 或 x＋3＝0
解 这两个一次方程，得
x1＝3，x2 ＝－3.
1、定 义
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
这里用到了什么样的数学思想方法
2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为 0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .
常用的因式分解的方法：
1. 提公因式法；
2. 公式法；
3. x2＋ (a＋b) x＋ab＝ ( x＋a ) ( x＋b ).
知识储备
交 流
1. 解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.
(1) x2＋3x ＝0； (2) x2 ＝ x.
2. 在解上面的方程(2)时，如果像下面这样做：
两边同除以 x，得 x ＝1.
故方程的根为 x ＝1.
这样对吗 为什么
3. 总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：
的解法
ax2＋c＝0 (a，c异号) ，ax2 ＋bx ＝0 (a≠0)
例 题
例4 解方程：x2－5x＋6＝0.
解 把方程左边分解因式，得
(x－2)(x－3) ＝0.
因此，有
x－2＝0 或 x－3＝0.
解方程，得
x1 ＝2，x2 ＝ 3.
例5 解方程：(x＋4)(x－1) ＝ 6.
解 将原方程化为标准形式，得
x2＋3x－10＝0.
把方程左边分解因式，得
(x＋5)(x－2) ＝0.
∴ x＋5＝0 或 x－2＝0 .
解方程,得
x1＝－5，x2＝2.
练 习
用因式分解法解下列方程：
(1) (x－)(x－) ＝0；
(2) 4x2 － 3x ＝ 0；
(3) 3(x＋1) ＝ x (x＋1)；
(4) x2－6x－7 ＝0；
(5) t (t ＋3) ＝ 28；
(6) (x ＋1)(x ＋ 3) ＝ 15.
习题 17.2
1. 直接开平方解下列方程：
(1) x2 －49 ＝0；
(2) 2x2 － ＝0；
(3) (x－1)2 ＝ 2；
(4) 2(x－2)2 －8 ＝ 0；
(5) (x － 2)2 ＝ 6；
(6) (x ＋ )2 ＝ (1 ＋ )2.
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2＋6x－7＝0；
(2) x2＋5x＋2＝0；
(3) 2x2－5x＋1 ＝ 0；
(4) 2x2 －3x－7 ＝0
3. 用配方法解关于x的方程：x2 ＋ px ＋q ＝ 0.
4. 用公式法解下列方程：
(1) x2－x－3＝0；
(2) 2x2 ＋4x－3＝0；
(3) 3x2－x－1 ＝0；
(4) 2y2 ＋3y －1 ＝ 0
5. 用因式分解法解下列方程：
(1) x2 ＝ 7x；
(2) 2x2 ＋x ＝0；
(3) (x＋1)2 －2(x＋1) ＝0；
(4) x2 －3x ＋2 ＝0.
6. 用适当方法解下列方程：
(1) x2－3x－4＝0；
(2) 6x2 － 13x －15 ＝ 0；
(3) (3－x)2 ＋ x2 ＝ 9；
(4) (y － 2)2 ＝3；
(5) (y＋3)2 ＝ 4y ；
(6) (2x－1)(x＋3) ＝ 4；
(7) (2y＋1)2 ＋3(2y＋1) ＋2 ＝0.
7. 解下列方程，并求根的近似值(精确到 0.01)：
(1) 5x2 ＋2x－1 ＝0；
(2) x2 －3x＋1 ＝ 0.
8. 当x是什么数时，3x2＋6x－8 的值与2x－1的值相等
数学活动
挪球游戏
下面我们来做一个数学游戏：
一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动： 若甲堆的球数 p不少于乙堆的球数q，则从甲堆拿q个球放到乙堆去,这算是挪动一次. 继续这个过程，可以经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆.
我们从最简单的情形着手: 设有 A，B，C 三堆球，它们中分别有球a个，b个和c个. 不妨设 a ≤ b ≤ c，易知，如果其中有等号成立，那么一步就可以把它们并成至多两堆. 所以下面设 a < b < c.
给出几组具体数据，自已试着做一做.做起来会很有趣，即使没有做成功，也会有所体会和收获. 在下面的情况中，都有a＝1，a＋b＋c ＝ 50.
情形1：a ＝1，b ＝9，c ＝ 40.
A B C
操作步骤 1 9 40
第一步：B→A，移动1个球 2 8 40
第二步：C→A，移动2个球 4 8 38
第三步：C→A，移动4个球 8 8 34
第四步：B→A，移动8个球 16 0 34
情形2：a ＝1，b ＝11，c ＝ 38.
A B C
操作步骤 1 11 38
第一步：B→A，移动1个球 2 10 38
第二步：B→A，移动2个球 4 8 38
第三步：C→A，移动4个球 8 8 34
第四步：B→A，移动8个球 16 0 34
情形3：a ＝1，b ＝22，c ＝ 27.
A B C
操作步骤 1 22 27
第一步：C→A，移动1个球 2 22 26
第二步：B→A，移动2个球 4 20 26
第三步：B→A，移动4个球 8 16 26
第四步：C→A，移动8个球 16 16 18
第五步：B→A，移动16个球 32 0 18
活动 1： 通过观察，得到规律.
(1) 观察 A 堆中的球数变化情况；
(2) 观察操作步骤中各次移动的球数变化情况；
(3) 观察操作步骤中各次移动中分别移往何处
(4) 观察操作步骤中各次移动时分别由何处移出
(5) 观察 B 堆中球数变化的情况；
(6) 总结你所观察到的规律，想一想为什么
活动 2：感兴趣的同学可以试着寻找当 a ＞1时的规律.
完成上述游戏后，说说你对解决问题的策略和方法的感悟.
本课结束
第17章 一元二次方程
义务教育沪科版数学八年级下册
17 . 2
一元二次方程的解法
直接开平方法
复习引入
1. 如果 x2 ＝ a，那么 x 叫做 a 的 .
平方根
2. 如果 x2 ＝ a (a≥0)，那么 x ＝ _______.
3. 如果 x2 ＝ 64，那么 x ＝ ______.
±
4. 任何数都可以作为被开方数吗？
负数不可以作为被开方数.
±8
利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法 .
1、定 义
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：
●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提是 x2＝p中p ≥ 0.
特别警示
知识链接
平方根的定义：
若 x2＝a (a ≥ 0)，则x是a的平方根，即x＝± .
(1)当 p＞0 时，方程有两个不等的实数根 x1＝ －， x2＝ ；
(2)当 p＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0；
(3)当 p＜0 时，方程没有实数根 .
2. 方程 x2 ＝ p 的解(根)的情况 .
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
步骤 1： 移项，将方程变成左边是完全平方的形式，且系数为 1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根) .
步骤 2： 开平方，将方程转化为两个一元一次方程 .
步骤 3： 解这两个一元一次方程，则得出的两个解即为一元二次方程的两个根 .
以前我们实际上已解过一些特殊的一元二次方程，比如，求x2＝9中x的值.它的解法，就是开平方，即
x＝±，x ＝±3 .
所以直接开平方就可求得方程 x2 ＝ 9的两个根：x1 ＝ － 3， x2 ＝ 3.
练 习
直接开平方解下列方程：
(1) x2 ＝ 25；
(2) x2 －0.81＝ 0；
x ＝ ±
∴ x1 ＝ ，
x2 ＝－.
x2 ＝0.81
x ＝ ± 0.9
∴ x1 ＝ 0.9，
x2 ＝ － 0.9.
(3) 3(x＋1)2 ＝ 48；
(4) 2(x － 2)2 －4＝ 0；
(x＋1)2 ＝ 16
x＋1 ＝ ± 4
x＝ ± 4 －1
∴ x1 ＝ － 5
x2 ＝ 3
2(x － 2)2 ＝4
(x － 2)2 ＝2
x － 2＝±
x ＝±＋2
∴ x1 ＝ －＋2
x2 ＝ ＋2
17.2.1 配方法
思 考
怎样解上节问题1中得到的方程 x2＋2x－1＝0？
这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式
下面，对这个方程进行变形：
把常数项移到等号右边，得
x2＋2x＝1
对等号左边配方，得
x2＋2x＋1＝1＋1，
即 (x＋1)2＝2.
x2＋2x＋1＝1＋1，
这时，对上式直接开平方，得
x＋1＝±.
为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数
所以原方程的根是
x1＝－1，x2＝－－1.
(考虑到问题1的实际情况，这里只能取x1＝－1≈0.41，即：年平均增长率应是 41%)
x＋1＝±.
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完 全平方式后，接开平方求解的方法，叫做配方法.
1、定 义
“化自方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法.
(1) 移项 . 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边 .
(2) 二次项系数化为 1. 方程的左、右两边同时除以二次项系数 .
(3) 配方 . 把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为( x＋n)2＝p 的形式 .
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
(4) 开平方 . 如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实数根 . 即：
①当 p ＞ 0 时，方程(x＋n)2＝p 有两个不等的实数根x1＝－n－ p， x2＝－n＋ p .
② 当 p＝0 时， 方程(x＋n) 2＝p 有两个相等的实数根x1＝x2＝－n.
③当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有(x＋n) 2 ≥ 0，所以方程( x＋n) 2＝p 无实数根 .
例 题
例1 用配方法解下列方程 ：
(1) x2－4x－1 ＝ 0；
(2) 2x2 －3x －1＝0.
解 (1) 移项，得
x2－4x ＝1.
配方，得
x2 －2×2x＋______＝1＋_______，
(1) x2－4x－1 ＝ 0；
即 (x－_____)2 ＝_______.
开平方，得 ___________________.
所以原方程的根是 x1＝________，x2＝_______.
4
4
2
5
x－2 ＝ ±
－＋2
＋2
(2) 2x2 －3x －1＝0.
先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以2，得
x2 －x －＝0.
移项，得
x2 －x ＝.
下面的过程由你来完成：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x2 －x ＝.
x2 －x ＋()2 ＝ ＋()2.
(x－)2 ＝ ＋
(x－)2 ＝ ＋
(x－)2 ＝
x－ ＝ ±
x＝ ±
x1＝ －
x2＝
交 流
根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般一元二次方程应有的步骤. 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定
练 习
1. 填空：
(1) x2 －8x ＋ ( )2＝(x－ )2；
(2) y2 ＋5y ＋ ( )2 ＝(y＋ )2；
(3) x2 －x＋( )2＝(x－ )2；
(4) x2 ＋px ＋( )2 ＝(x＋ )2.
±
±
±
±
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2 ＋ x－1＝0；
x2＋x＋－－1＝0；
(x＋) 2＝
x＋＝ ±
x＝ －
x＝ － －
(2) x2 － 3x－2＝0；
x2 － 3x ＋ －－2＝0
(x － )2 ＝
x － ＝ ±
x ＝ ± ＋
x＝ － ＋
x＝ ＋
(3) 2x2 ＋ 5x － 1 ＝ 0 ；
x2 ＋ x － ＝ 0
x2 ＋ x ＋ － － ＝ 0
(x＋) 2 ＝
x＋ ＝±
x＝± －
x＝ －
x＝－ －
(4) 3x2 － 6x ＋ 1 ＝ 0.
x2 － x ＋ ＝ 0
x2 － x ＋1－1＋ ＝ 0
(x－) 2 ＝
x－＝±
x＝± ＋
x＝ ＋
x＝－ ＋
17.2.1 配方法
探 究
如何解一般的一元二次方程
呢？
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
因为a≠0，把方程的两边都除以 a，得
x2＋x＋ ＝0
移项，得
x2＋x ＝ －
配方，得
x2＋x ＝ －
x2＋2·x ＋()2 ＝－ ＋()2
即
(x＋)2 ＝ .
因为 a≠0，4a2＞0.
(x＋)2 ＝ .
当b2－4ac≥0时，≥0，将方程 两边开平方，得
x＋ ＝ ± .
于是得：
x ＝ － ± .
x ＝ ( ≥ 0).
这就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0且b2 － 4ac ≥ 0)的求根公式
1、定 义
有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定出a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根.这种解法叫做公式法.
2、用求根公式解一元二次方程的步骤：
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定公式中 a， b， c 的值；
③求出 b2 － 4ac 的值；
④若 b2 － 4ac ≥ 0, 则把 a， b 及 b2 － 4ac的值代入求根公式求解，若 b2 － 4ac ＜ 0，则方程无实数解 .
例 题
例2 用公式法解下列方程：
(1) 2x2 ＋7x－4＝0；
(2) x2 ＋3 ＝ 2x .
(1) 2x2 ＋7x－4＝0；
解 a ＝ 2，b ＝ 7，c ＝ － 4，
b2－4ac ＝72－4×2× (－4) ＝81 ＞0
代人求根公式，得
x ＝ ＝
∴ x1 ＝ ， x2 ＝.
(2) x2 ＋3 ＝2x .
解 将原方程化为标准形式,得
x2 － 2x＋3 ＝ 0 .
a ＝ 1，b ＝ － 2， c ＝ 3.
b2 － 4ac ＝(－2)2 － 4×1×3 ＝ 0
代人求根公式，得
x ＝ ＝
∴ x1 ＝ x2 ＝.
例3 解方程：x2 ＋x－1 ＝ 0.(精确到0.001)
解 a ＝1，b ＝1，c ＝－1，代人求根公式，得
x ＝ ＝
用计算器求得 ≈ 2.236 1.
∴ x1 ≈ 0.618， x2 ≈ －0.618.
练 习
1. 把下列方程化成 ax2 ＋ bx ＋c ＝0 的形式，并写出其
中 a，b，c 的值：
(1) x2 － 5x ＝ 2；
(2) 3x2 － 1 ＝ 2x；
x2 － 5x －2＝0
a ＝ 1，b ＝ －5 ，
c ＝ －2.
3x2 － 2x －1＝0
a ＝ 3，b ＝ －2 ，c ＝ －1.
(3) 2x(x －1) ＝ x＋4；
(4) (x ＋1)2 ＝ 3x－2；
2x2 －2x ＝ x＋4
2x2 －3x －4＝ 0
a ＝ 2，
b ＝ －3 ，
c ＝ －4.
x2 ＋2x＋1 ＝ 3x－2
x2 －x ＋3＝ 0
a ＝ 1，
b ＝ －1 ，
c ＝ 3.
2. 用公式法解下列方程：
(1) 3x2 ＋5x －2 ＝ 0；
(2) 2x2 ＋5x －12 ＝ 0；
a = 3，b = 5，c =－2，
∵ = 25 +24 = 49，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝，x2＝－2；
a = 2，b = 5，c =－12，
∵ = 25 +96 = 121，
∴ x ＝，
解得：x1＝，x2＝－4；
a = 4，b = － 4，c =3，
∵ = 48－ 48 = 0，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝x2＝ ；
a = 1，b = 2，c =2，
∵ = 8 － 8 = 0，
∴ x ＝ ，
解得：x1＝x2＝－；
(3) t2 ＋2t ＋ 2 ＝ 0；
(4) 4x2－4x＋3 ＝ 0；
(5) p(2 － p) ＝ 5；
(6) 0.3x(x － 2) ＋ 0.4 ＝ 0.
3. 用公式法解方程：x2 － 3x － 1 ＝ 0. (精确到 0.1)
4. 解关于x的方程：2x2 － mx － n2 ＝ 0.
17.2.3 因式分解法
一个一元二次方程用公式法总可以求解.对于一些特殊的一元二次方程，还可以有别的解法.如解方程 x2 ＝9，除了直接开平方求解外，还可以把它变形为
x2－9＝0.
再将方程左边分解因式，得
(x－3)(x＋3) ＝0.
(x－3)(x＋3) ＝0.
我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，那么它们的积就等于0. 因此，有
x－3＝0 或 x＋3＝0
解 这两个一次方程，得
x1＝3，x2 ＝－3.
1、定 义
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。
这里用到了什么样的数学思想方法
2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为 0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .
常用的因式分解的方法：
1. 提公因式法；
2. 公式法；
3. x2＋ (a＋b) x＋ab＝ ( x＋a ) ( x＋b ).
知识储备
交 流
1. 解下列方程，并与同学交流，检查解得的结果是否正确.
(1) x2＋3x ＝0； (2) x2 ＝ x.
2. 在解上面的方程(2)时，如果像下面这样做：
两边同除以 x，得 x ＝1.
故方程的根为 x ＝1.
这样对吗 为什么
3. 总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程：
的解法
ax2＋c＝0 (a，c异号) ，ax2 ＋bx ＝0 (a≠0)
例 题
例4 解方程：x2－5x＋6＝0.
解 把方程左边分解因式，得
(x－2)(x－3) ＝0.
因此，有
x－2＝0 或 x－3＝0.
解方程，得
x1 ＝2，x2 ＝ 3.
例5 解方程：(x＋4)(x－1) ＝ 6.
解 将原方程化为标准形式，得
x2＋3x－10＝0.
把方程左边分解因式，得
(x＋5)(x－2) ＝0.
∴ x＋5＝0 或 x－2＝0 .
解方程,得
x1＝－5，x2＝2.
练 习
用因式分解法解下列方程：
(1) (x－)(x－) ＝0；
(2) 4x2 － 3x ＝ 0；
(3) 3(x＋1) ＝ x (x＋1)；
(4) x2－6x－7 ＝0；
(5) t (t ＋3) ＝ 28；
(6) (x ＋1)(x ＋ 3) ＝ 15.
习题 17.2
1. 直接开平方解下列方程：
(1) x2 －49 ＝0；
(2) 2x2 － ＝0；
(3) (x－1)2 ＝ 2；
(4) 2(x－2)2 －8 ＝ 0；
(5) (x － 2)2 ＝ 6；
(6) (x ＋ )2 ＝ (1 ＋ )2.
2. 用配方法解下列方程：
(1) x2＋6x－7＝0；
(2) x2＋5x＋2＝0；
(3) 2x2－5x＋1 ＝ 0；
(4) 2x2 －3x－7 ＝0
3. 用配方法解关于x的方程：x2 ＋ px ＋q ＝ 0.
4. 用公式法解下列方程：
(1) x2－x－3＝0；
(2) 2x2 ＋4x－3＝0；
(3) 3x2－x－1 ＝0；
(4) 2y2 ＋3y －1 ＝ 0
5. 用因式分解法解下列方程：
(1) x2 ＝ 7x；
(2) 2x2 ＋x ＝0；
(3) (x＋1)2 －2(x＋1) ＝0；
(4) x2 －3x ＋2 ＝0.
6. 用适当方法解下列方程：
(1) x2－3x－4＝0；
(2) 6x2 － 13x －15 ＝ 0；
(3) (3－x)2 ＋ x2 ＝ 9；
(4) (y － 2)2 ＝3；
(5) (y＋3)2 ＝ 4y ；
(6) (2x－1)(x＋3) ＝ 4；
(7) (2y＋1)2 ＋3(2y＋1) ＋2 ＝0.
7. 解下列方程，并求根的近似值(精确到 0.01)：
(1) 5x2 ＋2x－1 ＝0；
(2) x2 －3x＋1 ＝ 0.
8. 当x是什么数时，3x2＋6x－8 的值与2x－1的值相等
数学活动
挪球游戏
下面我们来做一个数学游戏：
一些球被分成了许多堆，我们可以任意选择甲、乙两堆按照以下规则挪动： 若甲堆的球数 p不少于乙堆的球数q，则从甲堆拿q个球放到乙堆去,这算是挪动一次. 继续这个过程，可以经过有限次挪动把所有的球合并成至多两堆.
我们从最简单的情形着手: 设有 A，B，C 三堆球，它们中分别有球a个，b个和c个. 不妨设 a ≤ b ≤ c，易知，如果其中有等号成立，那么一步就可以把它们并成至多两堆. 所以下面设 a < b < c.
给出几组具体数据，自已试着做一做.做起来会很有趣，即使没有做成功，也会有所体会和收获. 在下面的情况中，都有a＝1，a＋b＋c ＝ 50.
情形1：a ＝1，b ＝9，c ＝ 40.
A B C
操作步骤 1 9 40
第一步：B→A，移动1个球 2 8 40
第二步：C→A，移动2个球 4 8 38
第三步：C→A，移动4个球 8 8 34
第四步：B→A，移动8个球 16 0 34
情形2：a ＝1，b ＝11，c ＝ 38.
A B C
操作步骤 1 11 38
第一步：B→A，移动1个球 2 10 38
第二步：B→A，移动2个球 4 8 38
第三步：C→A，移动4个球 8 8 34
第四步：B→A，移动8个球 16 0 34
情形3：a ＝1，b ＝22，c ＝ 27.
A B C
操作步骤 1 22 27
第一步：C→A，移动1个球 2 22 26
第二步：B→A，移动2个球 4 20 26
第三步：B→A，移动4个球 8 16 26
第四步：C→A，移动8个球 16 16 18
第五步：B→A，移动16个球 32 0 18
活动 1： 通过观察，得到规律.
(1) 观察 A 堆中的球数变化情况；
(2) 观察操作步骤中各次移动的球数变化情况；
(3) 观察操作步骤中各次移动中分别移往何处
(4) 观察操作步骤中各次移动时分别由何处移出
(5) 观察 B 堆中球数变化的情况；
(6) 总结你所观察到的规律，想一想为什么
活动 2：感兴趣的同学可以试着寻找当 a ＞1时的规律.
完成上述游戏后，说说你对解决问题的策略和方法的感悟.
本课结束