18.2 勾股定理的逆定理 课件(共46张PPT)初中数学沪科版八年级下册
文档属性
| 名称 | 18.2 勾股定理的逆定理 课件(共46张PPT)初中数学沪科版八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 30.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-20 22:29:38 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
第18章 勾股定理
义务教育沪科版数学八年级下册
18 . 2
勾股定理的逆定理
思 考
1. 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，
用钉子将第 1个与第 13 个结钉在一起，
拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉
上一个钉子，如图18－6. 这样围成的三
角形中，最长边所对的角就是直角.
2. 用圆规、直尺作△ABC，使AB ＝5，AC ＝ 4，
BC ＝3，如图18－7，量一量∠C，
它是90°吗
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 .
例 题
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a ＝ 7，b ＝ 24，c ＝ 25；
(2) a ＝ 7，b ＝ 8，c ＝ 11.
(1) a ＝ 7，b ＝ 24，c ＝ 25；
∵ 最大边是 c＝25 ，c2 ＝ 625，
a2 ＋ b2 ＝ 72 ＋242 ＝625.
∴ a2 ＋ b2 ＝c2
∴△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角.
(2) a ＝ 7，b ＝ 8，c ＝ 11.
∵ 最大边是 c＝11 ，c2 ＝ 121，
a2 ＋ b2 ＝ 72 ＋82 ＝113.
∴ a2 ＋ b2 ≠ c2
∴△ABC 不是直角三角形 .
例2 已知：在△ABC 中，三条边长分别为 a ＝n2－1，b＝2n，c ＝ n2＋1(n ＞1). 求证： △ABC为直角三角形.
证明 ∵ a2 ＋ b2 ＝(n2 － 1)2 ＋(2n)2
＝ n4 － 2n2 ＋ 1 ＋ 4n2
＝ n4 ＋ 2n2 ＋ 1
＝(n2 ＋ 1)2 ＝ c2
∴△ABC 为直角三角形.(股定理的逆定理)
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
练 习
1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a ＝ 2，b ＝ 3，c ＝ 4. ( )
(2) a ＝ 9，b ＝ 7，c ＝ 12. ( )
( 3) a ＝ 25， b ＝ 20，c ＝ 15. ( )
2. 除 3，4，5 外，再写出 3 组勾股数.
6，8，10；
5，12，13；
9，40，41.
答案不唯一
3. 在△ABC中，三边长 a，b，c 满足(a＋c)(a－c) ＝ b2，
则△ABC是什么三角形
∵△ABC的三边长a，b，c满足：
(a＋c) (a－c) ＝b2，
∴ a2－c2＝b2.即a2 ＝b2＋c2
∴ △ABC是直角三角形.
4. 给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断方桌面
的角是直角
用皮尺测量方桌面的两邻边及对角线的长，看是否符合勾股定理的逆定理。
如满足则桌面的角是直角，反之则不是。
习题 18.2
1. 以三角形三边为边分别向形外作正方形，正方形的面
积分别是 25，15，40，判断此三角形的形状.
设三角形的三边分别是a，b，c，
则a2＝25，b2＝15，c2＝40.
∵25＋15＝40，
∴ a2＋b2＝c2.
∴ 此三角形是直角三角形.
2. 已知：△ABC的三边长为 a ＝ 9 cm，b ＝ 40 cm，
c ＝ 41 cm. 求△ABC的面积.
c2＝412＝ 1681，a2＋b2 ＝ 81＋1600 ＝ 1681，
∴ a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形，c为斜边.
∴ S△ABC＝×40×9 ＝180(cm2).
3. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B ＝ 90°，
AB ＝ 3，BC ＝ 4、CD ＝ 12、
AD ＝ 13. 求四边形ABCD
的面积.
连接AC。
在Rt△ABC中，AB ＝ 3，BC ＝ 4，
∴ AC ＝＝ 5.
在△ADC中，AC ＝ 5，AD ＝ 13，CD ＝ 12.
∴ AD2 ＝ AC2 ＋ CD2.
∴△ACD 为直角三角形.
∴S四边形ABCD＝S△ABC ＋S△ACD
＝×3×4＋×5×12 ＝36。
4. 已知：在△ABC中，AB ＝13cm，BC ＝10cm，BC边
上的中线 AD ＝12cm. 求证 AB ＝AC.
如图所示：
∵AD是BC边上的中线，BC＝10cm，
∴BD＝CD＝ BC＝ × 10 ＝ 5cm
∵AD ＝ 12cm，AB ＝ 13cm，
∴ BD2 ＋ AD2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 25 ＋ 144
＝ 169 ＝ 132 ＝ AB2
即BD2 ＋ AD2 ＝ AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB ＝ 90°
∴ AD ⊥ BC
∵BD ＝ CD
∴AD是线段BC的垂直平分线
∴AB ＝ AC.
5. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ 2，AC ＝ 2，高
AD ＝. 求证：∠BAC ＝90°.
证明：∵AD⊥BC，
∴DC＝＝＝ 1，
BD ＝ ＝ ＝ 3.
∴BC ＝ 4.
∵AC2 ＋ AB2 ＝ 22 ＋(2)2
＝ 16 ＝ 42 ＝ BC2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴∠BAC ＝ 90°
6. 在△ABC中，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b，若 a∶b∶c
＝ 9∶15∶12. 试判断△ABC 是不是直角三角形.
∵ a∶b∶c ＝ 9∶15∶12，
∴ 可以假设a ＝9k，b＝15k，c＝12k，
∴a2＋c2＝(9k)2 ＋(12k)2 ＝(15k)2 ＝b2，
∴△ABC是直角三角形.
7. 已知：AD为△ABC的高.
求证：AB2 － AC2 ＝ BD2 － CD2.
如图，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB ＝ ∠ADC ＝ 90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
由勾股定理，得
AB2 ＝ AD2 ＋ BD2，
AC2 ＝ AD2＋CD2
∴ AB2 － AC2 ＝ (AD2 ＋ BD2) －(AD2＋CD2)
＝ BD2－CD2
即 AB2－AC2 ＝BD2－CD2.
阅读与思考
两点之间的距离公式
如果数轴上的点 A1，A2 分别表示实数 x1，x2，两点 A1，A2间的距离记作|A1A2|，那么
| A1A2 | ＝| x2 － x1 | .
对于平面上的两点 A1，A2 间的距离是否有类似的结论呢
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式.
问题 1 如图18－8，平面上两点 A(3，0)，B(0，4)，如何计算A，B 两点之间的距离| AB |
问题 2 如图18－9，平面上两点
A(1，2)，B(5，5)，如何计算这两
点之间的距离| AB |
问题 3 一般地，设平面上任意两点 A(x1，y1)和 B(x2，y2)，如图18－10. 如何计算A，
B 两点之间的距离| AB |
对于问题3，
作AA′⊥ x轴，BB′ ⊥ x轴，
垂足分别为点A′，B′；
作AA′′⊥ y 轴，垂足为A′′；
B′
A′
A′′
作 BC⊥AA′，垂足为点C，
且延长 BC与y轴交于点 B，
则四边形 BB′A′C，ACB′′A′′是长方形.
B′
A′
A′′
B′′
C
∵|CA|＝______＝______，
|CB|＝______＝______，
∴|AB|2＝|CB|2＋|CA|2＝
__________________.
∴|AB| ＝.
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式.
思考 求下列两点之间的距离 ：
(1) A(－1，2)，B(－5，－6)；
(2) A(1，－5)，B(7，3).
数学史话
2002 年，世界数学家大会(ICM－2002)在北京召开，大会的会徽如图 18－11. 这个会徽是以我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”为原型设计的.
据《周醉算经》记载，西周初期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话中，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的特例. 同书稍后，另一处叙述周公后人荣方与陈子关于如何测太阳高度的对话中，则表述了勾股定理的一般形式：“······以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日 .”
1955 年希腊发行了一张邮票(图18－12)，邮票上印有关于勾股定理证明的图案，用来纪念古希腊毕达哥拉斯学派在文化上的贡献.相传，毕氏在发现
这一定理时，曾宰牛百头，广设盛筵，
以示庆贺.据文献记载，在巴比伦、埃及
和印度这些文明古国，也很早都知道应
用这个定理了.
对勾股定理的研究,遍及世界许多地方、各种文化背景及各个历史时期.这个定理的证法之多,在几何学中也是罕见的.欧几里得在他的《原本》中提供了一种最早的书面证法，其证法如下：
如图18－13，在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a ， AC＝b.
以△ABC的三边为边分别向形外作正方形 ABDE，BCFG，ACHK，再作 CL ⊥ ED，垂足为点 L，且交 AB 于点N，连接 KB，CE.
∵ S△ABC ＝ AK·KH ＝ b2，
S△AEC ＝ AE·EL ＝ ·S长方形AELN.
又∵ △ABK ≌ △AEC，(SAS)
∴ S长方形AELN ＝ b2 .
同理： S长方形BDLE ＝ a2 .
a2 ＋ b2 ＝ S长方形BDLE ＋ S长方形AELN ＝ S长方形ABDE＝c2.
公元3世纪，我国数学家赵爽在注《周鄙算经》中就给出了它的一个简明证法. 他把“弦图”(图18 － 14)中的三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”.四个这样的三角形围成一个正方形中间留出一个小正方形空格，涂上黄色，其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”.由此推出“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实”.
公元3世纪，我国数学家赵爽在注《周鄙算经》中就给出了它的一个简明证法. 他把“弦图”(图18 － 14)中的三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”.四个这样的三角形围成一个正方形中间留出一个小正方形空格，涂上黄色，
其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”.由此推出“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实”.
本课结束
第18章 勾股定理
义务教育沪科版数学八年级下册
18 . 2
勾股定理的逆定理
思 考
1. 据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，
用钉子将第 1个与第 13 个结钉在一起，
拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉
上一个钉子，如图18－6. 这样围成的三
角形中，最长边所对的角就是直角.
2. 用圆规、直尺作△ABC，使AB ＝5，AC ＝ 4，
BC ＝3，如图18－7，量一量∠C，
它是90°吗
为什么用上面三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 .
例 题
例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断△ABC是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
(1) a ＝ 7，b ＝ 24，c ＝ 25；
(2) a ＝ 7，b ＝ 8，c ＝ 11.
(1) a ＝ 7，b ＝ 24，c ＝ 25；
∵ 最大边是 c＝25 ，c2 ＝ 625，
a2 ＋ b2 ＝ 72 ＋242 ＝625.
∴ a2 ＋ b2 ＝c2
∴△ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角.
(2) a ＝ 7，b ＝ 8，c ＝ 11.
∵ 最大边是 c＝11 ，c2 ＝ 121，
a2 ＋ b2 ＝ 72 ＋82 ＝113.
∴ a2 ＋ b2 ≠ c2
∴△ABC 不是直角三角形 .
例2 已知：在△ABC 中，三条边长分别为 a ＝n2－1，b＝2n，c ＝ n2＋1(n ＞1). 求证： △ABC为直角三角形.
证明 ∵ a2 ＋ b2 ＝(n2 － 1)2 ＋(2n)2
＝ n4 － 2n2 ＋ 1 ＋ 4n2
＝ n4 ＋ 2n2 ＋ 1
＝(n2 ＋ 1)2 ＝ c2
∴△ABC 为直角三角形.(股定理的逆定理)
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
练 习
1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a ＝ 2，b ＝ 3，c ＝ 4. ( )
(2) a ＝ 9，b ＝ 7，c ＝ 12. ( )
( 3) a ＝ 25， b ＝ 20，c ＝ 15. ( )
2. 除 3，4，5 外，再写出 3 组勾股数.
6，8，10；
5，12，13；
9，40，41.
答案不唯一
3. 在△ABC中，三边长 a，b，c 满足(a＋c)(a－c) ＝ b2，
则△ABC是什么三角形
∵△ABC的三边长a，b，c满足：
(a＋c) (a－c) ＝b2，
∴ a2－c2＝b2.即a2 ＝b2＋c2
∴ △ABC是直角三角形.
4. 给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来判断方桌面
的角是直角
用皮尺测量方桌面的两邻边及对角线的长，看是否符合勾股定理的逆定理。
如满足则桌面的角是直角，反之则不是。
习题 18.2
1. 以三角形三边为边分别向形外作正方形，正方形的面
积分别是 25，15，40，判断此三角形的形状.
设三角形的三边分别是a，b，c，
则a2＝25，b2＝15，c2＝40.
∵25＋15＝40，
∴ a2＋b2＝c2.
∴ 此三角形是直角三角形.
2. 已知：△ABC的三边长为 a ＝ 9 cm，b ＝ 40 cm，
c ＝ 41 cm. 求△ABC的面积.
c2＝412＝ 1681，a2＋b2 ＝ 81＋1600 ＝ 1681，
∴ a2＋b2＝c2.
∴△ABC为直角三角形，c为斜边.
∴ S△ABC＝×40×9 ＝180(cm2).
3. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B ＝ 90°，
AB ＝ 3，BC ＝ 4、CD ＝ 12、
AD ＝ 13. 求四边形ABCD
的面积.
连接AC。
在Rt△ABC中，AB ＝ 3，BC ＝ 4，
∴ AC ＝＝ 5.
在△ADC中，AC ＝ 5，AD ＝ 13，CD ＝ 12.
∴ AD2 ＝ AC2 ＋ CD2.
∴△ACD 为直角三角形.
∴S四边形ABCD＝S△ABC ＋S△ACD
＝×3×4＋×5×12 ＝36。
4. 已知：在△ABC中，AB ＝13cm，BC ＝10cm，BC边
上的中线 AD ＝12cm. 求证 AB ＝AC.
如图所示：
∵AD是BC边上的中线，BC＝10cm，
∴BD＝CD＝ BC＝ × 10 ＝ 5cm
∵AD ＝ 12cm，AB ＝ 13cm，
∴ BD2 ＋ AD2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 25 ＋ 144
＝ 169 ＝ 132 ＝ AB2
即BD2 ＋ AD2 ＝ AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB ＝ 90°
∴ AD ⊥ BC
∵BD ＝ CD
∴AD是线段BC的垂直平分线
∴AB ＝ AC.
5. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ 2，AC ＝ 2，高
AD ＝. 求证：∠BAC ＝90°.
证明：∵AD⊥BC，
∴DC＝＝＝ 1，
BD ＝ ＝ ＝ 3.
∴BC ＝ 4.
∵AC2 ＋ AB2 ＝ 22 ＋(2)2
＝ 16 ＝ 42 ＝ BC2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴∠BAC ＝ 90°
6. 在△ABC中，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b，若 a∶b∶c
＝ 9∶15∶12. 试判断△ABC 是不是直角三角形.
∵ a∶b∶c ＝ 9∶15∶12，
∴ 可以假设a ＝9k，b＝15k，c＝12k，
∴a2＋c2＝(9k)2 ＋(12k)2 ＝(15k)2 ＝b2，
∴△ABC是直角三角形.
7. 已知：AD为△ABC的高.
求证：AB2 － AC2 ＝ BD2 － CD2.
如图，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB ＝ ∠ADC ＝ 90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
由勾股定理，得
AB2 ＝ AD2 ＋ BD2，
AC2 ＝ AD2＋CD2
∴ AB2 － AC2 ＝ (AD2 ＋ BD2) －(AD2＋CD2)
＝ BD2－CD2
即 AB2－AC2 ＝BD2－CD2.
阅读与思考
两点之间的距离公式
如果数轴上的点 A1，A2 分别表示实数 x1，x2，两点 A1，A2间的距离记作|A1A2|，那么
| A1A2 | ＝| x2 － x1 | .
对于平面上的两点 A1，A2 间的距离是否有类似的结论呢
运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式.
问题 1 如图18－8，平面上两点 A(3，0)，B(0，4)，如何计算A，B 两点之间的距离| AB |
问题 2 如图18－9，平面上两点
A(1，2)，B(5，5)，如何计算这两
点之间的距离| AB |
问题 3 一般地，设平面上任意两点 A(x1，y1)和 B(x2，y2)，如图18－10. 如何计算A，
B 两点之间的距离| AB |
对于问题3，
作AA′⊥ x轴，BB′ ⊥ x轴，
垂足分别为点A′，B′；
作AA′′⊥ y 轴，垂足为A′′；
B′
A′
A′′
作 BC⊥AA′，垂足为点C，
且延长 BC与y轴交于点 B，
则四边形 BB′A′C，ACB′′A′′是长方形.
B′
A′
A′′
B′′
C
∵|CA|＝______＝______，
|CB|＝______＝______，
∴|AB|2＝|CB|2＋|CA|2＝
__________________.
∴|AB| ＝.
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式.
思考 求下列两点之间的距离 ：
(1) A(－1，2)，B(－5，－6)；
(2) A(1，－5)，B(7，3).
数学史话
2002 年，世界数学家大会(ICM－2002)在北京召开，大会的会徽如图 18－11. 这个会徽是以我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所作的“弦图”为原型设计的.
据《周醉算经》记载，西周初期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话中，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径隅五”，这是勾股定理的特例. 同书稍后，另一处叙述周公后人荣方与陈子关于如何测太阳高度的对话中，则表述了勾股定理的一般形式：“······以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日 .”
1955 年希腊发行了一张邮票(图18－12)，邮票上印有关于勾股定理证明的图案，用来纪念古希腊毕达哥拉斯学派在文化上的贡献.相传，毕氏在发现
这一定理时，曾宰牛百头，广设盛筵，
以示庆贺.据文献记载，在巴比伦、埃及
和印度这些文明古国，也很早都知道应
用这个定理了.
对勾股定理的研究,遍及世界许多地方、各种文化背景及各个历史时期.这个定理的证法之多,在几何学中也是罕见的.欧几里得在他的《原本》中提供了一种最早的书面证法，其证法如下：
如图18－13，在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a ， AC＝b.
以△ABC的三边为边分别向形外作正方形 ABDE，BCFG，ACHK，再作 CL ⊥ ED，垂足为点 L，且交 AB 于点N，连接 KB，CE.
∵ S△ABC ＝ AK·KH ＝ b2，
S△AEC ＝ AE·EL ＝ ·S长方形AELN.
又∵ △ABK ≌ △AEC，(SAS)
∴ S长方形AELN ＝ b2 .
同理： S长方形BDLE ＝ a2 .
a2 ＋ b2 ＝ S长方形BDLE ＋ S长方形AELN ＝ S长方形ABDE＝c2.
公元3世纪，我国数学家赵爽在注《周鄙算经》中就给出了它的一个简明证法. 他把“弦图”(图18 － 14)中的三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”.四个这样的三角形围成一个正方形中间留出一个小正方形空格，涂上黄色，其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”.由此推出“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实”.
公元3世纪，我国数学家赵爽在注《周鄙算经》中就给出了它的一个简明证法. 他把“弦图”(图18 － 14)中的三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”.四个这样的三角形围成一个正方形中间留出一个小正方形空格，涂上黄色，
其面积叫做“中黄实”或叫做“差实”.由此推出“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实.加差实，亦成弦实”.
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