18.1 勾股定理 课件(共46张PPT) 初中数学沪科版八年级下册

(共46张PPT)
第18章 勾股定理
义务教育沪科版数学八年级下册
18 .1
勾 股 定 理
探 究
在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正
方形，如图18-1.并以S1，
S2与S3；分别表示几个
正方形的面积.
图18 － 1
观察图 18－1(1)，并填写：
S1＝__________个单位面积；
S2＝__________个单位面积；
S3＝__________个单位面积.
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9
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观察图 18－1(2)，并填写：
S1＝__________个单位面积；
S2＝__________个单位面积；
S3＝__________个单位面积.
9
16
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图18－1(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：_______________________.
a2＋b2＝c2
通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗
定理
直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，我们称上述定理为勾股定理国外称为毕达哥拉斯定理.
汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.
如果直角三角形的两直角边用 a，b表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为
a2 ＋ b2 ＝ c2 .
已知：如图18－2(1)，在 Rt△ABC 中∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝ b.
求证：a2 ＋ b2 ＝ c2.
下面，用面积计算来证明这个定理.
证明 取4个与 Rt△ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如图 18－2(2)所示的边长为 a＋b的正方形 EFGH .
从图中可见，A1B1＝ B1C1 ＝C1D1＝A1D1＝c.
因为∠B1A1E ＋ ∠A1B1E ＝90°，而 ∠A1B1E ＝ ∠D1A1H，
因此∠B1A1E ＋ ∠D1A1H ＝ 90°， ∠D1A1B1 ＝ 90°.
同理： ∠A1B1C1 ＝ ∠B1C1D1＝ ∠C1D1A1 ＝ 90°，
所以四边形A1B1C1D1，是边长为 c的正方形.
正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1的面积分别记作 S正方形EFGH和 S正方形A1B1C1D1则
S正方形EFGH－ 4S△ABC ＝ S正方形A1B1C1D1
即 (a ＋ b)2 － 4 × ab ＝ c2 .
化简，得
a2 ＋ b2 ＝ c2.
例 题
例1 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图 .已知云梯最多只能伸长
到10m，消防车高 3 m. 救人时云梯伸至最
长，在完成从9 m 高处救人后，还要从 12
m 高处救人，这时消防车要从原处再向着
火的楼房靠近多少米 (精确到 0.1 m)
分析：如图，设A是云梯的下端点，AB 是伸长后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点A的水平线与楼房 ED 的交点为O.则OB ＝9－3＝6(m)，OD ＝12－3＝9(m).
根据勾股定理，得
AO2＝AB2－OB2＝102－62＝64.
解方程，得
AO ＝8(m).
设 AC ＝x，则 OC ＝8－x，于是根据勾股定理，得
OC2 ＋ OD2 ＝ CD2，
即 (8－x)2 ＋ 92 ＝ 102，
从而可以解出 x.
请根据上述分析写出解题过程.
例2 已知：如图18 － 4，在 Rt△ABC 中两直角边AC ＝ 5，BC ＝ 12. 求斜边上的高
CD 的长.
解 在 Rt△ABC 中，
AB2 ＝ AC2 ＋ BC2 ＝ 52 ＋ 122 ＝ 169，
AB ＝ ＝ 13 .
又∵ Rt△ABC 的面积
S△ABC ＝ AC·BC ＝ AB·CD，
∴ CD ＝ ＝ ＝ .
练 习
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1) a ＝ 6，b ＝ 8，求c；
∵在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，
BC ＝ a ＝ 6，AC ＝ b ＝ 8，
∴ c ＝ AB ＝＝＝10.
1. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(2) a ＝ 8，c ＝ 17，求b.
∵ 在Rt△ABC中，∠C ＝ 90°，
BC ＝ a ＝ 8，AB ＝ c ＝ 17，
∴ b ＝ AC ＝ ＝＝15.
2. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米 (精确到0.1 m)
由题意知：∠C ＝ 90°，AB ＝ 4m，AC ＝ 2m
∴BC ＝
＝＝2 (m)
∴ AC ＋ BC ＝ 2 ＋ 2
≈2 ＋ 2 × 1.732 ≈ 5.5(m)
∴ 地毯的长度至少需要约5.5m.
3.(1) 如图，长3 m的梯子斜靠着墙，梯子
底端离墙底 0.6 m，问梯子顶端离地
面多少米 (精确到 0.1m)
有梯子长为3米，梯子底端距墙底为0.6米，
由所在直角三角形另一边
AC＝≈2.9 (m)
(2) 题(1)中，若梯子的顶端自墙面下滑了
0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑
动的距离是否也为 0.9 m 说明理由.
梯子下滑后梯子顶端距地面为
2.9 － 0.9 ＝ 2米，
由所在直角三角形中梯子底端与墙距离为
＝ (m)，
所以梯子的底端在水平方向上滑动为
－ 0.6≠0.9。
则梯子的底端在水平方向向外滑动的距离不是0.9m.
4. 我国古代数学专著《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是说：有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，中央生长有一根芦苇，它露出水面部分高1尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直而顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长.(尺为当时的计量单位，1尺＝m)
设水池的深度为x尺，由题意得：
x2＋52＝ (x＋1)2，
解得： x＝12，
则x＋1＝13.
答：水深12尺，芦苇长13尺
数学天地
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来.下面介绍一种有趣的方法，你能说出其中的道理吗
取OA1＝1 ＝，作Rt△OA1A2，使OA1 ⊥ A1A2，A1A2 ＝ OA1 ＝ 1，则OA2 ＝ ，如图18－5；
图18－5
图18－5
过点 A2，在 Rt△OA1A2外作 A2A3 ⊥ OA2，且取A2A3＝1，连接OA3，则 OA3＝；
······
如上继续下去，可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段.
习题 18.1
1.在△ABC中，∠C ＝90°，填空：
(1) 如果AB＝10， BC∶AC＝3∶4，那么 BC ＝_______，
AC ＝ ______；
(2) 如果 AC ＝1， ∠B ＝ 30°，那么 AB ＝_______，
BC ＝ _______；
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2. 已知：在△ABC中，AB ＝ AC ＝ 17，BC ＝ 16.
求 △ABC的高AD的长.
如图所示
∵AB ＝ AC ＝ 17
∴△ABC是等腰三角形
∵AD是△ABC的高，BC ＝ 16.
∴BD ＝ CD ＝ BC ＝ × 16 ＝ 8
在Rt△ABD中，
∵∠ADB ＝ 90°，AB ＝ 17，BD ＝ 8
∴AD ＝ ＝ ＝ 15
即△ABC的高AD的长为15.
3. 已知直角三角形的三边长是三个连续自然数，求三
边长.
设三边长分别为 x－1，x ，x＋1
由勾股定理可得
(x－1)2＋x2＝ (x＋1)2
解得 x1＝0 (舍去) ，x2＝4，
∴ 三边长分别为 3，4，5.
4. 求边长为 a 的等边三角形的面积.
作高线，由勾股定理可求高
h＝＝ a.
∴S＝a·h＝a·a＝a2
5. 如图，从电线杆上离地面 h ＝ 8 m 的点 A 处，向地面
拉一条长 l ＝ 12 m 的缆绳，这条缆绳拉直后在地面上
点 B 处固定，点 B 离电线杆底部点C 的距离是多少米
(精确到 0.1 m)
由题意得：AB ＝ 12m，AC ＝ 8m，
∠ACB ＝ 90°
∴ BC ＝
＝
＝ 4 ≈ 8.9 (m)
∴B点离电线杆底部点C的距离是8.9m.
6. 如图，要修一个塑料蔬菜大棚，棚宽 b ＝3 m，高 h
＝1.5 m，长l＝10 m.求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜
需要多少平方米 (精确到 0.1 m2)
根据勾股定理，得直角三角形的斜边为
＝ (m)，
再根据长方形的面积公式，得：
× 10 ≈ 33.5 (m2)
答：覆盖在顶上的长方形塑料薄膜约需33.5平方米.
7. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有A处需要爆破.已知点 A 与公路上的停靠站 B，C 的距离分别为400 m和300 m，且AC⊥AB.
为了安全起见，如果爆破点A 周围半径
250 m 的区域内不能有车辆和行人，问
在进行爆破时，公路 BC 段是否需要暂
时封闭 为什么
过A作AD⊥BC于D，
∵AC⊥AB，
∴AB2＋AC2 ＝ BC2，
∵AB ＝400m，AC＝300m，
∴BC2 ＝
＝ ＝ 500m
∵S△ABC ＝ AB·AC ＝ BC·AD
∴AD ＝ 240m，
∵240m ＜ 250m，
∴有危险，因此BC段公路需要暂时封闭.
本课结束