19.1 多边形内角和 课件(共42张PPT)初中数学沪科版八年级下册

(共42张PPT)
第19章 四边形
义务教育沪科版数学八年级下册
19 . 1
多边形内角和
情景引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村
美国国防部大楼—五角大楼
问题 1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
问题 2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
A1
A2
A3
An－1
An
组成多边形的线段叫做多边形的边.
A1
A2
A3
An－1
An
相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
A1
A2
A3
An－1
An
多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角；
A1
A2
A3
An－1
An
在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角.
多边形一般按边数命名，并用它各个顶点的字母顺次排列来表示.如图.
四边形 ABCD
五边形ABCDE
六边形 ABCDEF
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形，如图(1).
(1)
(2)
而图(2)所示的图形就不是凸多边形.本教科书中所研究的都是凸多边形.
探 究
我们知道，三角形的内角和为 180°，下面来探讨多边形的内角和.
1. 四边形的内角和是多少
按下面两种方法之一试一试：
(1) 如图，连接 AC，能推得四边形的内角和吗
多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，这里的AC是匹边形ABCD的一条对角线.
(2) 如图，在四边形内任取一点 O，连接 OA，OB，OC，
OD，也能推得四边形内角和吗
O
四边形的内角和等于_________________________.
360°
2. 五边形的内角和又是多少呢
如图，能仿照上述方法去推得吗
五边形的内角和等于_________________________.
540°
3. 一般地，n边形的内角和是多少呢
定理 n边形的内角和等于(n－2)·180°
(n为不小于3的整数).
你能给出这个定理的证明吗
思 考
上面研究了多边形的内角和.在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和. 多边形外角和又有怎样的规律
如图 ，四边形的每一个外角都与同它相邻的内角互补，你能利用四边形的内角和来计算四边形的外角和吗
四边形的外角和等于_________________________.
360°
一般地，对于n边形可同样分析.
定理 n边形的外角和等于 360°
(n 为不小于3的定理整数).
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.
正三角形
正五边形
正六边形
例 题
例 求正六边形每个内角的度数.
解 正六边形的内角和为
(6－2) ×180°＝ 720°，
所以每个内角的度数为
720°÷ 6 ＝120°.
三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性(即各边的长确定后，图形形状不能确定)，如图 19 － 8.
在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，如图 19 － 9中活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢.你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗
练 习
1. 四边形 ABCD中，四个内角度数之比是 1∶2∶3∶4，
求出四个内角的度数
设四个内角度数分别是x°，2x°，3x°，4x°，
由题意得：x＋2x＋3x＋4x＝180(4－2)，
解得：x＝36，
2x°＝ 72°，3x°＝ 108°，4x°＝ 144°，
故四边形的四个内角的度数分别为：36°，72°，108°，144°.
2. 一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数.
设n为多边形的边数，则多边形的内角和为：
(n－2) ×180°(n大于等于3且n为整数)，
由题意得：(n－2) ×180°＝ 1440°.
∴n＝10
故这个多边形的边数为10.
3. 正多边形的每个内角可能是：(1) 75°；(2) 90°；
(3) 120°吗 说明理由
(1) 正多边形的每个内角不可能是75°，
理由是：正多边形的内角是75°，则外角是105°，多边形的外角和是360°，360°÷105°＝3，则这样的多边形不存在，故正多边形的每个内角不可能是75°；
3. 正多边形的每个内角可能是：(1) 75°；(2) 90°；
(3) 120°吗 说明理由
(2)正多边形的每个内角可能是90°，
理由是：正多边形的内角是90°，则外角是90°，多边形的外角和是360°，360°÷90°＝4，即正四边形的内角是90°，故正多边形的每个内角可能是90°；
3. 正多边形的每个内角可能是：(1) 75°；(2) 90°；
(3) 120°吗 说明理由
(3) 正多边形的每个内角可能是120°，
理由是：正多边形的内角是120°，则外角是60°，多边形的外角和是360°，360°÷60°＝6，即正六边形的内角是120°，故正多边形的每个内角可能是120°.
习题 19.1
1. 求十边形的内角和.
∵n边形的内角和为：
(n－2) ×180°(n为不小于3的整数)
∴十边形的内角和为
(10－2) ×180°＝1440°.
2. 求正五边形的每一个外角的度数.
∵多边形的外角和为360°，正多边形的每一个外角都相等，
∴正五边形的每一个外角的度数为：
360°÷5＝72°，
即正五边形的每一个外角的度数为72°.
3. 一个多边形，每一个外角都等于 45°，这个多边形是
几边形，它的内角和是多少
∵多边形的外角和是360°，它的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为＝ 8，
∴这是一个八边形。
它的内角和为(8－2) ×180°＝1080°.
4. 一个多边形的内角和等于它的外角和，求这个多边
形边数.
设这个多边形边数为n，
由题意可得：180°(n－2) ＝ 360°
解得： n＝4
答：这个多边形边数为4.
5.(1) 过四边形的一个顶点有_____条对角线，四边形共
有______条对角线；
(2) 过五边形的一个顶点有_____条对角线，五边形共
有_____条对角线；
(3) 过 n 边形的一个顶点有______条对角线，n边形共
有_______条对角线.
1
2
2
5
n －3
6. 若一个多边形的边数与对角线的条数相等，求这个
多边形的边数.
设多边形有n条边，
则n＝ ，
解得n＝5或n＝0 (不合题意，应舍去).
答：这个多边形的边数为5.
7. 如果一个 n 边形的边数增加 1，那么它的内角和增加
多少度 如果 n 边形的边数增加到原来的2 倍，那么
它的内角和增加多少度
当n边形的边数增加1时，
内角和增加的度数为
(n＋1－2) ×180°－(n－2) ×180°＝180°(n≥3).
当n边形的边数增加1倍时，内角和增加的度数为
(2n－2)×180°－(n－2)×180°＝180°n (n≥3).
本课结束