第18章 勾股定理 小结与复习 -初中数学沪科版八年级下册课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
第18章 勾股定理
义务教育沪科版数学八年级下册
小结与复习
内容整理
勾股定理
勾股定理
勾股定理的逆定理
主要知识回顾
一、勾股定理
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，
那么
a2 ＋ b2 ＝ c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
A
B
C
c
a
b
在直角三角形中才可以运用
2. 勾股定理的应用条件
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2 ＝ c2 － b2，b2 ＝ c2 － a2，
c ＝，
a ＝，
b ＝，
二、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
B
C
c
a
b
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
复习题
A组
1. 已知：△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝.
求 △ABC 的周长 .
根据勾股定理可知：
AC＝ AB2－ BC2＝ ()2－ ()2＝ ＝4
所以：△ABC的周长＝ ＋ ＋ 4 ＝12
答：△ABC的周长是12 .
2. 已知：梯形的两条底边长分别为 cm， cm，
高为cm. 求梯形的面积 .
∵一个梯形的两条底边长分别为 cm， cm，高为 cm
梯形的面积为：×(＋)× ＝ 3 ＋ 7
3. 已知：△ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 2 ＋1，
AC ＝ 2 － 1.求AB 及三角形的面积.
∵△ABC中，∠C ＝ 90，BC ＝ 2＋1，
AC ＝ 2 － 1 ，
∴ AB ＝ ＝
＝
S△ABC ＝ BC·AC
＝ ×(2＋1)×(2 － 1 )
＝.
故△ABC的面积为.
4. 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，2)，B(4，0)，
C(6，4)，求△ABC 的周长与面积.
∵A(0，2)，B(4，0)，C(6，4)，
∴AB ＝ ＝ 2，
BC＝＝2，
AC＝ ＝2
∴ C△ABC ＝ AB ＋ BC ＋ AC
＝ 2＋2
＝42
∵ AB2 ＋ BC2 ＝ AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC ＝ 90°，
∴S△ABC ＝ × 2× 2＝10.
5. 立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶垂下，绳碰到地
面后还余 3 m，把绳的着地端沿地面移动到离杆 9m
远的一点，恰好把绳子拉直，问这根旗杆有多高
设旗杆高 x m，则绳子长为(x ＋ 3) m，
∵旗杆垂直于地面，
∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为
x2＋92 ＝ (x ＋ 3)2
解得 x ＝ 12.
∴ 旗杆的高为12m.
6. 一艘轮船以 16 n mile/h 的速度离开港口向东南方向航
行，另一艘轮船在同时同地以12 n mile/h的速度向西
南方向航行. 它们离开港口 1.5h 后相距多远
如图，由已知得，
OB＝16×1.5＝24 (海里)，
OA ＝12 × 1.5＝18 (海里)，
在△OAB中，
∵∠AOB＝90°
由勾股定理得：OB2＋OA2＝AB2.
即242＋182＝AB2
AB＝＝30(海里)，
答：它们离开港口1.5h后相距30海里.
7. 关于勾股定理，数学史上还有一段佳话：美国第 20
届总统加菲尔德于 1876 年公开发表了一个简明证法.
他利用两个全等直角三角形构造了一个如图所示的图
形来得出证明.你能写出这个证明吗
证明：利用“三个三角形的面积和等于梯形的面积”来证明勾股定理.
∵三个三角形的面积和
＝ab＋ab＋c2
＝ab＋c2，
梯形的面积＝ (a＋b)(a＋b)
＝ (a＋b)2，
∴ ab ＋ c2 ＝(a＋b)2，
∴ a2＋b2 ＝c2.
8. 通过尺规作图，在数轴上找出表示－的点.
略
复习题
B组
1.(1)已知：△ABC的三个角度数的比 ∠A∶∠B∶∠C ＝
1∶2∶3，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b.
求证∶b2 ＝ 3a2.
设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x ，
由三角形内角和定理得，
x＋2x＋3x ＝ 180°，
解得，x ＝ 30°，
∴ ∠A＝30°， ∠B＝60°，∠C＝90°.
∴ c ＝ 2a，
由勾股定理得，a2 ＋ b2 ＝ c2，
∴ a2 ＋ b2 ＝ 4a2
∴ b2 ＝ 3a2
(2) 已知：△ABC的三个角度数的比 ∠A∶∠B∶∠C ＝
1∶1∶2，AB ＝ c，BC ＝ a，AC ＝ b.
求证∶c2 ＝ 2a2.
设∠A、 ∠B、 ∠C分别为x、x、2x，
由三角形内角和定理得，
x＋x＋2x ＝ 180°，
解得，x ＝ 45°，
∵∠A＝45°， ∠B＝45°， ∠C＝90°，
∴ a ＝ b，
由勾股定理得，a2＋b2＝c2。
∴ c2 ＝ 2a2.
2. 如图，将AB ＝10 cm，AD ＝8 cm 的长方形纸片ABCD，
沿过顶点 A 的直线 AP 为折痕折叠
时，顶点 B 与边 CD 上的点 Q 重
合，试分别求出 DQ，PQ 的长.
解：由折叠的性质可知△ABP≌△AQP，
∴AB＝AQ＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D＝90°，
∵AD＝8cm，
∴DQ＝ ＝ ＝ 6，
∴ 线段DQ的长度是6cm；
∵ DQ＝6，
∴ CQ＝DC－DQ＝4，
设PQ＝x，则PB＝PQ＝x，
∴ CP＝BC－BP＝8－x，
∴ x2＝42＋ (8－x)2
解得：x＝5.
∴线段PQ的长度是5.
3. 利用勾股定理讨论以下问题：(S1，S2，分别表示直角
三角形中直角边上的图形的面积，S3表示斜边上的图
形的面积)
(1) 以直角三角形的三边为边分别向形外作等边三角
形，则 S1＋S2与 S3是什么关系
由等边三角形面积计算公式可得：
S1＝AC2，
S2 ＝ BC2 ，
S3＝AB2 ，
则 S1 ＋ S2 ＝ (AC2 ＋BC2)，
在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90°.
∴ AC2 ＋ BC2 ＝ AB2，
∴ S1 ＋ S2 ＝ S3.
(2) 以直角三角形的三边为直径分别向形外作半圆，则
S1 ＋S2与 S3是什么关系
由圆的面积计算公式知：
S1＝ π (AC)2＝ πAC2，
S2＝ π (BC)2＝ πBC2，
S3＝ π (AB)2＝ πAB2，
则S1＋S2＝ π(AC2＋BC2)，
在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90°，
∴ AC2 ＋ BC2 ＝ AB2
∴ S1 ＋ S2 ＝ S3 .
(3) 做过上面的两小题后，你有什么发现
由(1)、(2)可知，以直角三角形的两直角边所作的等边三角形的面积和等于以斜边为边所作等边三角形的面积；
以直角三角形的两直角边为直径所作的半圆的面积和等于以斜边为直径所作半圆的面积.
4. △ABC中，∠C ＝90°，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝b.
证明：当 a，b，c 为勾股数时ka，kb，kc(k 为正整数)
也是勾股数.
∵△ABC中，∠CAB ＝ 90°，
AB ＝ c，BO ＝ a，AC ＝ b.
∴ a2 ＋ b2 ＝ c2，
∴ (ka)2 ＋(kb)2
＝ k2a2 ＋ k2b2
＝ k(a2＋b2)
＝ k2c2
＝(kc)2.
∴ ka，kb，kc也是勾股数.
5. 如果 m，n 是任意给定的正整数(m＞n)，证明：m2＋n2，
2mn，m2－n2 是勾股数(又称毕达哥拉斯数).
∵ (m2－n2) ＋(2mn)2
＝ m4 －2m2n2＋n4 ＋ 4m2n2
＝ m4＋n4＋2m2n2
＝ (m2＋n2)2
∴ m2＋n2，2mn，m2－n2是勾股数
6. 如图，点 P是等边三角形 ABC 内的一
点，且 PA ＝ 6， PB ＝8，PC＝10.
若将△PAC 绕点A逆时针旋转后得到
△P′AB，求 PP′的长和∠APB的度数.
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴∠PAP′ ＝ 60°，P′A＝ PA＝6，
∴△APP′是等边三角形
∴PP′＝ PA＝6.
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，
∴P′B＝PC ＝10，
∵△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝ 60°，
∵PB2 ＋PP′2 ＝ 82＋62 ＝100，
P′B2＝102＝100，
∴ PB2 ＋ PP′ 2 ＝ P′B2，
∴△P′PB是直角三角形，
∠BPP′＝ 90°.
∴ ∠APB ＝ ∠APP′ ＋ ∠BPP′
＝ 60°＋ 90°
＝150°
7. 在行距、列距都是1的 n × n 方格网中，连接任意两
个格点，若把得到的长度相同的线段看作一类，则
(1) 当n ＝1，2，3，4 时，在下表中分别写出不同长度线段的种类和种类数.
n的值 1 2 3 4
方格网图
不同长度线段的种类
不同长度线段的种类数 S
n的值 1 2 3 4
方格网图
不同长度线段的种类
不同长度线段的种类数 S
1×1
2×2
3×3
4×4
，2
2
2＋3
，
，2
，，3
，
，2
，，3
，，5，4
2＋3＋4
2＋3＋4＋5
(2) 根据表格内容，猜想 S与n 的关系；
S＝2＋3＋······ ＋(n＋1) ＝
(3)当 n ＝ 5 时，验证你猜想的结论是否成立.
5×5
当n ＝ 5时，S ＝＝20；
不同长度的线段种类在前14种的基础上，
再增加，，，，5；
有一个长度是5的线段与前面重复，
所以猜想不成立.
复习题
C组
1. 在下列表格中，已知△ABC 的三边长分别为a，b，c.
(1) 计算并填写下表：
边长/cm 三边间关系
a b c a2 b2 c2 a2＋b2 a2＋b2与c2(用=，>或 <)
① 4 5 7 16 25 46 41 a2＋b2＜c2
② 6 8 10
③ 6 9 12
④ 5 6 7
⑤ 5 12 13
⑥ 4 8 10
⑦ 5 6 9
边长/cm 三边间关系
a b c a2 b2 c2 a2＋b2 a2＋b2与c2(用=，>或 <)
① 4 5 7 16 25 46 41 a2＋b2＜c2
② 6 8 10
③ 6 9 12
④ 5 6 7
⑤ 5 12 13
⑥ 4 8 10
⑦ 5 6 9
36
64
100
100
a2＋b2＝c2
36
81
144
117
a2＋b2＜c2
25
36
49
61
a2＋b2＞c2
25
144
169
169
a2＋b2＝c2
16
64
100
80
a2＋b2＜c2
25
36
81
61
a2＋b2＜c2
(2) 用尺规作出上面各个三角形，观察图形，看看三角形中最长边所对的角是锐角、直角还是钝角，对照上表最后一列关系，你能发现什么规律
边角关系
最长边 最长边所对的角
7
钝角
10
直角
12
钝角
7
锐角
13
直角
10
钝角
9
钝角
发现的规律：最大边的平方大于另两边的平方和时，最大边所对的角是钝角；最大边的平方等于另两边的平方和时，最大边所对的角是直角；最大边的平方小于另两边的平方和时，最大边所对的角是锐角.
2.如图.图中曲线是地形图中等高线(同一条曲线上点的海
拔是一样的)，如果线段 AB 在图中被量得的长是2.5 cm，
那么两个地点 A，B间的水平距离和实际直线距离各约
多少米 (图中表示等高线数
据的单位为 m)
如图，我们可以从地形图及其等高线可以抽象出一个直角三角形AOB，
由等高线的概念，我们可以得到，
AO＝900－100＝800(m)
我们设A、B之间的实际距离是 x m，则由比例尺的定义，得 ＝.
∴ x ＝12500，
∵ 在直角三角形AOB中，AO ＝ 800，
AB ＝ 12500.
∴ OB2 ＝ AB2 － AO2.
OB ≈ 12474(m)
答：两个地点A，B间的水平距离和实际直线距离分别为12474m和12500m
3. 如图，有两艘船在海上航行，测得两船的位置分别为P(30，50)，Q(105，150). 求两船之间的距离.
∵ P(30，50)，
Q (105，150)，
∴ |PQ|＝
＝125(n mile)
答：两船之间的距离为125nmile.
4. 在平面直角坐标系中，下列两点关于直线 y ＝x 有怎
样的位置关系 你能说明道理吗
(1) A(5，2)，A′ (2，5)；
(2) A(2，－4)，A′(－4，2)；
(3) A(a，b)，A′(b，a).
关于直线 y ＝x 对称.
5. 在坐标平面内有一点 A(2，－3)，O为原点，在轴上找
一点 B，使以 O，A，B为顶点的三角形为等腰三角形，
写出点 B的坐标.
∵点A(2，－)，
∴ OA＝ ＝ ，
① 若OA ＝ AB，则点B1(4，0)；
② 若OA ＝ OB，则B2(－，0)，B3 (，0)；
③ 若OB＝AB，设点B(a，0)，
则a＝
解得：a＝.
∴ B4(，0)
综上可得： B点坐标为：
(4，0)，(－，0)，
(，0)，(，0).
本课结束