第19章 四边形小结与复习 -初中数学沪科版八年级下册课件(共74张PPT)

(共74张PPT)
第19章 四边形
义务教育沪科版数学八年级下册
小结与复习
内容整理
多边形
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
1. 本章知识结构：
2. 各种特殊四边形的关系：
平行四边形
矩 形
菱 形
正方形
主要知识回顾
一. 各种特殊四边形的性质.
图形 性质
对边 角 对角线
平行四边形
平行且相等
对角相等
邻角互补
互相平分
图形 性质
对边 角 对角线
矩形
菱形
平行且相等
四个角
都是直角
互相平分且相等
平行
且四边相等
对角相等
邻角互补
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
图形 性质
对边 角 对角线
正方形
平行
且四边相等
四个角
都是直角
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
二、如何判定一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、
正方形
1. 平行四边形的判定：
两组对边相等
一组对边平行且相等
对角线互相平分
两组对边分别平行(定义)
2. 矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形.
②定理1：对角线相等的平行四边形.
③定理2：三个角是直角的四边形.
3. 菱形的判定：
①定义：一组邻边相等的平行四边形.
②定理1：四条边都相等的四边形.
③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.
4. 正方形的判定：
①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.
②有一组邻边相等的矩形.
③有一个角是直角的菱形.
三、多边形的内角和与外角和
多边形的内角和等于 (n - 2)×180°
多边形的外角和等于 360°
正多边形每个内角的度数是
正多边形每个外角的度数是
四、三角形的中位线
1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵ DE 是△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
E
A
B
C
D
复习题
A组
1. 填空：
(1) 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数是_______；
(2) 一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是________，它的每个外角的度数是________.
9
4
90°
2. 四边形的内角可能都是锐角吗 可能都是直角吗 可能
都是钝角吗
四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角.
因为四边形的内角和为360°
如果四个内角都是锐角或都是钝角则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾.
所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角.
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°与内角和定理相符，
所以四个内角可以都是直角.
3. 是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角
的3倍 并简述你的理由
存在.
设该多边形一个外角为x°，则相邻的内角是3x°，
根据多边形内角和相邻外角的关系(邻补角)得:
x°＋3x°＝180°.
∴ x＝45，
∴ 该多边形边数为：360°÷45°＝8
(多边形外角和定理)，
∴ 正八边形的每个内角都等于相邻外角的3倍.
综上所述：存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的3倍.
4. 已知：如图，在 ABCD 中，AE = CF，点M，N是
ED，BF的中点.
求证：四边形MFNE 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠A＝∠C，AD＝BC.
又∵ AE＝ CF.
∴ △AED≌△CFB.
∴ DE ＝ BF，∠ADE ＝ ∠CBF.
∵ M、N是ED、BF的中点.
∴ EM＝FN.
∵ AB∥DC.
∴ ∠AED ＝∠CDE
又∵ ∠ADE ＝ ∠CBF，
∠ABC ＝ ∠ADC.
∴ ∠ABF ＝ ∠CDE.
∴ ∠AED ＝ ∠ABF.
∴ ED ∥ BF. 即 EM ∥ FN.
∴ 四边形MFNE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
5. 已知：如图，在 ABCD中，点O是对角线AC 的中
点EF 经过点O分别与AB，CD 交于点 F，E.
求证：OE = OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB ∥ CD.
∴∠CAB ＝ ∠ACD，
∵ O是对角线AC的中点.
∴AO ＝ CO.
在△AOF和△COE中
∠CAB ＝ ∠ACD，
CO ＝ AO，
∠EOC ＝ ∠FOA.
∴ △COE ≌ △AOF (ASA)，
∴ EO ＝ FO.
6. 将一张长40 cm宽20 cm 的矩形纸片剪成长为18 cm、
宽为12cm 的矩形纸片，问最多能剪几个
答： 最多可以剪3个.
∵ 20×40 ÷ 18×12 ≈ 3.7.
∴ 结合长和宽可知最多剪3个，如下图.
7. 如图，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点
E，EF // AB，交AD于点F. 试问四边形ABEF 是菱形
吗 说明你的理由.
四边形ABEF是菱形.
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AF ∥ BE
∴∠FAE ＝ ∠BEA
∵ EF ∥ AB
∴ 四边形ABEF是平行四边形
∵∠EAF ＝ ∠EAB
∴∠BEA ＝ ∠EAB
∴ BA ＝ BE
∴四边形ABEF是菱形.
8. 某地有四个村庄 A，B，C，D，它们正好位于一个正
方形的四个顶点. 现在四个村庄计划联合架设一条电
话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线
部分. 请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
设正方形的边长为1，则有：
(1) 电线长为：
AD＋AB＋BC＝1＋1＋1＝3；
(2)∵∠C ＝90°，
由勾股定理得：
BD＝＝＝ .
∴电线长为：
AB＋CD＋BD ＝ 1＋1＋＝ 2＋≈3.41；
(3)∵∠ABC ＝∠BCD ＝90°
由勾股定理得：
AC＝BD＝ ＝ ＝ ，
∴电线长为：
BD ＋ AC ＝ ＋ ＝ 2 ≈ 2.82；
(4) 分别过点E，F作EM⊥AD，FN⊥BC
垂足分别为M，N，如图：
M
N
∵∠DAE ＝∠ADE ＝30°
∠FBC ＝∠FCB ＝30°.
∴AE ＝ DE，BF ＝CF
∴AM ＝ DM ＝AD＝ .
M
N
∴ AE ＝ DE ＝＝ ＝，
ME ＝ AE ＝ × ＝ .
同理： BF ＝ CF ＝ ＝，
FN ＝ BF ＝ .
M
N
则 EF＝MN－EM－EN＝1－2×
＝1 － .
∴电线长为：
AE＋DE＋BF＋CF ＋ EF
＝ 4 × ＋ (1 － )
＝ 1 ＋ ≈ 2.732
∵ 2.732 ＜ 2.82 ＜3＜ 3.41，
∴第四种最省电线.
9. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 是边 BC，CD 上
的点，且BE = CF. 那么，线段AE 与 BF的夹角有多大
为什么
90°.
理由如下：
在正方形ABCD中，
AB ＝ BC，∠ABE ＝∠BCF.
∵ BE ＝CF.
∴△ABE ≌△BCF
∴∠AEB＝ ∠BFC，
∠EAB ＝ ∠FBC.
∵∠BFC ＋∠FBC
＝∠AEB ＋∠EAB ＝90°.
∴∠AEB ＋∠FBC ＝90°.
∴AE ⊥BF.
∴线段AE与BF的夹角是90°.
复习题
B组
1. 一个多边形的内角中，最多有几个锐角 为什么
一个多边形的内角中，最多有3个锐角.
理由是：因为多边形的外角和是360度，在外角中最多有3个钝角，如果超过3个，则和一定大于360度，多边形的内角与外角互为邻补角.
所以外角中最多有3个钝角，内角中就最多有3个锐角.
2. 已知：如图 ABCD 的顶点 D在 AEFG 的边 FG
上， AEFG的顶点 E 在 ABCD 的边 BC上.
求证：S ABCD = S AEFG·
证明：连结DE，过点D作DN⊥AE于点N，过点E作EM⊥AD于点M.
N
M
在△ADE中：
S△ADE＝×AD×EM＝ ×AE×DN.
∴ AD × EM ＝ AE × DN.
N
M
在平行四边形中： S□ABCD ＝ AD × EM.
在平行四边形中： S□ABFG ＝ AE × DN.
∴S□ABCD ＝ S□AEFG.
3. 已知：点 M，N分别是 ABCD 的边 AB，CD 的中点
CM交 BD 于点 E，AN 交 BD 于点 F.
求证：BE = EF = FD.
证明：在平行四边形ABCD中，
∴ AB∥CD，AB＝CD.
∴△AFB ~ △NFD.
∴DF∶ BF＝DN∶AB，
∵N为DC的中点，
∴DF∶BF＝DN∶AB＝1∶2，
即DF＝BD，
同理BE＝ BD，
则 EF ＝ BD－DF－BE
＝ BD － BD － BD
＝ BD ，
∴ DF ＝ EF ＝ BE.
4. 已知点O是矩形 ABCD 内任一点. 求证：OA2 ＋OC2
＝ OB2 ＋OD2. 如果点O在矩形ABCD的外部，结论
还成立吗
证明：当O在矩形ABCD的内部时，如图，
过O作OM ⊥ AD于M，
延长MO交BC于N，
则∠AMO ＝ ∠DMO ＝
∠CNO ＝ ∠ BNO ＝ 90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB ＝ ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠ADC ＝ 90°，
∴ 四边形ABNM和四边形DCNM是矩形，
M
N
∴ AM ＝ BN，DM ＝ CN，
由勾股定理得：
OA2 ＋ OC2 ＝AM2 ＋ OM2 ＋CN2＋ON2
OB2 ＋ OD2 ＝ BN2 ＋ ON2 ＋DM2＋OM2
∴ OA2＋OC2＝OB2＋OD2；
M
N
当O在矩形ABCD的外部时，
OA2＋OC2＝OB2＋OD2 还成立，
O
O
理由是：
过O作OM⊥AD于M，
延长OM交BC于N，如图，
则∠AMN ＝ ∠DMN ＝∠CNM
＝ ∠BNM ＝ 90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝ 90°，
M
N
∴四边形ABNM和四边形DCNM是矩形，
∴AM ＝ BN，DM ＝ CN，
由勾股定理得：
OA2 ＋ OC2 ＝ AM2 ＋ OM2
＋ CN2＋ON2，
OB2＋OD2 ＝ BN2＋ON2
＋DM2＋OM2.
∴OA2＋OC2 ＝ OB2＋OD2.
O
M
N
5. 在△ABC 中，BD，CE 是两条高，点P，Q 分别是BC，
ED 的中点. 求证：PQ ⊥ED .
证明：作出图形，
连结PE、PD.
∵ BD⊥AC，P为BC的中点.
∴DP＝ BC.
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
同理：EP＝ BC.
∴DP ＝ EP.
△EPD为等腰三角形.
∵Q为ED的中点.
∴PQ ⊥ ED. (三线合一)
复习题
C组
1. 设四边形 ABCD 的每一个顶点到其他 3 个顶点的距离
之和都相等. 这个四边形是什么四边形 请说明理由.
四边形ABCD是矩形，
理由如下：
由题意得，
AB＋AD＋AC
＝DA＋DB＋DC
＝DC＋CB＋AC
＝BA＋BC＋BD.
∴AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形
2. 证明：在 ABCD中，AC2＋BD2＝2(AB2＋BC2).
如图所示：
过A作AE⊥BC于E，
过D作DF⊥BC，
交BC延长线于F，
E
F
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，∠ABE ＝∠DCF
又∵∠AEB＝∠DFC ＝90°
∴△ABE≌△DCF。
∴ AE＝DF， BE＝CF
∵AC2 ＝AE2＋CE2＋BF2，
BD2＝DF2＋BF2
∴ AC2＋BD2＝ (AE2＋CE2)＋(DF2＋BF2)
＝ AE2＋(BC－BE)2＋AE2＋(BC＋CF)2
＝2AE2＋BC2－2BC·BE＋BE2＋BC2 ＋2BC·BE＋BE2
＝2AE2＋2BE2 ＋2BC2
＝2(AE2＋BE2) ＋2BC2
＝2AB2＋2BC2
＝2(AB2＋BC2)
故在□ABCD中，AC2＋BD2＝2(AB2 ＋ BC2).
3. 已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成 8 个部分，
其中的3个部分面积分别为 13，35，49. 求图中阴影
部分的面积.
x
y
x
y
∵(35 ＋x ＋49) ＋(13 ＋ y) ＝长方形面积的一半，
又∵长方形面积的一半＝ x ＋S阴影＋ y，
∴ S阴影＝35＋49 ＋13＝97.
4. (1) 如图(1)，从ABCD 的顶点 A，B，C，D，向形外的
任意直线 MN作垂线AA′，BB′，CC′，DD′，垂足是
点A′，B′，C′，D′.
求证：AA′＋ CC′ ＝ BB′ ＋ DD′ .
证明： 记点O为平行四边形ABCD两条对角线的交点，作OO′ ⊥ MN，垂足为 O′.
O
O′
∵在平行四边形ABCD中，
AO ＝ OC，AA′∥OO′∥CC′，
∴OO′是梯形AA′CC′的中位线.
∴ OO′ ＝(AA′ ＋ CC′)，
同理可证 OO′ ＝(BB′ ＋ DD′).
∴ AA′ ＋ CC′ ＝ BB′ ＋ DD′ .
O
O′
(2) 如图(2)，将直线 MN 向上平移，使得点A 在直线一
侧，点 B，C，D 三点在直线的另一侧，这时，从
点 A，B，C，D 向直线 MN作垂线，
垂足分别为点 A′，B′，C′，D′，
那么垂线段AA′，BB′，CC′，
DD′之间存在什么关系
CC′＝AA′＋BB′＋DD′
证明：记点O为平行四边形ABCD两
条对角线的交点，
作 OO′⊥MN，垂足为 O′.
同样可得 OO′＝ (BB′ ＋DD′).
连结AC′，延长OO′交AC′于H.
∵ O为AC的中点，OO′ ∥ AA′ ∥ CC′.
O
O′
H
O
O′
H
∴ OH为ACC′的中位线，O′H为AA′C′的中位线.
∴ OH＝ CC′，O′H＝ AA′.
∴ OO′ ＝OH－O′H ＝(CC′－AA′).
综上，CC′ － AA′ ＝ BB′ ＋ DD′，
即CC′ ＝ AA′ ＋ BB′ ＋ DD′.
(3) 如图(3)，再将直线 MN 向上平行移动，使两侧各有
两个顶点，从点 A，B，C，D向直线 MN作的垂线
段AA′，BB′，CC′，DD′，它们之间
又有什么关系 根据图(2)、
图(3)写出你的猜想，
并加以证明.
AA' ＋ DD′ ＝ BB′ ＋ CC′
证明：记点O为平行四边形ABCD两条对角线的
交点，作OO′⊥MN，垂足为 O′.
连结AC′，延长OO′交AC′于H.
同样可得OO′ ＝ OH － OH′
＝ (CC′ － AA′)
连结D′B，延长OO′交D′B于G.
O
O′
H
G
类似推理可以得到：
OO′ ＝ OG － O′G
＝ (DD′ － BB′).
∴ CC′ － AA′ ＝ DD′ － BB′.
即AA′ ＋ DD′ ＝ BB′ ＋ CC′.
O
O′
H
G
本课结束