2021-2022学年安徽省淮南市某校高三（下）期中考试数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省淮南市某校高三（下）期中考试数学试卷
一、选择题)

1. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.

2. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.

3. 已知，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 设，，是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则

5. 某单位从甲、乙、丙、丁、戊五名职工中选取人负责一个地区的扶贫攻坚工作，其中甲、乙两人中至少要选取人，甲、丙两人不能同时人选，则不同的选法总数为（ ）
A. B. C. D.

6. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.

7. 充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向．已知电池充入的电量（单位：）与充电时间（单位：）满足函数，其中表示电池的容量，表示电池的充电效率．研究人员对，两个型号的电池进行充电测试，电池的容量为，充电 充入了的电量；电池的容量为，充电 充入了的电量．设电池的充电效率为，电池的充电效率为，则（ ）
A. B.
C. D.大小关系无法确定

8. 在区间上任取两个实数，，则方程有两个不同的非负根的概率为（ ）
A. B. C. D.

9. 若实数，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

10. 已知椭圆的左、右焦点分别为和为上一点，且的内心为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.

11. 已知，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.

12. 将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，再向下平移个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象．若对任意，都存在，使得，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题)

13. 已知向量，且，则________.

14. 若双曲线：的离心率为，则双曲线的焦距为________.

15. 已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，为的中点，若四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的余弦值为________.

16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的取值范围是________.
三、解答题)

17. 已知递增的等差数列中，，且成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.

18. 如图，在正方体中，，分别为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

19. 从某酒店开车到机场有两条路线，为了解两条路线的通行情况，随机统计了走这两条路线各次的全程时间（单位：），数据如下表：
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）假设路线一的全程时间服从正态分布，路线二的全程时间服从正态分布，分别用作为的估计值．现有甲、乙两人各自从该酒店打车去机场，甲要求路上时间不超过，乙要求路上时间不超过，为尽可能满足客人要求，司机送甲、乙去机场应该分别选哪条路线？

20. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线与交于，两点，与圆交于，两点，若，求直线的方程．

21. 已知函数.
若是的一个零点，求曲线在处的切线方程；
若当时恒成立，求的最小整数值． （参考数据：）

22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线交于点，与直线交于点，求的长．

23. 已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年安徽省淮南市某校高三（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
.
2.
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题设，，所以}，故，.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由，解得，因为，所以是的必要不充分条件．
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
，则或与是异面直线，为假命题； ，则无法判断与的位置关系，为假命题；：由平面与平面垂直的判定定理可知为真命题；：还有可能，为假命题．
5.
【答案】
A
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若甲、乙中只选取甲去，则只能是甲、丁、戊人去；若甲、乙中只选取乙去，则在丙、丁、戊人中再选
2人，有种选法；若甲、乙都去，则需在丁、戊人中再选人，有种选法．综上，共有种选法．
6.
【答案】
C
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为点的横坐标为，且，所以在第三象限，所以 ,所以
7.
【答案】
B
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由得，由得，所以.
8.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
在区间上任取两个实数，，则，点在正方形内（含边界）．方程有两个不同的非负根，则，即，则点在阴影区域内，则所求的概率为 .
9.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以，且，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
10.
【答案】
D
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意可得的内心到轴的距离就是内切圆的半径，又点在椭圆上，由椭圆的定义得，
整理可得．又，所以，所以，离心率为.
11.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以．因为，所以，故，由得，所以.
12.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意， ．当时，．若存在，使得，则需且．因为，若，则，不满足条件；若，则，不满足条件；若，则,
，满足条件；若，则，不满足条件．
二、填空题
13.
【答案】
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以，解得，即，故.
14.
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设双曲线的焦距为．由题意，离心率，解得，则，故双曲线的焦距是.
15.
【答案】
【考点】
异面直线及其所成的角
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设，可将该四棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，故表面积为，解得，如图，因为，故为异面直线与所成的角．又为的中点，故在中，，在 中，，故
16.
【答案】
【考点】
余弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为，所以，
所以 ，当且仅当，即时等号成立，
又，所以 ，
所以，所以.
三、解答题
17.
【答案】
（Ⅰ）设的公差为，
因为成等比数列，所以，
所以．①
又，所以．②
联立①②解得舍去），
则
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
可得数列的前项和
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）设的公差为，
因为成等比数列，所以，
所以．①
又，所以．②
联立①②解得舍去），
则
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
可得数列的前项和
18.
【答案】
（Ⅰ）在正方体中，，分别为棱的中点，
所以 ．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
同理，，又平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，
则，
设平面的法向量为，
则 ，
取，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，解得，
所以直线与平面所成角的大小为.
【考点】
平面与平面平行的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）在正方体中，，分别为棱的中点，
所以 ．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
同理，，又平面，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，
则，
设平面的法向量为，
则 ，
取，得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，解得，
所以直线与平面所成角的大小为.
19.
【答案】
（Ⅰ），，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
因为，且，
所以，
所以送甲去机场应该选择路线一；
因为），
又，所以，
所以送乙去机场应该选择路线二．
【考点】
众数、中位数、平均数、百分位数
极差、方差与标准差
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ），，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．
因为，且，
所以，
所以送甲去机场应该选择路线一；
因为），
又，所以，
所以送乙去机场应该选择路线二．
20.
【答案】
（Ⅰ）依题意，设，
由抛物线的定义得，解得．
因为在抛物线上，所以，
所以，解得，
故抛物线的方程为．
（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在，的坐标为，设直线，
联立得，故，
则，
因为坐标原点到直线的距离，
所以，
因为，即，
化简整理得，
解得，
故直线的方程是．
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）依题意，设，
由抛物线的定义得，解得．
因为在抛物线上，所以，
所以，解得，
故抛物线的方程为．
（Ⅱ）依题意，直线的斜率存在，的坐标为，设直线，
联立得，故，
则，
因为坐标原点到直线的距离，
所以，
因为，即，
化简整理得，
解得，
故直线的方程是．
21.
【答案】
（Ⅰ）由可得，
所以，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）因为，由恒成立，可得恒成立，所以,
令，则,
令，则,
所以在上单调递减，
又，，
所以存在，使得，即，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，
易知函数在上单调递减，所以，
又因为，所以，
因为，所以的最小整数值是．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）由可得，
所以，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）因为，由恒成立，可得恒成立，所以,
令，则,
令，则,
所以在上单调递减，
又，，
所以存在，使得，即，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以，
易知函数在上单调递减，所以，
又因为，所以，
因为，所以的最小整数值是．
22.
【答案】
（Ⅰ）由（为参数）得，得，
故直线的普通方程是，
由，得，
将代入得，即，
故曲线的直角坐标方程是．
（Ⅱ）将代入曲线的极坐标方程，
可得 ，所以．
又直线的极坐标方程为，
令得 ，
所以 ，
所以
【考点】
直线的参数方程
椭圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）由（为参数）得，得，
故直线的普通方程是，
由，得，
将代入得，即，
故曲线的直角坐标方程是．
（Ⅱ）将代入曲线的极坐标方程，
可得 ，所以．
又直线的极坐标方程为，
令得 ，
所以 ，
所以
23.
【答案】
（Ⅰ）
当时，由得；
当时，由得；
当时恒成立．
因此不等式的解集为 ;
（Ⅱ）作出函数的大致图象，如图所示．
根据题意，函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率．
又，
所以的取值范围是．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（Ⅰ）
当时，由得；
当时，由得；
当时恒成立．
因此不等式的解集为 ;
（Ⅱ）作出函数的大致图象，如图所示．
根据题意，函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率．
又，
所以的取值范围是．
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